Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về cấu trúc và biểu hiện xạ ảnh của nhóm Lie Poin caré" doc

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC HUẾ, Số 48, 2008
VỀ CẤU TRÚC VÀ BIỂU DIỄN
XẠ ẢNH CỦA NHÓM LIE POINCARÉ
Trần Đạo Dõng, Đại học Huế
Lưu Thị Khánh Giang, Sở GD-ĐT Quảng Bình
Nguyễn Tân Quang, học viên cao học trường ĐHSP, Đại học Huế
TÓM TẮT
Một trong các bài toán cơ bản của lý thuyết biểu diễn nhóm Lie là mô tả và phân
lớp các biểu diễn unita bất khả qui của các nhóm Lie nửa đơn, đặc biệt là các biểu
diễn xạ ảnh bất khả qui cảm sinh từ biểu diễn unita bất khả qui của phủ phổ dụng
đơn liên tương ứng. Trong bài viết này, trước hết chúng tôi khảo sát cấu trúc của
nhóm Poincaré xét như tích nửa trực tiếp của các nhóm Lie. Tiếp đó, chúng tôi khảo
sát biểu diễn xạ ảnh của nhóm Lie Poincaré liên thông SO(3, 1)
◦
 R
4
cảm sinh từ
các biểu diễn unita bất khả quy của tích nửa trực tiếp SL(2, C)  R
4
, phủ phổ dụng
đơn liên 2-lá của SO(3, 1)
◦
 R
4
.
§1. Nhóm poincaré và phủ đơn liên tương ứng
1.1. Định nghĩa: Cho nhóm Lorentz H = O(3, 1) tác động một cách tự nhiên
lên R
4
qua ánh xạ τ : O(3, 1) × R
4

→ R
4
, (g, x) → τ(g, x) = gx. Khi đó, ánh xạ
α : g → τ(g, .) là một đồ ng cấu nhóm từ nhóm Lorentz H = O(3, 1) vào nhóm
các tự đẳng cấu trơn của R
4
. Ta định nghĩa nhóm Poincaré là tích nửa trực tiếp
O(3, 1) ×
τ
R
4
của các nhóm Lie O(3, 1) và R
4
. Để đơn giản, nhóm Poincaré thường
được ký hiệu là G = O(3, 1)R
4
. Phép toán nhân và nghịch đảo trên nhóm Poincaré
cho bởi
(g, x)(g

, x

) = (gg

, τ (g
−1
, x) + x

) = (gg


, g
−1
x + x

)
(g, x)
−1
= (g
−1
, τ (g, −x)) = (g
−1
, −gx), ∀(g, x), (g

, x

) ∈ G.
1.2. Mệnh đề: Đại số Lie của nhóm Lie Poincaré G = O(3, 1)  R
4
là tích nửa
trực tiếp của các đại số Lie so(3, 1) ⊕
π
R
4
, với π : so(3, 1) → DerR
4
là đồng cấu đại
số Lie xác định bởi π(X)x = Xx, ∀X ∈ so(3, 1), ∀x ∈ R
4
.
Chứng minh. Gọi τ (g) là vi phân của τ(g, .) tại phần tử đơn vị của R

4
. Do τ(g, .) :
R
4
→ R
4
là một tự đẳng cấu nhóm Lie nên τ(g) : R
4
→ R
4
là tự đẳng cấu đại số
Lie của R
4
. Khi đó, ánh xạ τ : G → Aut
R
(R
4
), g → τ (g) là một đồng cấu nhóm
15
và trơn nên τ là một đồng cấu nhóm Lie. Đại số Lie của các nhóm Lie O(3, 1) và
Aut(R
4
) lần lượt là so(3, 1) và Der(R
4
) nên dτ là một đồng cấu đại số Lie từ so(3, 1)
vào Der(R
4
). Theo định nghĩa, đại số Lie của nhóm Poincaré G = O(3, 1)  R
4
là

g = so(3, 1) ⊕
dτ
R
4
. Ta sẽ chứng minh π = dτ . Thật vậy, với X là một phần tử bất
kì của so(3, 1), ta có
dτ(X)(x) =
d
dt


t=0
τ(I + tX)(x) =
d
dt


t=0
(I + tX)x =
d
dt


t=0
(x + tXx)
=
d
dt



t=0
tXx = Xx, ∀x ∈ R
4
.
Do đó, dτ = π. Để đơn giản, ta sẽ kí hiệu g = so(3, 1)  R
4
.
Xét tác động của nhóm SL(2, C) lên R
4
bởi các tự đẳng cấu xác định bởi ν :
SL(2, C) × R
4
→ R
4
, (g, x) → ψ(g)x. Khi đó, ta xác định được tích nửa trực tiếp
SL(2, C) ×
ν
R
4
. Phép nhân và phép nghịch đảo trên

G = SL(2, C) ×
ν
R
4
cho bởi
(g, x)(g

, x


) = (gg

, ν(g
−1
, x) + x

) = (gg

, ψ(g
−1
)x + x

)
= (gg

, (ψ(g

))
−1
x + x

).
(g, x)
−1
= (g
−1
, ν(g, −x)) = (g
−1
, −ψ(g)x), ∀g, x), (g


, x

) ∈

G.
Mặt khác, tác động τ của nhóm Lorentz O(3, 1) lên R
4
hạn chế trên SO(3, 1)
◦
cảm sinh tích nửa trực tiếp của các nhóm Lie
G
◦
= SO(3, 1)
◦
 R
4
:= SO(3, 1)
◦
×
τ
R
4
,
với G
◦
là thành phần liên thông của nhóm Poincaré.
Xét ψ : SL(2, C) → SO(3, 1)
◦
là đồng cấu phủ của nhóm Lorentz liên thông
H

◦
= SO(3, 1)
◦
, với SL(2, C) là nhóm phủ đơn liên hai lá tương ứng. Khi đó, ta có
kết quả sau:
1.3. Mệnh đề:Phủ phổ dụng của nhóm Poincaré liên thông SO(3, 1)
◦
 R
4
là
tích nửa trực tiếp SL(2, C) ×
ν
R
4
với đồng cấu phủ
Ψ := ψ × I : SL(2, C) ×
ν
R
4
→ SO(3, 1)
◦
 R
4
, (g, x) → (ψ(g), x).
Chứng minh. Ta có SL(2, C) và R
4
là các nhóm Lie đơn liên nên SL(2, C) ×
ν
R
4

cũng đơn liên. Bây giờ ta sẽ chứng minh Ψ là một đồng cấu nhóm Lie. Thật vậy,
giả sử (g, x), (g

, x

) là hai phần tử bất kì của SL(2, C) ×
ν
R
4
, khi đó, ta có
Ψ((g, x)(g

, x

)) = Ψ(gg

, (ψ(g

))
−1
x + x

) = (ψ(gg

), (ψ(g

))
−1
x + x


)
= (ψ(g)ψ(g

), (ψ(g

))
−1
x + x

)
16
Ψ(g, x)Ψ(g

, x

) = (ψ(g), x)(ψ(g

), x

) = (ψ(g)ψ(g

), (ψ(g

))
−1
x + x

).
Suy ra Ψ((g, x)(g


, x

)) = Ψ(g, x)Ψ(g

, x

), hay Ψ là một đồng cấu nhóm. Do ψ và I
là các toàn ánh nên Ψ cũng toàn ánh. Hơn nữa, kerΨ = {(±I, 0)}
∼
=
Z
2
.
Ta có SL(2, C) ×
ν
R
4
đơn liên và Ψ là một toàn cấu nhóm Lie nên suy ra
SL(2, C) ×
ν
R
4
là nhóm phủ phổ dụng của nhóm Poincaré liên thông
G
◦
= SO(3, 1)
◦
 R
4
với đồng cấu phủ Ψ : SL(2, C) ×

ν
R
4
→ SO(3, 1)
◦
 R
4
. Do
kerΨ
∼
=
Z
2
nên phủ phổ dụng này cũng là phủ hai lá.
Để đơn giản khi viết, ta sẽ kí hiệu SL(2, C)R
4
thay cho nhóm Lie SL(2, C)×
ν
R
4
và đại số Lie tương ứng là sl(2, C)  R
4
thay cho sl(2, C) ⊕
dν
R
4
.
§2. Biểu diễn xạ ảnh của nhóm Poincaré
Xét đại số Lie g = so(3, 1)  R
4

của nhóm Lie Poincaré G = O(3, 1)  R
4
, ta có
kết quả sau:
2.1. Mệnh đề: H
2

so(3, 1)  R
4

= 0.
Chứng minh. Trước hết chú ý rằng đại số Lie của nhóm Lorentz h = so(3, 1) là một
đại số Lie nửa đơn. Lấy ω : R
4
× R
4
→ R là một phần tử của (∧
2
(R
4
)
∗
)
so(3,1)
và xét
tích trong Lorentz β trên R
4
. Do β không suy biến nên tồn tại duy nhất một ánh
xạ tuyến tính T ∈ End(R
4

) sao cho ω(x, y) = β(T x, y), với mọi x, y ∈ R
4
. Khi đó,
với mọi X ∈ so(3, 1), x, y ∈ R
4
, ta có
0 = Xω(x, y) = ω(Xx, y) + ω(x, Xy) = β(T Xx, y) + β(T x, Xy).
Suy ra
β(T Xx, y) = −β(T x, Xy) = −

T x, JXy

= −

T x, (JXJ)Jy

= −

T x, −X
t
Jy

=

XT x, Jy

= β(XT x, y), ∀x, y ∈ R
4
,
trong đó <, > là kí hiệu tích vô hướng chính tắc trên R

4
và J là ma trận chéo cấp
4 với ba phần tử đầu tiên trên đường chéo bằng 1 và phần tử cuối cùng của đường
chéo bằng -1. Do vậy, ta có
T Xx = XT x, ∀X ∈ so(3, 1), x ∈ R
4
.
Nên T giao hoán với tác động của so(3). Do đó T = cI, với c ∈ R. Vì thế
ω(x, y) = β(T x, y) = β(cIx, y) = cβ(x, y), ∀x, y ∈ R
4
.
Hay ω = cβ. Mặt khác, ta có ω là phản đối xứng nên
cβ(x, y) = ω(x, y) = −ω(y, x) = −cβ(y, x), ∀x, y ∈ R
4
.
17
Suy ra cβ(e
1
, e
1
) = −cβ(e
1
, e
1
). Do β(e
1
, e
1
) = 1 nên c = −c hay c = 0.
Do đó ω = 0. Vậy (∧

2
(R
4
)
∗
)
so(3,1)
= 0. Suy ra H
2
(so(3, 1)  R
4
) = 0.
Biểu diễn xạ ảnh π : G → Aut(P(H)) của nhóm Lie G trong không gian Hilbert
phức H được gọi là bất khả quy nếu không tồn tại không gian con đóng thực sự
khác không π(G)-bất biến của P(H). Kết quả dưới đây cho thấy rằng, mỗi biểu diễn
unita bất khả quy của SL(2, C)  R
4
có thể được cảm sinh từ một biểu diễn xạ ảnh
bất khả quy của SL(2, C)  R
4
.
2.2. Định lý:Cho H là không gian Hilbert phức. Khi đó mỗi biểu diễn xạ ảnh
π : SL(2, C)  R
4
→ Aut(P(H)) nâng lên thành một biểu diễn unita duy nhất
∼
π của
SL(2, C)  R
4
trong H. Hơn nữa, π là bất khả quy nếu và chỉ nếu

∼
π bất khả quy.
Chứng minh. Ta có nhóm Lie SL(2, C)  R
4
đơn liên. Hơn nữa, đại số Lie tương
ứng sl(2, C)  R
4
đẳng cấu với so(3, 1)  R
4
nên theo Mệnh đề 2.1, ta có
H
2

sl(2, C)  R
4

= 0. Suy ra biểu diễn xạ ảnh π : SL(2, C)  R
4
→ Aut(P(H))
nâng lên thành một biểu diễn unita
∼
π : SL(2, C)  R
4
→ U(H).
Bây giờ ta sẽ chứng minh tính duy nhất của
∼
π. Giả sử ρ là phép nâng thứ hai của π.
Khi đó, q ◦
∼
π = π = q ◦ ρ, nên với mọi x ∈ SL(2, C)  R

4
, ta có q ◦
∼
π(x) = q ◦ ρ(x).
Suy ra q

∼
π(x)

.

q(ρ(x))

−1
= 1. Hay q

∼
π(x).(ρ(x))
−1

= q

∼
π(x)

.q

(ρ(x))
−1


= 1.
Vì vậy
∼
π(x).(ρ(x))
−1
là một phần tử của kerq = T.
Từ đó, ta xác định được ánh xạ ϕ : SL(2, C)  R
4
→ T theo công thức ϕ(x) =
∼
π(x).(ρ(x))
−1
. Suy ra,
∼
π(x) = ϕ(x)ρ(x), ∀x ∈ SL(2, C) R
4
và ϕ là ánh xạ duy nhất
có tính chất này.
Do ρ và
∼
π là những ánh xạ liên tục nên ϕ cũng liên tục. Hơn nữa, T là tâm của
U
1
(H) nên với mọi phần tử x, x
1
, x
2
thuộc SL(2, C)  R
4
, ta có

ϕ(x
1
x
2
) =
∼
π(x
1
x
2
).(ρ(x
1
x
2
))
−1
=
∼
π(x
1
).
∼
π(x
2
).

ρ(x
1
).ρ(x
2

)

−1
=
∼
π(x
1
).

∼
π(x
2
).(ρ(x
2
))
−1

.(ρ(x
1
))
−1
=
∼
π(x
1
).ϕ(x
2
).(ρ(x
1
))

−1
=

∼
π(x
1
).(ρ(x
1
))
−1

.ϕ(x
2
) = ϕ(x
1
).ϕ(x
2
).
Như vậy, ϕ là một đồng cấu nhóm Lie. Gọi ϕ là thu hẹp của ϕ lên SL(2, C). Khi
đó, đạo hàm ϕ
∗
: sl(2, C) → R của ϕ là một đồng cấu đại số Lie. Xét như là một
đại số Lie thực, sl(2, C) là đại số Lie đơn, với ker ϕ
∗
là một ideal của sl(2, C). Do
đó ker ϕ
∗
= 0 hoặc ker ϕ
∗
= sl(2, C). Nếu ker ϕ

∗
= 0 thì ϕ
∗
là một đơn cấu, suy ra
số chiều của sl(2, C) nhỏ hơn hoặc bằng số chiều của R.
Điều này là mâu thuẫn vì số chiều của sl(2, C) bằng 6 còn số chiều của R bằng 1.
Vậy ker ϕ
∗
= sl(2, C), hay ϕ
∗
= 0 trên sl(2, C). Khi đó,
ϕ(SL(2, C) = ϕ(SL(2, C) = ϕ(exp(sl(2, C)) = exp(ϕ
∗
(sl(2, C)) = 1.
18
Suy ra ϕ = 1 trên SL(2, C). Không gian con ker ϕ
∗
∩ R
4
là SO(3, 1)-bất biến,
nên ker ϕ
∗
∩ R
4
= R
4
. Vì thế ker ϕ
∗
= R
4

. Như vậy, ϕ
∗
= 0, do đó ϕ = 1 trên
SL(2, C)  R
4
. Suy ra
∼
π = ρ.
Bây giờ, xét V là một không gian con đóng của H. Kiểm tra trực tiếp theo định
nghĩa và áp dụng đẳng thức q ◦
∼
π = π ta suy ra V là
∼
π

SL(2, C)  R
4

-bất biến nếu
và chỉ nếu P(V ) là π

SL(2, C)  R
4

-bất biến. Do đó, π bất khả quy khi và chỉ khi
∼
π bất khả quy.
Một trong các áp dụng của định lý 2.2 là xác định mối liên hệ hai chiều giữa
tập hợp tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của nhóm Lie Poincaré liên thông
G

◦
= SO(3, 1)
◦
 R
4
và tập hợp tất cả các biểu diễn xạ ảnh bất khả quy của phủ
phổ dụng tương ứng SL(2, C)  R
4
.
2.3. Mệnh đề:Mỗi biểu diễn unita bất khả quy của SL(2, C)  R
4
trong H cảm
sinh một cách tự nhiên một biểu diễn xạ ảnh bất khả quy của SO(3, 1)
◦
 R
4
trong
H. Từ đó, xác định được một song ánh giữa tập hợp tất cả các biểu diễn xạ ảnh bất
khả quy của nhóm Poincaré liên thông và tập hợp tất cả các biểu diễn unita bất khả
quy của phủ phổ dụng tương ứng SL(2, C)  R
4
.
Chứng minh. Giả sử
∼
π : SL(2, C)  R
4
→ U
1
(H) là một biểu diễn unita bất khả
quy của SL(2, C)  R

4
trong không gian Hilbert H. Ta đã biết toàn cấu nhóm
q : U
1
(H) → Aut(P(H)) có hạt nhân là T, đồng cấu phủ Ψ : SL(2, C)  R
4
→
SO(3, 1)
◦
 R
4
có hạt nhân là {(±I, 0)} và trùng với tâm của SL(2, C)  R
4
. Suy
ra
∼
π(KerΨ) ⊂ T. Khi đó, biểu diễn
∼
π cảm sinh một biểu diễn xạ ảnh π = q ◦
∼
π :
SL(2, C)  R
4
→ Aut(P(H)) tầm thường trên ker Ψ. Do vậy, π cảm sinh biểu
diễn xạ ảnh π : SO(3, 1)
◦
 R
4
→ Aut(P(H)) của nhóm Poincaré liên thông
G

◦
= SO(3, 1)
◦
 R
4
trong H sao cho sơ đồ sau giao hoán
SL(2, C)  R
4
SO
◦
(3, 1)  R
4
Aut(P(H)).
✲
Ψ
❄
π
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟✙
π
Ta có
∼
π bất khả quy nên π bất khả quy, do đó π cũng bất khả quy. Ngược lại, cho π
là một biểu diễn xạ ảnh bất khả quy của SO
◦

(3, 1) R
4
trong H, ta suy ra π =
∼
π ◦Ψ
là một biểu diễn xạ ảnh bất khả quy của SL(2, C)  R
4
. Theo định lí 2.2, biểu diễn
này nâng lên một biểu diễn unita bất khả quy duy nhất của SL(2, C)  R
4
. Vậy có
một song ánh g iữa tập tất cả các biểu diễn xạ ảnh bất khả quy của nhóm Poincaré
19
liên thông G
◦
= SO(3, 1)
◦
 R
4
với tập tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của
phủ phổ dụng tương ứng SL(2, C)  R
4
.
Theo Mệnh đề 2.3, các biểu diễn xạ ảnh bất khả quy của nhóm Lie liên thông
Poincaré SO(3, 1)  R
4
được cảm sinh từ các biểu diễn unita bất khả quy của nhóm
phủ đơn liên SL(2, C)  R
4
tương ứng. Theo quan điểm của Mackey thể hiện trong

[2, Theorem 11.6], các biểu diễn unita bất khả quy này được phân lớp dựa vào hai
tham số.
Tham số thứ nhất là một đại diện ξ của một quĩ đạo trong

R
4
. Do

R
4
 i(R
4
)
∗
nên qua tích vô hướng Lorentz ta xác định được một đẳng cấu tuyến tính thực
R
4
−→ i(R
4
)
∗
, v −→ ξ
v
,
theo công thức ξ
v
(x) = e
iβvx
, ∀x ∈ R
4

.
Do β bất biến qua nhóm Lorentz, đẳng cấu tuyến tính v −→ ξ
v
giao hoán với tác
động của nhóm SL(2, C) lên R
4
được xác định như trong phần trước. Chú ý rằng,
với mỗi đại diện ξ ta có thể xác định ξ
v
với v lấy mọi giá trị cúa các đại diện của
SO(3, 1)
0
-quỹ đạo trong R
4
.
Tương tự như trong trường hợp tác động của SO(3, 1) lên R
4
, ta cũng xác định
được tập hợp các đại diện nói trên là R = R
1
∪ R
2
∪ R
+
4
∪ R
−
4
∪ {0}, trong đó
R

1
= {me
1
|m > 0}, R
2
= {e
1
+ e
4
, e
1
− e
4
},
R
+
4
= {me
4
|m > 0}, R
−
4
= {−me
4
|m > 0}.
Đối với mỗi đại diện v ∈ R
4
, ta ký hiệu nhóm con ổn định tương ứng trong SL(2, C)
là


H
v
. Mệnh đề sau cho ta các nhóm con ổn định tương ứng với các điểm v trên các
quĩ đạo đã xác định ở trên.
2.4. Mệnh đề:Nhóm con ổn định

H
v
của v ∈ R được xác định như sau
a)

H
v
= SU (2), với v ∈ R
+
4
họăc v ∈ R
−
4
,
b)

H
v
= U(1)  R
2
, với v ∈ R
2
,
c)


H
v
= SL(2, R), với v ∈ R
1
,
d)

H
v
= SL(2, C), với v = 0.
Trong Mệnh đề trên, chú ý rằng U (1) là phủ hai lá của SO(2) và SU (2) là phủ
hai lá của SO(3), với SO(2) và SO(3) là các nhóm con ổn định tương ứng qua tác
động của SO(3, 1) lên R
4
.
Tham số thứ hai là một phần tử ρ ∈


H
v
, với


H
v
là tập hợp tất cả các lớp tương
đương các biểu diễn unita bất khả qui của nhóm con ổn định

H

v
.
20
Tác động SL(2, C) lên R
4
cảm sinh một tác động của SL(2, C) lên

R
4
. Khi đó R
xác định một nhát cắt σ-compact của SL(2, C)-tác động lên

R
4
và R
4
là nhóm Lie
giao hoán liên thông nên các giả thiết của định lý Mackey được thỏa mãn. Từ đó ta
có mệnh đề sau ([2, Theorem 16.1]).
2.5. Mệnh đề:Biểu diễn unita bất khả qui của nhóm Lie SL(2, C)  R
4
được xác
định bởi
π
v,ρ
= Ind
SL(2,C)R
4
H
v

R
4
(ρ ⊗ ξ
v
), trong đó v ∈ R, ρ ∈


H
v
.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] E.P. Van den Ban, Lie group, Lecture Notes in Mathematics, University of
Utrecht, MRI Holland, 2003.
[2] E.P. Van den Ban, Representation theory and applications in classical quantum
mechanics, Lecture for Spring school, University of Utrecht, MRI Holland, 2004.
[3] Bernard W. Banks, Representations of the Poincaré Groups, Preprint, Califor-
nia State Polytechnic University, Pomona, 2006.
[4] Theodor Br¨ocker, Tammo tom Dieck, Representations of Compact Lie groups,
Springer Verlag, 1985.
[5] Anthony W.Knapp, Lie groups B eyond an Introduction, Progress in Mathemat-
ics, Boston, 1996.
ON THE STRUCTURE AND PROJECTIVE
REPRESENTATIONS OF POINCARÉ LIE GROUPS
Tran Dao Dong, Hue University
Luu Thi Khanh Giang, Quang Binh Department of Education and Training
Nguyen Tan Quang, Master student, College of Pedagogy, Hue University
SUMMARY
The description and classification of projective representaions of the semisimple Lie
groups based on the irreducible unitary representations of the corresponding universal cov-
ering group is one of the important problems in the representation theory of Lie groups.

In this note, we would like to give the description of irreducible projective representaions
of Lie Poincaré based on the irreducible unitary representations of SL(2, C)  R
4
, the cor-
responding simply connected two-fold covering. By this way, they are the representations
naturally induced and classified by the irreducible unitary representations of SL(2, C) R
4
.
21