skkn phương pháp sử dụng sơ đồ tư duy trong dạy và học bộ môn hình học không gian lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT 4 THỌ XUÂN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG SƠ ĐỒ TƯ DUY TRONG DẠY VÀ
HỌC BỘ MÔN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11
Người thực hiện: Hà Thị Thu Hồng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HÓA NĂM 2013
2
A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
1. Lời nói đầu:
Sơ đồ tư duy là một công cụ tổ chức tư duy, là con đường dễ nhất để
chuyển tải thông tin vào bộ não rồi đưa thông tin ra ngoài bộ não. Đồng thời là
một phương tiện ghi chép đầy sáng tạo và rất hiệu quả theo đúng nghĩa của nó:
“Sắp xếp” ý nghĩ. Sử dụng sơ đồ tư duy trong dạy và học mang lại hiệu quả cao,
phát triển tư duy logic, khả năng phân tích tổng hợp, học sinh hiểu bài, nhớ lâu,
thay cho ghi nhớ dưới dạng thuộc lòng, học vẹt. Phù hợp với tâm sinh lí học
sinh, đơn giản dễ hiểu thay cho việc ghi nhớ lí thuyết bằng ghi nhớ dưới dạng sơ
đồ hóa kiến thức.
Trong chương trình toán THPT, “Hình học không gian” được giới thiệu
trong SGK lớp 9 và được giải quyết hoàn thiện trong chương trình SGK hình
học 11. Môn học này là một trong những môn học khó nhất đối với học sinh
THPT bởi tính trừu tượng của nó.
Với mong muốn giúp các em học sinh THPT tiếp thu tốt các kiến thức cơ
bản của bộ môn hình học không gian đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt
kiến thức đó để giải toán và áp dụng trong thực tiễn, tôi đã chọn đề tài “Phương
pháp sử dụng sơ đồ tư duy trong dạy và học bộ môn hình học không gian lớp
11”.
2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
“Hình học không gian” là một môn học được SGK hình học 11 giới thiệu

đầy đủ từ định nghĩa, tính chất và ứng dụng trong giải toán, ứng dụng trong thực
tiễn. Đây là một môn học khó do đối tượng nghiên cứu của nó là các hình, các
vật, các khối trong thực tiễn cuộc sống (không gian ba chiều) nhưng học sinh lại
phải thể hiện được các hình, các vật, các khối, … trên mặt phẳng giấy(hình học
phẳng).
Học sinh phải nắm vững và hiểu sâu sắc để đưa vấn đề thực tiễn vào lí
thuyết và phải biết vận dụng lí thuyết ra thực tiễn cuộc sống. Đây cũng là một
môn quan trọng đối với học sinh THPT bởi nó có tính thực tiễn cao và trong các
đề thi đại học cao đẳng, hình học không gian là bài toán luôn có mặt.
Vậy vấn đề đặt ra là:
• Cần giúp học sinh tiếp cận, hệ thống và ghi nhớ đầy đủ các tính
chất và khái niệm cơ bản của hình học không gian.
• Giúp học sinh biết vận dụng các khái niệm và tính chất cơ bản
trong giải toán.
• Học sinh biết liên hệ các kiến thức đã học với thực tiễn cuộc sống.
3
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
1. Giải pháp thực hiện:
Để giải quyết vấn đề đó, tôi đề xuất ý tưởng sau :
• Cần cho học sinh tự hệ thống lại kiến thức trọng tâm sau mỗi buổi
học từ đó khắc sâu được kiến thức.
• Từ các bài toán cụ thể, dẫn dắt học sinh tự đúc kết ra các kinh
nghiệm giải toán. Qua đó tự tìm ra thuật giải cho các bài toán khác
nhau.
• Cho học sinh thấy được mối liên hệ của kiến thức đang học với thực
tiễn cuộc sống.
2. Các biện pháp thực hiện:
•Xuất phát từ thực tiễn, cho học sinh nhìn trực quan và tự đúc rút ra các
khái niệm cơ bản và tính chất cơ bản.
•Rút ra hệ thống sơ đồ tư duy của lí thuyết và bài tập.

•Thực nghiệm sử dụng lí thuyết để giải toán.
•Từ các bài toán đưa ra mối liên hệ của các hình trong thực tiễn.
PHẦN I: PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH NẮM VỮNG CÁC KIẾN
THỨC MỞ ĐẦU VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.
1. Nắm vững các đối tượng cơ bản của hình không gian:
Đối tượng nghiên cứu cơ bản của hình không gian là điểm, đường thẳng
và mặt phẳng.
2. Nắm vững quy tắc vẽ hình không gian: (4 quy tắc)
3. Nắm vững một số hình biểu diễn của các hình trong không gian:
• Tam giác thường, tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông đều
được biểu diễn bởi một tam giác có hình dạng bất kì.

ABC
∆

ABC
∆
vuông tại A
ABC
∆
cân tại A
ABC
∆
đều
• Hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi đều được biểu
diễn bởi một hình bình hành.
Hình bình hành Hình vuông Hình chữ nhật Hình thoi
• Hình thang, hình thang vuông, hình thang cân đều được biểu diễn
bởi một hình thang (chú ý về tỉ lệ của hai đáy nếu có).
4

A
B C
A
B C
A
B C
A
B C
Hình thang Hình thang vuông Hình thang cân
• Đường tròn được biểu diễn bởi một đường elip
4. Nắm vững các quan hệ được vẽ đúng trong hình học không gian:
• Quan hệ thuộc: điểm thuộc đường thẳng, điểm thuộc mặt phẳng,
đường thẳng nằm trên mặt phẳng.
• Quan hệ song song.
• Quan hệ giao.
• Tỉ số giữa hai đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc
nằm trên hai đường thẳng song song .
PHẦN 2: PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH HỆ THỐNG ĐƯỢC KIẾN
THỨC VÀ DẠNG TOÁN CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
QUA HỆ THỐNG SƠ ĐỒ TƯ DUY
Khi giải một bài toán hình học không gian, học sinh cần thực hiện qua các
bước cần thiết sau: đọc kĩ đề bài, phân tích giả thuyết của bài toán, vẽ hình
đúng, đặc biệt cần xác định thêm các yếu tố khác: điểm phụ, đường phụ, mặt
phẳng phụ (nếu cần) để phục vụ cho quá trình giải toán.
Trong hệ thống lí thuyết và bài tập của hình học không gian, cũng như
trong thực tiễn cuộc sống ta có thể chia thành năm bài toán lớn như sau:
Bài toán 1: “Tìm tương giao” bao gồm: giao điểm của hai đường thẳng,
giao điểm của đường với mặt và giao tuyến của hai mặt phẳng.
Bài toán 2: “Quan hệ song song” bao gồm chứng minh và dựng hình:
hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt

phẳng song song.
Bài toán 3: “Quan hệ vuông góc” bao gồm chứng minh và dựng hình:
hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt
phẳng vuông góc.
Bài toán 4: “Bài toán về góc” bao gồm xác định và tính: góc giữa hai
đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.
Bài toán 5: “Bài toán về khoảng cách” bao gồm xác định và tính:
khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, khoảng cách giữa
hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Trong mỗi bài toán lớn sẽ có bao gồm nhiều bài toán nhỏ, đặc điểm nữa là
nó không tập trung ở một chương, một bài, không được giải quyết đồng bộ một
lúc mà nó nằm rải rác trải dài theo các chương và các bài khác nhau. Vậy để dạy
5
tốt và học tốt thì vấn đề đặt ra là người giáo viên phải biết hướng dẫn học sinh
nắm vững được nội dung trọng tâm nhất, bài toán mấu chốt để các bài toán nhỏ
khác có thể đưa về nó. Như vậy sẽ tạo nên tính lôgic cao và có hệ thống, giảm
tải được các nội dung trong lí thuyết cơ bản, học sinh nhớ được trọng tâm của
các bài toán lớn.
Bài toán 1: “Tìm tương giao”
Trong bài toán tương giao: giao điểm của hai đường thẳng, giao điểm của
đường với mặt phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng thì tìm giao điểm của hai
đường thẳng là mấu chốt cơ bản.
Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là chúng đồng phẳng và có một
điểm chung duy nhất.
Các tương giao khác đều có thể đưa được về tương giao cơ bản này.
• Sơ đồ tư duy để hệ thống lí thuyết:

a
∩

b = O
• Tìm a
∩
(P)
• Tìm b
⊂
(P)
b
∩
a = O
• Ta có a
∩
(P) = O
Tìm 2 điểm chung A và B của
(P) và (Q)
⇒
(P)
∩
(Q) = AB
• Sơ đồ tư duy trong thực hành giải toán
Ví dụ 1:(Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I, J lần
lượt là trung điểm của SA và SB. M là một điểm thuộc đoạn SD sao cho IM
không song song với AD.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với (ABCD)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với (SAC)
c) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với (SBC)
d) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với (IJM)
a) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
6

Tìm giao điểm của
hai đường thẳng
Tìm giao điểm của
đường thẳng và
mặt phẳng
Tìm giao tuyến
của hai mặt phẳng
a
b
O

P

b
a
O
P
Q
A
B
IM AD = K
IM (ABCD)= K
b) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
Với giả thiết của bài toán thì dựa vào hình vẽ học sinh khó mà tìm được
đường thẳng nào trên mặt phẳng (SAC) có thể cắt được đường thẳng BM. Trong
trường hợp học sinh yếu, kém, giáo viên có thể khéo léo hướng dẫn học sinh tiếp
cận với đường thẳng SO qua việc tìm giao điểm O của AC và BD.
c) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:

Với câu c) thì học sinh cũng khó mà tìm được đường thẳng nào nằm trên

(SBC) có thể cắt được đường thẳng IM. Giáo viên có thể khéo léo hướng dẫn
học sinh tiếp cận với đường thẳng SE qua việc tìm giao điểm E của AD và BC.
d) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
7
SO BM = P
BM (SAC)= P
S
I
A B
M
D
K
C
S
P
A B
M
D
O
C
IM SE = F
IM (SBC)= F
A
S
I
B
M
D
E
C

F
Trong câu d) việc chọn đường thẳng nằm trong mặt (IJM) cắt được SC
cần dựa vào điểm phụ được phát hiện trong câu c là điểm F và đường thẳng cần
tìm là FJ.
Dựa vào hệ thống sơ đồ tư duy học sinh sẽ trình bày lại lời giải chi tiết và
đầy đủ.
Ví dụ 2: (Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng)
Trong mặt phẳng (
α
) có tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC
và BD cắt nhau tại F. Gọi S là một điểm nằm trên mặt phẳng (
α
). Tìm giao
tuyến của các mặt phẳng sau:
a) (SAB) và (SCD)
b) (SAC) và (SBD)
c) (SEF) và (SAD)
d) (SEF) và (SBC)
a) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
b) Dự đoán sơ đồ tư duy của học sinh:
8
SC FJ = H
SC (IJM)= H
SA SD = S AB DC = E
(SAB) (SCD) = SE
A
S
E
D
C

B
SA SD = S AC BD = F
(SAC) (SBD) = SF
B
E
A
S
I
M
D
C
J
H
F
D
A
S
E
C
B
F
c) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
Trong bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng của đường thẳng
với mặt phẳng có thể thay việc tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng bằng
việc tìm một điểm chung của hai mặt phẳng bằng việc tìm một điểm chung
của hai mặt phẳng và sử dụng quan hệ song song (Được bổ xung trong
chương II – quan hệ song song) theo nội dung của các định lí và hệ quả trong
chương II – SGK hình học 11.
Ví dụ 3: (Tìm giao điểm của mặt phẳng và đường thẳng nhờ quan hệ song song)
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA’

và CC’, P là một điểm thuộc đoạn BB’. Tìm giao điểm Q của đường thẳng DD’
với (MNP)
Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
Trong đó Nx phát hiện được nhờ quan hệ song song. Trong (CDD’C’) kẻ
Nx // MP.
Ví dụ 4: (Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng nhờ quan hệ song song)
9
SF SA = S EF AD = N
(SEF) (SAD) = SN
SF SB = S BC EF = M
(SEF) (SBC) = SM
Nx DD’ = Q
(MNP) DD’= Q
D’
C’
A’
A B
P
B’
M
C
N
D
Q
x
A
S
E
D
C

B
F
N
M
Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh AB
và CD. (
α
) là mặt phẳng chứa MN và song song với SA.
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (
α
) với các mặt phẳng (SAB) và (SAC).
b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (
α
)
Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
a)
Mx phát hiện nhờ quan hệ song song.
Trong (SAB) dựng Mx // SA.
Oy phát hiện nhờ quan hệ song song.
Trong (SAC) dựng Oy //SA
b)
Bài toán 2: “Quan hệ song song”
Bài toán “Quan hệ song song” được giới thiệu chủ yếu tập trung vào hai
vấn đề là chứng minh quan hệ song song và dựa vào quan hệ song song để dựng
hình. Trong bài toán “chứng minh quan hệ song song” thì chứng minh hai
đường thẳng song song là mấu chốt cơ bản. Các bài toán chứng minh khác đều
có thể đưa được về bài toán cơ bản này.
10
MN AB = M MxSB = Q
() (SAB) =MQ

MN AC = O OySC = P
() (SAC) =OP
() (SAB)=MQ () (SBC)=QP () (SCD)=PN () (ABCD)=MN
Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi () là
tứ giác MNPQ
S
A
M
B
C
N
D
Q
P
x y
O
• Sơ đồ tư duy để hệ thống lí thuyết:
( )
( ) / /
a
b a b
a b
α
α
⊂


⊂ ⇒



∩ =∅


( )
/ / / / ( )
( )
b P
b a a P
a P
⊂


⇒


∩ =∅

( )
( )
/ / ( )
/ / ( )
a P
b P
a b O
a Q
b Q
⊂


⊂



∩ =






( ) / / ( )P Q
⇒
Để chứng minh đường thẳng a//b ta có thể sử dụng bốn cách chủ yếu sau:
Cách 1: Tìm được một mặt phẳng chứa hai đường thẳng a và b. Sau đó áp
dụng phương pháp chứng minh song song của hình học phẳng như tính chất
đường trung bình trong tam giác, định lí ta lét đảo, …
Cách 2: Sử dụng tính chất bắc cầu:
( )
/ /
/ /
/ /
a c
a b a b
b c

⇒ ≡



Cách 3: Sử dụng tính chất giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt:
( ) ( )

( ) ( )
/ /
( ) ( )
/ /
P Q a
P R b
a b
R Q c
a c
∩ =


∩ =

⇒

∩ =



(hoặc
b a≡
)
Cách 4: Áp dụng hệ quả:
( )
( )
/ /
/ /
( ) ( )
a P

c Q
b a
a c
P Q b
⊂


⊂

⇒



∩ =

(hoặc
b a≡
)
• Sơ đồ tư duy trong thực hành giải toán:
Ví dụ 1: (Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, G lần lượt là trọng tâm
của các tam giác ABC và ACC’. Chứng minh đường thẳng IG song song với
mặt phẳng (BB’C’C)
11
Chứng minh hai
đường thẳng song
song
Chứng minh đường
thẳng song song với
mặt phẳng

Chứng minh hai
mặt phẳng song
song

a
b
b
a
P
b
a
Q
O
P
Dự kiếm sơ đồ tư duy của học sinh:
Trong đó M, N lần lượt là trung điểm của BC và CC’
Học sinh chứng minh IG // MN dựa vào định lí ta lét đảo.
Ví dụ 2: (Chứng minh hai mặt phẳng song song)
Cho hai hình vuông ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt.
Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho
AM = BN. Qua M, N dựng các đường thẳng song song với AB lần lượt cắt AD
và AF tại M’ và N’.
a) Chứng minh mặt phẳng (ADF) song song với mặt phẳng (BCE).
b) Chứng minh mặt phẳng (DEF) song song với mặt phẳng (MM’N’N)
Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
a)
b) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:

Học sinh chứng minh M’N’ // DF và M’M // DC nhờ sủ dụng định lí ta lét
đảo.

Bài toán 3: “Quan hệ vuông góc”
Trong bài toán “quan hệ vuông góc” tập trung vào bài toán chứng minh
về các quan hệ vuông góc trong đó chứng minh hai đường thẳng vuông góc là
12
IG //MN
IG // (BCC’B’)
A
B
C
A
’
B
’
C
’
M
N
I
G
AF // BE AD // BC
AF // (BCE)
AD // (BCE)
(ADF) // (BCE)
C
A
B
D
E
F
M

N
M’
’
N’
’
M’N’ // DF M’M // DC
M’N’ // (DEF)
M’M // (DEF)
(MM’N’N) // (DEF)
mấu chốt cơ bản. Các bài toán chứng minh khác đều có thể đưa về bài toán cơ
bản này.
·
( ; ) 90
o
a b a b⊥ ⇔ =

( )
( )
a b
a P
b P
⊥

⇒ ⊥

⊂


( )
( ) ( )

( )
a P
P Q
a Q
⊂

⇒ ⊥

⊥


Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, chúng ta có thể sử dụng các
cách sau:
Cách 1: Đưa hai đường thẳng về cùng mặt phẳng và chứng minh hai
đường thẳng vuông góc theo phương pháp trong hình học phẳng.
Cách 2:
( )
( )
a P
a b
b P
⊥

⇒ ⊥

⊂

Cách 3: Dùng phương pháp véc tơ.
• Sơ đồ tư duy trong thực hành giải toán:
Ví dụ 1: (Chứng minh hai đường thẳng vuông góc)

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Dựng
OH vuông góc với mặt phẳng (ABC); H nằm trên mặt phẳng (ABC). Chứng
minh H là trực tâm tam giác ABC.
Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
13
Chứng minh hai
đường thẳng
vuông góc
Chứng minh đường
thẳng vuông góc
với mặt phẳng
Chứng minh hai
mặt phẳng vuông
góc
a
b
a
b
P
P
Q
a
H là trực tâm ABC
AH BC CH AB
CB (OAH)
AB (OHC)
CB OH CB OA
OAOB; OAOC
AB OH AB OC
OCOA; OCOB

O
C
B
A
H
Ví dụ 2: (Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng)
Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình vuông, SA
⊥
(ABCD). Gọi
M, N lần lượt là hình chiếu của A lên SA, SD. Chứng minh SC
⊥
(ANM)
Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
Ví dụ 3: (Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh
(AB’C’D)
⊥
(BCD’A’).
Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
14
SC (AMN)
SC AM SC AN
AM (SCB)
AN (SCD)
AM SB AM CB AN SD AN CD
CBAB CBSA CD AD CD SA
A
B
C
D

M
N
S
(AB’C’D) (BCD’A’)
A’B (AB’C’D)
A’B B’C’ A’B AB
B’C’ (ABB’A’)
ABB’A’ là hình vuông
B’C’ B’B B’C’ A’B
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
Bài toán 4: “Bài toán về góc”
“Bài toán về góc” bao gồm xác định và tính: góc giữa hai đường thẳng,
góc giữa đường thẳng với mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.
Trong đó, tính và xác định góc giữa hai đường thẳng là mấu chốt cơ bản.
Các bài toán khác đều có thể đưa về bài toán cơ bản này.
• Sơ đồ tư duy dạng hệ thống lí thuyết:
Góc
·
·
( , ) ( ', ')a b a b=

Trong đó
/ / '

/ / '
' ' 0
a a
b b
a b




∩ =


Góc
·
·
( ,( )) ( , ')a P a a=

Trong đó a’ là hình chiếu
của a trên (P)
Góc
·
·
( ),( ) ( , )P Q a b=

Trong đó
( )
( )
a Q
b P


⊥


⊥



Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng: ta áp dụng định nghĩa và các
phương pháp tính góc của hình học phẳng. (Thường gắn vào tam giác học dùng
phương pháp véc tơ).
• Sơ đồ tư duy trong thực hành giải toán:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông
góc với đáy. SA = a
6
. Tính góc giữa
a) Đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)
b) Đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB)
c) Đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC)
d) Đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC)
a) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
Muốn tính góc
·
( , )SC AC
ta tính góc
·
SCA
gắn trong
SAC∆
.
15

Góc giữa hai
đường thẳng
Góc giữa đường
thẳng với mặt
phẳng
Góc giữa hai mặt
phẳng
O
a
b
a’
b’
P
O a’
a
P
Q
a
b
A
B
C
D
O
H
S
SA (ABCD)

Học sinh thực hiện quá trình tính toán và có đáp số
·

( ,( )) 60
o
SC ABCD =
b) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
Muốn tính góc
·
( , )SC SB
ta tính góc
·
CSB
gắn trong
SBC∆
.
Học sinh thực hiện quá trình tính toán và có đáp số
·
1
( ,( )) arcta n
7
SC SAB =

c) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
Trong đó O =
AC BD∩
.
Muốn tính góc
·
( , )BS SO
ta tính góc
·
BSO

. Học sinh thực hiện quá trình
tính toán và có đáp số
·
1
( ,( )) arcsin
14
SB SAC =
.
d) Dựng AH
⊥
SB (H
∈
SB)
Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh
Muốn tính góc
·
( , )AC HC
ta tính góc
·
ACH
. Học sinh thực hiện quá trình
tính toán và có đáp số
·
21
( ,( )) arcsin
7
AC SBC =

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn
đường kính AB = 2a.

Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
16
CB AB CB SA
CB (SAB)
·
·
( ,( )) ( , )SC SAB SC SB
=
BO AC BO SA
BO (SAC)
·
·
( ,( )) ( , )SB SAC BS SO
=
AH SB AH BC
AH (SBC)
·
·
( ,( )) ( , )AC SBC AC HC
=
Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
AD
∩
BC = I
Kẻ DE
⊥
SI (E
∈
SI)
Để tính góc giữa DE và EB ta tính góc

·
DEB
. Học sinh thực hiện tính toán
và có đáp số
·
(( ),( )) arctan 7SAD SBC =
.
Bài toán 5: “Bài toán về khoảng cách”
Trong bài toán tính khoảng cách thì bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến đường thẳng là mấu chốt cơ bản nhất. Các bài toán tính khoảng cách
khác đều đưa về được bài toán cơ bản này.
• Sơ đồ tư duy để hệ thống lí thuyết:
d(M,a) = MH
H là hình chiếu vuông góc của M trên
a
Dựng mặt phẳng (Q) chứa M và
vuông góc với (P).
(Q)
∩
(P) = a
Dựng MH
⊥
a (H
∈
a)
d(M,(P)) = d(M,a) = MH
17
DB AD DB SA
DB (SAD)
DB SI SI DE

SI (DEB)

Khoảng cách từ một điểm đến
một đường thẳng
Khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng
S
A
E
C
D
I
B
P
Q
M
H
a
M
H
a
d(a,(P)) = d(M,(P)) = MH
M bất kì trên a
d((P),(Q)) = d(M,(Q)) = MH
M bất kì trên (P)
Cho a, b chéo nhau.
d(a,b) = d(M,(P)) = MH
M bất kì trên a
(P) là mặt phẳng chứa b
và song song với a.

• Sơ đồ tư duy trong thực hành giải toán
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là SA = 2a. Tính khoảng cách:
a) Từ S đến mặt phẳng (ABCD)
b) Từ trung điểm I của CD đến mặt phẳng (SHC) với H là trung điểm của
AB.
Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
18
Khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách giữa đường
thẳng và mặt phẳng song
song
Khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau

a
M
H
P
H
Q
M
a’
a
P
b
H
M

SH AB
(H AB)
(SAB) (ABCD)
SH (ABCD)
d(S,(ABCD)) = SH
A
B
C
D
H
K
S
I
Học sinh gắn SH trong
SAH
∆
thực hiện tính và có đáp số SH =
15
2
a

b)
Học sinh gắn IK vào tam giác HIC thực hiện tính và có đáp số IK =
5
a

Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ trong đó AB = AC = a, AA’ = a
3
,
góc

·
60
o
ACB =
. Tính khoảng cách:
a) Từ AA’ đến mặt phẳng (BCC’B’)
b) Từ B’C’ đến mặt phẳng (A’BC)
Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
Học sinh gắn AI vào
ABC∆
và tính AI =
3
2
a

b) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
Dựng
( )
IJ//CC' ' '
' ( ' )
J C B
JH A I H A I
∈
⊥ ∈

19
IK HC
(K HC)
IK SH
IK (SHC)

d(I,(SHC)) = IK
AI BC AI BB’
AI (BCC’B’)
AA’ // CC’
d(AA’,(BCC’B’)) = d(A,(BCC’B’)) = AI
A
B
C
A’
B’
C’
J
I
H






Học sinh gắn JH vào tam giác A’IJ tính toán và có đáp số
15
5
a
JH =

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2a,
BC=3a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA=4a. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng :
a) SB và AD

b) SC và AB
a) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
Học sinh gắn AI vào tam giác SAB tính và có đáp số AI =
4 5
5
a

b)
Trong đó dựng AK
⊥
SD (K
∈
SD). Học sinh gắn AK vào
SAD∆
tính và
có đáp số AK =
12
5
a
.
20
AI SB
(I SB)
AD AI
d(AD,SB)= AI
A
B
C
D
I

K
S
AB // DC DC (SCD)
d(SC,AB) = d(A,(SDC)) = AK
C. KẾT LUẬN
I. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU:
Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh dự thi học sinh giỏi, phụ
đạo học sinh yếu kém, tôi đã tích lũy được một số kinh nghiệm sử dụng sơ đồ tư
duy trong giải toán, đặc biệt tôi đã áp dụng cụ thể trong việc giảng dạy bộ môn
hình học không gian lớp 11. Đây thực sự là một tài liệu hữu ích đã được tôi
kiểm chứng thực tế và cho kết quả tốt.
Sau khi học xong khái niệm tôi lần lượt đặt ra các ví dụ để học sinh tự
giải. Sau thời gian từ năm đến mười phút thực hiện kiểm chứng trên lớp với 45
học sinh 11 A
1
năm học 2012 – 2013 thu được kết quả sau:
Nhận biết(nắm vững lý
thuyết)
Thông hiểu(có thể vận
dụng lý thuyết để giải
toán)
Vận dụng linh hoạt
(giải được đa số các bài
tập đưa ra)
Số
học sinh
Phần trăm Số
học sinh
Phần trăm Số
học sinh

Phần trăm
45 100% 20 44,4% 7 15,6%
Đặc điểm của lớp thực nghiệm là:
Số học sinh của lớp: 45
Kết quả học tập về môn toán năm học 2011 – 2012 là: 7 học sinh có học
lực giỏi, 13 học sinh có học lực khá, 21 học sinh có học lực trung bình
4 học sinh có học lực yếu.
Thường thì các em học sinh có học lực khá và giỏi sẽ giải quyết tương đối
tốt bài toán đặt ra, tuy nhiên lời giải còn chưa ngắn gọn, xúc tích. Dựa vào học
sinh giỏi, giáo viên có thể tổng kết thành các bước làm cụ thể. Thông qua hoạt
động nhóm các em có học lực tốt sẽ giúp đỡ các bạn có học lực yếu kém và
trung bình. Các bài toán tổng quát với sơ đồ tư duy là “ ngọn đèn dẫn lối” cho
các em tìm thấy hướng đi của mình và kết quả tương đối khả quan:
Nhận biết(nắm vững lý
thuyết)
Thông hiểu(có thể vận
dụng lý thuyết để giải
toán)
Vận dụng linh hoạt
(giải được đa số các bài
tập đưa ra)
Số
học sinh
Phần trăm Số
học sinh
Phần trăm Số
học sinh
Phần trăm
45 100% 40 88,9% 30 66,7%
II. KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT:

Trên đây tôi đã giới thiệu một số phương pháp sử dụng sơ đồ tư duy trong
dạy và học bộ môn hình học không gian lớp 11. Tôi đã áp dụng trực tiếp đối với
học sinh mà mình dạy, thấy học sinh thực hiện lời giải nhanh hơn và kết quả tính
toán chính xác hơn.
Tuy nhiên vì thời gian thực hiện sáng kiến kinh nghiệm eo hẹp và quy
định hạn hẹp của số trang trong một sáng kiến kinh nghiệm nên không tránh
được những sai sót khi thực hiện đề tài. Mong được sự góp ý của các bạn đồng
nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm được hoàn chỉnh hơn.
21
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Hà Thị Thu Hồng


22
PHỤ LỤC
A. Đặt vấn đề Trang 1
1. Lời nói đầu Trang 1
2. Thực trạng và vấn đề nghiên cứu Trang 1
B. Giải quyết vấn đề Trang 2
1. Giải pháp thực hiện Trang 2
2. Các biện pháp thực hiện Trang 2
Phần I: Phương pháp giúp học sinh nắm vững các kiến
thức mở đầu về Hình học không gian Trang 2
Phần II: Phương pháp giúp học sinh hệ thống được kiến
thức và dạng toán cơ bản của Hình học không
gian qua hệ thống sơ đồ tư duy Trang 3

Bài toán 1: Tìm tương giao Trang 4
Bài toán 2: Quan hệ song song Trang 8
Bài toán 3: Quan hệ vuông góc Trang 10
Bài toán 4: Bài toán về góc Trang 13
Bài toán 5: Bài toán về khoảng cách Trang 15
C. Kết luận Trang 19
I. Kết quả nghiên cứu Trang 19
II. Kiến nghị, đề xuất Trang 19

23