skkn rèn luyện kỹ năng giải một số bài tập trắc nghiệm chương i – giải tích 12 cho học sinh yếu kém

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Năm học 2016 – 2017 là năm đầu tiên áp dụng thi THPT quốc gia môn toán bằng
hình thức trắc nghiệm khách quan với nội dung chủ yếu là chương trình lớp 12.
Đây là một khó khăn cho giáo viên giảng dạy và cho người học, đặc biệt là học sinh
còn yếu kém môn toán.
Môn toán lớp 12 bao gồm các nội dung cơ bản: Khảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị của hàm số và bài toán liên quan; phương trình – bất phương trình mũ và
logarit; tích phân và ứng dụng; số phức và các phép toán trên số phức; thể tích khối
đa diện; diện tích và thể tích khối tròn xoay; đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu
trong không gian tọa độ. Mỗi nội dung đều được sắp xếp phù hợp, khoa học, logic
sư phạm nên có độ dễ, khó tăng dần trong từng nội dung. Đặc biệt chương I – Giải
tích 12 là chương mà nội dung kiến thức nhiều trong các đề tuyển sinh hay các đề
thi THPT QG, cũng như đề thi Đại học – Cao đẳng trước đây đều chiếm số điểm
cao, và dự báo đề thi THPT QG năm 2017 số lượng câu trắc nghiệm ở chương
chương I – Giải tích 12 có khoảng 11 câu. Do đó khi học tập chương I – Giải tích
12, học sinh gặp phải khó khăn nhất định đòi hỏi giáo viên phải có những biện pháp
giúp đỡ các em khắc phục, nhất là những em có năng lực yếu kém. Đây là vấn đề
khá nan giải song với kinh nghiệm một số năm giảng dạy lớp 12, với tinh thần nhiệt
huyết yêu nghề thương yêu học sinh, đặc biệt là các em yếu kém. Vì vậy nên tôi
mạnh dạn chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ năng giải một số bài tập trắc nghiệm
chương I – Giải tích 12 cho học sinh yếu kém”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Trên cơ sở nghiên cứu “Rèn luyện kỹ năng giải một số bài tập trắc nghiệm
chương I – Giải tích 12 cho học sinh yếu kém” và tìm hiểu những khó khăn của học
sinh trong học tập toán lớp 12, bước đầu tìm ra những biện pháp giúp học sinh yếu
kém khi thực hành và góp phần nâng cao chất lượng dạy học và kết quả kỳ thi
THPT QG.
Trang 1

3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Tìm hiểu thực trạng học toán nói chung và thực trạng giải toán của học sinh
lớp 12 ở trường THPT để phát hiện học sinh yếu kém, từ đó đề xuất các biện pháp
giúp đỡ các em khắc phục khó khăn khi giải toán.
Thử nghiệm bằng cách soạn và dạy một số giáo án theo các biện pháp giúp
đỡ học sinh yếu kém khắc phục khó khăn khi giải toán lớp 12, cùng với một đề
kiểm tra chương I giải tích.
4. PHẠM VI, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

a) Phạm vi nghiên cứu:
Đề tài nghiên cứu những khó khăn khi học sinh yếu kém giải bài tập trắc
nghiệm chương I – giải tích 12.
b) Đối tượng nghiên cứu:
Một số biện pháp giúp đỡ học sinh yếu kém giải một số bài tập trắc nghiệm
chương I – giải tích 12.
5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu các giải pháp của đề tài phù hợp với đối tượng học sinh thì sẽ nâng cao
được chất lượng dạy và học cũng như thi THPT QG.
6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi
đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
6.1. Phương pháp phân tích và hệ thống hóa các tài liệu
Nhằm phân tích các tài liệu có liên quan đến biện pháp giúp đỡ học sinh yếu
kém trong học tập môn toán ở lớp cuối cấp THPT, trong đó chú trọng sách giáo
khoa, sách giáo viên, chương trình giảm tải toán lớp 12 để nắm chuẩn kiến thức, kỹ

năng trong dạy học môn toán ở khối lớp này.
6.2. Phương pháp phỏng vấn

Trang 2


Nhằm phỏng vấn các giáo viên đang dạy lớp 12 để phát hiện những học sinh
học tập yếu kém môn toán và phỏng vấn những học sinh này để nắm được mức độ
học toán.
6.3. Phương pháp thực nghiệm
Nhằm khẳng định các biện pháp giúp đỡ học sinh yếu kém khi thực hành giải
toán
6.4. Phương pháp sử dụng toán học để xử lí số liệu
Áp dụng một số công thức thống kê để xử lí các số liệu thực tế thu thập được
7. ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI

- Hướng dẫn học sinh biết vận dụng kiến thức căn bản về việc giải nhanh,
chính xác một số dạng bài tập trắc nghiệm chương I – giải tích 12 và một số “mẹo”
khi giải toán trắc nghiệm nhằm giúp học sinh yếu kém có hứng thú học tập môn
toán.
- Đưa ra hệ thống bài tập vận dụng phương pháp giải trên.
PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
1 . Cơ sở lý luận
+ Các vấn đề về tâm sinh lý đã được Bộ GD-ĐT nghiên cứu và cụ thể hóa
bằng khung phân phối chương trình cho chương I – giải tích 12.
+ Một học sinh bình thường về mặt tâm lý không có bệnh tật đều có khả
năng tiếp thu môn toán theo yêu cầu phổ cập của chương trình toán THPT.
+ Những học sinh từ trung bình trở xuống: Các em có thể học đạt yêu cầu
của chương trình nếu được hướng dẫn một cách thích hợp.

2. Cơ sở thực tiễn giảng dạy chương I – giải tích 12
2.1 Vấn đề thực tiễn
Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy:

Trang 3


Với môn toán, hầu hết các học sinh yếu đều có một nguyên nhân chung là: kiến
thức ở các lớp dưới bị hổng; không có phương pháp học tập; tự ti, rụt rè, thiếu hào
hứng trong học tập.
+ Ở mỗi học sinh yếu bộ môn toán đều có nguyên nhân riêng, rất đa dạng.
Có thể chia ra một số loại thường gặp là:
•

Do quên kiến thức cơ bản, kỹ năng tính toán yếu.

•

Do chưa nắm được phương pháp học môn toán, năng lực tư duy

bị hạn chế (loại trừ những học sinh bị bệnh lý bẩm sinh). Nhiều học sinh thể lực
vẫn phát triển bình thường nhưng năng lực tư duy toán học kém phát triển.
•

Do lười học.

•

Do thiếu điều kiện học tập hoặc do điều kiện khách quan tác

động, học sinh có hoàn cảnh đặc biệt (gia đình xảy ra sự cố đột ngột, hoàn cảnh éo
le…).
+ Xác định rõ một trong những nguyên nhân trên đối với mỗi học sinh là
điều quan trọng. Công việc tiếp theo là giáo viên có biện pháp để xoá bỏ dần các
nguyên nhân đó, nhen nhóm lại lòng tự tin và niềm hứng thú của học sinh đối với
việc học môn Toán.
2.2 Mục đích yêu cầu về chuẩn kiến thức và kỹ năng chương I – giải tích 12
Chủ đề
1.Xét tính
đơn điệu của
hàm số.

Mức độ cần đạt

Ghi chú

Về kiến thức :
- Biết mối liên hệ giữa sự đồng Ví dụ. Xét sự đồng biến, nghịch
biến, nghịch biến của một hàm số biến của một hàm số:
và dấu đạo hàm cấp một của hàm

y = x4 − 2x2 + 3

số.

y = 2 x3 − 6 x + 2

Về kỹ năng::
- Biết cách xét sự đồng biến,
Trang 4

y=

3x + 1
.
1− x


Chủ đề

Mức độ cần đạt

Ghi chú

nghịch biến của một hàm số trên
một khoảng dựa vào dấu đạo hàm
cấp một của nó.
2. Cực trị của Về kiến thức :
hàm số.

- Biết các khái niệm điểm cực

Ví dụ. Tìm các điểm cực trị của

đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị

các hàm số:

của hàm số.

y = x 3 (1 − x ) 2

- Biết các điều kiện đủ các điểm

y = 2 x 3 + 3x 2 − 36 x − 10

cực trị của hàm số.
Về kỹ năng:
- Biết cách tìm điểm cực trị của
hàm số.
3. Giá trị lớn

Về kiến thức :

Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất

nhất, giá trị

- Biết các khái niệm giá trị lớn

và giá trị nhỏ nhất của hàm số

nhỏ nhất của

nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = x3 − 3x 2 − 9 x + 35

hàm số.

trên một tập hợp số.

trên đoạn [- 4; 4].
Ví dụ. Tính các cạnh của

Về kỹ năng:
-

Biết cách tìm giá trị lớn nhất,

hình chữ nhật có chu vi nhỏ

giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

nhất trong tất cả các hình chữ

4. Đường

một đoạn, một khoảng.
Về kiến thức :

nhật có diện tích 48m2.
Ví dụ. Tìm đường tiệm cận

tiệm cận của

- Biết khái niệm đường tiệm cận

đứng và đường tiệm cận ngang

đồ thị hàm

đứng, đường tiệm cận ngang của

của đồ thị các hàm số

số. Định

đồ thị.

nghĩa và cách
Trang 5


Chủ đề

Mức độ cần đạt

tìm các

Về kỹ năng:

đường tiệm

- Biết cách tìm đường tiệm đứng,

cận đứng và

tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ghi chú
y=

3x − 2
x+3
; y= 2
.
2x + 1
x −4

tiệm cận
ngang.
5. Khảo sát

Về kiến thức :

hàm số. Sự

- Biết các bước khảo sát và vẽ đồ Ví dụ. Khảo sát và vẽ đồ thị các

tương giao

thị hàm số (tìm tập xác định, xét

hàm số :

của hai đồ

chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm

thị. Cách viết

tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ

x4
3
y=
− x2 − ;
2
2

phương trình

đồ thị).

y = −x3 + 3x + 1;

Về kỹ năng:

y=

tiếp tuyến của
đồ thị hàm
số.

- Biết cách khảo sát và vẽ đồ thị
của các hàm số
y = ax + bx + c,(a ≠ 0)
4

2

y = ax3 + bx 2 + cx + d , (a ≠ 0)
và y =

ax + b
(ac ≠ 0), trong đó
cx + d

a, b, c, d là các số cho trước .
-

Biết cách dùng đồ thị hàm số

4x + 1
.
2x − 3

Ví dụ. Dựa vào đồ thị của hàm
số y = x3 + 3 x 2 , biện luận
số nghiệm của phương
trình x 3 + 3x 2 + m = 0 theo
giá trị của tham số m.
Ví dụ. Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số

để biện luận số nghiệm của một

y = − x4 − 2 x2 + 3

phương trình.

rằng hệ số góc của tiếp

-

tuyến đó là - 8.

Biết cách viết phương trình

tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
một điểm thuộc đồ thị hàm số.
Trang 6

biết

Ví dụ. Viết phương trình
tiếp tuyến của đồ thị hàm số


Chủ đề

Mức độ cần đạt

Ghi chú
y = 2 x3 − 3 x 2 + 1 tại điểm có
hoành độ 2.

2.3. Phương pháp dạy học toán 12
2.3.1.Phương pháp dạy học bài mới

a) Giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề của bài toán.
Phần bài học (phiếu học) thường được nêu thành cùng một loại tình huống có
vấn đề nhưng tương đối đơn giản, rồi để tự học sinh giải quyết (vì đối tượng ta
hướng tới là học sinh yếu kém). Thời gian đầu, giáo viên hướng dẫn học sinh và
giải quyết vấn đề, dần dần yêu cầu học sinh tự nêu và giải quyết.
b) Giúp học sinh chiếm lĩnh kiến thức mới.
Phân chia theo thời gian, giáo viên giúp học sinh tự nêu, tự giải quyết vấn đề,
tự xây dựng kiến thức mới. Đương nhiên trong các bài toán giáo viên đều phải giúp
học sinh ghi nhớ kiến thức mới (như các công thức).
c) Giúp học sinh phát hiện chiếm lĩnh kiến thức.
Từ tình huống có thực trong đời sống
Giải quyết vấn đề đơn giản tìm ra kiến thức mới
Xây dựng rồi ghi nhớ và vận dụng kiến thức mới vào các tình huống khác
trong thực hành sẽ chiếm lĩnh kiến thức đã phát hiện
d) Hướng dẫn học sinh thiết lập mối quan hệ giữa kiến thức mới và kiến thức đã
học trước đó.
Huy động kiến thức đã học và vốn sống để phát hiện và chiếm lĩnh kiến thức
mới
Đặt kiến thức mới trong mối quan hệ với kiến thức đã có
e) Giúp học sinh thực hành, rèn luyện cách diễn đạt thông tin bằng lời, bằng kí
hiệu.
Trang 7


Trong quá trình dạy học giáo viên phải quan tâm đến việc rèn luyện cách
diễn đạt ngắn gọn, rõ ràng, vừa đủ nội dung, logic trong phát biểu và bài làm tự
luận.
2.3.2. Phương pháp dạy học các bài luyện tập, ôn tập
a) Giúp học sinh nhận ra các kiến thức mới học trong các dạng bài tập khác nhau
Khi luyện tập, nếu học sinh nhận ra kiến thức đã học trong mối quan hệ mới

thì tự học sinh sẽ làm được bài. Nếu học sinh không nhận ra được kiến thức đã học
trong các dạng bài tập thì giáo viên nên giúp các em bằng cách hướng dẫn, gợi ý để
tự học sinh nhớ lại kiến thức.
b) Giúp học sinh luyện tập theo khả năng các em.
Bao giờ cũng yêu cầu học sinh phải làm các bài tập theo thứ tự đã sắp xếp
trong phiếu, sử dụng nhiều đơn giản tạo hứng thú cho học sinh.
Cần chấp nhận tình trạng: trong cùng một khoảng thời gian, có học sinh khá,
giỏi làm được nhiều bài tập hơn học sinh khác.
c) Hỗ trợ, giúp đỡ nhau giữa các đối tượng học sinh (học sinh khá, giỏi kèm học
sinh yếu, kém).
Nên khuyên khích học sinh bình luận về cách giải của bạn, tự rút kinh
nghiệm trong quá trình trao đổi ý kiến.
Sự hỗ trợ giữa các học sinh trong nhóm, trong lớp góp phần tạo mối đoàn kết
và sự mặc cảm tự ti của học sinh yếu dần dần không còn.
d) Tập cho học sinh thói quen không thoả mãn với bài làm của mình đã làm.
Sau mỗi tiết học, tiết luyện tập nên tạo cho học sinh niềm vui vì đã hoàn
thành công việc được giao, niềm tin vào sự tiến bộ của bản thân (khuyến khích, nêu
gương …).
Khuyến khích học sinh giải nhiều bài toán ở nhà với những bài đơn giản đến
khó mà các em đã làm ở lớp. Có những biện pháp cụ thể để giúp các em vươn lên
trong học tập
Trang 8


CHƯƠNG II: MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP ĐỠ HỌC SINH YẾU KÉM GIẢI TOÁN LỚP
12

1.Thực trạng học toán của học sinh lớp 12 ở trường THPT
1.1. Những thuận lợi:
Dù trường đóng trên địa bàn còn có nhiều xã nông thôn gặp nhiều khó khăn

nhưng hầu hết phụ huynh học sinh rất quan tâm đến việc học tập của con em mình
nên đã tạo những điều kiện tốt nhất có thể để học sinh đến trường.
Tuy trình độ chuyên môn và khả năng tay nghề của giáo viên còn hạn chế,
nhìn chung tất cả giáo viên đều có tâm huyết, yêu nghề, yêu học sinh và cố gắng
hết mình vì sự phát triển của các em.
Trong 2 năm qua, nhà trường rất quan tâm đặc biệt đối với các học sinh học
lực yếu kém, nhà trường đã thành lập các lớp “Chống liệt” môn toán, môn văn và
môn tiếng anh cho các đối tượng này và tôi là người được trực tiếp phụ trách một
trong các lớp này.
1. 2. Những khó khăn:
Do đa số học sinh đối tượng này là con em nông dân nghèo nên một buổi đến
trường và buổi còn lại ở nhà giúp đỡ công việc cho bố mẹ. Ngoài ra, có một số em
học sinh do điều kiện bố mẹ đi làm ăn xa nên việc học và quản lý ở nhà không
được ai quan tâm.
Cũng vì lí do trên mà học sinh không được trang bị đầy đủ về đồ dùng học
tập như sách giáo khoa, vở, bút, máy tính; không có các phương tiện nghe, nhìn để
mở mang hiểu biết.
Còn một bộ phận phụ huynh học sinh chưa quan tâm đến việc học tập và rèn
luyện của con em mình và trong số những học sinh có phụ huynh như vậy đã có kết
quả học tập yếu kém.
Tinh thần vượt khó để học tập của học sinh chưa cao, thái độ và động cơ học
tập còn có những điểm chưa tốt.
1.3. Chất lượng học tập môn Toán của học sinh lớp 12
Trang 9


1.3.1. Cách đánh giá chất lượng học Toán của học sinh lớp 12A10, 12A11:
a. Trao đổi với giáo viên dạy lớp 12.
Bằng cách trao đổi với các giáo viên đang dạy lớp 12 để qua đó phát hiện
những học sinh yếu kém trong học tập môn Toán.

b. Khảo sát bằng bài kiểm tra.
Để phát hiện chính xác những học sinh yếu kém trong học tập môn Toán,
biện pháp tốt nhất là cho học sinh làm bài kiểm tra.
1.3.2. Kết quả đánh giá chất lượng đầu năm học 2016 - 2017 của học sinh lớp 12:
SỸ
STT

01
02

MÔN

Toán

LỚP

TB trở

lên
SỐ SL %

Giỏi

Khá

T . Bình

Yếu

Kém

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

12A10

38

26

68.4

0

0

10

26.3

16

42.1

9

23.7

3

12A11

37

25

67.6

0

0

7

18.9

18

48.7

9

24.3

3

%
7.
9
8.
1

Nhận xét: Đầu năm học 2016 – 2017 tỉ lệ học sinh yếu khá nhiều ở 2 lớp của nhà
trường mà tôi được phân công giảng dạy. Điều đó đặt ra cần phải có những biện
pháp cụ thể để giúp các em vươn lên.
Chất lượng học tập môn toán của học sinh lớp 12 như vậy, đòi hỏi nhà
trường và giáo viên phải có những biện pháp phù hợp để giúp đỡ các em. Trước
mắt, trong học kì I năm học 2016 – 2017, cần có những biện pháp để giúp đỡ
những học sinh yếu kém này khắc phục khó khăn khi giải toán, vì đây là nhiệm giáo
dục quan trọng mà nhà trường và thầy cô giáo phải thực hiện có kết quả tốt.
2. Phân loại đối tượng và đề xuất một số biện pháp giúp đỡ học sinh yếu kém
giải toán lớp 12
* Biện pháp : Quan tâm nhiều hơn đối với những học sinh yếu kém.
Quan sát các em thực hiện để phát hiện chữa sai của các em nhằm nhắc các
em kiểm tra để tự phát hiện.

Nếu bài tập có nhiều cách thực hiện, gợi ý để các em phát hiện
Trang 10


Khi thấy các em có kết quả thực hành tốt, cho các em trình bày và khen ngợi
để động viên, khích lệ các em.
Khi trao đổi, thảo luận cần đưa các em vào nhóm có học sinh khá giỏi với số
lượng hợp lí để các em học hỏi bạn thêm.
2.1.Đối tượng 1: “Hổng kiến thức cơ bản”
Kiến thức ở lớp dưới của các em bị hổng, không thể nào bù đắp ngay được
trong một thời gian ngắn. Vì vậy, tôi lập kế hoạch trong suốt cả năm học, đặc biệt là
học kì I để giúp nhóm học sinh loại này lấp dần các lỗ hổng kiến thức. Đối với
những học sinh này phải có thêm thời gian học dưới sự hướng dẫn lại tỉ mỉ những
kiến thức cơ bản, trọng tâm theo một hệ thống riêng và yếu tố dẫn đến thành công
là nắm chắc, luyện kĩ. Trong các buổi học trên lớp thường được kiểm tra, rà soát và
củng cố các kiến thức, chấm bài tay đôi trong tiết luyện tập, thường xuyên khích lệ
động viên mỗi khi các em được điểm cao hơn. Do đó các học sinh này có nhiều tiến
bô; cụ thể là: Giờ học toán các em tập trung hơn, có biểu hiện yêu thích, hay phát
biểu và còn có nhiều sai sót…
2.2.Đối tượng 2: “Mất tự tin”
Vấn đề cơ bản là giúp các em lấy lại lòng tự tin, phát huy được những tố chất
cơ bản đang tiềm ẩn trong mỗi em trong việc học tập môn toán. Phương pháp trực
quan, hệ thống các bài tập từ dễ đến khó, tìm các cách giải khác nhau cùng với các
câu hỏi vừa sức, các bài toán vui, các bài toán gắn với thực tế chính là chìa khoá để
giải quyết vấn đề.
2.3.Đối tượng 3: “Thiếu ý thức trong học tập”
Những học sinh này trong lớp thường không chú ý nghe giảng, mỗi khi làm
bài kiểm tra tại lớp thường cẩu thả, không có ý thức kiểm tra lại bài làm. Thầy (Cô)
giáo nhắc nhở thì xem lại qua loa cho xong chuyện. Bài tập và bài học ở nhà không
chuẩn bị chu đáo trước khi đến lớp. Tóm lại, đối với diện học sinh này cần có sự

Trang 11


kết hợp chặt chẽ với phụ huynh nhằm quản lý việc học ở nhà và việc kiểm tra nhắc
nhở thường xuyên ở lớp để từng bước đưa các em vào nền nếp học tập.
2.4. Đối tượng 4: “Hoàn cảnh khó khăn”
Các em này thiếu thốn cả vật chất lẫn tình cảm. Tôi bố trí thời gian kèm cặp,
lấp dần lỗ hổng kiến thức, hình thành dần phương pháp học toán cho các em. Luôn
khích lệ động viên để các em không bị mặc cảm, tự ti mà tự tin vào bản thân mình
để từ đó vươn lên trong học tập. Với các em này, thầy (cô) giáo phải hết lòng
thương yêu, giúp đỡ. thầy (cô) là chỗ dựa tinh thần và tình cảm của các em
* Biện pháp : Tổ chức phụ đạo cho những học sinh yếu kém.
Với học sinh lớp 12 ở đầu năm học, dù các em yếu kém đến mức nào, cũng
chưa cần phụ đạo nhiều. Điều quan trọng là trong buổi phụ đạo phải xác định chnh
xác “lỗ hổng” của từng em và tiến hành “lấp lỗ” đúng phương pháp như trong dạy
học bài mới, tức là hướng dẫn các em tự nêu và giải quyết vấn đề, yêu cầu các em
tự thành lập lại các công thức tính mà các em chưa nắm được. Tránh làm thay học
sinh.
Để có hiệu quả và đỡ tốn thời gian, trường chúng tôi đã gom học sinh yếu
kém lập một lớp phụ đạo. Giáo viên theo dõi kĩ từng học sinh để nghiên cứu tìm ra
biện pháp giúp đỡ.
CHƯƠNG III: MỘT SỐ NỘI DUNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP TRẮC
NGHIỆM CHƯƠNG I – GIẢI TÍCH 12

1. Phương pháp nhận dạng hàm số qua một đồ thị và ngược lại nhận dạng đồ
thị qua một hàm số.
Học sinh cần nằm rõ các dạng đồ thị của các hàm y = ax 3 + bx 2 + cx + d , (a ≠ 0) ;
y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0); y =

ax + b

(ad − bc ≠ 0) . Chẳng hạn:
cx + d

Trang 12


+ )Đồ thị hàm số: y = ax3 + bx 2 + cx + d , (a ≠ 0) hoặc y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) thì
chúng ta để ý hình dạng tổng quát của đồ thị, hệ số a, giao điểm với trục 0y và
nghiệm y’ = 0.
Cụ thể:
a) Các dạng đồ thị hàm bậc 3 : y = ax 3 + bx 2 + cx + d , (a ≠ 0)

y ' = 0
a > 0 có 2 nghiệm phân biệt


;

y ' ≥ 0 ∀x

a > 0

y ' = 0
a < 0 có 2 nghiệm phân biệt


;

y ' ≤ 0 ∀x


a < 0

Chú ý: Đồ thị hàm bậc 3 luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
Ví dụ 1: Đường cong nào dưới đây là đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 2.

A.

B.

Trang 13

.


C.
D.
Phân tích bài toán: Trước hết ta kiểm tra hệ số a > 0,tức là từ bên trái sang bên
phải đồ thị đi lên, lúc này phương án A và D (loại). Tiếp đến xét đồ thị giao với
trục tung tai giá trị y = 2, lúc này phương án C (loại). Vậy đáp án là B.
Ví dụ 2(Câu 1 đề minh họa của Bộ GD-ĐT): Đường cong trong hình bên là đồ
thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D
dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?

A. y=-x2 + x − 1

B. y=-x3 + 3x + 1

C. y=x4 − x2 + 1

D. y=x3 − 3x + 1

Phân tích bài toán: Quan sát đồ thị, ta nhận thấy đây là đồ thị hàm số bậc 3, có hệ số
a >0. Như vậy các phương án A, B, C đều loại. Đáp án đúng là D.
b) Các dạng đồ thị hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0):

y ' = 0
a > 0 có 3 nghiệm phân biệt


y ' = 0
a > 0 có 1 nghiệm đơn


Trang 14


y ' = 0
a < 0 có 3 nghiệm phân biệt


y ' = 0
a < 0 có 1 nghiệm đơn


Ví dụ 3: Đồ thị trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số:

A. y = x4 − 3x2 − 3 B. y = − 1 x4 + 3x2 − 3 C. y = x4 − 2x2 − 3 D. y = x4 + 2x2 − 3
4
Phân tích bài toán: Quan sát đồ thị, ta nhận thấy đây là đồ thị hàm số bậc 4 trùng
phương, có hệ số a >0, tức là phương án B (loại), Tiếp đến đồ thị hàm số có 3 cực

trị nên phương án D (loại), vì đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và x= + 1 nên
phương án A (loại). Vậy đáp án là C.
Ví dụ 4: Đồ thị nào sau đây là đồ thị của hàm số y = −x4 + 4x2 (C).

A.

B.

C.

D.

Phân tích bài toán: Quan sát đồ thị, ta nhận thấy là đồ thị đi qua gốc tọa độ, nên
phương án C (loại), hệ số a < 0 nên đồ thị bắt đầu từ trái sang phải đồ thị đi lên. Do
đó phương án B và D (loại). Vậy đáp án là A.
3) Dạng đồ thị hàm số: y =

ax + b
(ad − bc ≠ 0)
cx + d
Trang 15


y’< 0 ∀x ∈ D
Đồ thị hàm số: y =

y’> 0 ∀x ∈ D
ax + b
( ad − bc ≠ 0) thì chúng ta để ý tiệm cận đứng, tiệm
cx + d

cận ngang, dấy y’ và giao điểm với trục 0x và 0y.
x+1
?
x −1

Ví dụ 5: Đồ thị nào sau đây là đồ thị của hàm số y =
y

y
2
1 I
0 1 2

A.

I
x

y

2

y
0

1 I

1

-2 -1 0

x

-1 0 1
-1

B.

x

C.

-1
-2

3

2
I

D.

Phân tích bài toán: Dựa vào hàm số, ta nhận thấy rằng đồ thị có tiệm cận đứng x =
1 và tiệm cận ngang y = 1 nên phương án D (loại), tiếp đến đồ thị giao với 0y tại
điềm (0;-1) và 0x tại điểm (-1;0). Do đó phương án A và B (loại). Vậy đáp án là C.
Ví dụ 6: Đồ thị sau đây là của hàm số nào trong các hàm số sau
y
3
2

1
x
-3

-2

-1

1

2

3

-1
-2
-3

A. y =

−x + 2
x −1

B. y = x3 − 3x + 2

C. y =

Trang 16

x−2

x−1

1
D. y = − x4 + 3x2 − 1
4

x


Phân tích bài toán: Quan sát đồ thị, ta nhận thấy dạng đồ thị trên là hàm số phân
thức nên phương án B và D (loại). Mặt khác đồ thị giao với trục 0y tại điểm (0;-2)
và 0x tại điểm (2;0). Do đó, phương án C (loại). Vậy đáp án là A.
Ví dụ 7: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A. a < 0,b > 0,c > 0,d < 0.
B. a < 0,b < 0,c > 0,d < 0 .
C. a > 0,b < 0,c < 0,d > 0.
D. a < 0,b > 0,c < 0,d < 0 .
Phân tích bài toán: Quan sát đồ thị, ta nhận thấy dạng đồ thị cắt trục 0y tại điểm có d
<0 nên phương án C (loại), có hai hoành độ cực trị trái dấu (ac
. < 0) nên phương án D
. < 0) nên phương án B (loại). Vậy đáp án là A.
(loại), có hoành độ điểm uốn dương (ab

2. Phương pháp giải bài toán xét tính đơn điệu của hàm số.
Loại 1: Đối với hàm số không chứa tham số thì khi xác định khoảng đồng biến hay
nghịch biến ta tìm tập xác định, tính y’ và xét dấu y’.
Ví dụ 8 : Cho hàm số y = x3 − 2x2 + x + 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
1 
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1÷.

3 

1
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  −∞; ÷.
3

1 
C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1÷.
3 

(

)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;+∞ .

Trang 17


Ví dụ 9 ( Câu 3 đề minh họa của Bộ GD-ĐT): Hàm số y = 2x4 + 1 đồng biến
trên khoảng nào ?

1
A.  −∞ ; − ÷
2


(

B. 0;+ ∞

 1

C.  − ; + ∞ ÷
 2


)

(

)

D. −∞ ;0

Phân tích bài toán: Đối với ví dụ 8 và ví dụ 9, khi giải chúng ta lập bảng biến thiên
sau đó dựa vào bảng biến thiên kết luận. Do đó, đáp án ví dụ 8 là A, đáp án ví dụ 9
là B.
Loại 2: Đối với hàm số chứa tham số.
Sau khi học sinh đã được củng cố lại bài toán giải bất phương trình bậc 2 một ẩn.
+ Hàm sồ y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0) có: y ' = 3ax2 + 2bx2 + c là một tam thức
bậc hai.
a > 0
y
'
≥
0
,
∀¡
Để hàm đồng biến trên ¡ thì

, tức là: 
∆y ' ≤ 0
a < 0
Hoặc để hàm nghịch biến trên ¡ thì y ' ≤ 0, ∀¡ , tức là: 
∆y ' ≤ 0
Ví dụ 10: Hàm số y =

1 3
x + (m − 1)x2 − (m − 1)x + 1 đồng biến trên tập xác định
3

của nó khi :
A. m ≤ 0 ∨ m ≥ 1

B. 0 < m < 1

C. m < 0 ∨ m > 1

D. 0 ≤ m ≤ 1

Ví dụ 11: Hàm số y = −x3 + 3x2 + 3mx − 1 nghịch biến trên ¡ là:
A. m < −1

B. m ≥ −1

C. m ≤ −1

D. m > −1

Phân tích bài toán: Ở ví dụ 10 ta có hệ số a > 0 và ví dụ 11 ta có hệ số a < 0, ta tính

đạo hàm cấp 1 sau đó giải điều kiện đã nêu trên. Khi đó, có đáp án , Với ví dụ 10 có
đáp án là: D. Với ví dụ 11 có đáp án: C

Trang 18


+ Hàm sồ y =

ax + b
có: ad − bc > 0 thì hàm số đồng biến trên các khoảng xác
cx + d

định của nó và có: ad − bc < 0 thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định
của nó.
Ví dụ 12: Hàm số y =
A. m < 2

mx + 2
đồng biến trên từng khoảng xác định của nó khi:
2x + m

B. m > -2

C. -2 < m < 2

D. m < -2 hoặc m > 2

Phân tích bài toán: Với ví dụ 12,ta chỉ cần giải điều kiện
m < −2
ad − bc > 0 ⇔ m2 − 4 > 0 ⇔ 

. Do đó đáp án là: D.
m > 2
Ví dụ 13: Hàm số y =
A. (−2;2)

4 + mx
x+m

nghịch biến trên khoảng (1; +∞) khi m thuộc:

B. [ −1;2]

C. [ −2;2]

D. (−1;1)

Phân tích bài toán: Với ví dụ 13 vì nghịch biến trên khoảng (1; +∞) cho nên điều
ad − bc < 0
2

m − 4 < 0
⇔
⇔ −1 ≤ m < 2. Vậy đáp án là: B.
kiện là:  d
−
m
≤
1
−
≤

1


 c
Chú ý: Vì đây là giải trắc nghiệm và đặc thù học sinh yếu kém nên có những kiến
thức cung cấp mang tính áp đặt cho học sinh.
3. Phương pháp giải trắc nghiệm bài toán tìm cực trị của hàm số.
Loại 1: Nếu hàm số đã cho không chứa tham số thì phương pháp tóm tắt là tìm
TXĐ, tính y’ và xét dấu y’, sau đó kết luận.
Ví dụ 14: Cho hàm số y =

x2 + 3
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x+1

A. Cực tiểu của hàm số bằng −3.

B. Cực tiểu của hàm số bằng 1.

C. Cực tiểu của hàm số bằng −6.

D. Cực tiểu của hàm số bằng 2.
Trang 19


Phân tích bài toán: Bài này, ta tính y’, sau đó lập bảng biến thiên và căn cứ vào
bảng biến thiên suy ra kết quả là: D.
Ví dụ 15 (Câu 3 đề minh họa của Bộ GD-ĐT): Tìm giá trị cực đại yCĐ của hàm
số y=x3 − 3x − 2.
A. yCĐ = 4

B. yCĐ = 1

C. yCĐ = 0

D. yCĐ = -1

Phân tích bài toán: Bài này, ta tính y’, sau đó lập bảng biến thiên và căn cứ vào
bảng biến thiên suy ra kết quả là: C.
Ví dụ 16: Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên :
x -∞
y’
+∞
y

-1
- 0

1
0
2

+

+∞
-

-2
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

-∞

A. Hàm số có đúng một cực trị.
B. Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và đạt cực tiểu tại x = 2.
C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng −2.
D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng -2 và giá trị cực đại bằng 2.
Phân tích bài toán: Dựa vào Bảng biến thiên, ta phân tích và xác định ngay đáp án
là: D
Ví dụ 17: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 - 3x + 1, mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số luôn nghịch biến;

B. Hàm số luôn đồng biến;

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 1;

D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Phân tích bài toán: Ta có: y ' = −3x2 + 6x − 3 = −3(x − 1)2 ≤ 0, ∀x . Do đó hàm số
luôn nghịch biến nên đáp án là A.
Ví dụ 18: Biết M (0;2), N(2;-2) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số
y = ax3 + bx2+cx+d. Tính giá trị của hàm số tại x = −2.
A. y(−2) = 2.

B. y(−2) = 22.

C. y(−2) = 6
Trang 20

D. y(−2) = −18.

Phân tích bài toán: Để tính y(−2) = ? , ta cần dựa vào các yếu tố đã cho của bài toán
để tìm các hệ số a, b, c và d. Ta có: y ' = 3ax2 + 2bx + c . Do M (0;2), N(2;-2) là các

y '(0) = 0

y(0) = 2
⇔
điểm cực trị của đồ thị, nên ta có: 
y
'(2)
=
0

y(2) = −2


a = 1

b = −3
⇒ y = x3 − 3x2 + 2.

c = 0
d = 2


Khi đó: y(−2) = −18 . Vậy đáp án là: D.
Loại 2: Nếu hàm số đã cho chứa tham số
* Đối với hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , (a ≠ 0) .
Tình huống 1: Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm.

•

y '(x ) = 0
Điều kiện để hàm số có cực trị tại x0 là: 
y "(x ) ≠ 0
0

0

•

y '(x ) = 0
x
Điều kiện để hàm số có cực đại tại 0 là: 
y "(x ) < 0
0

0

•

y '(x ) = 0
Điều kiện để hàm số có cực tiểu tại x0 là: 
y "(x ) > 0
0

0

Ví dụ 19:Giá trị của m để hàm số y =

1 3
x − mx2 + (m2 − m + 1)x + 1 đạt cực đại
3

tại điểm x = 1:
A. m = 1 B. m = 2

C. m = 1 ∨ m = 2 D. Không có giá trị m nào thỏa mãn.

Phân tích bài toán: Trước hết, ta tính y ' = x2 − 2mx + m2 − m + 1;y " = 2x − 2m .
y '(1) = 0
⇔
Sau đó, giải điều kiện: 
y
"(1
)
<
0


2
m − 3m + 2 = 0
⇔ m = 2. Vậy đáp án là: B

2
−
2
m
<
0



Trang 21


Ví dụ 20: Hàm số y =

1 3
x + (m2 − m + 2)x2 + (3m2 + 1)x − 1đạt cực tiểu tại
3

x = −2 khi và chỉ khi.

m = 1
A. 
.
m
=
3


m = −1
B. 
.
m
=
−
3


C. m = 1.

D. m = 3.

Phân tích bài toán: Trước hết, ta tính
y ' = x2 + 2(m2 − m + 2)x + 3m2 + 1;y " = 2x + 2(m2 − m + 2) . Sau đó, giải điều
y '(−2) = 0
⇔
kiện: 
y
"(
−
2)
>
0


2
−m + 4m − 3 = 0
⇔ m = 3. Vậy đáp án là: D.
 2
2
m
−
2
m
>
0


Tình huống 2:
+ Điều kiện để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , (a ≠ 0) có cực trị .
Phương pháp: Chỉ ra: y ' = 3ax2 + 2bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆y ' > 0.
+ Điều kiện để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , (a ≠ 0) có cực trị thỏa mãn tính
chất K
Phương pháp: Trước hết, chỉ ra: y ' = 3ax2 + 2bx + c = 0 có 2 nghiệm phân
biệt ⇔ ∆y ' > 0.
Sau đó, giải điều kiện K, rồi đối chiếu với ∆y ' > 0và kết luận.
Ví dụ 21:Hàm số y =

(

)

1 3
x + mx2 + m2 + 2m x − 1 có hai điểm cực trị khi và chỉ
3

khi:
A. m < 0

B. m ≠ 0

C. m > 0

D. m ≤ 0

Phân tích bài toán: Ta có: y ' = x2 + 2mx + m2 + 2m ,
∆ ' > 0 ⇔ m2 − m2 − 2m > 0 ⇔ −2m > 0 ⇔ m < 0. Vậy đáp án là A.
Trang 22

Ví dụ 22 (Câu 3 đề thi THPT QG 2016): Tìm m để hàm số
f (x) = x3 − 3x2 + mx − 1 có hai điểm cực trị.Gọi x1;x2 là hai điểm cực trị đó,tìm m
để x12 + x22 = 3.
Phân tích bài toán: Ta có: y ' = 3x2 − 6x + m , ∆ ' > 0 ⇔ 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3.
Sau đó, phân tích x12 + x22 = 3 ⇔ (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 3 ⇔ 4 − 2.
(thỏa mãn). Vậy m =

m
3
= 3⇔ m=
3
2

3
.
2

* Đối với hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) .
Tình huống 1:
+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 3 cực trị là a và b trái dấu tức là:
ab
. < 0.

+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 1 cực trị là: ab
. ≥ 0.
+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 3 cực trị mà trong đó gồm 2 cực đại
a < 0
và 1 cực tiểu là: 

.
b > 0
+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 3 cực trị mà trong đó gồm 1 cực đại
a > 0
và 2 cực tiểu là: 
.
b
<
0

a > 0
+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho chỉ có 1 cực tiểu là: 
.
b
≥
0

a < 0
+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho chỉ có 1 cực đại là: 
.
b ≤ 0
Trang 23


Ví dụ 23: Cho hàm số y = −x4 + 2mx2 − 2m + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số
có 3 điểm cực trị:
A. m > 0

B. m < 0

C. m = 0

D. m ≠ 0

Phân tích bài toán: Là bài toán trắc nghiệm làm nhanh nên căn cứ vào dấu hiệu là a
và b trái dấu, tức là: m > 0. Vậy đáp án là: A.
Ví dụ 24 (Câu 8 đề minh họa của Bộ GD-ĐT): Tìm tất cả các giá trị thực
của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = x4 + 2mx2 + 1có ba điểm cực
trị tạo thành một tam giác vuông cân.
A. m = −

1
3

9

B. m = −1

C. m =

1
3

9

D. m = 1

Phân tích bài toán: Là bài toán trắc nghiệm làm nhanh nên căn cứ vào dấu hiệu là a
và b trái dấu, tức là: m < 0. Khi đó, ta có hai lựa chọn để giải tiếp. Đó là:
1) Vì m < 0 nên đáp án có thể là A hay B, ta lấy B. m = −1 thế vào bài toán và

kiểm tra điều kiện còn lại, nếu đúng thì B là đáp án, ngược lại thì A. (Bài này đáp
án là B).
2) Với m < 0 là điều kiện cần, ta tiếp tục giải điều kiện còn lại bằng cách xác định
uuur uuur
điểm cực tri (Giả sử A,B,C với A(0;1)) và giải điều kiện AB .AC = 0 , đối chiếu
với m < 0. Vậy đáp án là B.
4. Phương pháp giải trắc nghiệm bài toán tìm tiệm cận của đồ thị hàm số.
+ Kiến thức nền tảng:
1) Nếu có l imf(x) = −∞ hoặc có l imf(x) = +∞ hoặc có l imf(x) = −∞ hoặc có
x → a+

x → a+

x → a-

l imf(x) = +∞ thì đồ thị hàm số y = f (x) có tiệm cận đứng là x = a
x → a-

= b hoặc có l imf(x) = b thì đồ thị hàm số y = f (x) có tiệm cận
2) Nếu có l imf(x)
x → +∞
x→ -∞

ngang là y = b.

Trang 24


Chú ý: Nếu đồ thị hàm số dạng y =

là y =

ax + b
( ad − bc ≠ 0) thì luôn có tiệm cận ngang
cx + d

a
d
và tiệm cận đứng là x = − , (c ≠ 0)
c
c

Ví dụ 25: Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. y = 1

B. x = −2

Phân tích bài toán: Đồ thị hàm số dạng y =

C. x = 2

x −1
là:
x+2
D. y = −2

ax + b
(ad − bc ≠ 0) thì luôn có tiệm
cx + d

d
cận đứng là x = − , (c ≠ 0) . Vậy đáp án là: B.
c
=1
Ví dụ 26 (Câu 2 đề minh họa của Bộ GD-ĐT): Hàm số y = f (x) có l imf(x)
x → +∞
= −1 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
và l imf(x)
x→ -∞
A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 1 và y = - 1
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x = 1 và x = - 1
Phân tích bài toán: Căn cứ vào định nghĩa đường tiệm cận ngang của đồ thị, tức là
= b hoặc có l imf(x) = b thì đồ thị hàm số y = f (x) có tiệm cận
nếu có l imf(x)
x → +∞
x→ -∞

ngang là y = b. Vậy đáp án bài toán là: C.
Chú ý: Để xác định đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang nhanh của đồ thị hàm
số y =

h(x)
.
g(x)

Trang 25