skkn một số kinh nghiệm lập trình giải toán trên máy tính casio” (trên máy tính casio 570es

Phần 1: MỞ ĐẦU.
I. Tên đề tài: “MỘT SỐ KINH NGHIỆM LẬP TRÌNH GIẢI TOÁN TRÊN MÁY
TÍNH CASIO” (Trên máy tính Casio 570ES).
II. Tác giả: Nguyễn Đức Quy.
III. Tóm tắc đề tài:
Để phục vụ việc bồi dưỡng học sinh thi Giải toán trên máy tính Casio, tôi đã
viết SKKN với nội dung như sau:
Kinh nghiệm chọn học sinh có năng lực và năng khiếu trong thực hành giải
toán trên máy tính Casio, phân dạng toán thông qua các chủ đề để học sinh dễ tiếp
thu và có khả năng áp dụng tốt trong khi thi thí nghiệm thực hành. Việc phân dạng
giúp cho học sinh thấy các cách để giải các bài toán trên máy tính bằng cách lập
trình và gán biến, qua đó rằng luyện kĩ thuật và một số mẹo vặt để giải bài toán trên
máy tính. Các chủ đề liên quan gồm:
Chủ đề 1: Tính các giá trị biểu thức có dạng phức tạp.
Chủ đề 2: Tìm số chữ số thập phân sau dấu phẩy.
Chủ đề 3: Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng cho trước.
Chủ đề 4: Dãy số.
Chủ đề 5: Phương trình nghiệm nguyên.
Chủ đề 6: Số nguyên tố và số chính phương.
Chủ đề 7: Tìm số tự nhiên thoả điều kiện cho trước.
Chủ đề 8: Hàm số.
Thông qua các chủ đề này tôi đã hình thành cho học sinh một số kĩ năng nhất định
để giải các bài toán trong các kì thi thí nghiệm thực hành và giải toán trên máy tính
Casio.
IV. Lý do chọn đề tài:
1. Cơ sở lý luận:
Môn học thí nghiệm thực hành và giải toán trên máy tính Casio được Bộ Giáo
Dục – Đào Tạo quy định đưa vào chương trình Trung học phổ thông, hằng năm còn
tổ chức thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia.
Như chúng ta đã biết, trong bảy định hướng đổi mới phương pháp dạy học
của Bộ Giáo dục- Đào tạo thì “Tăng cường sử dụng các phương tiện dạy học, thiết bị

dạy học và đặc biệt lưu ý đến những ứng dụng công nghệ thông tin”, là định hướng
phù hợp với những phương hướng, quan điểm đổi mới trong dạy học của nhiều nước
tiên tiến trên thế giới như: Nhật Bản, Hàn Quốc, Singapo Như vậy việc học giải
toán trên máy tính Casio là một trong những biện pháp sử dụng thiết bị nhằm phát
huy tính tích cực hoạt động độc lập của học sinh trong học tập.
Gần đây đã có rất nhiều bài viết trên các tạp chí “Thế giới trong ta”, “Dạy và
học ngày nay”, “toán học tuổi trẻ”, “toán học tuổi thơ” đã đề cập đến vấn đề này ở
nhiều khía cạnh khác nhau. Nhưng các bài viết trên vẫn còn chung chung, không thể

1
áp dụng cụ thể cho từng tỉnh thành cụ thể được với một bộ môn hết sức mới lạ như
môn học giải toán trên máy tính Casio.
2. Cơ sở thực tiển:
a/ Về phía giáo viên:
Trong tổ chuyên môn chưa có giáo viên chuyên về phân môn này, ít ai nghiên
cứu về thực hành giải toán trên máy tính Casio. Mặt khác, trường cũng ít quan tâm
đến bồi dưỡng kinh phí cho giáo viên dạy môn này, do đó việc nghiên cứu và dạy
học sinh thực hành và giải toán trên máy tính Casio càng gặp nhiều trở ngại.
Giáo viên dạy phân môn này hầu hết là giáo viên dạy toán- tin, chưa một ai
được đào tạo chính quy, nên giáo viên khi đảm trách dạy môn này cũng chưa thực sự
nghiên cứu, chuyên sâu để nâng cao chất lượng dạy học. Đây là môn học yêu cầu
hoạt động độc lập của học sinh rất cao, phương pháp dạy lại chưa có sự thống nhất,
mỗi người sử dụng một cách.
b/ Về phía học sinh:
Học sinh ở huyện Đại Lộc hầu hết là người vùng quê, sống chủ yếu bằng nông
nghiệp, mức thu nhập thất, điều kiện kinh tế còn rất khó khăn. Vì vậy, trình độ và
khả năng sử dụng máy tính Casio còn thấp. Vả lại, đây là môn học còn xa lạ với tất
cả các em vì ở cấp Trung học cơ sở chưa được học.
Trong 3 năm học qua, tôi được trường THPT Đỗ Đăng Tuyển phân công dạy
bồi dưỡng học hinh thi giải toán trên máy tính Casio do Sở Giáo Dục – Đào Tạo

Quảng Nam tổ chức hằng năm, trong quá trình nghiên cứu và bồi dưỡng học sinh, tôi
nhận thấy rằng cần phải có phương pháp và mẹo vặt trong quá trình giải các bài toán
bằng máy tính Casio, nó hoàn toàn khác với việc giải một bài toán bằng phương pháp
suy luận toán học thuần tuý. Với các lý do trên tôi quyết định viết sáng kiến kinh
nghiệm với đề tài: “MỘT SỐ KINH NGHIỆM LẬP TRÌNH GIẢI TOÁN TRÊN MÁY
TÍNH CASIO” nhằm mục đích thiết lập cho học sinh một số kĩ năng cơ bản để giải
các bài toán bằng máy tính Casio, mặt khác đây cũng là một giáo án để thao khảo
trong khi bồi dưỡng học sinh thực hành giải toán bằng máy tính.
V. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài này tôi đã thực hành và nghiên cứu tại trường THPT Đỗ Đăng Tuyển
trong 03 năm học, từ năm 2009 đến năm 2011, nội dung chủ yếu dựa vào các đề thi
thí nghiệm thực hành và giải toán bằng máy tính Casio do Sở Giáo Dục và Đào Tạo
Quảng Nam tổ chức. Đối tượng là học sinh giỏi lớp 11 được tuyển chọn tại trường.
Do điều kiện công tác của tôi trong năm học 2010-2011, tôi phải thuyên
chuyển từ trường THPT Đỗ Đăng Tuyển về trường THPT Lương Thúc Kỳ, vì vậy
với đề tài này tôi cũng ứng dụng vào dạy học tại trường THPT Lương Thúc Kỳ.
Việc đánh giá hiệu quả ứng dụng của đề tài thông qua sự hứng thú học tập của
học sinh, qua biểu hiện yêu thích và có những cảm xúc nhất định qua môn học này.
Một cách đánh giá mang tính pháp lý thông qua tỉ lệ học sinh đạt giải qua các kì thi
học sinh giỏi từ năm 2009 đến năm 2011.

2
Phần 2: NỘI DUNG.
I. Vấn đề nghiên cứu:
Chủ đề 1: Tính các giá trị biểu thức có dạng phức tạp.
Đối với một số biểu thức lớn, việc nhập toàn bộ biểu thức vào máy là không
thể vì máy chỉ giới hạn số lượng kí tự nhất định. Do đó, việc gán biến là công cụ hữu
hiệu để giải dạng toán này, tất nhiên, đây chỉ là giải pháp tình huống vì đa số các bài
toán dạng này thường rút gọn trước khi thay giá trị của biến vào để tính kết quả.
Bài 1: (Quảng Nam 2006- 2007)

Tính giá trị biểu thức:
( ) ( ) ( )
3 4 5
4 4 3 3 2 2
1 1 1 2 1 1 2 1 1
. . .Q
x y x y x y
x y x y x y
     
= − + − + −
 ÷  ÷  ÷
+ + +
     
khi
4
4
2; y= 3x =
Giải:
Cách 1: Nếu dùng biến đổi toán học thì ta có thể rút gọn biểu thức Q về dạng
đơn giản rồi thay x; y vào để tính Q, cụ thể là: Rút gọn Q ta được
4 4
x y
Q
x y
−
=
, thay
4
4
2; y= 3x =

vào Q ta được
Q 0.021144482;

Cách 2: Việc biến đổi biểu thức làm toát lên vẽ đẹp của toán học, tuy nhiên trong
trường hợp này ta cũng có thể nhờ vào phương pháp gán biến trong máy Casio để giải
như sau:
Nhập vào máy biểu thức:
( ) ( )
3 4
4 4 3 3
1 1 1 2 1 1
. .
x y x y
x y x y
   
− + −
 ÷  ÷
+ +
   
bấm CALC
x? =
4
2
; y?=
4
3
= rồi gán vào biến A (SHIFT STO A); nhập
( )
5
2 2

2 1 1
.
x y
x y
 
−
 ÷
+
 
bấm
CALC
x? =
4
2
; y?=
4
3
= rồi gán vào biến B (SHIFT STO B); khi đó nhập A+B và máy
cho kết quả như trên.
Nhận xét: Khi biểu thức cần tính phức tạp hơn, việc lập trình và gán biến là
phương pháp tốt nhất để tìm ra kết quả.
Bài 2:( Quảng Nam 06- 07)
Tính chính xác giá trị của các biểu thức:
4 4 4 4
4 4 4 4
1 1 1 1
1 3 5 29
4 4 4 4
1 1 1 1
2 4 6 30

4 4 4 4
P
     
+ + + +
 ÷ ÷ ÷  ÷
     
=
     
+ + + +
 ÷ ÷ ÷  ÷
     
Giải : Khi tính trực tiếp biểu thức này thì có thể dùng kiến thức toán học để tính,
nhưng rất khó khăn vì số quá lớn, do đó ta cần lập trình trên máy tính thì việc đưa ra
kết quả thật nhẹ nhàng. Chọn A làm biến đếm, B làm biến ghi kết quả của biểu thức P.
Việc thực hiện lập trình được thể hiện như sau :

3
0A ; 1B ; sau đó nhập
( )
( )
4
4
1
2 1
4
1: .
1
2
4
A

A A B B
A
 
− +
 
= + =
 
 
+
 
CALC = = cho đến khi A=
15 thì được
1
1861
B =
( Giải thích : khi A tăng lên 1 thì
4
4
1
1
4
1.
1
2
4
B
 
+
 ÷
 

=
 
+
 ÷
 
, khi A tăng lên
2 thì
4 4
4 4
1 1
1 3
4 4
1 1
2 4
4 4
B
  
+ +
 ÷ ÷
  
=
  
+ +
 ÷ ÷
  
, tiếp tục như vậy cho đến khi A= 15 thì biểu thức B bây giờ
chính là giá trị P cần tìm).
Bài 3: Tính:
3
4

8
9
2 3 4 8 9M = + + + + +
Giải : Chọn biến A làm biến đếm, B làm biến tính giá trị M; ta cần tính biểu thức
này từ trong ra ngoài, vì lúc đó dễ tính được giá trị M hơn. Như vậy, kĩ thuật gán
biến như sau:
10 A; 0  B; A=A-1: B=
A
A B+
ấn CALC = = cho đến khi A= 2, được
M=1.911639216
( Giải thích: khi A= 9 thì B=
9 9
0 9 9+ =
; khi A= 8 thì B=
8
9
8 9+
; tiếp tục cho đến
khi A= 2 thì thu được kết quả M cần tìm).
Bài 4:( Quảng Nam 06- 07)
Đặt S = 3 + 33 + 333 + + 33 33 Hãy tính gần đúng
2006
S
19 chữ số 3
Giải: Nếu dùng công thức cấp số nhân ta sẽ được:
( )
19
2006
2006

3 10
10 1 19 1.021542756
9 9
S
 
= − −
 
 
;
Nếu lập trình thì tương tự như trên, chọn biến đếm D, biến tính từng hạng tử
là A, biến ghi kết quả S là B, gán và nhập công thức như sau: 0D ; 0A ; 0B;
nhập D=D+1 : A=10A+3 : B=A+B , bấm = = cho đến khi D= 19 thì dừng. Lấy
2006
B

ta thu được kết quả như trên.
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức:
C=
20
1

4
1
3
1
2
1
1
4
1

3
1
2
1
1.
3
1
2
1
1.
2
1
1 +++++++++++
Giải: Với cách phân tích như trên, việc chọn biến và gán, lập công thức là phương
pháp tối ưu cho bài tập này. Kĩ thuật gán và lập trình được thực hiện như sau:
Gán: 0A; 0B; 1C ( trong đó A là biến đếm, B là biến tính giá trị từng biểu
thức trong các căn bậc 2, C là giá trị biểu thức cần tính).
Khai báo: A = A + 1:
1
B B
A
= +
: C = C.
B
CALC = = thì kết quả:C= 17667,97575

4
Bài 6: ( Quảng Nam 08- 09)
Cho biểu thức :
2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 1 3 4 1 2008 2009
P = + + + + + + + + +
Tính gần đúng gia trị biểu thức với chính xác 10 chữ số thập phân.
Giải: nếu dùng
( ) ( )
2007
2 2
1
1 1
1
1 2n n
+ +
+ +
∑
thì kết quả là 2007.499502, như vậy chưa ra
kết quả chính xác, phải phân tích P như sau:
2 2 2
1 1 1 7 2.3 1 1 1 1
1 1
1 2 3 6 2.3 2.3 2 3
+
+ + = = = + = + −
2 2 2
1 1 1 13 3.4 1 1 1 1
1 1
1 3 4 12 3.4 3.4 3 4
+
+ + = = = + = + −

2 2 2
1 1 1 1 1
1
1 2008 2009 2008 2009
+ + = = + −
Từ đó suy ra
1 1
2007 2007 0,4995022399
2 2009
P
 
= + − = +
 ÷
 
.Được P= 2007,4995022399
Chủ đề 2: Tìm số chữ số thập phân sau dấu phẩy.
Khi tìm chữ số thập phấn sau dấu phẩy của phân số, ta có nhiều cách để tìm ra
được chu kỳ, tuy nhiên cách nhanh và dể thực hiện nhất là vận dụng chức năng biểu
diễn theo cơ số 10 của máy (hệ DEC) để giải.
Bài 1: ( Quảng Nam 08- 09)
Tìm chữ số thập phân thứ 16
2009
trong phép chia 17 cho 23
Giải : Sử dụng chức năng hệ đếm có sẵn trong máy tính Casio, ta có thể giải bài toán
này một cách nhẹ nhàng.
Nhấn MODE 4 ( chữ DEC màu xanh )
Ở chế độ DEC: 17 A ; khai báo
10000000 23: 10000000 23A A Ans
× ÷ × − ×

 A
( SHIFT STO A) chỉ việc nhấn = = = là ra chu kì của phép chia, kết quả ta được:
17
0,(7391304347826086956521)
23
=
chu kỳ 22
Mặt khác :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 4 7
8 12
16 4 mod 22 ; 16 20 mod 22 ; 16 14 mod 22
16 4 mod22 ; 16 80 14 mod 22
≡ ≡ ≡
≡ ≡ ≡
Suy ra
( )
16
16 16 mod 22≡
do đó
( )
( )
( )
7
256 1792 256 7
16 16 mod 22 ; 16 16 16 14 mod 22≡ = ≡ ≡
Vì
( )
( )

13
208 16 13
16 16 16 mod 22= ≡
Nên
( )
2000 1795 208 13 12
16 16 .16 14.16 14.16.16 14.16.14 12 mod 22≡ ≡ = ≡ ≡
Suy ra
( )
2009 2000 9 8
16 16 .16 12.16 .16 12.4.16 20 mod 22≡ ≡ ≡ ≡
.
Từ chu kỳ 22 của
17
23
ta suy ra số phải tìm là 5.

5
Bi 2: Tỡm chu kỡ ca phộp chia 1 cho 49.
Gii: Tng t bi 1, chuyn v ch h m c s 10 gii.
Nhn MODE 4 ( ch DEC mu xanh )
ch DEC: 1 A ; khai bỏo
10000000 49 : 10000000 49A A Ans
ì ữ ì ì
A (SHIFT
STO A) ch vic nhn = = = l ra chu kỡ ca phộp chia, kt qu ta c:
ỏp s: 1/49=0 ,(020408163265306122448979591836734693877551)
(Lu ý: c mi phộp chia luụn cho ta 7 ch s thp phõn, nu ch hin 6 hay 5 ch
s, ta hiu ngm cú 1 hay 2 ch s 0 trc).
Bi 3: Tỡm ch s l thp phõn th 12

2007
k t du phy ca s thp phõn vụ hn
tun hon ca s hu t:
1122007
23
Gii: Ta cú:
1122007
23
= 48782,913043478260869565217391304

1122007
23
l s hu t c a v s thp phõn vụ hn tun hon cú chu kỡ 22
M: 12
1
12 (mod 22) ;12
2
12(mod 22) 12
2007
12 (mod 22)
Vy ch s l thp phõn th 12
2007
l 9
Ch 3: Tỡm nghim ca phng trỡnh lng giỏc trong khong.
Trong phn ny hc sinh phi nm k v phng trỡnh lng giỏc, cỏch tỡm
k Â
cỏc nghim tỡm c tho món thuc khong ch ra.
Bi 1: Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phơng trình
5sin 3 6cos3 7x x+ =

trong khoảng
( )
1900;2005
Gii: Đặt
3
tan
2
x
t =
, phơng trình tơng đơng:
2
13 10 1 0t t + =
Giải phơng trình ta đợc:
1 2
0,6510847396; 0,1181460296t t
Suy ra nghiệm tổng quát của phơng trình:
( )
0 0
0 0
22 2'42" 120
4 29'31" 120
x k
k
x k

+


+

Z
tỡm nghim trong khoảng
( )
1900;2005
ta thc hin quy trỡnh sau:
22.04502486 A ; 4.492022533 B ; -1 D ;
Khai bỏo D=D+1 : A+120D : B+120D sau đó ấn liên tiếp =
ứng với k = 16, ta đợc 2 nghiệm của phơng trình trong khoảng (1900 ; 2005) là:
0 0
1 2
1942 2'42"; 1924 29'31" ;x x
Bi 2: Tớnh gn ỳng nghim (theo n v , phỳt, giõy) ca phng trỡnh

( )
2
3(sin cos ) 2 3 s 2 3 3x x co x+ = +
Gii: Phng trỡnh ó cho tng ng:
( )
2
3(sin cos ) 2 3 s 2 3 3 0x x co x+ + + =

t
( )
0
sin cos 2 cos 45 , 2; 2t x x x t

= + =

;
2

sin 2 1x t=
( )
( )
(
)
( )
2
2 2
( ) 3(sin cos ) 2 3 s 2 3 3 0 3 2 3 1 1 3 3 0f x x x co x t t= + + + = + + =

6
4 2
( ) 2 3 4 3 3 3 3, 2; 2g t t t t t

= + + +


Bõy gi ta tỡm cỏc khong cha nghim ca phng trỡnh g(t)=0
Trong chc nng TABLE (MODE 7):
Khai bỏo
( )
4 2
2 3 4 3 3 3 3f X X X X= + + +
cho bin X chy t
2
n
2
vi
bc nhy 0,3 ta tỡm c cỏc khong cha nghim ca phng trỡnh ny. Sau ú
Dựng chc nng SOLVE vi giỏ tr u

2X =
ta tỡm c mt nghim
1
1.38268577t
Dựng chc nng SOLVE vi giỏ tr u
0.5X
=
ta tỡm c mt nghim
2
0.708709924t
Gii phng trỡnh
( )
0 0 -1 0
cos - 45 45 cos 360 ,
2 2
t t
x x k k

= = +
ữ

Z
, ta c cỏc
nghim:
0 0 0 0
1 2
212 52'45" 360 ; 122 52'45" 360x k x k + +
;
0 0 0 0
3 4

165 4'28" 360 ; 75 4'28" 360x k x k + +
Ch 4: Dóy s.
Loi 1: Dóy s cho di dng khai trin.
Bi 1: Cho M
n
=
2 2 2 2
1 2 3

2! 3 3! 4 4! 5 ( 1)! 2
n
n n
+ + + +
+ + + + + +
a) Lõp quy trinh bõm phim tinh M
n
trờn may tinh cõm tay
b) Tớnh M
50
.
Gii: a) õy yờu cu lp quy trỡnh bm phớm nờn ta lm nh sau:
Chn A lm bin m, B lm bin tớnh tng hng t ca M
n
, C lm bin ghi li cỏc
kt qu ca biu thc M
n
.
0A 1B 0C ; A=A+1 : B=B.(A+1) : C= C +
2
( 2)

A
B A+ +
Hoc 0A 0B ; A=A+1 : B= B +
2
( 1)! ( 2)
A
A A+ + +
sau ú bm CALC = = tỡm
cỏc giỏ tr ca M
n
.
Nhng khi tớnh giỏ tr c th, ta cú th dựng cha nng

gii nh sau:
b) Khai bỏo
( )
2
50
1
1 ! 2
X
X X+ + +

= ta thu c kt qu M
50
= 1.08026486, tt
nhiờn l dựng cỏch lp trỡnh trờn cng ra nhng vic lp trỡnh hi lõu.
Bi 2: Cho dãy số : U
n
= 1 -

2
1
2
+
2
2
3
-
2
3
4
+ + (-1)
n
2
1n
n

a) Tính chính xác U
4
, U
5
, U
6
b) Tính giá trị gần đúng của U
20
, U
25
, U
30
c) Lập quy trình bấm phím để tính U

n
Gii: i vi cõu a) v b) ch cn dựng cha nng

gii l c.

7
c)Cách lập trình cũng dựa trên cơ sở lập luận về cách gán như trên, 0 A ;
1B ; A=A+1 : B=B+
( )
1
A
−
2
( 1)
A
A +
bấm CALC = = để tìm được các giá trị u
n

tương ứng. Có thể dùng chức nămg
∑
để giải được bài này, tuỳ theo giá trị yêu cầu
tính u
n
nào mà chúng ta nhập biểu thức cho đúng
( )
( )
2
1
1

1
n
X
X
−
+
∑
Bài 3: ( Quảng Nam 05- 06)
Đặt S
n
= 13 + 25 + 43 + + [ 3( n
2
+ n ) +7 ] ( Với n = 1; 2; 3; 4; )
a/ Viết qui trình ấn phím để tính S
n
.
b/ Tính S
15
; S
16
; S
19
; S
20 .
Giải: Thực hiện phương pháp lập trình, Gán 13→ A ; Gán 1→ D; nhập D = D + 1:
A = A + [3( D
2
+ D ) +7] bấm CALC = = ta được:
S
15

= 418 ;S
16
= 5008; S
19
= 8113; S
20
= 9380
( Giải thích: khi biến đếm D tăng đếm giá trị nào thì A là kết quả S
n
tương ứng).
Có thể nhập : S
n
=
( )
2
1
3 7
n
X X
 
+ +
 
∑
ứng với các giá trị n để tính các giá trị S
15
; S
16
;
S
19

; S
20
Bài 4 : ( Quảng Nam 03- 04)
Tìm gần đúng giới hạn của dãy số
cos(2 cos(2 cos(2 cos2)) )
n
u = − − −×××−
(n lần chữ cos)
Giải : Qua giới hạn, có lim u
n
là nghiệm của phương trình X= cos(2-X) . Bắng cách
nhập phương trình này vào máy, bấm SHIFT SOLVE = ta được kết quả là
limU
n
=-0,988268925.
Chú ý : máy phải ở chế độ RAD, nếu ở chế độ ĐỘ thì kết quả không chính xác.
Bài 5: (Quảng Nam 10- 11):
Tính tổng
2 2 300 300
1 1 1
tan tan tan
2 2 2 2 2 2
x x x
S = + + +
với x=0.1
Giải: Nếu dùng chức năng
∑
thì không thể giải được bài này vì giá trị
300
1

2
rất nhỏ,
do đó phải lập trình để tìm giá trị S
n
không đổi khi n= n
0
nào đó. Gán 0M; 0A;
khai báo M=M+1: A=A+
1 0.1
tan
2 2
M M
CALC = = cho đến khi M= 16;17; thì giá trị
của S không đổi, thu được kết quả S= 0.03335557674.
Loại 2: Dãy số cho dưới dạng số hạng tổng quát.
Thường loại này dãy (U
n
) đã được biểu diễn theo n do đó việc tính các giá trị
đơn giản.
Bài 1: Cho dãy số ( với n nguyên dương )
U
n
=
( ) ( )
32
310310
nn
−−+

8

a/ Tính các giá trị U
1
; U
2
; U
3
;

U
4
.
b/ Xác lập công thức truy hồi tính U
n+2
theo U
n+1
và

U
n
.
c/ Lập qui trình ấn phím liên tục tính U
n+2
theo U
n+1
và

U
n ,
rồi tính U
5

đến U
12
.
Giải: a)Chỉ cần nhập biểu thức
( ) ( )
10 3 10 3
2 3
A A
+ − −
bấm CALC nhập các giá
trị A tương ứng để tìm U
1
; U
2
; U
3
;

U
4
.
b) Giả sử U
n+2
= aU
n+1
+ bU
n
Thay n=1 ta được: U
3
= aU

2
+bU
1
; Thay n=2 ta được: U
4
= aU
3
+bU
2

Giải hệ ta được: a = 20; b = -97. Vậy: U
n+2
= 20U
n+1
- 97U
n.
c/ Quy trình liên tục : Khai báo U
1
= 1; U
2
= 20
2M; 1A; 20B; M=M+1: C=20B-97A: M=M+1: A=20C-97B:M=M+1:
B=20A-97C
Bấm CALC = = để tìm các giá trị U
n
tương ứng.
Hoặc theo câu a) ta cũng có thể tìm được kết quả.
U
5
= 53009 U

6
= 660540

U
7
= 8068927 U
8
= 97306160
U
9
= 1163437281 U
10
=13830048100

U
11
=163747545743 U
12
= 1933436249160
Bài 2: Cho dãy số
{ }
n
u
= (5+2
6
)
n
+ (5 - 2
6
)

n
Với n = 1, 2, 3 …
a) Tính 5 số hạng đầu của dãy.
b) Chứng minh rằng; U
n+2
= 10U
n+1
- U
n.
Giải: a) Chỉ cần nhập biểu thức (5+2
6
)
n
+ (5 - 2
6
)
n
bấm CALC nhập các giá
trị A tương ứng để tìm U
1
; U
2
; U
3
;

U
4
;U
5

U
1
U
2
U
3
U
4
U
5
10 98 970 9602 95050
b) Giả sử U
n+2
= aU
n+1
+ bU
n
Thay n=1 ta được: U
3
= aU
2
+bU
1
hay 970 = a.98+b10
Thay n=2 ta được: U
4
= aU
3
+bU
2

hay 9602 = a.970+b98
Giải hệ ta được: a = 10; b = -1. Vậy: U
n+2
= 10U
n+1
- U
n.
Có thể dùng cách khác ta cũng suy ra được: §Æt a =
( )
625+
; b =
( )
625−
=> a
2
- 10a + 1 = 0 ; b
2
- 10b + 1 = 0 => a
n
(a
2
- 10a + 1) = 0 ; b
n
(b
2
- 10b + 1) = 0
=> U
n+2
+ U
n

= 10U
n+1

Bài 3: Cho dãy hai số
n
u
và
n
v
có số hạng tổng quát là:
( ) ( )
5 2 3 5 2 3
4 3
n n
n
u
+ − −
=
và
( ) ( )
7 2 5 7 2 5
4 5
n n
n
v
+ − −
=
(
n
∈

N
và
1n ≥
)
Xét dãy số
2 3
n n n
z u v= +
(
n
∈
N
và
1n
≥
).
a) Tính các giá trị chính xác của
1 2 3 4 1 2 3 4
, , , ; , , ,u u u u v v v v
.
b) Lập các công thức truy hồi tính
2n
u
+
theo
1n
u
+
và
n

u
; tính
2n
v
+
theo
1n
v
+
và
n
v
.
c) Từ 2 công thức truy hồi trên, viết quy trình bấm phím liên tục để tính
2 2
,
n n
u v
+ +
và
2n
z
+
theo
1 1
, , ,
n n n n
u u v v
+ +
(

1, 2, 3, n =
). Ghi lại giá trị chính xác
của:
3 5 8 9 10
, , , ,z z z z z


9
Gii: a)
1 2 3 4
1, 10, 87; 740.u u u u= = = =

1 2 3 4
1, 14, 167, 1932v v v v= = = =
.
b) Cụng thc truy hi ca u
n+2
cú dng:
2 1n n n
u au bu
+ +
= +
. Ta cú h phng trỡnh:
3 2 1
4 3 2
10 87
10; 13
87 10 740
u au bu
a b

a b
u au bu
a b
= +
+ =


= =

= +
+ =


. Do ú:
2 1
10 13
n n n
u u u
+ +
=
Tng t:
2 1
14 29
n n n
v v v
+ +
=
c) Quy trỡnh bm phớm: 1 A; 10 B ; 1 C ; 14 D ; 2 X
X= X + 1: E= 10B 13A: A= B: B= E: F= 14D 29C: C= D: D= F: Y = 2E + 3F =
(Gii thớch:

2 1 1 2 2 3 2 1 1 2 2 3
3: 10 13 : : : 14 29 : : : 2 3X E U U U U U U F V V V V V V Y E F= = = = = = = = +
)
(giỏ tr ca E ng vi u
n+2
, ca F ng vi v
n+2
, ca Y ng vi z
n+2
). Ghi li cỏc giỏ tr
c:
3 5 8 9 10
675, 79153, =108234392, z 1218810909, z 13788770710z z z= = = =
Loi 3: Dóy s cho di dng cụng thc truy hi.
Bi 1: Cho dãy số đợc xác định bởi:
( )
3
3
1
3
1
3
, *
n n
u
u u n N
+

=

=


Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để u
n
là số nguyên.
Gii: õy nờn chỳ ý v cỏch dựng phớm Ans ca mỏy: khi nhp giỏ tr A vo mỏy
v bm = thỡ phớm Ans bõy gi ó cú giỏ tr l A, nh chc nng ny m ta cú th
gii c bi trờn vi cỏch gỏn nh sau:
3
3

=
; nhp
3
3
Ans

=

=
c u
4
= 3
Vậy n = 4 là số tự nhiên nhỏ nhất để u
4
= 3 là số nguyên.
Chỳ ý: mi ln bm phớm = thỡ m U
n

tng mt n v.
Bi 2: Qung Nam (10-11):
Cho dóy s xỏc nh bi cụng thc :
1
2u =
;
1
1 3.
3
n
n
n
u
u
u
+
+
=

. Tớnh s hng th
u
2011
. Gii: Nh bi trờn, tip tc s dng phớm nh Ans gii nh sau:
2
=,
nhp
1 3
3
Ans
Ans

+

bm
=

3 3 4 2+
=
3 3 4 2
5

=
2
2

=
3 3 4 2
5

=
3 3 4 2 +

=
2
. Suy ra chu k ca dóy l 5. Ta cú 2011= 402.5+1, nờn u
2011
=u
5.402+1
=u
1
=

2
.
ỏp s:
2011
2 1.414213562u = =
Bi 3: Cho dóy s: a
1
= 1; a
2
= 2; a
n+2
=
1
3
a
n+1
+
1
2
a
n
, vi n > 0. Tớnh a
10
v tng S
10

ca 10 s hng u tiờn.
Gii: Gỏn 2D,1A,2B,3C,
Nhp D=D+1:A=1/3.B+1/2.A:C=C+A:D=D+1:B=1/3.A+1/2.B:C=C+B
(

3 2 1 3 4 3 2 3 4
3: 1/ 3. 1/ 2. : 1 2 : 4: 1/ 3. 1/ 2. : 3D U U U C U D U U U C U U= = + = + + = = + = + +
)
Bm ti D=10 ta c kt qu: a
10


0,6413 S
10


10,6752

10
Bài 4: Cho dãy số sắp thứ tự
1 2, 3 1
, , , , ,
n n
u u u u u
+
biết:
1 2 3 1 2 3
1, 2, 3; 2 3 ( 4)
n n n n
u u u u u u u n

= = = = + +
. Tính
4 5 6 7
, , , .u u u u

a) Viết qui trình bấm phím liên tục để tính giá trị của
n
u
với
4n
.
b) Sử dụng qui trình trên, tính giá trị của
20 22 25 28
, , , .u u u u
Gii : Gỏn 3M; 1A; 2B; 3C; Khai bỏo: M=M+1: D= C+2B+3A:
M=M+1: A=D+2C+3B: M=M+1: B=A+2D+3C:M=M+1: C=B+2A+3D CALC
(Gii thớch:
4 3 2 1 5 4 3 2 6 5 4 3
4 : 2 3 : 5: 2 3 : 6: 2 3M u u u u M u u u u M u u u u= = + + = = + + = = + +
)
Bm = = liờn tc tỡm cỏc giỏ tr tng ng.
20 22 25 28
9426875; 53147701;u 711474236; 9524317645u u u= = = =
Bài 5 : Qung Nam (06- 07):
Cho dãy số
n
u
xác định bởi:
+
+
+
+

= = =

+

1
1 2 2
1
2 3
1; 2;
3 2
n n
n
n n
u u
u u u
u u
a) Tính giá trị của
10 15 21
, ,u u u
b) Gọi
n
S
là tổng của
n
số hạng đầu tiên của dãy số
( )
n
u
. Tính
10 15 20
, ,S S S
.

Gii : S
10
= 40149 ; S
15
= 13088980 ; S
20
= 4942439711
Qui trình bấm phím:
1 A, 2 B, 3 M, 2 D, D=D+1: C=3A + 2B: M = M + C: A=B: B=C: D=
D+1: C =2 A + 3B : M=M + C: A = B : B=C; sau đó bấm = liên tiếp, D là chỉ số, C
là u
D
, M là S
D
Bi 6: Cho hai dóy s vi cỏc s hng tng quỏt c cho bi cụng thc :
1 1
1
1
1; 2
22 15
17 12
n n n
n n n
u v
u v u
v v u
+
+
= =

=


=

vi n = 1, 2, 3, , k,
a) Tớnh
5 10 15 18 19 5 10 15 18 19
, , , , ; , , , ,u u u u u v v v v v
b) Vit quy trỡnh n phớm liờn tc tớnh
1n
u
+
v
1n
v
+
theo
n
u
v
n
v
.
Gii: Quy trỡnh n phớm liờn tc tớnh u
n+1

v
1n

v
+
theo
n
u
v
n
v
:
a) u
5
= -767 va v
5
= -526; u
10
= -192547 va v
10
= -135434
u
15
= -47517071 va v
15
= -34219414; u
18
= 1055662493 va v
18
= 673575382
u
19
= -1016278991 va v

19
= -1217168422
b) Qui trinh bõm phim:
1 A, 2 B, 1 D, D = D +1: C =A: A = 22B - 15A:B= 17B - 12C = = =
Bi 7: Cho dóy s
1 1 1
1
1
1 1 1
1; 2; 3
2 3
2 3
3 2
n n n n
n n n n
n n n n
a b c
a a b c
b a b c
c a b c
+
+
+ + +
= = =


= + +


= + +

= + +

n>1
Vit quy trỡnh n phớm liờn tc tớnh
1 n+1 n+1
; b ; c
n
a
+
.

11
, nếu n lẻ
, nếu n chẵn
Giải: Gán 0D; 1A; 2B; 3C; nhập D=D+1:X=A+2B+3C: Y=2A+3B+C:
M=3X+Y+2C: A=X: B=Y: C= M CALC = = để tìm các giá trị tương ứng.
n 1 2 3 4 5
a
n+1
14 213 3084 44417 639314
b
n+1
11 120 1663 23826 342727
c
n+1
59 877 12669 182415 2625499
Bài 8: Quảng Nam (09 -10)
Cho dãy Padovan: P

1
= 1; P
2
= 1; P
3
= 2; P
n+2
= P
n
+P
n-1
(với n=2,3 )
a) Lập quy trình ấn phím để tính số hạng P
n
(với n=4,5,6 )
b) Tính chính xác P
80
; P
100
.
c) Tính gần đúng
1
lim
n
n
P
P
+
.
Giải:

a) Gán 3M; 1A; 1B; 2C; khai báo:
M=M+1: D=B+A: M=M+1: A=C+B:M=M+1: B=D+C: M=M+1: C=A+D CALC
= =
(Giải thích:
4 2 1 5 3 2 6 4 3 7 5 4
4 : : 5: : 6: : 7:M P P P M P P P M P P P M P P P= = + = = + = = + = = +
)
b) Liên tục bấm = = ta thu được: P
80
= 4250949112; P
100
= 1177482265857
c)
1
lim 1.324717957
n
n
P
P
+
;
Loại 4: Các bài toán tính tổng S của dãy số U
n
.
Bài 1: Cho dãy số a
1
= 2008; a
2
= 2009; a
n + 1

= 2a
n –1
–a
n
+ 3 với n = 3; 4; 5; …
Đặt S = a
1
+ a
2
+ … + a
n
. Hãy viết một quy trình bấm phím để tính S
n
và tính S
10
; S
20
.
Giải: Gán 2008  A, 2009  B, 4017  D, 2  E rồi ghi vào màn hình quy trình
sau: E = E + 1 : C = 2A – B + 3 : D = D + C : E = E + 1 : A = 2B – C + 3 : D = D +
A : E = E + 1 : B = 2C – A + 3 : D = D + B = = … Đọc kết quả D ngay sau khi xuất
hiện E = 10; E = 20. Đáp số: S
10
= 20125; S
20
= 40350.
Bài 2: Cho dãy số u
1
=-3 ; u
2

=5
,
u
n
= -2u
n-1
+u
n-2
, với n ≥3.
a) Tính u
13
; u
14
; u
15
; u
16
b) Tính S
12
= u
1
u
2
+u
2
u
3
+ …+u
11
u

12
Giải: u
13
= -86.523 u
14
= 208885 u
15
= 504293 u
16
=1.217.471
Bấm theo quy trình
2  A; -3  B; 5  C; B.C  D; nhập A=A+1: B=-2C+B: D=D+B.C: A=A+1:
C=-2B+C: D=D+B.C. S
12
=-642216963
Bài 3: Cho các số a
1
, a
2
, , a
2006
. Biết rằng:
( )
2
3
2
3 3 1
k
k k
a

k k
+ +
=
+
, với mọi k = 1,2, 3, ,2006.
Tính tổng: S = a
1
+ a
2
+ a
3
+ + a
2006
.

12
Gii: 0A; 0C; khai bỏo A = A+1:
( )
2
3
2
3 3 1A A
B
A A
+ +
=
+
: C = C + B ; Bm CALC = =
(Gii thớch: khi A (bin m) = n thỡ nhim v ca bin C l tng ca n s hng u
tiờn trong tng S).

Ghi li kt qu ta s thy c qui lut ca tng nh sau:
A S = C (tng A s hng u tiờn)
1 7/8
2 26/27
3 63/64
4 124/125


qui lut ca tng S l:
( )
( )
3
3
1 1
1
n
A
s
A
+
=
+
(S
n
: l tng ca n s hng u tiờn trong tng S).
Tng cn tớnh l:
( )
( )
3
2006

3
2006 1 1
8084294342

8084294343
2006 1
s
+
= =
+
Ch 5: Phng trỡnh nghim nguyờn.
Trỡnh by s lt v phng trỡnh nghim nguyờn, phn ny hc sinh ch yu
tỡm cỏch biu din bin x theo y hoc biu din bin y theo x, sau ú gỏn vo mỏy v
chy dũ tỡm nghim nguyờn.
Bài 1: Tìm cặp số (x, y) nguyên dơng nghiệm đúng phơng trình:
5 2
3 19(72 ) 240677x x y =
.
Gii:
5
5 2
3 240677
3 19(72 ) 240677 (*) 72
19
x
x x y x y

= =
Xét
5

3 240677
72
19
x
y x

=
(điều kiện:
9x
>
)
Gỏn 9 X, X =X+1:
5
3 240677
72
19
X
X


CALC = = liên tiếp. Khi X = 32 thì đợc
kết quả của biu thức nguyên y = 5.Thay x = 32 vào phơng trình (*), giải pt bậc 2
theo y, ta đợc thêm nghiệm nguyên dơng y
2
=4603.
ỏp s:
( ) ( )
32; 5 ; 32; 4603x y x y= = = =
Cỏch 2: Sau khi rỳt y theo x, ta vo chc nng TABLE( MODE 7), nhp biu thc
( )

5
3 240677
72
19
X
f X X

=
= START ( bt u t 10); End (kt thỳc 40); step(bc
nhy 1) = sau ú dũ kt qu f(X) nguyờn, ta thu c X= 32; thay vo phng trỡnh
(*) tỡm y v suy ra kt qu.
Bi 2: Tỡm cp s ( x , y ) nguyờn dng vi x nh nht tha phng trỡnh :

595220)12(807156
22
3
2
++=++
xyxx

13
Gii: Theo cho :
595220)12(807156
22
3
2
++=++
xyxx

5952)12(80715620
2
3
22
++=
xxxy
Suy ra :
20
5952)12(807156
2
3
2
++
=
xxx
y
0 X nhp : X = X + 1 : Y =
3 2 2
156 807 (12 ) 52 59
20
X X X
+ +

Bm = = cho n khi Y nguyờn dng thỡ dng.
Kt qu Y = 29 ,ng vi X= 11. ỏp s : x = 11 ; y = 29
Bi 3: (Qung Nam 09- 10)
Tỡm x,y nguyờn dng tho món phng trỡnh:
2 2
2 2 6 8 6x y xy x y+ = + +
.

Gii:
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2 2 2
2
2
2
2
2 2 6 8 6
x 2 3 2 8 6 0 x- y+3 14 3 0 x- y+3 14 3
-0.21 y 14.2
14 3 0
x= 14 3 3

x- y+3 14 3
14 3 3
x y xy x y
x y y y y y y y
y y
y y y
y y
x y y y
+ = + +
+ + + = + = = + +

+ +



+ + + +



= + +





= + + + +




-1Y; nhp Y=Y+1:
2
14 3 3Y Y Y + + + +
:
2
14 3 3Y Y Y + + + +
CALC = = cho n
khi cỏc giỏ tr nguyờn. Kt qu: (8;1); (8;11); (12;3); (12;13); (20;11); (20;13)
Ch 6: S nguyờn t v s chớnh phng.
Phn ny giỏo viờn túm tc mt s kin thc v nh ngha v tớnh cht ca s
chớnh phng v s nguyờn t, hc sinh cú th vn dng tt trong gii bi tp loi ny.

Bi 1: Hãy kiểm tra số F =11237 có phải là số nguyên tố không? Nêu qui trình bấm
phím để biết số F là số nguyên tồ hay không?
Gii: F là số lẻ, nên ớc số của nó không thể là số chẵn. F là số nguyên tố nếu nó
không có ớc số nào nhỏ hơn
106.0047169F =
.
1 D, D =D+2: 11237 ữ D, bấm CALC = =.
(Hoc 11237 A xem A cú chia ht cho 2, cho 3 hay khụng?
ly A chia cho 3: A/3 = n tip:
2
A
A
Ans
+
Sau ú n = = = kim tra, khi s trờn
mn hỡnh h xung di
A
thỡ ngng)
Nếu từ 3 cho đến 105 phép chia không chẵn, thì kết luận F là số nguyên tố.
Kết quả: F không phải là số nguyên tố vỡ 11237=17x661
Bi 2: Tìm các ớc số nguyên tố của số:
5 5 5
1897 2981 3523M = + +
.
Gii:
(1897,2981) 271UCLN =
. Kiểm tra thấy 271 là số nguyên tố. 271 còn là ớc
của3523. Suy ra:
( )
5 5 5 5

271 7 11 13M = + +

14
Bấm máy để tính
5 5 5
7 11 13 549151A = + + =
.
gán 1 D, nhp D=D+2: 549151 ữ D CALC = = phép chia chẵn với D = 17. Suy
ra:
17 32303A = ì
Bằng thuật giải kiểm tra số nguyên tố nh trên, ta biết 32303 là số nguyên tố.
Vậy các ớc nguyên tố của M là: 17; 271; 32303
Bi 3: Vit qui trỡnh n phớm tỡm s t nhiờn n nh nht sao cho 2
8
+ 2
11
+ 2
n
l
s chớnh phng . Ghi kt qu s n tỡm c .
Gii: 0D: D=D+1:
8 11
2 2 2
D
+ +
CALC = = cho n khi xut hin kt qu l s
nguyờn.Kt qu n = 12
Cú th dựng chc nng TABLE gii nh sau: MODE 7 vo TABLE : khai bỏo
( )
8 11

2 2 2
X
f X = + +
= START ( bt u t 1); End (kt thỳc 30); step(bc nhy 1)
= sau ú dũ kt qu f(X) nguyờn, ta thu c X= 12; hay n = 12.
Bi 4: Qung Nam: ( 06- 07):
Tỡm tt c cỏc s dng :
2096 521abc
l s chớnh phng, trong ú a,b,c l cỏc ch s t
0 n 9.
Gii : Vỡ 45782 <
2096 521abc
< 45794 nờn ta cú quy trỡnh n phớm tỡm cỏc ch
s a, b, c nh sau: 45782 D, khai bỏo: D=D+1: D
2
CALC = = ta tỡm c kt qu
v tỡm ht cỏc D trong phm vi ó nờu. Kt qu: a=6; b= 3; c= 2
Bi 5: Tỡm 11 s t nhiờn liờn tip cú tng cỏc bỡnh phng ca chỳng l mt s
chớnh phng nh hn 10000.
Gii: Gi 11 s t nhiờn liờn tip l: n-5, n-4, n-3, n-2, n-1, n, n+1, n+2, n+3, n+4,
n+5. (n5).
Ta cú: S = (n-5)
2
+ (n-4)
2
+ (n-3)
2
+ (n-2)
2
+ (n-1)

2
+ n
2
+ (n+1)
2
+ (n+2)
2
+ (n+3)
2
+
(n+ 4)
2
+ (n+5)
2
= 11n
2
+ 110 = 11(n
2
+ 10).
S l s chớnh phng khi v ch khi n
2
+10 = q.11, vi q l s chớnh phng.Nhp:D
= D + 1 : A = (D
2
+ 10) ữ 11 , CALC D = 5 = =
Ta chn c D = 23.Vy n = 23. S
2
= 77
2
. Dóy s l:

Kt qu u
1
= 18, u
2
= 19, u
3
= 20, u
4
= 21, u
5
= 22, u
6
= 23, u
7
= 24, u
8
= 25,
u
9
= 26, u
10
= 27, u
11
= 28.
Ch 7: Tỡm s t nhiờn tho iu kin cho trc.
Phn ny ch yu hc sinh phi hiu c mt s th thut v mo vt v bn
cht ca s t nhiờn gii toỏn, giỏo viờn phõn tớch rừ cho hc sinh hiu v s t
nhiờn trong h c s 10.
Bi 1: Tỡm ch s t nhiờn b sao cho 469283866b3658 chia ht cho 2007
Gii: Ta cú 469283866 : 2007 d 1105

Bm 1105 A; -1 B
B = B + 1 :
( 100000A + 10000B + 3658)
2007
Bm CALC = = cho n khi kt qu
l mt s nguyờn thỡ c B = 7 vy b =7

15
Bài 2: Hãy tìm số tự nhiên n, sao cho giá trị của (1+1)(2+2)(3+3) (n+n) sai khác
số 43294578923 không quá một đơn vị.
Giải: 0X; 1A; nhập X=X+1:A =A(X+X):43294578923-A
CALC = = liên tục cho đến khi -1≤43294578923-A≤1 thì dừng, thu được n=12.
Bài 3:( Quảng Nam 09- 10)
Một tập hợp các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 được viết lên bảng. Nếu người ta
xóa đi một số thì trung bình cộng của các số còn lại bằng
602
17
. Tìm số đã bị xóa.
Giải: Giả sử số đã cho gồm n số . Tổng của n số trước khi số là
( )
1
2
n n +
Giả sử số đã xóa là x.Sau khi xóa dãy số đã xóa gồm n - 1 số, trung bình của dãy sau
khi xóa là
( )
1
602
2
1 17

n n
x
n
+
−
=
−

( )
2
17 1187 1204 34 *n n x⇒ − + =
2
34 17 1187 1204 34n n n⇒ ≤ − + ≤
2
2
17 1221 1204 0
17 1187 1170 0
n n
n n

− + ≤

⇒

− + ≥


1 70,8
1
69,7

n
n
n
≤ ≤


⇒
≤




≥



⇒
n =69 hoặc n = 70
Thử lại: Từ (*), ta có:
2
17 1187 1204
34
n n
x
− +
=
Quy trình bấm phím như sau:
Nhập
2
17 1187 1204

34
A A− +
CALC nhập 69 cho A, bấm "=" ta có giá trị 7
Bấm =, nhập giá trị 70 cho A, bấm = ta có giá trị 41,58823529
Vậy số bị xóa là số 7.
Bài 4: Tìm số nhỏ nhất có 10 chữ số biết rằng số đó khi chia cho 17 dư 2 và khi chia
cho 29 thì dư 5.
Giải : Số thỏa mãn đề bài có dạng:A =
1000000abc
A = 17k + 2 = 29m + 5 (*)
Vì 1000000000 ≤ 29m+5≤ 1000000999 nên 34482759≤ m≤ 34482793 .
Biến đổi (*) thành: k = (29m+3)/17
Quy trình bấm phím như sau:
34482757  A khai báo
29 3
1:
17
A
A A
+
= +
CALC = = cho đến khi kết quả phép chia
là số nguyên ( khi m = 34482770)
Vậy số nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 34482770×29+5 = 1000000335.
Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất n biết
1000 2005n
≤ ≤
và
57121 35n+
cũng là số tự

nhiên
Giải: Tìm số tự nhiên n ( 20349 < n < 47238 ) để 4789655 - 27n là lập phương
của một số tự nhiên .
Đặt A=
3
274789655 n−
với 20349 < n < 47238 ta có
351429 < 4789655 - 27n < 4240232 hay 351429 < A
3
< 4240232

16
tức là 152,034921 < A < 161,8563987. Do A là số tự nhiên nên A chỉ có thể bằng một
trong các số sau : 153; 154; 155; ; 160; 161.
Vì A=
3
274789655 n−
nên n =
27
A4789655
3
−
. Khai báo cơng thức tính n trên máy:
153 → A ; A=A+1:
27
A4789655
3
−
cho đến khi nhận được các giá trị ngun tương ứng
Đáp số: n = 31039 ( Với A= 158 )

Chủ đề 8: Hàm số.
Đối với chủ đề hàm số, học sinh cần hiểu sơ về hàm số hợp, phương trình hàm.
Bài 1 : Cho các hàm số f
0
(x)= 2x
2
+1 và
2
2 1
( )
2
x
f x
x
+
=
+
Tính : S=f
0
(1)+f
0
(2)+… +f
0
(10)
Đặt u
1
= f
0
(1); u
2

= f
2
(1); u
3
= f
0
(f
2
(1)), …., u
n
= f
1+(-1)
n
(u
n-1
), với n ≥3.
Viết quy trình bấm phím để tính M= u
1
+u
2
+… +u
20.
Giải: 2A; 4B; 1D ; nhập C=2D
2
+1; A=A+1; B=B+C;
2 1
2
C
D
C

+
=
+
; A=A+1;
B=B+D CALC = = Kết quả : S= 87,91790163. M =780
Bài 2: Cho hàm số f(n) xác đònh trên tập N
*
biết f(1) = 1; f(2) = 1 và

[ ]
)2(sin
5
2
)1(
5
2
)(
2
−+−= nfnfnf
π
π
với mọi n
≥
3. Tính f(3) ; f(4). Tính f(2004)
Gi ải : Gán 1A ; 1B; 2X ; nhập X = X + 1:C =
AB sin
5
2
5
2

2
π
π
+
:A=B:B=C
u
n
2
=
2
2
1
sin
5
2
5
2
−−
+
nn
uu
π
π
;f(30) = f(31) = f(32) = …
Đáp số: f(3)= 1.18474758 f(4)= 1.236138944; f(2004) =1.570796327
Bài 3: Cho các hàm số
3
3
( )
6 3

x
f x
x
=
+
.
Tính tổng
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 100S f f f f= + + +×××+
Giải :
3
3
( )
6 3
x
f x
x
=
+
gán 0 A ; 0 B ; nhập A=A+1 :
( )
3
3
6 3
A
B
A
=
+
CALC

= = cho đến khi A nhận giá trị 100 thì dừng, đọc kết quả ở biến B:
2931.7895S
≈

17
II. Một số vấn đề lưu ý về chọn đối tượng hoc sinh để bồi dưỡng:
Trước khi bồi dưỡng học sinh thông qua các chủ đề trên, ta cần:
1. Chọn đối tượng học sinh:
Việc quan trọng đầu tiên là chọn lựa đối tượng học sinh có năng khiếu thực
hành trên máy tính, có kiến thức toán học vững chắc, nên chọn lựa những học sinh
mà khi học THCS có tham gia bồi dưỡng thi thí nghiệm thực hành và giải toán bằng
máy tính Casio, vì những học sinh này cơ bản đã biến về một số kĩ thuật và mẹo vặt
để giải toán bằng máy tính. Đối với những học sinh này, việc bồi dưỡng sẽ trở nên
đơn giản hơn. Nên bồi dưỡng học sinh đã chọn ngay từ đầu năm học, có thể cuối
tháng 09 là bồi dưỡng, mặc dù cuối tháng 03 mới thi ( theo lịch của Sở Giáo Dục).
Nhằm giúp các em có cái nhìn toàn diện về kĩ năng thực hành và giải toán bằng máy
tính, tôi đã thực hiện giảng dạy theo các chủ đề như: Tính các số lớn tràn màn hình
máy tính, tìm ước chung lớn nhất - bội chung nhỏ nhất, tìm phần dư, đồng dư thức
và áp dụng, đa thức và ứng dụng, phương trình lượng giác, dãy số và giới hạn dãy
số, phương trình nghiệm nguyên, liên phân số, số nguyên tố và số chính phương,
hình học không gian, lãi suất, hàm số, Trong đó nổi bật lên là kĩ thuật gán biến và
lập trình để giải các bài toán phức tạp trong các chủ đề trên, thường xuyên xuất hiện
trong các đề thi gần đây ở Tỉnh Quảng Nam.
2. Xác định kiến thức cơ bản của từng bài, từng chương:
Nhằm để thầy và trò tập trung thời gian và trí tuệ vào đó, khai thác tốt nội dung
của bài học. Nhằm giải quyết mâu thuẩn hiện nay của chương trình là: nội dung tài
liệu học tập không tương ứng với thời gian học tập của học sinh. Thiết kế bài giảng
trên cơ sở xác định kiến thức cơ bản đã được lựa chọn phù hợp với đặc điểm tâm lý
lứa tuổi của học sinh ở mức độ chung nhất.Nếu không làm được điều này, việc đưa
đồ dùng trực quan vào giảng dạy dứt khoát sẽ dẫn đến hiện tượng “ cháy giáo án”,

chất lượng giờ dạy và học sẽ không cao.
3. Nghiên cứu những hình thức giải quyết xử lý kết quả học tập: Nhằm giúp
học sinh hứng thú hơn trong học tập , giáo viên phải có những hình thức đánh giá kết
quả học tập của các em. Chắc chắn các em sẻ hứng thú hơn, nhận thức đầy đủ và
tích cực hơn kiến thức của chương trình môn học.

18
III. Kết quả:
Qua thực tiễn dạy học, bản thân nhận thấy việc dạy học : “MỘT SỐ KINH
NGHIỆM LẬP TRÌNH GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO” đã phát huy được
tính tích cực, chủ động, phát triển năng lực sáng tạo của học sinh, chất lượng môn
học được nâng cao. Giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản của môn học, có tác
dụng giáo dục các em tình yêu đối với lao động học tâp. Tạo niềm hứng thú say mê
với việc học tập bộ môn. Mặt khác, giúp cho giáo viên xác định được phương pháp
dạy học thích hợp, để hiệu quả của dạy học được nâng cao. Các em ngày càng yêu
thích môn học đầy thú vị này, đa số trở nên say mê, thích tìm ra cách giải quyết mới
hơn, tối ưu hơi cho một bài toán giải bằng máy tính Casio. Bản thân giáo viên thông
qua việc bồi dưỡng này cũng nâng cao được tay nghề, rằng luyện thêm khả năng
thực hành trên máy một cách điêu luyện.
Tóm lượt kết quả đạt được như sau:
Năm học Số lượng học sinh đạt giải Giải Toàn Đoàn
Tên học sinh Giải cá nhân
2008- 2009
Ngô Văn Mạnh
Lê Đức Sang
Lê Tấn Thành
Khuyến khích
Khuyến khích
Nhất
Nhì Toàn Đoàn

2009- 2010 Lê Nguyễn Thanh Huyền
Nguyễn Hữu Thắng
Khuyến khích
Khuyến khích
2010- 2011
Trần Quang Điển
Nguyễn Nhất Thống
Nguyễn Văn Phương Khánh
Nhất
Nhì
Khuyến Khích
Nhất Toàn Đoàn


19
Phần 3: KẾT LUẬN
I. Kết luận:
Qua đề tài này, góp phần thay đổi nhận thức của giáo viên và học sinh về sử
dụng đồ dùng trực quan trong dạy học thực hành và giải toán bằng máy tính Casio.
Tuy vậy, các cách lập trình này chưa phải là phương pháp tối ưu, chưa đã là hay
nhất. Song rõ ràng như vậy là thêm một biện pháp, một phương pháp làm phong phú
thêm nghệ thuật dạy học và hướng tới một hiệu quả chất lượng tích cực.
Qua đây, tôi mong muốn được trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp. Mong
đóng góp một số ý kiến của mình trong việc đáp ứng yêu cầu của việc đổi mới
phương pháp dạy học. Tuy vậy việc thiếu sót trong đề tài này là không thể tránh
khỏi. Rất mong sự đóng góp, xây dựng của đồng nghiệp và bạn đọc.

II. Đề nghị:
1. Đối với giáo viên:
Qua thực tế giảng dạy, bản thân thấy dược tính khả thi của đề tài (như đã nêu

ở trên). Với nội dung của đề tài, mong các bạn đồng nghiệp tham khảo để áp dụng
vào thực tiễn giảng dạy của mình. Tùy theo đối tượng học sinh, điều kiện dạy học ở
địa phương mà giáo viên có thể sử dụng một cách linh hoạt để chất lượng dạy học
được nâng cao.
Trong quá trình hướng dẫn thực hành giáo viên cần phân tích, giải thích,
hướng dẫn học sinh rèn luyện những kỹ năng khai thác đồ dùng trực quan này, để
các em tự đánh giá, tự nhận thức trước khi giáo viên trình bày nội dung kiến thức
cần truyền đạt.
2. Đối với các cấp lãnh đạo ngành giáo dục :
Đối với Sở Giáo dục- Đào tạo Quảng Nam: Nên cấp thiết bị dạy học theo
đúng danh mục thiết bị dạy học như máy tính Casio Tổ chức tập huấn cho giáo viên.
Đối với việc biên soạn tài liệu dạy học: Cần có tài liệu thống nhất chung. Có
chương trình dạy học cho phân môn này .
Đối với trường THPT: Nên có phòng đa năng, phòng thiết bị, phòng bộ
môn, nên tổ chức cuộc thi thực hành giải Toán, Vật Lý, Hoá Học, Sinh Học trên máy
tính Casio hằng năm.
Những đề nghị trên mang tính cá nhân, rất mong sự quan tâm của đồng nghiệp
và các cấp lãnh đạo ngành giáo dục, để đề tài có điều kiện phát huy tính khả thi vào
thực tiễn trong dạy học bộ môn Casio ở trường phổ thông.

20
Tài liệu tham khảo.
TT Tên sách Tác giả Nhà xuất bản
1 Đa thức và ứng dụng Nguyễn Hữu Điển Giáo Dục
2 Giải phương trình vô định nghiệm nguyên Nguyễn Hữu Điển Giáo Dục
3 Tuyển tập 216 bài toán số học Võ Đại Mau Giáo Dục
4 Một số dạng toán thi học sinh giỏi –
Giải toán trên máy tính điện tử
Tạ Duy Phượng Giáo Dục
5 Giải toán trên máy tính điện tử Tạ Duy Phượng Giáo Dục

6 Hệ đếm và ứng dụng Tạ Duy Phượng Giáo Dục
7 Các đề thi học sinh giỏi giải toán trên
máy tính Casio 1996 – 2004
Tạ Duy Phượng Giáo Dục
8 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Nguyễn Vũ Thanh Giáo Dục
9 Các đề thi THTH và giải toán trên máy tính Casio của Sở Giáo Dục – Đào
Tạo Quảng Nam
10 Tạp chí : Toán học tuổi trẻ; Toán học tuổi thơ.
11 Một số tài liệu trên các diễn đàn Casio như: www.casiovn.com; www.math.vn;
www.violet.vn; www.vnmath.com

21
Phụ lục.
1. Một số bài tập áp dụng:
Bài tập 1
a) Tính
2
7'17
29397236777 77 777777
−++++=
 
sô
P
.
Kết quả: P = 526837050
b) Cho biểu thức:

( )
1 1 8 3 2 1 2
1 1

9 1 1
3 1 3 1 3 1 1 1
x x x x x
A x
x x
x x x x x
   
     
− −
= − + ÷ − − − +
   
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
− −
− + + + −
   
     
   
Tính giá trị của biểu thức A khi
2 2 2 2
2 2 2 2
x
− +
= +
+ −

Bài tập 2
a) Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
( )
2 2

cos cos 2 1x x x
π π
= + +
b) Tìm chữ số thập phân thứ 16
2009
trong phép chia 2007 cho 2008
Bài tập 3
a) Cho d·y sè
{ }
n
U
, T×m U
10000
víi U
1
=
5
;
  
socann
n
UU 5 55 ;;55
2
+++=+=
Kết Quả : 2,791288
b) Với mỗi số nguyên dương n, đặt
2
1 1 1 1
(1 )(1 )(1 ) (1 )
3 8 15 2

n
S
n n
= + + + +
+
.
Viết một quy trình bấm máy để tính S
n
theo n. Tính S
50
(kết quả ghi ở dạng hỗn số).
Đáp số: S
50
=
25
1
26
,
c) Tìm giá trị gần đúng của x để:
3
1 2 3 45.354
X
X+ + + + =
Hướng dẫn: Cách 1:
1
1:
X
X
X X X= +
∑

Cách 2: X=X+1:B=B+
A
A
.
d) ( Quảng Nam 06- 07)
Đặt
n432
n
3
n

3
4
3
3
3
2
3
1
S +++++=
Tính limS
n
. Đáp số:
3
lim
4
n
n
S
→+∞

=
e) Cho dãy số {un} với U
n
=sin(2010-sin(2010-sin(2010 sin(2010-sin2010))))
Tìm n
0
để với mọi n≤n
0
thì u
n
có 4 chữ số thập phân ngay sau dấu phẩy là không
đổi. Tính giá trị u
2009.
Đáp số : u
2009
=-0,3071
f) Tìm Tìm phần nguyên của M ( là số nguyên lớn nhất không vượt quá M ). Biết:
151
149
75
5
3
2
3
1
1M
2
3
2
3

2
3
++++++=
Đáp số: [M] = 19824

22
Bài tập 4
a) Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức :
( ) ( )
n n
n
13+ 3 - 13- 3
U =
2 3
với n = 1, 2, 3, ……, k, …
1) Tính U
1
, U
2
, U
3
, U
4
, U
5
, U
6
, U
7
, U

8
2) Lập công thức truy hồi tính U
n+1

theo U
n
và U
n-1
3) Lập quy trình ấn phím liên tục tính U
n+1

theo U
n
và U
n-1
Đáp số: U
n+1
= 26U
n
– 166U
n-1
b) Cho U
n
=
5
1

















−
−








+
nn
2
51
2
51
n
N

∈
1. Tính U
9 ,
U
11 ,
U
13 ,
U
15
, U
17
của dãy số trên.
2. Tìm số dư trong phép chia (U
17
)
2008
cho 49
c) Cho d·y sè U
1
=
3
3
;
( )
3
3
1−
=
nn
UU

(n lµ sè tù nhiªn vµ n
2≥
):
ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm ®Ó tÝnh U
n
.
Bài tập 5
a) Quảng Nam(03-04): Cho dãy số xác định bởi công thức :
1
3
2
n
n
n
u
u
u
+
+
=
với
1
1u =
, n = 1,2,3,…, k,…
1) Tính gần đúng u
4
, u
5
, u
6

, u7. 2) Dự đoán giá trị gần đúng của lim u
n

b) Cho dãy số xác định bởi công thức :
2
1
2
3 13
1
n
n
n
x
x
x
+
+
=
+
với
1
0,09x =
, n = 1,2,3, , k,
1)Viết quy trình bấm phím liên tục tính
1n
x
+
theo
n
x

.
2)Tính
2 3 4 5 6
, , , ,x x x x x
( với đủ 10 chữ số trên màn hình )
3)Tính
100 200
,x x
( với đủ 10 chữ số trên màn hình )
c) Cho dãy số U
0
= 1; U
1
= 9; …U
n
= 10U
n-1
- U
n-2
(n ∈N, n ≥ )
1. Tính U
6
; U
7
; U
8
; U
9
; U
10

.
2. Chứng minh rằng: ∀ k ∈ N, k ≥ 1 thì: U
k
2
+ U
2
k+1
- 10U
k
. U
k-1
= -8
d) Cho dãy số
( )
n
u
có
1 2 3
1; 2; 3u u u= = =
và
1 2 3
2 3 ( 4)
n n n n
u u u u n
− − −
= + − ≥
.
Tính
20
u

Đáp số : u
20
=274456016
e) Cho dãy số u
1
=1; u
2
=2 và u
n+1
=c.u
n-1
.u
n
với a là một hằng số.
1/Hãy lập qui trình bấm liên tục để tính u
n+1
.
2/Hãy tìm c biết u
10
=10
34
.
f) Cho dãy
( )
n
u
:
1 2
2; 1u u= =
;

2
2 1 2
3 2 ( 1)
n n n
u nu u n n
+ + −
= − + − ≥
. Tìm U
10
.
Bài tập 6
a) Cho dãy số (u
n
) , biết: u
1
= 2 ; u
2
= 20 ; u
n+1
= 2u
n
− u
n-1
.
Tình u
25
và tổng : S
25
= u
1

+ u
2
+ … + u
25
Kết quả: u
25
= 434 S
25
= 5450
b) Quảng Nam (10- 11)

23
Cho (a
n
) là dãy của các số chẵn dương liên tiếp bắt đầu từ 2: 2, 4, 6, 8, và (U
n
) là
dãy được định nghĩa như sau:
1 1 2 2 3 3 4 5 6 4 7 8 9 10
; u ; u ; u ; u a a a a a a a a a a= = + = + + = + + +
Tính u
2011
Đáp số: u
2011
= 813279342
c) Với giá trị nào của A, dãy số xác định như sau sẽ là dãy các số nguyên?

1
2
1

1
5 8; 1
n n n
a
a a Aa n
+
=



= + − >


. Tính
10
a
d) Cho dãy số: a
1
= 2; a
2
= 3; a
n+2
=
1
4
a
n+1
+
1
2

a
n
, với n > 0. Tính a
10
và tổng S
10

của 10 số hạng đầu tiên. a
10

≈
0,63548 ; S
10

≈
14,63371
Bài tập 7
a) Tìm cặp số tự nhiên x, y thỏa mãn x(x + y
3
) = (x + y)
2
+ 2007
Đáp số (x=96 ; y= 3)
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x,y (x > y) sao cho: x
2
+ y
2
= 2005
Đáp số: (39 ; 22) và (41 ; 18 )
c) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn hệ thức: x

2
+5xy-14y
2
=2008
d) T×m x, y nguyªn d¬ng, x ≥ 1 tháa m·n: y =
3
19 −+ x
+
3
19 −− x
.
иp sè. x = 81; y = 3
Bài tập 8
a) T×m sè tù nhiªn bÐ nhÊt n sao cho
16 19
2 2 2
n
+ +
lµ mét sè chÝnh ph¬ng.
Đáp số n = 23
b) Cho
*118
,333
NnA
n
∈++=
. T×m n nhá nhÊt sao cho A lµ mét sè chÝnh ph¬ng.
Đáp số : n = 32
c) Tìm các chữ số
567abcda

là số chính phương.
Bài tập 9
a) Tìm số nhỏ nhất có 10 chữ số biết rằng số đó khi chia cho 5 dư 3 và khi chia cho
619 dư 237 . Đáp số: 1000000308
b) Tìm 2 số tự nhiên nhỏ nhất thỏa :
4
( )ag a g
= ∗∗∗∗∗

Trong đó ***** là những chữ số không ấn định điều kiện. Đáp số : 45 ; 46
c) Tìm số tự nhiên N lớn nhất có 10 chữ số biết rằng N chia 5 dư 2, N chia 9 dư 2,
chia 753 dư 20. Đáp số : N= 9999989867
d) Tìm các số
aabb
sao cho
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1aabb a a b b= + + × − −
. Nêu quy trình bấm
phím để được kết quả. Đáp số : 3388
e) Tìm số tự nhiên N nhỏ nhất và số tự nhiên M lớn nhất gồm 12 chữ số, biết rằng
M và N chia cho các số 1256; 3568 và 4184 đều cho số dư là 973.
f) Tìm tất cả các số tự nhiên x sao cho tích các chữ số của nó bằng x
2
-2005x+116880
Đáp số: x = 1945
Bài tập 10

24
a) Cho hm s
( )y f x=

, bit
(1) 0,73579
( )
( 1)
1 . ( )
f
f n
f n
n f n
=



+ =

+

, vi n l s nguyờn dng.
Tớnh
1
(2005)f
b) Cho hàm số
4
( )
4 2
x
x
f x =
+
. Hãy tính các tổng sau:

1/
1
1 2 2001

2002 2002 2002
S f f f

= + + +
ữ ữ ữ

2/
2 2 2
2
2 2001
sin sin sin
2002 2002 2002
S f f f


= + + +
ữ ữ ữ

c) Cho f(x) =
525
25.2003
+
x
x
vaứ g(x) =
1

2003
+x
1/ Tớnh






++






+






+

2003
2002

2003
3
2003
2
2003
1
ffff
2/ Tớnh






++






+

+






++






+






2
3

2001
2002
2002
2003
2003

2002

4
3
3
2
gggggg
d) Cho hm s
( ) ( )
2
3 2 ; x 0
a
f x x
x
= +

( )
2g x asin x=
. Tỡm a
( ) ( )
1 2 2f f g f =

ỏp s:
5,8122a ;
2. Mt s thi TNTH v gii toỏn Casio Qung Nam cỏc nm gn õy:

25