Hàm số liên tục lớp 11

GVTH : Nguyn Hng Trung
TRNG THPT HM THUN BC
TO TOAN
BAỉI DAẽY

2
)( xxf
=
)(xf
1x
limvà f(1) Tính
→
có) nếulimvà f(1) sánh So
1x
( )(xf
→
? gnét khôn liền đườngmột là có này thò Đồ
. số hàmcủa thò đồ phácVẽ

2
)( xxf
=
1)1( =f
1lim)(lim
2
11
==
→→
xxf

xx
)1()(lim
1
fxf
x
=
→
Đồ thị là một đường liền nét
y
x
o
1
1
M
(P)

Đồ thị không là một đường liền nét
g(1) = 1
Không tồn tại
1
lim ( )
x
g x
→
⇒

x
y
o 1
2

3
•
y
x
o 1
1
2
y
x
o
1
1
Đồ thị không là một đường liền nét
Đồ thị không là một đường liền nétĐồ thị là một đường liền nét
)1()(lim
1
fxf
x
≠
→
)1()(lim
1
fxf
x
=
→
)(lim
1
xf
x

→
taïi toàn khoâng
1)1(
=
f
Hàm số liên tục tại
x=1
Hàm số không liên
tục tại x=1
Hàm số không liên
tục tại x=1
Theo các em thì
hàm số phải thỏa
mãn điều kiện gì
thì liên tục tại
x=1 ?

)1(f
=
Hàm số phải thỏa điều kiện
)(lim
1
xf
x
→

Các hàm số có tính chất giới hạn và
giá trị của hàm số tại một điểm mà nó
xác định là bằng nhau đóng một vai trò
rất quan trọng trong giải tích và trong

các nghành toán học khác. Người ta
gọi đó là các hàm số liên tục

HÀM SỐ LIÊN TỤC

1.Hàm số liên tục tại một điểm:
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng Kvà
x
0
∈K.

)()(lim
0
0
xfxf
xx
=
→
Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x
0
nếu:
a) Định nghĩa:

2
3 4 1
; 1
( )
1
5 ; 1
x x

x
f x
x
x
− +

≠

=
−


=

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 1.
VD1 :
Cho hàm số :
-1-2
1
1
5
2
2
-1
0
x
y
Ta có:
f(1)=5
2

3 4 1 ( 1)(3 1)
lim ( ) lim lim
1 ( 1)
1 1 1
x x x x
f x
x x
x x x
− + − −
= =
− −
→ → →
lim (3 1) 3.1 1 2
1
x
x
− = − =
→
Vì f(1) ≠
1
limf(x)
x→
Hàm số đã cho khơng liên
tục tại x = 1
Đồ thị minh họa

VD2 :
Cho
2
; 0

( )
; 0
x x
f x
a x
>

=

≤

Tìm a để f(x) liên tục tại x = 0
Nhận xét :
f(x) liên tục tại x
0

thì đồ thò không bò
đứt đoạn tại x
0
-1-2
1
1
4
2
2
-1
0
x
y
y = a

y = 0
y = x
2
a
f(x)=f(0)= a
Limf(x)=limf(x
2
)=0
khi x tiến về 0
Vậy a = 0 thì hàm số
liên tục

II. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG , ĐOẠN :
* f(x) liên tục trong (a;b) ⇔ f(x) liên tục tại mọi x
0
∈(a;b)
* f(x) liên tục trên [a;b]
lim ( ) ( )
lim ( ) ( )
x a
x b
f x f a
f x f b
+
−
→
→




⇔ =


=


f(x) liên tục trong (a;b)
: liên tục bên phải tại a
: liên tục bên trái tại b
Chú ý :
Đònh nghóa
* Các hàm số gặp trong chương trình nếu f(x) =…… Cho bởi một
công thức thì f(x) liên tục trên miền xác đònh của công thức đó.
* Đồ thò hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn là một đường liền nét
trên khoảng, đoạn đó.

Dựa vào định lý về sự tồn tại giới hạn của
hàm số tại một điểm ta có định lý sau:
Hàm số f liên tục tại điểm x
0
khi và chỉ khi :
)()(lim)(lim
0
00
xfxfxf
xxxx
==
+−
→→
Định lý:

Giải thích:
Điều kiện cần và đủ để : là
Lxf
xx
=
→
)(lim
0
)(lim),(lim
00
xfxf
xxxx
+−
→→
đều tồn tại và bằng L

III. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN

Ví dụ:
Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác
định của nó

Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình
f(x) = x
3
+2x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm
Giải
Xét hàm số trên ta có :
f(0)= - 5 và f(2) = 7 . Do đó, f(0).f(2) < 0
Hàm số đã cho liên tục trên R, Do đó , nó liên tục trên [ 0 ; 2] . Từ đó

phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x
0
∈ ( 0 ; 2 )


Hoạt động cá nhân

Ví dụ 1:
Cho hàm số:





=
≠
−
−
=
1x neáu 2
1x neáu
1
1
)(
2
x
x
xf
Xét tính liên tục của hàm số đã cho tại
điểm x

0
=1






=
≠
−
−
=
1x neáu 2
1 x neáu
1
1
)(
2
x
x
xf
Ta có:
2)1(
=
f
2)1(lim
1
)1)(1(
lim

1
1
lim)(lim
1
1
2
11
=+=
−
−+
=
−
−
=
→
→→→
x
x
xx
x
x
xf
x
xxx
và:
(1)
(2)
)1()(lim)2()1(
1
fxf

x
=⇒∧
→
Theo định nghĩa ta suy ra:
Hàm số f(x) liên tục tại x=1






=
≠
−
−
=
1x neáu 2
1 x neáu
1
1
)(
2
x
x
xf
y
x
o
1
2

•
Minh họa


Hoạt động cá nhân

Ví dụ 2:
Xét tính liên tục của hàm số



≤
>+
=
0x neáu x
0 x neáu 1x
)(
2
xf
tại điểm x
0
=0




≤
>+
=
0x neáu x

0 x neáu 1x
)(
2
xf
Ta có: f(0)=0
(1)
và:
0lim)(lim
00
==
−−
→→
xxf
xx
(2)
1)1(lim)(lim
2
00
=+=
++
→→
xxf
xx
(3)
⇒∧ )3()2(
không tồn tại
)(lim
0
xf
x

→
Theo định nghĩa ta suy ra:
f không liên tục tại x=0

Minh họa



≤
>+
=
0x neáu x
0 x neáu 1x
)(
2
xf
y
x
o
1
y=x
y=x
2
+1

Phương pháp xét tính liên tục của hàm số y=f(x) tại một
điểm x
0

Bước 1: Tính f(x

0
)
f(x
0
) không xác định f (x) không liên tục tại x
0
f(x
0
) xác định tiếp tục bước 2
Bước 2: Tìm
)(lim
0
xf
xx
→
Giới hạn không tồn tại f(x) không liên tục tại x
0
Giới hạn tồn tại tiếp tục bước 3
Bước 3: So sánh
Bằng nhau f (x) liên tục tại x
0
Không bằng nhau f (x) không liên tục tại x
0