skkn rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học lớp 11 bằng cách tách hình học phẳng từ hình học không gian và sử dụng phần mềm geometer''''''''s ketchapad

Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài tốn về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học khơng gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
Mục lục
A. Đặt vấn đề 2
I.Lời mở đầu 2
II.Thực trạng nghiên cứu 3
III. Kết quả thực trạng 3
B. Giải quyết vấn đề 3
I. Các giải pháp thực hiện 3
II. Các biện pháp tổ chức thực hiện 3
a. Cơ sở lý thuyết 4
b. Nội dung chính của đề tài 6
C. Kết luận 17
I. Kết quả 17
II. Kiểm nghiệm lại kết quả 17
III. Đề xuất và kiến nghị 19
D. Phụ lục 21
Trang 1
Trang
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
A. Đặt vấn đề
I. Lời mở đầu:
Khi nói đến hình học đặc biệt là hình học không gian lớp 11 thì phần lớn
các em học sinh đều có tâm lý ngại học, bởi vì nó khó phải kiên trì và phải có khả
năng tư duy trừu tượng thì mới học tốt được.Tuy nhiên các bài toán liên quan đến
hình học không gian có trong chương trình THPT lại là một nội dung có mặt
trong các kỳ thi tốt nghiệp và cao đẳng, đại học .Trong các bài toán liên quan đến
hình học không gian lớp 11 thì bài toán về khoảng cách thường xuyên xuất hiện,
do đó để đạt được kết quả cao thì các em phải làm được bài toán này.Đây không
phải là điều mà nhiều em học sinh có thể làm được.

Với học sinh lớp 11 thì việc vẽ hình học đối với các em là rất khó khăn vì
để vẽ được hình thì các em phải nắm vững được các quy tắc vẽ và phải có khả
năng trừu tượng tốt, đây là điều mà rất nhiều học sinh chưa làm được
Với các bài toán về khoảng cách thì cần phải tính toán nhiều, tuy nhiên nếu
để cả hình vẽ đó để tính một đối tượng nào đó trong hình thì rất khó khăn vì nhìn
vào hình biểu biễn của nó rất rối.Chính vì lẽ đó để tính toán được dễ dàng hơn thì
học sinh cần phải biết cách tách hình học phẳng từ hình học không gian
Trong chương trình hình học không gian lớp 11 có bài về "Khoảng cách"
đây có thể nói là một chuyên đề khó đối với học sinh,với những lý do ở trên và để
giúp các em tiếp cận và học tốt phần này tôi đã chọn đề tài skkn "Rèn luyện kỹ
năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11 bằng
cách tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần
mềm Geometer's ketchpad".Với đề tài này nhằm góp phần nâng cao chất lượng
học tập phân môn hình học không gian lớp 11, phát huy tính chủ động, tư duy
sáng tạo cho học sinh THPT nói chung và lớp 11 nói riêng, sử dụng đa dạng và
sáng tạo các phương pháp giải toán ,giúp học sinh giải bài toán nhanh hơn và hiệu
quả hơn, đồng thời qua đó giúp học sinh củng cố được kiến thức liên quan đến
hình học.Sử dụng phần mềm Geometer's ketchpad giúp học sinh vẽ hình, định
hình cách giải các bài toán một cách nhanh hơn và chính xác hơn
Trang 2
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
Qua thực tế giảng dạy học sinh THPT nói chung và học sinh lớp 11 tôi thấy
các em thường gặp các khó khăn sau đây
+ Kiến thức về hình học phẳng và hình học không gian của học sinh còn
nhiều hạn chế vì thế học sinh thường rất ngại môn học này
+ Kỹ năng vẽ hình không tốt
+ Khả năng về tư duy triều tượng còn hạn chế
+ Khả năng phân tích và tổng hợp các kiến thức với nhau chưa tốt

+ Kỹ năng biến đổi, phân loại các dạng toán và tìm mối liên hệ giữa các bài
toán chưa tốt
+ Kỹ năng tính toán còn yếu
III. Kết quả của thực trạng:
Khảo sát chất lượng của học sinh 11B1, 11B3, 11B8 của trường THPT
Tĩnh Gia 4 cho thấy việc học tập các bài toán dạng này chỉ được một số học sinh
lớp 11B1 là làm tốt còn lại một bộ phận học sinh làm được nhưng kết quả không
đúng và thường mất điểm những bài tập dạng này, nhất là học sinh lớp 11B3,
11B8 .Từ những vấn đề trên tôi áp dụng sáng kiến thực tế giảng dạy và bước đầu
đã thu được kết quả tốt trong năm học vừa qua
B. Giải quyết vấn đề
I. Các giải pháp thực hiện:
1. Hệ thống lại kiến thức đã học:
Giúp học sinh hệ thống lại kiến thức đã học về hình học phẳng, hình học không
gian các bài toán liên quan đến khoảng cách, cách vẽ hình học không gian
2. Phân loại các dạng bài toán :
Loại 1: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và một mặt phẳng
Loại 2: Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng
Loại 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
II. Các biện pháp tổ chức thực hiện
Trang 3
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
Để thực hiện đề tài này tôi sử dụng các tiết học chính khóa, ôn tập và tự chọn của
3 lớp khối 11 là 11B1, 11B3, 11B8, qua đó nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán và
phát huy khả năng tư duy sáng tạo cho học sinh
a. Cơ sở lý thuyết
Yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức cơ bản về
+ Một số kiến thức về hình học phẳng
+ Kỹ năng vẽ hình học không gian

+ Nắm vững kiến thức về quan hệ song song, quan hệ vuông góc, góc
khoảng cách trong không gian
+ Các phương pháp xác định khoảng cách và công thức vận dụng, cụ thể
1) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và một đường thẳng
- Gọi H là hình chiếu của M trên mp(
P
)
và đường thẳng (a)
- Khoảng cách từ điểm M đến
mp(P) và đường thẳng (a) là:
+) d(M,(P)) = MH
+) d(M,a) = MH
2) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song song, giữa hai mặt
phẳng song song
- Khoảng cách :
( ,( )) ( ,( ))d a p d A p=
( A là điểm bất kỳ
( )A p∈
)
- Khoảng cách :
(( ),( )) ( ,( ))d q p d A p=
( A là điểm bất kỳ
( )A q∈
)
Lưu ý :
- Nếu
/ /( )AB p
thì
( ,( )) ( ,( ))d A p d B p=
Trang 4

P
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
Nếu AB cắt (p) tại I thì
( ,( ))
( ,( ))
d A p IA
d B p IB
=
3) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
a) Hai đường thẳng a và b chéo nhau nhưng vuông góc với nhau
- Dựng mặt phẳng
( )
α
chứa a và vuông góc
với đường thẳng b tại B
- Dựng BA vuông góc với a tại A
- Khoảng cách giữa 2 đường thẳng
a và b là :
( , )d a b AB=
b) Hai đường thẳng chéo nhau nhưng
không vuông góc với nhau
Cách 1 :
- Dựng
( )
α
chứa a và // b
- Chọn M trên b, dựng MM'
⊥
( )

α
tại M'
- Từ M' dựng b'//b cắt a tại A
Từ A dựng AB//MM' cắt b tại B
- Khoảng cách giữa 2 đường thẳng a và b là :
( , )d a b AB=
Cách 2 :
- Dựng
( )
α
⊥
a tại O,
( )
α
cắt b tại I
- Dựng b' là hình chiếu b trên
( )
α
- Trong
( )
α
dựng OH vuông góc b' tại H
- Từ H dựng đường thẳng song
song với a và cắt b tại B
Trang 5
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
- Từ B dựng đường thẳng song song với OH, cắt
a tại A.Khoảng cách giữa 2 đường thẳng a và b là :
( , )d a b AB=

b) Nội dung chính của đề tài
Lưu ý : Tất các các hình từ ví dụ 1 đến ví dụ 8 đều được biểu diễn minh họa bằng
phần mền Geometer's Ketchpad 5.0 (Có file đính kèm skkn, tên file : Cac vi du -
SKKN 2013)
Tải trực tiếp theo đường đẫn: />Dạng toán 1 : Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và đến một đường
thẳng
Bài 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA
vuông góc mặt phẳng (ABCD) và SA = a
a) Hãy dựng đường thẳng qua trung điểm của cạnh SC và vuông góc với mặt
phẳng (ABCD).Tính OI
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
c) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC)
Giải
a) Gọi I là trung điểm SC, O là giao điểm của
AC và BD.Trong tam giác SAC có OI là đường
trung bình của tam giác nên ta có
/ /
( )
( )
OI SA
OI ABCD
SA ABCD

⇒ ⊥

⊥

.Vậy OI là
đường thẳng qua I và vuông góc (ABCD)
OI =

1
2 2
a
SA =
b) Dựng
( )AH SB H SB⊥ ∈
ta có
( )
BC AB
BC SAB BC AH
BC SA

⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

.
Mặt khác ta có
Trang 6
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
( )
AH SB
AH SBC
AH BC

⊥
⇒ ⊥


⊥

.
Vậy d(A,(SBC) = AH
Tam giác SAB vuông tại A(do
SA ⊥
AB)
Ta có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4
3 3
3
( ,( ))
2
AH AB AB a a a
a
d A SBC
= + = + =
⇒ =

c) Đường thẳng AC cắt (SBC) tại C ta có
( ,( )) 1
( ,( )) 2
d O SBC CO
d A SBC CA
= =
1 3
( ,( )) ( ,( ))
2 4
a

d O SBC d A SBC⇒ = =
d) Ta có
( )
BO AC
BO SAC
BO SA

⊥
⇒ ⊥

⊥

2
( ,( ))
2
a
d B SAC BO⇒ = =
Mặt khác : BG cắt SA tại trung điểm E của SA
( )BG SAC E⇒ ∩ =
( ,( )) 1
( ,( )) 3
d G SAC EG
d B SAC EB
⇒ = =
1 2
( ,( )) ( ,( ))
3 6
a
d G SAC d B SAC⇒ = =
Bài 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a,

·
0
3
60 , ( ),
4
a
BAD SO ABCD SO= ⊥ =
.Tính khoảng cách từ O và A đến mp(SBC)
Giải
Dựng OI
⊥
BC tại I
Trang 7
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
Ta có
( )
SO( ( )
BC IO
BC SOI
BC SO ABCD

⊥
⇒ ⊥

⊥ ⊥

Dựng OH
⊥
SI tại H khi đó ta có

( )
( ( )
OH SI
OH SBC
OH BC BC SOI

⊥
⇒ ⊥

⊥ ⊥

Vậy :
( ,( ))d O SBC OH=
(1)
Ta có :
3
2 4
OC a
OI = =
(
·
0
30BCO =
)
Kéo dài OI cắt AD tại J, lúc đó
IJ AD⊥
và IJ = 2OI =
3
2
a

Ta có tam giác ISJ đều (Vì SI = IJ = SJ =
3
2
a
)
Dựng JL
⊥
SI tại L
thì JL
⊥
(SBC) và JL =
1 3
2 4
a
SO SO= =
Vì AD//(SBC) nên d(A,(SBC)) = d(J,(SBC))
=
3
4
a
JL =
Mặt khác ta lại có : OH =
1 3
2 8
a
JL =
3
( ,( )
8
a

d O SBC⇒ =
và
3
( ,( )
4
a
d A SBC⇒ =
Bài 3 : Trong mặt phẳng
( )P
cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 2a, góc
·
0
60ACB =
.Dựng hai đoạn thẳng BB' = a, CC' = 2a cùng vuông góc với mặt
phẳng (P) và cùng ở một bên đối với (P).Tính khoảng cách từ
a) C' đến mặt phẳng (ABB')
b) Trung điểm của B'C đến mặt phẳng (ACC')
c) B' đến mặt phẳng (ABC')
Trang 8
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
d) Trung điểm BC đến mặt phẳng (AB'C')
Giải
a) Ta có CA
⊥
AB(Vì tam giác ABC vuông A)
CA
⊥
BB'(Do BB'
⊥

(ABC),AC
⊂
(ABC)
⇒
AC
⊥
(ABB')
⇒
d(C,(ABB')) = AC = BC.cos60
0
= a
Mặt khác CC'//BB'
⇒
CC'//(ABB')
⇒
d(C',(ABB')) = d(C,(ABB')) = a
b)Ta có
( ')
'( ' ( ))
BA AC
BA ACC
BA CC CC ABC

⊥
⇒ ⊥

⊥ ⊥

⇒
d(B,(ACC')) = BA = BC.sin60

0
=
3a
Vì BB'//CC' nên ta có
d(B',(ACC')) = d(B,(ACC')) =
3a
Gọi M là trung điểm của B'C, ta có
B'M cắt mặt phẳng (ACC') tại C
⇒
( ,( ')) 1
( ',( ')) ' 2
d M ACC CM
d B ACC CB
= =

⇒
d(M,(ACC')) =
1 3
( ',( '))
2 2
a
d B ACC =
c) Dựng CH
⊥
AC'(H
∈
AC')
ta có CH
⊂
(ACC')

⇒
CH
⊥
AB
'
( ') ( ,( '))
CH AC
CH ABC CH d C ABC
CH AB

⊥
⇒ ⊥ ⇒ =

⊥

Trong tam giác vuông ACC' có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 5
' 4 4CH CC AC a a a
= + = + =
⇒
2
5
a
CH =
Tứ giác BCC'B' là hình thang vuông tại B và C
nên B'C và BC' cắt nhau tại E
⇒
E = B'C
∩

(ABC')
Trang 9
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
⇒
( '( ')) ' ' 1
( ,( ')) ' 2
d B ABC EB BB
d C ABC EC CC
= = =
⇒
1 1 5
( ',( ')) ( ,( '))
2 2 5
a
d B ABC d C ABC CH= = =
d) Gọi I là trung điểm BC, L là giao điểm của BC và B'C'
Vì BB'//CC' và BB' =
1
'
2
CC
, nên B là
trung điểm CL
Dựng BN
⊥
AL(N
∈
AL), Dựng BK
⊥

B'N(K
∈
B'N)
Ta có
( ' )
'
AL BN
AL BB N AL BK
AL BB

⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

Mà
{ }
'
( ' ')
'
( ' '), ( ' ')
BK AL
BK B N
BK AB C
AL B N N
AL AB C BL AB C

⊥

⊥


⇒ ⊥

∩ =


⊂ ⊂

⇒
BK =
( ,( ' '))d B AB C
Trong tam giác ACL có :
2 2 2 0 2 2 2
1
2 . . 60 (4 ) 2(4 ). . 13
2
AL CL CA CL CA cos a a a a a= + − = + − =
⇒
13AL a=
Diện tích tam giác BLA :
·
1 1 1
. . .sin . 3.
2 2 2
BLA
S BN AL BL BA LBA a a= = =
(Vì
·
·
0 0

180 150 )LBA ABC= − =
⇒
2
3 39
13
13
a a
BN
a
= =
Trong tam giác vuông B'BN có :
2 2 2 2 2 2
1 1 1 13 1 16 3
4
' 3 3
a
BK
BK BN BB a a a
= + = + = ⇒ =
Trang 10
C
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
Mặt khác : BI cắt AB'C' tại L
⇒
( ,( ' ')) 3 3 3 3
( ,( ' ')) . ( ,( ' '))
( ,( ' ')) 2 2 8
d I AB C LI a
d I AB C d B AB C

d B AB C LB
= = ⇒ = =
Nhận xét : Trong bài toán trên các khoảng cách được tính trung gian qua khoảng
cách từ một điểm khác với yêu cầu của bài toán và để tìm được các điểm trung
gian này ta phải tìm các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có sẵn trên hình
vẽ.Chẳng hạn câu a thì có sẵn đường thẳng CA
⊥
(ABB') do đó ta tính d(C,(ABB')
Bài 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SA =
a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).Gọi I, M theo thứ tự là trung điểm của SC
và AB.Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM, từ đó suy ra khoảng cách từ S
tới CM
Giải
Trong tam giác SAC ta có :
OI là đường trung bình
⇒
OI//SA
⇒
OI
⊥
(ABCD)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên MC, ta có
CM HI
CM OH
CM OI

⊥
⇒ ⊥

⊥


Gọi K là trọng tâm của tam giác ABC, ta có
1 2
2 2
1 2
3 6
a
OB AC
a
OK OB
= =
= =

Trong tam giác OCK vuông tại O, ta có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 20 20
20
2 2
6 2
a
OH
OH OK OC a
a a
= + = + = ⇒ =
   
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Trong tam giác vuông OIH có
Trang 11

Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
2
2
2
2 2 2
20 3 30
2 20 10 10
a a a a
HI OI O H IH
 
 
= + = + = ⇒ =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Vậy khoảng cách từ I tới CM là :
30
10
a
Vì SI cắt CM tại C nên
( , ) 30
2 ( , ) 2 ( , ) 2 ( , )
( , ) 5
d S CM SC a
d S CM d I CM IH d S CM
d I CM IC
= = ⇒ = = ⇒ =

Dạng toán 2 : Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng
Bài 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong
đường tròn đường kính AD = 2a và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy
(ABCD).SA =
6a
.Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC)
Giải
Vì AD//BC nên AD//(SBC) do đó
d(AD,(SBC)) = d(A,(SBC))
Dựng AE
⊥
BC tại E , ta có
( )
BC AE
BC SAE
BC SA

⊥
⇒ ⊥

⊥

Dựng AF
⊥
SE tại F, ta có
( )
( ( ))
AF SE
AF SBC
AF BC BC SAE


⊥
⇒ ⊥

⊥ ⊥

Vậy d(AD,(SBC)) = d(A,(SBC)) = AF
Xét tam giác vuông SAE ta có
AE = AB.sin
·
0
3
.sin60
2
a
ABE a= =
Xét tam giác vuông SAE ta có
Trang 12
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
( )
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3
2
6 3
2
AF SA AE a
a a
= + = + =
 

 ÷
 ÷
 
2
2
2 6
3 3
a a
AF AF⇒ = ⇒ =
Vậy : d(AD,(SBC)) =
6
3
a
AF =
Dạng toán 3 : Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
a) Hai đường thẳng chéo nhau nhưng vuông góc với nhau
Bài 6 : Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA =
2a
, đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = a.Gọi M là trung điểm AB.Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC
Giải
Ta có :
( )
BC SA
BC SAB BC SM
BC AB

⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥


⊥

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên SM
⇒
BH
⊥
SM (1)
khi đó SM cắt HB tại H(H
SM∈
)
BC
⊥
(SAB)
⇒
BC
⊥
BH(BH
( )SAB⊂
(2)
Từ (1) và (2)
⇒
d(SM,BC) = BH
Hai tam giác vuông
BHM∆
,
SAM∆
đồng dạng với
nhau vì
·
·

SMA BMH=
(Hai góc đối đỉnh)
⇒
2
2
. 2
. 2
2
3
2
4
a
a
BH SA BM SA a
BH
BM SM SM
a
a
= ⇒ = = =
+
Vậy : d(SM,BC) =
2
3
a
Trang 13
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với
nhau
Bài 7 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,

AB = a, BC = a, AD = 3a, CD = a
7
và SA = a
2
.SA
⊥
(ABCD).Hãy tính
khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau
a) SA và CD
b) AB và SD
c) AD và SC
Giải
a) Trong tam giác ACD có
( ) ( )
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 7 9
(3 ) 9
AC CD a a a
AD a a
AD AC CD

+ = + =



= =


⇒ = +
ACD⇒ ∆
vuông tại C
Khi đó : d(SA,CD) = AC =
2a
b) Ta có
( )
AB AD
AB SAD AB SD
AB SA

⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

Dựng AH
⊥
SD (H
SD∈
) khi đó ta có
( ( ), ( ))
AH SD
AH AB AB SAD AH SAD

⊥

⊥ ⊥ ⊂

Suy ra : d(AB,SD) = AH

Ta có :
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 11
2 9 18AH SA AD a a a
= + = + =
2
2
18 3 22
11 11
a a
AH AH⇒ = ⇒ =
c) Ta có
( )AD SBC SB⊥ ⊃
mà SB là hình chiếu
Trang 14
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
của SC xuống (SAB)(Vì CB
⊥
(SAB))
- Từ A dựng AK
⊥
SB (K
∈
SB)
- Từ K dựng KE//BC ( E
∈
SC)
- Từ E dựng EF//KA (F
∈

AD)
Theo cách dựng ta có : EF = AK = d(AD,SC)
Mặt khác ta có :
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2
2 3AK SA AB a a a
= + = + =
2
2
2 2
3
3
a a
AK AK⇒ = ⇒ =
.Vậy d(AD,SC) =
2
3
a
EF AK= =
Bài 8 : Cho hình lăng trụ ABCA'B'C' có các mặt bên đều là hình vuông cạnh
a.Gọi D,E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , A'C', C'B'.Tính khoảng cách
giữa các cặp đường thẳng sau
a) DE và AB' b) A'B và B'C'
Giải
a) Ta thấy DF cắt B'C tại K là trung điểm của mỗi
đường.Gọi E' là trung điểm của AC thì E'K//AB'
mà B'C cắt mặt phẳng (DFEE') tại K và
AB'//(DFEE'), suy ra
d(AB',DE) = d(AB',(DFEE')) = d(B',(DFEE'))
= d(C,(DFEE')).

Lấy M' là trung điểm DE' và CM' cắt AB tại M
Ta có d(C,DFEE')) = CM'
=
1 3 3
( ', )
2 4 4
a a
CM d AB DE= ⇒ =
Trang 15
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
b) Vì B'C'//(BAC) và A'B
⊂
(BA'C) nên
d(A'B,B'C') = d(B'C',(BA'C)) = d(F,(BA'C))
Dựng FH
⊥
A'D tại H thì FH
⊥
(BA'C)
⇒
d(F,(BA'C)) = FH
Mà
2 2 2 2
1 1 1 7
' 3FH A F FD a
= + =
2
2
3 21

7 7
a a
FH FH⇒ = ⇒ =
Vậy : d(A'B,B'C') =
21
7
a
III - Bài tập đề nghị
Bài 1 : cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có các mặt bên là hình vuông cạnh bằng
a.Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, A'C', B'C'.Tính khoảng cách
giữa các cặp đường thẳng sau
a) DE và AB' b) A'B và B'C' c) DE và A'F
Bài 2 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi tâm O, SO vuông góc
mặt phẳng (ABCD); AC = 4, BD = 2, SO =
3
.Gọi M là trung điểm SC. Tính
a) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
b) Tính khoảng cách giữa SA và BM
Bài 3 : Cho hai tia Ax và By chéo nhau, góc giữa Ax và By bằng 60
0
và AB = a
là đoạn vuông góc chung của chúng.Trên By lấy C sao cho BC = a.Gọi D là hình
chiếu vuông góc của C trên Ax
a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD)
b) Tính khoảng cách giữa AC và BD
Trang 16
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
Bài 4 : Cho hình vuông ABCD cạnh a.Gọi I là trung điểm AB.Dựng SI vuông
góc mặt phẳng (ABCD) và SI =

3
2
.Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các
cạnh BC, SD, SB.Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng
a) NP và AC
b) MN và AP
Bài 5 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' và AA' = 1, đáy ABC là tam giác
vuông tại A có BC = 2, AB =
3
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B')
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC)
C. Kết luận
I. Kết quả:
Sau một năm học 2012-2013 qua việc áp dụng cho đối tượng học sinh ở 3
lớp 11 của trương THPT Tĩnh Gia 4, kết quả thu được như sau:
Lớp SL Loại giỏi Loại khá Loại TB Loại yếu
SL % SL % SL % SL %
11B1 45 15 33,3 20 44,4 8 17,7 2 4,6
11B3 46 10 21,7 15 32,6 18 39,1 3 6,6
11B8 42 7 16,7 10 23,8 20 47,6 5 11,9
II. Kiểm nghiệm lại kết quả:
1. Kết quả của biện pháp mới:
Ban đầu học sinh chưa làm quen được phương pháp mới, các em còn nhút nhát,
thụ động, đợi đến khi giáo viên gọi thì các em mới phát biểu ý kiến. Và các em
không tự mình phân tích được bài giải mà phải có sự gợi ý của giáo viên nên kết
quả tiết dạy không cao. Dần về sau học sinh hoạt động tích cực và có tính tự giác,
các em mạnh dạn đứng lên phân tích và tự mình trình bày bài giải một cách logíc,
có khoa học.
2. Phạm vi tác dụng của sáng kiến kinh nghiệm:
Trang 17

Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
a. Đối với bản thân:
- Giáo viên phải nghiên cứu sâu, kỹ về kiến thức chuyên môn và các kiến thức
liên quan đến bài dạy. Nên từ đó đã xoá đi tính chủ quan của giáo viên, dần theo
thời gian giáo viên đã tự bồi dưỡng cho mình một kiến thức chuyên môn vững
vàng.
- Những cách giải quyết vấn đề khác nhau của học sinh làm cho giáo viên có
nhiều kinh nghiệm trong dự đoán các tình huống và xử lý tình huống.
b. Đối với học sinh:
- Đa số các em đều biết vẽ hình và nhiều em vẽ đẹp và rất chính xác, qua đó các
em đã giải được các bài toán về hình học không gian cơ bản.Nhiều em đã giải
được các bài toán khó, tìm ra được nhiều cách giải khác nhau và độc đáo từ một
bài toán đã được giải
- Học sinh học môn học này không còn gò bó theo khuôn mẫu, mà các em phát
huy được tính tích cực, độc lập, sáng tạo trong học tập.
- Các em học sinh học, từ những bước cơ bản vững chắc đầu tiên, dẫn đến đam
mê, rồi các em hiển nhiên trở thành một học sinh giỏi toán
c. Đối với đồng nghiệp, tổ nhóm chuyên môn:
Đây là phương pháp không khó, giáo viên nào cũng có thể thực hiện được. Và
đặc biệt là áp dụng được đối với tất cả các đối tượng học sinh. Nên tôi đã đem
phổ biến trong tổ, các anh em trong tổ cũng có nhiều góp ý quí báu và đã mạnh
dạn áp dụng phương pháp này vào lớp mình phụ trách và bước đầu đã mang lại
thành công.
3. Nguyên nhân thành công và tồn tại:
a. Nguyên nhân thành công:
- Sử dụng cơng nghệ thông tin vào môn hình học là một trải nghiệm mới mẻ và
đầy tính sáng tạo, gây hứng thú cho các em, có thể biểu biễn và biến tấu hình học
một cách sinh động, phát huy được tối đa tính sáng tạo trong giải toán
- Bản thân, đã có sự đam mê môn toán học từ khi còn ngồi dưới ghế nhà trường

phổ thông, say sưa nghiêm cứu tìm ra những phương pháp mới trong giảng dạy
Trang 18
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
- Được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến nhiệt tình của các đồng nghiệp trong tổ
chuyên môn.
- Lớp tôi phụ trách phần lớn học sinh đều có tinh thần vượt khó, tự giác học tập.
b. Tồn tại:
- Các bài toán có liên quan đến hình học nhất là hình học không gian lớp 11, phần
lớn các em không có nhiều hứng thú vì nó khó và không có định hướng trước để
giải được nó.
- Các bài toán liên quan đến nhiều kiến thức khác nhau đòi hỏi các em phải có
kiến thức vững vàng về hình học phẳng, các kiến thức liên quan đến đại số và
nhất là cách vẽ hình học và biểu diễn trong không gian
4. Bài học kinh nghiệm:
Đối với các bài toán đòi hỏi cần phải có sự tư duy như các dạng toán ở trên,
thì học sinh đôi lúc phân tích hướng giải không đúng với ý đồ của giáo viên. Khi
đó giáo viên phải tôn trọng và phân tích theo hướng giải của các em, sau đó chỉ rõ
các ưu khuyết điểm của hướng giải mà các em đã đưa ra.
Theo phương pháp trên làm cho học sinh tiếp thu bài học một cách tích cực
và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo có khoa học. Kết quả thu được góp phần
không nhỏ để đáp ứng được nhu cầu đổi mới phương pháp dạy học mà ngành
giáo dục đề ra.
III. Đề xuất và kiến nghị:
G.Polya (1887 - 1985) một nhà toán học và sư phạm nổi tiếng của Mỹ đã
từng nói "Dạy học không phải một khoa học mà là một nghệ thuật".Do đó ở mỗi
thầy giáo giỏi đều có phương pháp riêng, và mỗi thầy giáo giỏi khác mọi thầy
giáo giỏi khác ở phương pháp đó.Chính vì lẽ đó việc nâng cao chất lượng giảng
dạy bộ môn học là nhiệm vụ, trách nhiệm cũng là lương tâm của các thầy, cô
giáo. Với tinh thần đó tôi mong muốn góp phần nhỏ trí tuệ của mình trong giảng

dạy với cc đồng nghiệp, mong tất cả các thầy, cô giáo có nhiều SKKN hay góp
phần nâng cao chất lượng giảng dạy nói chung và bộ môn Toán nói riêng.
Tôi xin chân thành cảm ơn
Trang 19
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác
Người thực hiện
Mai Tiến Linh
Trang 20
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
PHỤ LỤC
MỘT SỐ SÁCH VÀ WEBSITE ĐÃ THAM KHẢO
1 Chuyên đề giải toán hình học không gian
Nguyễn Anh Trường-
Nguyễn Tấn Siêng
2 Các dạng toán luyện thi đại học - Nhà xuất bản HN
Phan Huy Khải
3 500 bài toán hình học không gian chọn lọc
Nguyễn Đức Đồng
4
Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học và tuổi trẻ
quyển 1,2,3,4,5,6 - Nhà xuất bản giáo dục
Nhiều tác giả
5 Bài giảng toán trọng tâm chương trình chuẩn toán 11
Lê Hồng Đức

6 Giải toán hình học 11
Trần Thành Minh
7 www.vnmath.com
Trang web toán học
8
Thư viện, tư liệu
9
Thư viện, tư liệu
10 www.mathvn.com
Trang toán học
11
Trang web toán học
12
Trang web toán học
13
Trang web toán học
14
Trang web toán học
15
Trang web toán học
16 />Trang web toán học
17 www.moet.gov.vn
Trang web bộ giáo dục
18
Trang web bách khoa
toàn thư mở
Trang 21