DAU CUA TAM THUC BAC HAI (NHAN XET)

BÀI 6: DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Định lí dấu tam thức bậc hai.
Cho tam thức bậc hai :
-Nếu thì cùng dấu với hệ số a với mọi
-Nếu thì cùng dấu với hệ số a với mọi
-Nếu thì có hai nghiệm và .
Khi đó, trái dấu với hệ số a với mọi nằm trong
khoảng (tức là với ),
và cùng dấu với hệ số a với
mọi nằm ngoài đoạn (tức là với hoặc
)
( ) ( )
2
0f x ax bx c a= + + ≠
0∆ <
( )
f x
x R∈
0∆ =
( )
f x
2
b
x
a
≠ −
0∆ >
( )
f x

1
x
2
x
( )
1 2
x x<
( )
f x
x
( )
1 2
;x x
1 2
x x x< <
( )
f x
[ ]
1 2
;x x
1
x x<
2
x x>
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
x
Kiểm tra bài cũ:
Phát biểu định lý về dấu của tam thức bậc hai

Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
2
1. ( ) 2 5 7f x x x= − + +
2
2. ( ) 2 5 7f x x x= − + −
2
3. ( ) 9 12 4f x x x= − +
Kiểm tra bài cũ

Giải
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
2
( ) 2 5 7f x x x= − + +
Kiểm tra bài cũ
Ta có: a= -2<0
Ta có:
Suy ra f(x) có 2 nghiệm là: x= -1 và
Vậy
và
Hay ta có bảng xét dấu sau:
2
5 4.( 2).7 81 0∆ = − − = >
7
2
x =
x
7
1
2
−∞ − + ∞

( )
f x
0 0
_
+
_
7
( ) 0 1;
2
7 7
( ) 0 ; ;
2 2
f x x
f x x
 
> ∀ ∈ −
 ÷
 
   
< ∀ ∈ −∞ ∪ ∞
 ÷  ÷
   

Giải
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
2
( ) 2 5 7f x x x= − + −
Kiểm tra bài cũ
Ta có: a= -2<0
Ta có:

Vậy
Hay ta có bảng xét dấu sau:
2
5 4.( 2).( 7) 31 0∆ = − − − = − <
x
−∞ + ∞
( )
f x
_
( ) 0f x x< ∀ ∈¡

Giải
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
2
( ) 9 12 4f x x x= − +
Kiểm tra bài cũ
Ta có: a= 9>0
Ta có:
Suy ra f(x) có 1 nghiệm là:
Vậy
Hay ta có bảng xét dấu sau:
2
( 6) 9.4 0∆ = − − =
2
3
x =
x
2
3
−∞ + ∞

( )
f x
0
+ +
2 2
( ) 0, ; ;
3 3
f x x
   
> ∀ ∈ −∞ ∪ +∞
 ÷  ÷
   

Cho tam thức bậc hai:
2
( ) ( 1) 1 ,( 1)f x m x x m= − + + ≠
Gợi vấn đề
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Tìm tất cả các giá trị của m để f(x) luôn dương ?
Ta sử dụng lý
thuyết gì để giải
quyết bài toán này?
Phải chăng sử
dụng Định lý dấu
của tam thức bậc
hai để giải???
( ) 0,f x x> ∀ ∈¡

Cho tam thức bậc hai:
2

( ) ( 1) 1 ,( 1)f x m x x m= − + + ≠
Gợi vấn đề
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Tìm tất cả các giá trị của m để f(x) luôn dương ??
Tái hiện lại
Định lý dấu
của tam thức
bậc hai
Dấu của f(x) phụ
thuộc vào hệ số
a và
∆
Cho tam thức bậc hai :
-Nếu thì cùng dấu với hệ số a với mọi
-Nếu thì cùng dấu với hệ số a với mọi
-Nếu thì có hai nghiệm và .
Khi đó, trái dấu với hệ số a với mọi nằm trong
khoảng (tức là với ),
và cùng dấu với hệ số a với
mọi nằm ngoài đoạn (tức là với hoặc
)
( ) ( )
2
0f x ax bx c a= + + ≠
0∆ <
( )
f x
x R∈
0∆ =
( )

f x
2
b
x
a
≠ −
0∆ >
( )
f x
1
x
2
x
( )
1 2
x x<
( )
f x
x
( )
1 2
;x x
1 2
x x x< <
( )
f x
[ ]
1 2
;x x
1

x x<
2
x x>
x

Cho tam thức bậc hai:
2
( ) ( 1) 1 ,( 1)f x m x x m= − + + ≠
Tìm tất cả các giá trị của m để f(x) luôn dương ?
Gợi vấn đề
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Để xét dấu f(x) ta phải biện luận 6 TH xảy ra cho a và

0 0 0
1: 2 : 3:
0 0 0
0 0 0
4: 5: 6 :
0 0 0
a a a
TH TH TH
a a a
TH TH TH
> > >
  
  
∆ < ∆ = ∆ >
  
< < <
  

  
∆ < ∆ = ∆ >
  
0
0
a
a
>


<

Phân tích:
Ta có:
a= m-1 có thể

2
1 4( 1) 5 4m m∆ = − − = −
0
0
0
∆ <


∆ =


∆ >

∆

có thể
Biện luận 6 TH quá
dài dòng, tốn nhiều
thời gian, gây rối ren,
dễ mắc sai lầm khi
giao-hợp các TH lại
Có dễ thực
hành không?
Liệu có cách nào khác
giải bài toán này
nhanh chóng, chính
xác không
Các nhà Toán học đã
đưa ra lý thuyết gì,
điều kiện gì để giải
quyết bài toán này

Nếu ta biện luận theo
6TH của a và ta sẽ
tìm được được m
thỏa đề bài.
Liệu lý thuyết mới có
liên quan gì đến a và
???
Ta sẽ vào học bài mới
để hiểu rõ hơn về vấn
đề này
Gợi niềm tin
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
∆

∆
Cho tam thức bậc hai:
2
( ) ( 1) 1 ,( 1)f x m x x m= − + + ≠
Tìm tất cả các giá trị của m
để f(x) luôn dương ??

Nhận xét:
khi và chỉ
khi và
Kí hiệu:

( ) 0,f x x> ∀ ∈¡
0∆ <
0a >
( ,
0
)
0
0f
a
x x
>


∆
> ⇔
<
∀ ∈


¡
khi và chỉ
khi và
Kí hiệu:

( ) 0,f x x< ∀ ∈¡
0∆ <
0a <
( ,
0
)
0
0f
a
x x
<


∆
< ⇔
<
∀ ∈

¡
khi và chỉ
khi và
Kí hiệu:

( ) 0,f x x≥ ∀ ∈¡
0∆ ≤

0a >
( ,
0
)
0
0f
a
x x
>


∆
≥ ⇔
≤
∀ ∈

¡
khi và chỉ
khi và
Kí hiệu:

( ) 0,f x x≤ ∀ ∈¡
0∆ ≤
0a <
( ,
0
)
0
0f
a

x x
<


∆
≤ ⇔
≤
∀ ∈

¡
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Phát biểu nhận xét:

Tìm các giá trị của m để biểu thức

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Hoạt động 3:
2 2
( ) 2 0f x x mx m m x= + + + ≥ ∀ ∈¡
f(x) là tam
thức bậc
hai
Tái hiện Định lý dấu
tam thức bậc hai
Xây dựng nhận xét:
Nhu cầu
nghiên
cứu dấu
f(x)
Cần xác định

a
∆
Ta xây dựng các nhận xét thông
qua bài tập cụ thể, có sử dụng lý
thuyết: Định lý dấu tam thức bậc
hai đã học trước đó

0 0 0
1: 2 : 3:
0 0 0
0 0 0
4 : 5: 6:
0 0 0
a a a
TH TH TH
a a a
TH TH TH
> > >
  
  
∆ < ∆ = ∆ >
  
< < <
  
  
∆ < ∆ = ∆ >
  
Tái hiện Định lý
dấu tam thức bậc
hai

Cần xác định
a
∆
Tìm các giá trị của m để biểu thức

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Hoạt động 3:
2 2
( ) 2 0f x x mx m m x= + + + ≥ ∀ ∈¡
Xây dựng nhận xét:
∆
a
Có 6 TH cho và
Ta xét từng TH, chọn
ra TH ăn khớp với
( ) 0f x x≥ ∀ ∈¡

Cần nghiên cứu


DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Lập 6 bảng:
( ) 0f x x≥ ∀ ∈¡
Xây dựng nhận xét
Với a>0
2
( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠
Với a<0
0∆ <
x

−∞ + ∞
( )
f x
0∆ =
x
0
x−∞ + ∞
( )
f x
0∆ >
x
1 2
x x−∞ + ∞
( )
f x
_
__
__
+
0 0
0
0∆ <
x
−∞ + ∞
( )
f x
0∆ =
x
0
x−∞ + ∞

( )
f x
0∆ >
x
1 2
x x−∞ + ∞
( )
f x
+
++
+
+
_
0
0
0
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Chú ý đến f(x)
( ) 0f x x≥ ∀ ∈¡
dò tìm
Kiểm tra 6 bảng ta thấy:
khi và
và chỉ thế mà thôi.

( ) 0,f x x≥ ∀ ∈¡
0∆ ≤
0a >
Vậy:
( ,
0
)
0
0f
a
x x
>


∆
≥ ⇔
≤
∀ ∈

¡
Nhận(1)
Nhận(2)
Loại(3) Loại(6)
Loại(5)
Loại(4)




2
(
(
) 0
0
,
) (
0
0)
f x x
f x ax bx c a
a
≥ ∀ ∈
>


∆
+ + ≠
≤
=
⇔

¡
Tìm các giá trị của m để biểu thức

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Hoạt động 3:
2 2
( ) 2 0f x x mx m m x= + + + ≥ ∀ ∈¡
Vận dụng CT trên

tìm ra m thỏa đề bài.
Giải
Ta có:

1 0a = ≠
( ) 0
0
(1)
0
f x x
a
≥ ∀ ∈
>

⇔

∆ ≤

¡
2 2
1 0
(1)
(2 ) 4( ) 0
0
m m m
m
>

⇔


− − ≤

⇔ ≥
Vậy
Vậy thì
( ) 0f x x≥ ∀ ∈¡
0m ≥

Tổng kết được
phương pháp gì khi
gặp những bài toán tìm
m để tam thức bậc hai

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Tổng kết phương pháp
( ) 0f x x≥ ∀ ∈¡
Phương pháp:
Khi ta có mục tiêu tìm
m để
ta nghĩ tới công thức:
-Xác định a
-Xác định
-Giải hệ pt:
-Kết luận m thỏa đề bài
( ,
0
)
0
0f
a

x x
>


∆
≥ ⇔
≤
∀ ∈

¡
( ) 0f x x≥ ∀ ∈¡
∆
0
0
a >


∆ ≤


Tổng kết được
phương pháp khi gặp
những bài toán tìm m
để tam thức bậc hai
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Tổng kết phương pháp
( ) 0f x x< ∀ ∈¡
Phương pháp:
Khi ta có mục tiêu tìm
m để

ta nghĩ tới công thức:
-Xác định a
-Xác định
-Giải hệ pt:
-Kết luận m thỏa đề bài
( ,
0
)
0
0f
a
x x
<


∆
< ⇔
<
∀ ∈

¡
( ) 0f x x< ∀ ∈¡
∆
0
0
a <


∆ <


Tương tự
( ) 0f x x> ∀ ∈¡( ) 0f x x≤ ∀ ∈¡
( ,
0
)
0
0f
a
x x
>


∆
> ⇔
<
∀ ∈

¡( ,
0
)
0
0f
a
x x
<


∆
≤ ⇔
≤

∀ ∈

¡
0
0
a >


∆ <

0
0
a <


∆ ≤

( ) 0f x x> ∀ ∈¡( ) 0f x x≤ ∀ ∈¡

III. Nhận xét.
Từ Định lí dấu của tam thức bậc hai, ta suy diễn ra được các
công thức sau cho
( ) ( )
2
0f x ax bx c a= + + ≠
( )
( )
0
,
0

,
0
0
0
0
a
x R f x
a
x R f x
∀ ∈ >
∀
>


∆ <

<


∆ <
⇔
⇔∈ <

VẬN DỤNG ĐỊNH LÍ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
( )
( )
0
,
0
,

0
0
0
0
a
x R f x
a
x R f x
∀ ∈ ≥
∀
>


∆ ≤

<


∆ ≤
⇔
⇔∈ ≤


Hoạt động nhận dạng:
VẬN DỤNG ĐỊNH LÍ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
1. Cho


Ta có:
a=3>0

Vậy …………….
2
( ) 3 1f x x x= + +
2
1 4. 11 03= − =∆ <
( ) 0f x x> ∀ ∈¡
2. Cho


Ta có:
a=3>0
Vậy …………….
2
( ) 3f x x bx c= + +
0∆ <
4. Cho f(x) là tam thức bậc hai

Biết rằng:
a>0
Vậy …………….
0∆ <
3. Cho


Biết rằng:
a>0
Vậy …………….
2
( )f x ax bx c= + +
0∆ <

( ) 0f x x> ∀ ∈¡ ( ) 0f x x> ∀ ∈¡
( ) 0f x x> ∀ ∈¡
Ta nhận thấy tam thức
bậc hai f(x):
Nếu có được a>0 và
Thì ta suy ra được

0∆ <
( ) 0f x x> ∀ ∈¡
Điền vào chổ chấm:

Hoạt động nhận dạng:
VẬN DỤNG ĐỊNH LÍ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
1. Cho


Ta có:
a= -13>0
Vậy …………….
2
( ) 13 3 1f x x x= − + −
2
3 ( 13).( 1) 4 0= − − − = −∆ <
( ) 0f x x< ∀ ∈¡
2. Cho


Ta có:
a= -7>0
Vậy …………….

2
( ) 7f x x bx c= − + +
0∆ <
4. Cho f(x) là tam thức bậc hai

Biết rằng:
a<0
Vậy …………….
0∆ <
3. Cho


Biết rằng:
a<0
Vậy …………….
2
( )f x ax bx c= + +
0∆ <
( ) 0f x x< ∀ ∈¡
( ) 0f x x< ∀ ∈¡
( ) 0f x x< ∀ ∈¡
Ta nhận thấy tam thức
bậc hai f(x):
Nếu có được a<0 và
Thì ta suy ra được

0∆ <
( ) 0f x x< ∀ ∈¡
Hoạt động 2: Điền vào chổ chấm

Ta nhận thấy tam thức bậc hai f(x):
Nếu có được giả thiết a<0 và
Thì ta suy ra được kết luận

0∆ ≤
( ) 0f x x≤ ∀ ∈¡
Ta nhận thấy tam thức bậc hai
f(x):
Nếu có được giả thiết a>0 và
Thì ta suy ra được kết luận

0∆ ≤
( ) 0f x x≥ ∀ ∈¡
Tương tự

Tìm các giá trị của m để đa thức

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Hoạt động 4:
2
( ) (2 ) 2 1 0f x m x x x= − − + ≥ ∀ ∈¡
f(x) có bóng
dáng của
tam thức
bậc hai
Hoạt động nhận dạng
Nghiên cứu
Áp dụng
phương pháp
∆

Nhu cầu vận dụng
( ,
0
)
0
0f
a
x x
>


∆
≥ ⇔
≤
∀ ∈

¡
Chú ý chỉ quan tâm đến
f(x) là tam thức bậc hai
(2 ) 0m− ≠
a
( ) 0f x x≥ ∀ ∈¡
0
0
a >


∆ ≤

Tìm m???

Biện luận thêm
TH: 2-m=0

Tìm các giá trị của m để đa thức
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Hoạt động 4:
2
( ) (2 ) 2 1 0f x m x x x= − − + ≥ ∀ ∈¡
Hoạt động nhận dạng
Giải
* Với 2-m=0
m=2.
Suy ra f(x) = -2x + 1.
Lại có: f(1) = -2.1+1 = -1.
f(x) nhận cả những giá trị âm.
Vậy m=2 không thỏa yêu cầu đề bài.
* Với 2 – m 0
m 2
≠
≠
⇒
Vậy
2
2 0
(1)
( 2) 4(2 ) 0
m
m
− >


⇔

− − − ≤

2
1
1
m
m
m
<

⇔ ⇔ ≤

≤

Vậy thì
⇒
⇒
0
( ) 0 (1)
0
a
f x x
>

≥ ∀ ∈ ⇔

∆ ≤


¡
1m ≤
( ) 0f x x≥ ∀ ∈¡

Tìm các giá trị của m để đa thức
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Hoạt động 4:
2
( ) ( 1) (2 1) 1 0f x m x m x m x= − + + + + < ∀ ∈¡
Hoạt động nhận dạng
Giải
* Với m-1=0
m=1.
Thay m=1 vào f(x) ta được:

Suy ra f(x) = 3x + 2.
Lại có: f(1) = 3.1 + 2 = 4.
f(x) nhận cả những giá trị dương.
Vậy m=1 không thỏa yêu cầu đề bài.
* Với m – 1 0
m 1
≠
≠
⇒
Vậy
2
1 0
(1)
(2 1) 4( 1)( 1) 0
m

m m m
− <

⇔

+ − − + <

1
5
4
5
4
m
m
m
<


⇔

< −


⇔ < −
Vậy thì

⇒
⇒
0
( ) 0 (1)

0
a
f x x
<

< ∀ ∈ ⇔

∆ <

¡
5
4
m < −
( ) 0f x x< ∀ ∈¡
2
( ) 0 (2.1 1) 1 1f x x x= + + + +

Cho đa thức:
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Câu 1:
2
( ) ( 5) (2 3) 4f x m x m x m= − + − + +
Bài tập về nhà:
Tìm các giá trị của m để đa thức thỏa
) ( ) 0
) ( ) 0
) ( ) 0
) ( ) 0
a f x x
b f x x

c f x x
d f x x
> ∀ ∈
≥ ∀ ∈
< ∀ ∈
≤ ∀ ∈
¡
¡
¡
¡
Cho biểu thức:
Câu 2: (Hệ thống hóa)
2
2
( 2) 1
( )
1
m x x
f x
mx
− + +
=
+
Tìm các giá trị của m để
( ) 0f x x> ∀ ∈¡
Hướng dẫn: phân thức luôn dương khi tử số và mẫu số đều
luôn dương
Bài tập trong SGK:
50/140
51/141