skkn giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số

Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
1
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
A. MỞ ĐẦU
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
1. Lý do chọn vấn đề nghiên cứu:
Trong các môn học ở tiểu học không có môn nào rèn luyện năng lực suy nghĩ và
phát triển trí tuệ cho học sinh như môn Toán, môn Toán không chỉ hình thành cho các
em những kiến thức, kĩ năng cơ bản ban đầu mà còn giúp các em phát triển tư duy rất
nhiều. Chương trình toán tiểu học có nhiều kiến thức được phân loại và sắp xếp theo
từng chương, phần, từng mạch kiến thức riêng biệt. Mạch kiến thức nào cũng rất quan
trọng và có những ưu điểm về phát triển tư duy riêng. Song mạch kiến thức về "số và
chữ số" vẫn là mạch kiến thức trọng tâm xuyên suốt toàn bộ chương trình, xen lồng
với các mạch kiến thức khác, là nguyên tố chính hỗ trợ cho các mạch kiến thức khác.
Trong mạch kiến thức "số và chữ số" có một loại toán rất quan trọng, rất cơ bản trong
việc bồi dương học sinh khá giỏi đó là: "Các bài toán liên quan tới dãy số". Chính
bởi , "Các bài toán liên quan tới dãy số đòi hỏi học sinh phải ghi nhớ và vận dụng
thành thạo các kiến thức, kĩ năng cơ bản của số học để tìm ra những đặc điểm của dãy
số, xác định được chính xác những yêu cầu của đề "Các bài toán liên quan tới dãy
số" giúp rèn cho học sinh khả năng quan sát, phân tích , lựa chọn phương pháp giải
đồng thời còn rèn kĩ năng tính toán nhanh, óc suy luận loogic nhờ vậy mà não bộ của
các em rất phát triển.
Trong thực tế giảng dạy, qua thời gian bồi dưỡng cho học sinh giỏi của bản thân
và qua tham khảo các ý kiến của đồng nghiệp đã, đang bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi
nhận thấy cần có một hướng đi mới thật cụ thể, thật chi tiết khi dạy chuyên đề: "Các
bài toán liên quan đến dãy số" này
Chính vì vậy, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu và tìm ra một số nội dung, phương
pháp khi dạy chuyên đề: "Các bài toán liên quan đến dãy số" cho học sinh lớp 5.
Sáng kiến kinh nghiệm tôi nghiên cứu là: “ Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học
tốt các bài toán về dãy số”

2. Ý nghĩa và tác dụng của vấn đề nghiên cứu:
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
2
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
Việc dạy và học các bài toán về dãy số đòi hỏi học sinh phải ghi nhớ và vận dụng
thành thạo các kiến thức kĩ năng cơ bản của số học để tìm ra đặc điểm của dãy số. Các
bài toàn về dãy số giúp học sinh rèn luyện khả năng quan sát, phân tích, lựa chọn
phương pháp giải đồng thời còn rèn kĩ năng tính toán nhanh, óc suy luận logic. Từ đó
giúp các em phát triển được khả năng tư duy sáng tạo, có những hiểu biết cần thiết cho
cuộc sống hằng ngày.
3. Phạm vi nghiên cứu:
- Xác định miền địa lý: Trường Tiểu học Tân Châu, huyện Khoái Châu
- Đối tượng tiến hành nghiên cứu: Học sinh lớp 5
- Lĩnh vực khoa học: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán
II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH:
1. Cơ sở lý luận:
Môn Toán ở tiểu học nói chung đều có 5 mạch kiến thức cơ bản đó là:
+ Dạy số học và các phép tính
+ Dạy học yếu tố hình học
+ Dạy học đại lượng và đo đại lượng
+ Dạy học các yếu tố thống kê
+ Dạy học giải toán có lời văn
Trong 5 kiến thức đó thì mạch “Dạy số học và các phép tính” là mảng kiến thức
được chiếm phần lớn trong chương trình ở các khối lớp. Phần kiến thức toán học về
dãy số không được trình bày tường minh ở chương, bài cụ thể nào mà nó chỉ được giới
thiệu gián tiếp qua các bài tập cụ thể lồng ghép trong các mạch kiến thức khác
- Lớp 2, 3 có bài toán điền số vào ô trống trong băng ô (dãy số là các số hạng được lặp
lại để tạo nên một tổng hoặc là kết quả của phép nhân hoặc phép chia trong bảng)
- Lớp 4, 5 cac bài toán về dãy số được mở rộng với phân số và số thập phân tuy nhiên
đó chỉ là chương trình dành cho đối tượng học sinh khá giỏi.

2. Cơ sở thực tiễn:
* Thực trạng của học sinh:
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
3
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
Học sinh bây giờ thông minh hơn trước đây rất nhiều, đó là ý kiến chung của mọi
người. Các em tuy còn nhỏ, nhưng cũng rất ham hiểu biết, muốn tự mình khám phá,
muốn tự mình chứng tỏ với các bạn trong lớp, với tất cả mọi người. Chính vì vậy các
cuộc thi “ Giải toán qua mạng ”được rất đông đảo các em tham gia. Đặc biệt khả năng
tiếp thu bài của các em rất tốt, chỉ cần giáo viên chúng ta có thể gợi ý nêu cách giải là
các em làm được bài.
Tuy vậy ở vùng nông thôn chúng tôi việc dạy toán ít nhiều còn gặp khó khăn. Bởi
vì, do bố mẹ các em phần lớn làm ruộng, trình độ còn hạn chế, ít quan tâm tới các em,
họ đi làm ăn xa, để con gửi ông bà trông giúp, việc dạy con haaugf như phó mặc cho
thầy cô. Các em giải bài toán còn nhầm lẫn, cách trình bày còn vòng vo dài dòng. Đặc
biệt các em rất ngại giải những bài toán nâng cao
* Thực trạng về giáo viên:
Trong thực tế hiện nay dạy về các dạng toán dãy số ở các giờ Toán trên lớp khi có
bài toán cụ thể được các thầy cô hướng dẫn cụ thể. Tuy vậy để mọi giáo viên đều
nghiên cứu giải các dạng toán nâng cao thì hầu hết đều ngại đọc sách, ngại nghiên cứu
tìm tòi các dạng toán có hệ thống và tìm ra các cách giải cho học sinh. Từ đó dẫn đến
những mặt hạn chế như sau:
- Giáo viên chưa chú trọng hướng dẫn giải toán nâng cao cho học sinh giỏi.
- Chưa hệ thống được các dạng toán đi từ dễ đến khó cho học sinh dễ nhớ.
- Chưa nắm chắc phương pháp giải các dạng toán nâng cao.
- Việc phát hiện học sinh có năng khiếu về môn toán còn hạn chế.
3. Các biện pháp tiến hành
Xuất phát từ những thực tế trên, bản thân tôi là giáo viên trực tiếp giảng dạy
nhiều năm ở lớp 5 nên tôi rất trăn trở. Quả thật, bài toán về dãy số đối với học sinh lớp
5 cũng tương đối khó với các em. Vậy làm thế nào để các em hiểu và dễ dàng đi giải

được các bài toán này. Tôi đã tiến hành nghiên cứu như sau:
* Phương pháp nghiên cứu lý luận:
- Đọc các tài liệu có liên quan đến sáng kiến kinh nghiệm.
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
4
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
- Nghiên cứu chương trình giáo khoa, sách giáo viên các lớp 2, 3, 4, 5.
- Nghiên cứu những yêu cầu cơ bản đối các bài toán liên quan đến dãy số
- Đọc, nghiên cứu các sách nâng cao lớp 5 để tìm hiểu cách giải các dạng toán,
phân loại các dạng toán.
* Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Điều tra việc học và nắm bắt các dạng toán
cơ bản đã học ở lớp 4 về dãy số để nắm bắt thực trạng của học sinh.
* Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm:
Để học sinh hiểu và làm tốt các bài toán về dãy số tôi chọn học sinh lớp 5A do
tôi chủ nhiệm làm đối tượng thực nghiệm và chọn học sinh lớp 5B trong cùng khối 5
làm đối tượng so sánh cho sự thực nghiệm của mình. Trong quá trình thực nghiệm tôi
đã đi sâu vào giải quyết những vấn đề sau:
Vấn đề 1: Hệ thống những kiến thức cần ghi nhớ có liên quan đến cách giải
các dạng toán.
Vấn đề 2: Hệ thống và hướng dẫn học sinh cách giải các dạng bài tập đi từ
dễ đến khó
Ở trên lớp, tôi phân loại các em thành từng nhóm nhỏ để có biện pháp phù hợp
giúp đỡ nhau hiểu bài. Tôi hướng dẫn, giảng giải cho các em cặn kẽ. Xây dựng cho
các em thói quen làm bài, trình bày bài sao cho phù hợp, thật khoa học, dễ hiểu, đơn
giản.
4. Thời gian nghiên cứu:
Để có được những kinh nghiệm “ Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài
toán về dãy số” tôi đã tiến hành nghiên cứu từ năm học 2011-2012 và áp dụng, thử
nghiệm từ năm học 2012- 2013 và đến năm học 2013-2014 tôi đã báo cáo chuyên đề
này trước tổ chuyên môn và nhà trường .

B. NỘI DUNG
I. MỤC TIÊU:
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
5
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
1. Dựa trên cơ sở nội dung, chương trình dạy học giải toán ở tiểu học nói chung
và ở lớp 5 nói riêng, tìm hiểu về các dạng toán về dãy số trong chương trình ở tiểu
học.
2. Giúp học sinh nắm được các kiến thức cần ghi nhớ trước khi áp dụng vào giải
các bài toán về dãy số.
3. Học sinh nắm được cách giải các bài toán về dãy số trong các sách nâng cao ở
lớp 5 được phân chia theo dạng từ dễ đến khó.
II. NỘI DUNG TIẾN HÀNH
1. Mô tả giải pháp của sáng kiến kinh nghiệm:
Các bài toán về dãy số tương đối khó với các em học sinh giỏi lớp 5. Các em khi
giải bài toán này cần phải kiên trì, suy nghĩ, suy luận để tìm ra cách giải nhanh nhất.
Trong quá trình giảng dạy, tôi đã tham khảo và rút ra được những điều cần ghi nhớ
trước khi giúp học sinh phân nhóm những bài tập thành các dạng bài với các phương
pháp giải khác nhau.
Vấn đề 1: Hệ thống những kiến thức cần ghi nhớ có liên quan đến cách giải
các dạng toán.
1.Kĩ thuật tính toán các phép tính cộng, trừ, nhân, chia đối với số tự nhiên, số thập
phân, phân số.
2. Đặc điểm của dãy số tự nhiên:
Số 0 là nhỏ nhất.
Không có số lớn nhất
Hai đơn số liên tiếp hơn(kém) nhau 1 đơn vị
3. Đặc điểm của dãy số chẵn, số lẻ
Số 0 là số chẵn nhỏ nhất
Số 1 là số lẻ nhỏ nhất

Không có số chẵn hoặc số lẻ lớn nhất
Hai số chẵn hoặc hai số lẻ liên tiếp hơn(kém) nhau 2 đơn vị
4. Dấu hiệu chia hết
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
6
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
Các số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2
Các số có chữ số tận cùng là 0, 5 thì chia hết cho 5
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9
5. Dấu hiệu chia còn dư
Số chia cho 2 dư 1 có chữ số tận cùng là: 1, 3, 5, 7, 9
Số chia cho 5 dư 1 có tận cùng là 1 hoặc 6. Số chia cho 5 dư 2 có tận cùng là 2
hoăc 7
Số có tổng các chữ số chia cho 3 dư 1 thì số đó chia cho 3 cũng dư 1. Số có tổng
các chữ số chia cho 3 dư 2 thì số đó chia cho 3 cũng dư 2
Số có tổng các chữ số chia cho 9 dư 1 thì số đó chia cho 9 cũng dư 1. Số có
tổng các chữ số chia cho 9 dư 2 thì số đó chia cho 9 cũng dư 2
6. Bài toán trồng cây
- Trồng cây trên đường thẳng, trồng cây ở cả hai đầu đường:
Số cây = Số khoảng cách + 1
- Trồng cây trên đường tròn(đường cong) hoặc trên đường khép kín:
Số cây = Số khoảng cách
7. Công thức tính số lượng số trong một dãy số cách đều
Số lượng số = (Số lớn nhất - số nhỏ nhất) : khoảng cách giữa 2 số liền kề + 1
8. Công thức tính tổng các số hạng trong dãy tính có các số hạng là dãy số cách đều
Tổng = (Số đầu + số cuối) x số lượng số : 2
9. Cách tìm số đầu tiên, số cuối cùng trong dãy số cách đều
Số đầu tiên(số nhỏ nhất) =
Số cuối cùng(số lớn nhất) - (số lượng số - 1) x khoảng cách

Số cuối cùng(số lớn nhất) =
Khoảng cách x (số lượng số - 1) + số đầu tiên(số nhỏ nhất)
Sau khi học sinh nắm chắc được những kiến thức cần ghi nhớ trên, tôi tiến hành sang
vấn đề 2. Đó là:
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
7
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
Vấn đề 2: Hệ thống và hướng dẫn học sinh cách giải các dạng bài tập đi từ dễ
đến khó
1. PHÂN DẠNG TOÁN
Dạng 1: Viết dãy số theo yêu cầu
Dạng 2: Tìm thêm số hạng trong dãy số
Dạng 3: Tìm số lượng số có trong dãy số
Dạng 4: Xác định một số bất kì có thuộc dãy số đã cho hay không
Dạng 5: Tìm số thứ n trong dãy số
Dạng 6: Tìm số lượng chữ số có trong dãy
Dạng 7: Tính tổng của dãy số
Dạng 8: Tìm số thứ N để số lượng chữ số gấp 1 số lần so với số lượng số
Dạng 9: Tìm số thứ N
Dạng 10: Dãy chữ
Dạng 11: Điền số vào băng ô
Dạng 12: Một số bài toán khác
2.PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY
Trước khi dạy từng dạng bài của chuyên đề, tôi cho HS ôn luyện những tính
chất cơ bản, cần thiết cho dạng bài bằng phương pháp chính là đàm thoại gợi mở và
thực hành.
Tiến hành dạy cuốn chiếu từng bài
DẠNG 1: VIẾT DÃY SỐ THEO YÊU CẦU
Ví dụ: Viết dãy số có:
a) 10 số chắn liên tiếp

b) 15 số lẻ liên tiếp lớn hơn 100 nhưng nhỏ hơn 150
c) 8 số liên tiếp, mỗi số chia cho 5 đều dư 2 và đều nhỏ hơn 100
Bước 1: Hướng dẫn HS tìm hiểu đề, phân tích lựa chọn cách giải
a) - Theo đề bài các số được viết theo đặc điểm gì?
(Là các số chẵn liên tiếp)
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
8
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
- Dãy số chẵn liên tiếp có đặc điểm gì?
( Hai số liền kề hơn-kém nhau 2 đơn vị)
- Số đầu tiên trong dãy là số nào? Vì sao?
( Nếu các số hạng trong dãy tạo thành dãy số tăng dần thì số đầu tiên là số chẵn
bất kì còn nếu các số hạng trong dãy tạo thành dãy số giảm dần thì số đầu tiên trong
dãy bắt buộc phải là số lớn hơn16)
b) Hướng dẫn tương tự
Lưu ý: Dãy số có các số hạng tăng dần thì số lẻ đầu tiên trong dãy này phải nhỏ hơn
123 và lớn hơn 100.
Dãy số có các số hạng giảm dần thì số lẻ đầu tiên trong dãy số này phải lớn
hơn 127 và nhỏ hơn 150
c) - Các số chia hết cho 5 dư 2 có đặc điểm gì?
(Có chữ số tận cùng bằng 2 hoặc bằng 7)
- Hai sô liên tiếp trong dãy số này có đặc điểm gì?
(Hơn kém nhau 5 đơn vị)
- Các số hạng trong dãy tăng dần thì số đầu tiên trong dãy phải thế nào?
( Số đầu tiên trong dãy phải nhỏ hơn 67)
- Các số hạng trong dãy giảm dần thì số đầu tiên trong dãy số phải thế nào?
(Số đầu tiên phải lớn hơn 32 nhỏ hơn 100)
Bước 2: Hướng dẫn HS trình bày bài giải
a) Hai số chẵn liên tiếp hơn hoặc kém nhau 2 đơn vị.
Dãy số có 10 số chẵn liên tiếp là: 18, 16, 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2, 0

Hoặc: 100, 102, 104, 106, 108, 110, 112, 114, 116, 118

b) Hai số lẻ liên tiếp hơn hoặc kém nhau 2 đơn vị. Mà các số lẻ trong bài phải là số lớn
hơn 100 và nhỏ hơn 150 nên dãy số theo yêu cầu của đề bài là:
121, 123, 125, 127, 129, 131, 133, 135, 137, 139, 141, 143, 145, 147, 149
Hoặc: 129, 127, 101
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
9
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số

c) Các số chia cho 5 dư 2 có tận cùng bằng 2 hoặc 7. Như vậy các số hạng trong dãy
phải có chữ số hàng đơi vị là 2 hặc 7 và phải nhỏ hơn 100 nên dãy số theo yêu cầu là:
22, 27, 32, 37, 42, 47, 52, 57
Hoặc: 37, 32, 27, 22, 17, 12, 7, 2

Ghi nhớ :
Khi viết dãy số theo yêu cầu cần:
- Xác định được đặc điểm của các số trong dãy số đó
- Xác định được đặc điểm của 2 số liền kề
- Xác định được giới hạn trong dãy số
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Viết dãy số có:
1) 10 số tự nhiên liên tiếp nhỏ hơn 1000
2) 25 số thập phân liên tiếp lớn hơn 1 và nhỏ hơn 1,3
3) 5 số tự nhiên chia hết cho 3 nhưng chia cho 2 dư 1
4) 7 số tự nhiên mà số liền sau gấp 3 lần số liền trước
5) 12 số tự nhiên giảm dần 4 đơn vị
Gợi ý:
1) Dãy số có thể giảm dần tối thiểu bắt đầu từ 9, 8 0
Dãy số tăng dần có thể tối đa bắt đầu từ 990, 999

2) - Nếu các số thập phân có 2 chữ số ở phần thập phân thì dãy số có thể là:
1,01; 1,01 1,25
- Nếu các số thập phân có 3 chữ số ở phần thập phân thì dãy số có thể là:
1,001; 1,002; 1,025
Hoặc: 1,110; 1,111;
3) Các số chia cho 2 dư 1 có chữ số tận cùng bằng 1, 3, 5, 7 hoặc 9
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
10
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
Như vậy các số có trong dãy số phải là các số lẻ và chia hết cho 3
Suy ra khoảng cách giữa hai số liền kề là 6 đơn vị
Dãy số theo yêu cầu là: 27, 21, 15, 9 , 3
Hoặc: 81, 87, 93, 99, 105
4) Vì số liền sau gấp 3 lần số liền trước nên số đầu tiên trong dãy số không thể là 0.
Dãy số cần biết phải là dãy số tăng dần, mỗi số hạng trong dãy kể từ số thứ hai đều
chia hết cho 3.
Dãy số theo yêu cầu là:
11, 33, 99, 297, 891,2073,8019.
Hoặc 2 ,6 ,18 ,54,162 ,486 ,1458
5) Dãy số đã cho có các số hạng giảm dần 4 đơn vị nên số hạng đầu tiên trong dãy số
phải lớn hơn 43.Hai số hạng liền kề luôn hơn (kém) nhau 4 đơn vị.
Dãy số theo yêu cầu là:
44 ,40 ,36 ,32 ,28 ,24 ,20 ,16 ,12 ,8 ,4 ,0.
Hoặc 106 ,102 ,98 ,94 ,90 ,86 ,82 ,78 ,74 ,70 , 66 ,62.
DẠNG 2: TÌM THÊM SỐ HẠNG TRONG DÃY SỐ
1)Viết tiếp số hạng vào dãy số.
VD: Hãy viết tiếp 5 số hạng vào dãy số sau:
11 , 22 , 33 , 44 , 55 . . .
Cách 1:

Bước 1: Hướng dẫn học sinh quan sát, nhận xét, lựa chọn cách làm.
-Hãy quan sát từng số hạng đã cho trong dãy số, nhận xét mối quan hệ giữa 2 đơn
vị liền kề ?
( Hai đơn vị liền kề hơn (kém) nhau 11 đơn vị )
- Đây là dãy số có đặc điểm gì ?
( Các số hạng tăng dần đều, khoảng cách tăng dần là 11 đơn vị )
- Muốn tìm các số tiếp theo ta làm thế nào ?
( Cộng thêm 11 đơn vị vào số đã biết cho ta số tiếp theo )
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
11
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
Bước 2: Trình bày
Nhận xét: 22 - 11 = 11
33 - 22 = 11
44 - 33 = 11

Quy luật: Đây là dãy số mà mỗi số hạng liền sau bằng số hạng liền trước cộng thêm 11
đơn vị.
5 số hạng tiếp theo là:
55 + 11 = 66
66 + 11 = 77
77 + 11 = 88
88 + 11 = 99
99 + 11 = 110
Dãy số đầy đủ theo yêu cầu là: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99
Cách 2:
Bước 1: Hướng dẫn học sinh quan sát, nhận xét, lựa chọn cách làm.
- Hãy quan sát, phân tích và cho biết mối quan hệ của mỗi số hạng trong dãy với số
thứ tự của nó ở trong dãy số ?
( Mỗi số hạng gấp 11 lần số thứ tự của nó trong dãy số )

- Muốn tìm các số tiêp , ta làm thế nào ?
( Lấy 11 nhân với số thứ tự của số cần tìm )
- Quan sát và cho biết mỗi số hạng có đặc điểm gì về chữ số ?
( Các số hạng đã cho đều được viết bởi 2 chữ số giống nhau )
- Muốn tìm các số tiêp theo ta làm thế nào ?
( Ghép 2 chữ số tiếp theo )
- Ta sẽ tìm được bao nhiêu số nữa? Vì sao?
( Tìm được 4 số tiếp vì chỉ còn 4 chữ số: 6, 7, 8, 9)
- Cách làm này có đạt yêu cầu của đề không?
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
12
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
(Được)
Bước 2: Trình bày
Nhận xét: Số thứ nhất 11 = 1 x 11 ( 1 là số thứ tự trong dãy số)
Số thứ hai 22 = 2 x 11 ( 2 là số thứ tự trong dãy số)
Số thứ ba 33 = 3 x 11 ( 3 là số thứ tự trong dãy số)

Quy luật: Đây là dãy số mà mỗi số hạng trong dãy bằng số thứ tự của nó trong dãy
nhân với 11.
5 số tiếp theo là:
Số thứ sáu: 6 x 11 = 66
Số thứ bảy: 7 x 11 = 77
Số thứ tám: 8 x 11 = 88
Số thứ chín: 9 x 11 = 99
Số thứ mười: 10 x 11= 110
Dãy số đầy đủ theo yêu cầu là: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110
Ví dụ 2: Viết thêm 3 số hạng vào dãy số sau:
a) 1, 2, 3, 6, 11, 20
b) 3, 7, 15, 31,

Bước 1: Quan sát, nhận xét
- Đây là dãy số tăng dần hay giảm dần?
(tăng dần)
- Nhận xét về đặc điểm giữa 2 số liền kề bất kì?
(Khoảng cách giữa 2 số liền kề bất kì không giống nhau)
- Nhận xét về mối quan hệ của số so với số thứ tự của số đó trong dãy số?
(Mối quan hệ không như nhau, mỗi số có mối quan hệ riêng so với số thứ tự của
nó trong dãy số)
- Nhận xét đặc điểm của các số đứng sau so với số hoặc các số đứng trước?
(Câu a: Tổng của 3 số đứng trước bằng số đứng liền sau
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
13
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
Hoặc khoảng cách giữa 2 số liền kề tăng dần theo dãy số : 1, 3, 5, 9
Câu b: Số liền sau bằng số đứng liền trước nhân với 2 rồi cộng thêm 1
Hoặc khoảng cách giữa 2 số liền kề lần lượt là: 4, 8, 16 )
- Khoảng cách tiếp theo ở câu a là bao nhiêu?
(Không tìm được vì nó không theo quy luật)
GV chốt: Không chọn cách tìm dựa vào khoảng cách giữa 2 số.
- Khoảng cách tiếp theo ở câu b là bao nhiêu?
(Là 32, 64, 128 vì các khoảng cách này lập thành quy luật)
Bước 2: Trình bày
a) Nhận xét:
Số thứ tư: 6 = 3 + 2 + 1
Số thứ năm: 11 = 6 + 3 + 2
Số thứ sáu: 20 = 11 + 6 + 3

Quy luật: Đây là dãy số mà kể từ số thứ tư trở đi mỗi số hạng liền sau bằng tổng của 3
số hạng đứng liền trước nó.
3 số tiếp theo là:

Số thứ bảy: 20 + 11 + 6 = 37
Số thứ tám: 37 + 20 + 11 = 68
Số thứ chín: 68 + 37 + 20 = 125
Dãy số đủ theo yêu cầu là:
1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, 68, 125
b) Cách 1:
Nhận xét:
Số thứ nhất: 7 = 3 x 2 + 1
Số thứ tư: 15 = 7 x 2 +1
Số thứ tư: 31= 15 x 2 + 1

Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
14
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
Quy luật: Đây là dãy số mà mỗi số hạng liền sau (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng
liền trước nhân với 2 rồi cộng thêm 1.
3 số tiếp theo là:
31 x 2 + 1= 63
63 x 2 + 1= 127
127 x 2 + 1= 155
Dãy số đầy đủ theo yêu cầu là:
3, 7, 15, 31, 63, 127, 155
Cách 2: Nhận xét:
Số thứ hai: 7 = 3 + 4x 1
Số thứ ba: 15 = 7 + 4 x 2
Số thứ tư : 31 = 15 + 4 x 4
Như vậy số thứ năm là: 31 + 4 x 8 = 63
số thứ sáu là: 63 + 4 x 16 = 127
số thứ bảy là: 127 + 4 x 32 = 155
Dãy số đầy đủ theo yêu cầu là:

3, 7, 15, 31, 63, 127, 155
Ghi nhớ :
Muốn viết tiếp đựoc các số trong một dãy số cần trải qua các bước làm sau:
1. Nhận xét:
Lưu ý: Đặc điểm của từng số.
Đặc điểm của 2 số liền kề
Mối quan hệ với số thứ tự
Mối quan hệ của một nhóm số liên tiếp
Nếu là các nhận xét liên quan đến số thứ tự thì ở đầu mỗi nhận xét phải
ghi số thứ tự của mỗi số.
Nếu là các nhận xét không phải của số đầu tiên thì phải ghi số thứ tự của
số đó (ví dụ: 2b, 2a)
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
15
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
2. Rút ra quy luật
Lưu ý: Nhận xét nào phải rút ra quy luật ấy
Có dãy số có một quy luật nhưng có dãy số có nhiều quy luật
Các quy luật không áp dụng với số đầu tiên cần chỉ rõ thoả mãn từ số thứ
mấy.
3. Tìm thêm số
4. Viết dãy số theo yêu cầu
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Viết tiếp 2 số hạng vào dãy số sau:
a)3, 6, 9, 12,
b) 2, 5, 10, 17, 26,
c) 908, 886, 863, 839,
d) 2, 5, 8, 11,
Gợi ý:
a) Dãy số liên tiếp mỗi số hạng đều chia hết cho 3 (Dãy số cách đều 3 đơn vị)

b) Mỗi số hạng trong dãy bằng số thứ tự nhân với số thứ tự rồi cộng thêm 1
c) Mỗi số hạng liền sau bằng số hạng liền trước trừ đi 20 rồi trừ đi số thứ tự của nó
trong dãy số.
d) Dãy số cách đều 3 đơn vị, mỗi số chia cho 3 đều dư 2
Bài 2: Mỗi dãy số sau được viết theo quy luật nào? Hãy viết thêm 3 số tiếp theo vào
mỗi dãy số:
a) 1, 3, 5, 7
b) 0, 2, 4, 6, 8
c) 1, 5, 9, 13,
d)1, 4, 7, 10,
e) 103, 95, 87,
Gợi ý:
a) Dãy số lẻ liên tiếp, số liền sau bằng số liền trước cộng thêm 2
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
16
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
b) Dãy số chẵn liên tiếp, số liền sau bằng số liền trước cộng thêm 2
c) Dãy số cách đều 4 đơn vị, mỗi số hạng chia cho 4 đều dư 1. Số liền sau bằng số liền
trước cộng thêm 4
d) Dãy số cách đều 3 đơn vị
e) Dãy số cách đều 8 đơn vị, số liền sau bằng số liền trước cộng thêm 8 đơn vị.
Bài 3: Viết thêm 2 số hạng vào dãy số sau:
a) 1, 2, 3, 5, 8, 13,
b) 1, 2, 3, 6, 12, 24,
c) 1, 4, 9, 16, 25, 36,
d) 2, 12, 30, 56, 90,
e) 1, 5, 14, 33, 72,
g) 2, 20, 56, 110, 182,
Gợi ý:
a) Kể từ số thứ ba, mỗi số liền sau bằng tổng của 2 số hạng đứng trước nó.

b) Kể từ số thứ ba, mỗi số liền sau bằng tổng của các số hạng đứng trước nó.
c) Mỗi số hạng bằng số thứ tự của nó trong dãy số nhân với chính nó.
d) Mỗi số hạng bằng tích của của 2 số tự nhiên liên tiếp kể từ 1 và không có thừa số là
số tự nhiên được lặp lại.
2 = 1 x 2
12 = 3 x 4
30 = 5 x 6 Suy ra: 11 x 12 = 132 13 x 14 = 182
e) Mỗi số liền sau bằng số liền trước nhân với 2 rồi cộng với một số tự nhiên (lần lượt
từ 3, 4, 5, 6, 7 )
Cụ thể: 5 = 1 x 2 +3
14 = 5 x 2 + 4
33 = 14 x 2 + 5 Suy ra: 72 x 2 + 7 = 151 151 x 2 + 8 = 310
g) Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số liền sau bằng số liền trước cộng với tích của 18 nhân
với số thứ tự của khoảng cách.
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
17
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
Ví dụ: Từ 2 đến 20 là khoảng cách thứ nhất trong dãy số
20 = 2 + 18 x 2
Từ 20 đến 56 là khoảng cách thứ hai trong dãy số
56 = 2 0+ 18 x 3
Tiếp theo là các số:
110 = 56 + 18 x 3
182 = 110 + 18 x 4
Suy ra 2 số cần tìm là: 182 + 18 x 5 = 272
272 + 18 x 6 = 380
Bài 3: Viết tiếp 2 số hạng vào dãy số sau:
a) 100, 93, 85, 76,
b) 10, 13, 18, 26,
c) 0, 1, 2, 4, 7, 12,

d) 0, 1, 4, 9, 18,
e) 5, 6, 8, 10,
g)1, 6, 54, 648,
h) 1, 3, 3, 9, 27,
i)1, 1, 3, 5, 17,
2) Tìm số hạng đầu tiên trong dãy số
Ví dụ: Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau:
a) , 199, 228. (Biết dãy này có 15 số hạng)
b) , 48, 63. (Biết dãy này có 8 số hạng)
Hướng dẫn:
a) - Số hạng 228 là số thứ bao nhiêu trong dãy số?
( Số thứ 15 vì dãy này có 15 số hạng)
- Tìm mối quan hệ giữa số với số thứ tự?
( Số thứ mười lăm 228 = 15 x 15 + 3
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
18
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
Số thứ mười bốn 199 = 14 x 14 + 3)
- Số đầu tiên là số thứ mấy trong dãy số?
( Số thứ nhất)
b) Gợi mở tương tự
Trình bày:
a) Nhận xét:
Số thứ mười lăm 228 = 15 x 15 + 3 (15 là số thứ tự của số 228 trong dãy số)
Số thứ mười bốn 199 = 14 x 14 + 3 (15 là số thứ tự của số 199 trong dãy số)

Quy luật: Mỗi số hạng trong dãy số bằng số thứ tự nhân với số thứ tự của nó trong dãy
số rồi cộng thêm 3
Số đầu tiên là: 1 x 1 + 3 = 4
b)Nhận xét:

Số thứ tám: 63 = 8 x 8 - 1
Số thứ bảy: 48 = 7 x 7 - 1

Quy luật: Mỗi số hạng trong dãy số bằng số thứ tự nhân với số thứ tự của nó trong dãy
số rồi trừ đi 1
Số đầu tiên là: 1 x 1 - 1 = 0
Ghi nhớ :
Dạng bài tìm số hạng đầu tiên thường cho số lượng số cho nên cần nhận xét đến
số thứ tự của số trong dãy số
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1 : Tìm 2 số hạng đầu trong các dãy số sau:
a) 39, 42, 45
b) 4,2,0
c) 23, 25, 27, 29
Gợi ý :
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
19
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
a) Mỗi số hạng bằng số thứ tự nhân với 3.
b) Mỗi số hạng bằng 2 nhân với hiệu của 15 trừ đi số thứ tự của nó trong dãy số.
c) Mỗi số hạng bằng 2 nhân với số thứ tự rồi trừ đi một.
Bài 2 : Viết tiếp 2 số hạng ở đầu dãy số sau:
a) 81, 100
b) 49, 54
Biết mỗi dãy có 10 số hạng
Gợi ý :
a) Mỗi số hạng bằng số thứ tự nhân với số thứ tự của nó.
b) Mỗi số hạng bằng 5 nhân với số thứ tự của nó rồi cộng thêm 4 đơn vị.
DẠNG 3 : TÌM SỐ LƯỢNG SỐ CÓ TRONG DÃY SỐ CÁCH ĐỀU
Ví dụ :

Cho dãy số: 1,1; 2,2; 3,3; 108,9; 110,0
Hỏi dãy số trên có bao nhiêu số hạng ?
Hướng dẫn :
- Quan xét và nhận xét về đặc điểm các số hạng của dãy số ?
(Là các số thập phân, tăng dần)
- Nhận xét về mối quan hệ giữa 2 số liền kề ?
(Hai đơn vị liền kề hơn (kém) nhau 1,1 dơn vị)
- Muốn tính tổng ta phải dựa vào bài toán nào ?
( Bài toán trồng cây trên 1 đường thẳng, cả hai đầu đều có cây )
Trình bày:
Nhận xét: 2,2 - 1,1 = 1,1
3,3 - 2,2 = 1,1
110 - 108,9 = 1,1
Ta nhận thấy đây là 1 dãy số mà các số hạng đứng liền nhau đều hơn (kém)
nhau 1,1 đơn vị.
Số lượng số hạng có trong dãy số trên là :
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
20
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
( 110 - 1,1) :1,1 +1= 100 (số hạng)
Đáp số : 100 số hạng
Ghi nhớ :
Trong dãy số cách đều, muốn tính tổng các số hạng có trong dãy số cần :
` - Nhận xét tìm ra khoảng cách giữa 2 số liền kề.
- Nhận xét về đặc điểm của dãy số, từng số hạng trong dãy số.
- Tìm số lượng số theo công thức.
(Số lớn nhất - số nhỏ nhất): Khoảng cách giữa 2 số liền kề cộng 1
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Tìm số số hạng trong các dãy số sau :
a) 1, 5, 9, 13, ,101

b)1, 8, 15, 22, ,701, 708
Gợi ý:
a) Khoảng cách giữa 2 số liền kề là 4
Số số hạng là: ( 101 - 1) : 4 + 1 = 26 (số)
b) Khoảng cách giữa 2 số liền kề là 7
Số số hạng là: (708 - 1) : 7 + 1 = 102 (số)
Bài 2:
a) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số?
b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số đều là lẻ?
c) Có bao nhiêu số có 2 chữ số mà chia cho 5 dư 4?
Gợi ý:
a) Hai số chẵn liên tiếp có khoảng cách là 2 đơn vị.
Số chẵn lớn nhất có 4 chữ số là 9998
Số chẵn nhỏ nhất có 4 chữ số là 1000
Số lượng số chẵn có 4 chữ số là:
(9998 - 1000) : 2 + `1= 4500 (số)
b) Tương tự tìm được 450 số
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
21
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
c) Số lớn nhất có 2 chữ số chia cho 5 dư 4 là 99
Số nhỏ nhất có 2 chữ số chia cho 5 dư 4 là 14
Khoảng cách giữa 2 số liền kề là 5
Số lượng số là:
(99 - 14) : 5 + 1 = 18 (số)
Bài 3: Cho dãy số: 11, 14, 17, 68
Dãy số trên có bao nhiêu số hạng?
Bài 4: Trong các số có 3 chữ số có bao nhiêu số chia hết cho 4?
Bài 5: Có bao nhiêu số:
a) Có 3 chữ số chia cho 5 dư 1? dư 2?

b) Có 4 chữ số chia hết cho 3?
c) Có 3 chữ số nhỏ hơn 500 và chia hết cho 4?

DẠNG 4: XÁC ĐỊNH MỘT SỐ BẤT KÌ CÓ THUỘC DÃY SỐ ĐÃ CHO HAY
KHÔNG
Ví dụ: Cho dãy số sau:
a) 1, 4, 7, 10, 2002
b) 5, 10, 20,
Các số : 100, 1998, 2920 có thuộc dãy số (a) không ?Vì sao ?
Các số : 555, 1998, 1500 có thuộc dãy số (b) không? Vì sao ?
Hướng dẫn:
a) – Nhận xét đặc điểm của từng số hạng có trong dãy ?
( mỗi số hạng đều chia cho 3 dư 1 )
- Số nhỏ nhất trong dãy số trên là bao nhiêu ? (số 1)
- Số lớn nhất có trong dãy số trên là bao nhiêu ? ( số 2002 )
- Xét các số xem có thỏa mãn 3 điều kiện trên không ?
b) – Quan sát và nhận xét đặc điểm của dãy số ?
( Số liền sau gấp đôi số liền trước)
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
22
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
- Số hạng đầu tiên là số nào ? (số 5)
- Vậy mỗi số hạng trong dãy số phải là số thế nào ?
(Chia hết cho 5 và 2)
- Kiểm tra từng số đã cho
Trình bày :
a) Nhận xét:
Ta nhận thấy: 1 : 3 = 0 dư 1
4 : 3 = 1 dư 1
7 : 3 = 2 dư 1

2002 : 3 = 667 dư 1
Như vậy mỗi số hạng có trong dãy số khi chia cho 3 đều dư 1 mà số lớn nhất
trong dãy số là 2002 nên:
- Số 2920 : 3 = 973 dư 1 nhưng 2920 > 2002 nên số này không có trong
dãy số.
- Số 100: 3 = 33 dư 1 suy ra số 1000 có thuộc dãy số
- Số 1998 : 3 = 666 suy ra số 1998 không thuộc dãy số
c) Nhận xét: 10 = 5 x 2
20 = 10 x 2
Như vậy đây là dãy số mà mỗi số liền sau đều gấp 2 lần số liền trước. Mătf khác số
hạng đầu tiên là 5 nên mỗi số hạng (kể từ số thứ 2 ) phải là số chia hết cho cả 2 và 5.
Số 555 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2 nên số 555 không thuộc dãy số.
Số 1500 chia hết cho cả 2 và 5 nhưng số đứng liền trước 1500 là :
1500 : 2 = 750, số trước số 750 là :
750 : 2 = 375
Số 375 không có mặt trong dãy số vì số này không chia hết cho 2 suy ra số 1500
không thuộc dãy số.
Ghi nhớ:
- Nhận xét đặc điểm của từng số hạng (Dựa vào dấu hiệu chia hết, chia
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
23
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
còn dư)
- Tìm ra quy luật chung của dãy số
- Kiểm tra từng số:
- Dựa vào dấu hiêu chia hết, chia còn dư
- Dựa vào số lớn nhất, bé nhất có trong dãy số
- Lưu ý số liền trước liền sau một số
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1 :Em hãy cho biết:

a) Các số 50, 133 có thuộc dãy 90, 95, 100,…hay không ?
Gợi ý :
Không thuộc vì 50 < 90; 133 không chia hết cho 5
b) Số 1996 có thuộc daỹ 2,5,8,11…hay không ?
Gợi ý
Số 1996 : 3 =665 dư 1 mà các số trong dãy số đều chia 5 dư 2 nên 1996 không thuộc.
c) Số nào trong các số 666, 1000, 999 thuộc dãy 3, 6, 12, 24…
Gợi ý : Không có số nào thuộc dãy số đó
( tương tự như bài ví dụ b )
Bài 2: Số 1995 có thuộc dãy số 1. 4. 7. 10, …? Vì sao?
Gợi ý: Số 1995 : 3 = 665 mà các số trong dãy đều chia co 3 đều dư 1 nên số 1995
không thuộc dãy số đó
Bài 3: Cho dãy số 100,105,110,…,2000
Số 50, 2555, 484 có thuộc dãy số trên không ? Vì sao ?
Gợi ý : 50 < 100
2555 >2000
484 không chia hết cho 5
Suy ra cả 3 số đã cho đều không thuộc dãy số đã cho
DẠNG 5 : TÌM SỐ THỨ (n) TRONG DÃY SỐ
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
24
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
Ví dụ:
Dãy số 5, 8, 11… có 76 số. Tìm số cuối cùng của dãy số này.
Đặt câu hỏi gợi mở tương tự như các ví dụ trước để nhận xét được. Đây là dãy
số cách đều 3 đơn vị. Số lượng số của dãy số là 76 số, số nhỏ nhất trong dãy số là số 5
Dựa vào bài toán trồng cây để giải.
Bài giải
Khoảng cách giữa 2 số liền kề là:
8 – 5 = 11 – 8 = 3

Số khoảng cách có trong dãy số là :
76 – 1 = 75 (khoảng cách)
Hiệu giữa số thứ 76 và số đầu tiên là :
3 x 75 = 225
Số thứ 76 là :
5 + 225 = 230
Vậy số cuối cùng là 230
Ghi nhớ :
1. Xác định khoảng cách giữa 3 số liền kề
2. Tìm số khoảng cách
3. Tìm số
Số lớn = hiệu + số nhỏ nhất
Số nhỏ nhất = số lớn nhất - hiệu
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Cho dãy số 1,1; 2,2; 3,3;…
Số hạng thứ 50 của dãy là số nào ?
Gợi ý: Giải tương tự như ví dụ_số thứ 50 là số 55,0
Bài 2: Cho dãy số ; 122, 111, 100,…
Tìm số cuối cung biết dãy số có 12 số hạng.
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
25