Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về các tập ω-nửa đóng suy rộng" pot

Về các tập -nửa đóng suy rộng
Trần Văn Ân
(a)
, Nguyễn Thị Thu
(b)
Tóm tắt. Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của lớp
các tập -nửa đóng suy rộng, các tập -nửa mở suy rộng, các tập gs-đóng, các
hàm gs-đóng và gs-liên tục.
mở đầu
Năm 1970 khái niệm tập đóng suy rộng trong tôpô (generalized closed sets in
topology) đợc N. Levin giới thiệu nhằm mở rộng nhiều tính chất quan trọng của tập
đóng trong tôpô. Từ đó đến nay tập đóng suy rộng đã thu hút đợc sự quan tâm của
nhiều nhà toán học trên thế giới. Việc nghiên cứu tập đóng suy rộng cho ta những
kết quả thú vị, chẳng hạn từ sự nghiên cứu về tập đóng suy rộng mà khái niệm về T
1
2
-
không gian đợc đề xuất bởi W. Dunham (1977), tập - đóng suy rộng và T
3
4
-không
gian đợc đề xuất bởi J. Dontchev và M. Ganster (1996), tập - đóng suy rộng đợc
giới thiệu bởi J. Dontchev và H. Maki (1999), tập -đóng suy rộng (g-đóng) đợc đề
xuất bởi KhaLid Y. Alzoubi (2005), tập - đóng suy rộng chính quy (rg-đóng) đợc
đề xuất bởi Ahmad Al - Omari và Mohd Salmi Md Noorani (2007), tập đóng nửa suy
rộng (sg-đóng) đợc giới thiệu bởi P. Bahattacharyya và B. K. Lahiri (1987), tập nửa
đóng suy rộng (gs-đóng) đợc giới thiệu bởi S. P. Arya và T. M. Nour (1990), đồng
thời ngời ta còn sử dụng lớp các tập trên để giới thiệu lớp các ánh xạ -liên tục,
-không giải đợc, g-liên tục, g-không giải đợc, g-liên tục , g-không giải đợc,
rg-liên tục, rg-không giải đợc
Trong bài viết này, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của lớp các tập -nửa

đóng suy rộng, các tập -nửa mở suy rộng, các tập gs-đóng, các hàm gs-đóng và
gs-liên tục.
Trớc hết chúng ta nhắc lại một vài khái niệm, định nghĩa, tính chất đã biết sẽ
sử dụng trong bài.
Cho (X, ) là một không gian tôpô và A là một tập con của X. Điểm x X đợc
gọi là điểm cô đọng (condensation) của A nếu với mỗi U mà x U thì U A không
đếm đợc. Tập A đợc gọi là -đóng nếu nó chứa tất cả các điểm cô đọng của nó. Dễ
thấy rằng mọi tập đóng đều là tập -đóng. Phần bù của tập -đóng đợc gọi là tập
-mở. Dễ thấy rằng tập con B của không gian tôpô (X, ) là tập -mở nếu và chỉ nếu
với mỗi x B tồn tại U sao cho x U và U B đếm đợc và mọi tập mở đều là
tập -mở. Họ tất cả các tập con -mở của không gian (X, ) ký hiệu bởi

. -bao
đóng và -phần trong của tập A định nghĩa tơng tự clA, intA và chúng đợc ký hiệu
1
Nhận bài ngày 31/7/2009. Sửa chữa xong 10/9/2009.
là cl

(A), int

(A). Tập A X đợc gọi là tập đóng suy rộng (viết tắt là g-đóng) nếu
clA U với mọi tập U mở chứa A. Phần bù của tập g-đóng đợc gọi là tập g-mở. Tập
con A của không gian tôpô (X, ) đợc gọi là nửa mở nếu tồn tại tập mở B sao cho
B A clB. Không gian tôpô (H,
H
) đợc nhắc đến trong bài này chính là không
gian H với tôpô
H
đợc cảm sinh bởi tôpô trên H. Không gian tôpô (X, ) đợc
gọi là phản đếm đợc địa phơng nếu mỗi tập mở khác rỗng trong X đều không đếm

đợc.
1. Tập -nửa đóng
1.1. Định nghĩa. Tập con A của không gian tôpô (X, ) đợc gọi là -nửa mở
(-semi open) nếu tồn tại tập mở V sao cho V A cl

(V ).
Tập tất cả các tập -nửa mở của X ký hiệu là SO(X).
1.2. Nhận xét. (i) Dễ dàng kiểm tra đợc rằng: cl

(A) là tập -đóng nhỏ nhất
chứa A.
(ii) Nếu A, B là các tập con của không gian tôpô (X, ) mà A B thì cl

(A)
cl

(B).
1.3. Định lý. Nếu (A,
A
) là không gian con phản đếm đợc địa phơng của
không gian (X, ), thì clA = cl

(A).
Chứng minh. Ta luôn có cl

(A) clA . Do đó để chứng minh định lý ta chỉ cần
chứng minh clA cl

(A). Thật vậy, giả sử tồn tại x clA cl

(A), khi đó x / cl

(A)
nên tồn tại W
x


sao cho x W
x
và W
x
A = . Chọn V
x
sao cho x V
x
và V
x
W
x
= C
x
đếm đợc. Vì x clA và x V
x
nên V
x
A = . Lúc đó ta có
= V
x
A A (W
x

C
x
) = (A W
x
) (A C
x
) = A C
x
V
x
A. Suy ra
V
x
A = C
x
A
A
. Điều này chứng tỏ tồn tại trong
A
một tập mở khác rỗng đếm
đợc. Điều này mâu thuẫn với giả thiết (A,
A
) phản đếm đợc địa phơng.
Vậy clA = cl

(A).
1.4. Mệnh đề. Giả sử (X, ) là một không gian tôpô và A là tập con của X. Khi
đó
(i) Nếu A là tập -nửa mở, thì A là tập nửa mở.
(ii) Nếu x X và {x} là tập -nửa mở, thì {x} là tập mở.

(iii) Hợp của họ tuỳ ý các tập -nửa mở là tập - nửa mở.
(iv) Giao của hai tập -nửa mở có thể không là tập -nửa mở.
Chứng minh. (i) Giả sử A là tập con -nửa mở của không gian tôpô (X, ), khi đó
tồn tại tập mở V sao cho V A cl

(V ). Mặt khác, ta lại có cl

(V ) clV nên
V A clV . Vậy A là tập nửa mở.
(ii) Giả sử x X và x là tập -nửa mở. Khi đó tồn tại tập U sao cho
U {x} cl

(U). Bao hàm thức này chứng tỏ U = {x}. Vậy {x} là tập mở.
(iii) Giả sử A
i
là các tập - nửa mở với i I, ta cần chứng minh

iI
A
i
là tập
-nửa mở. Thật vậy do A
i
là các tập -nửa mở nên với mỗi i I tồn tại tập mở U
i
sao cho U
i
A
i
cl

U
i
. Suy ra

iI
U
i


iI
A
i


iI
cl

U
i
cl

(

iI
U
i
). Vậy

iI

U
i
là
tập -nửa mở.
(iv) Chúng ta làm rõ điều này bằng ví dụ sau: cho X = (0; 1) R với tôpô
= {; X; (0;
1
2
); [
1
2
; 1)} là một tôpô trên X. Xét A = (0;
1
2
] và B = [
1
2
; 1). Do (X, ) là
không gian phản đếm đợc địa phơng nên theo Định lý 1.3 ta suy ra cl

(0;
1
2
) = [0;
1
2
].
Vì (0;
1
2

) là tập mở và (0;
1
2
) (0;
1
2
] cl

(0;
1
2
) = [0;
1
2
]. Vậy A là tập -nửa mở. Tơng
tự [
1
2
; 1) cũng là tập mở mà [
1
2
; 1) [
1
2
; 1) cl

(
1
2
; 1) = [

1
2
; 1]. Do đó B cũng là tập
-nửa mở, nhng A B = {
1
2
} không là tập -nửa mở.
1.5. Định nghĩa. Cho (X, ) là không gian tôpô và A là tập con của X.
Tập A đợc gọi là -nửa đóng ( - semi closed ) nếu X A là tập -nửa mở.
Tập tất cả các tập -nửa đóng của X ký hiệu là SC(X).
Giao của tất cả các tập -nửa đóng chứa A đợc gọi là -nửa bao đóng ( semi
closure) của A ký hiệu là scl

(A).
1.6. Định lý. Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, ) và x X. Khi đó
x scl

(A) nếu và chỉ nếu U A = với mọi tập -nửa mở U chứa x.
Chứng minh. Đặt F
0
= {y X| U A = với mọi tập -nửa mở U chứa y}. Để chứng
minh định lý ta chứng minh F
0
= scl

(A). Thật vậy, lấy bất kỳ x scl

(A). Giả sử
x / F
0

, khi đó tồn tại tập -nửa mở V chứa x sao cho V A = . Vì X V là tập
-nửa đóng chứa A nên scl

(A) X V . Do x / X V nên x / scl

(A). Suy ra
scl

(A) F
0
.
Bây giờ ta chứng minh F
0
scl

(A). Thật vậy, giả sử x / scl

(A). Khi đó tồn tại
tập - nửa đóng F chứa A sao cho x / F. Do đó x X F với X F là tập - nửa
mở mà X F A = . Vì vậy x / F
0
. Kéo theo F
0
scl

(A).
Vậy F
0
= scl

(A).
1.7. Mệnh đề. Tập con A của không gian tôpô (X, ) là -nửa đóng nếu và chỉ
nếu tồn tại tập đóng F sao cho int

(F ) A F .
Chứng minh. Cần. Giả sử A là tập con của X. Nếu A là tập -nửa đóng, thì X A là
tập -nửa mở. Theo Định nghĩa 1.1, tồn tại tập mở U trong X sao cho U X A
cl

(U). Do đó X cl

(U) X (X A) = A X U.
Dễ thấy X cl

(U) = int

(X U), điều này kéo theo int

(X U) A X U .
Đặt F = X U ta suy ra F đóng và int

(F ) A F .
Đủ. Giả sử A là tập con của X. Nếu tồn tại tập F đóng sao cho int

(F ) A F ,
thì X F X A X int

(F ). Vì X F là tập mở và X int

(F ) = cl

(X F)
nên X F X A cl

(X F). Do đó X A là tập -nửa mở hay A là tập -nửa
đóng .
1.8. Mệnh đề. Giả sử (X, ) là một không gian tôpô. Khi đó scl

(A) là tập -nửa
đóng nhỏ nhất chứa A.
Chứng minh. Từ Định nghĩa 1.5 ta chỉ cần chứng minh rằng scl

(A) là tập -nửa
đóng. Thật vậy, ta có scl

(A) =

{G| với G là tập - nửa đóng chứa A}. Suy ra X
scl

(A) = X

{G|với G là tập -nửa đóng chứa A} =

{(XG)| với G là tập - nửa đóng chứa A}.
Từ Mệnh đề 1.4 ta có

{(X G)| với G là tập -nửa đóng chứa A} là tập -nửa mở.
Do đó X scl

(A) là tập -nửa mở. Vậy scl

(A) là tập -nửa đóng.
1.9. Mệnh đề. Giả sử (X, ) là không gian tôpô và A, B là các tập con của X.
Khi đó
(i) Nếu A B, thì scl

(A) scl

(B).
(ii) scl

(A) scl

(B) scl

(A B).
(iii) scl

(A B) scl

(A) scl

(B).
(iv)A là tập -nửa đóng khi và chỉ khi A = scl

(A).
Chứng minh. (i) Giả sử A B. Khi đó nếu F là tập -nửa đóng bất kì chứa B, thì F
cũng chứa A. Do đó scl

(A) scl

(B).
(ii) Vì A A B, B A B nên theo (i) ta có scl

(A) scl

(A B), scl

(B))
scl

(A B). Do đó scl

(A) scl

(B) scl

(A B).
(iii) A B A, A B B nên theo (i) ta có scl

(A B) scl

(A), scl

(A B)
scl

(B). Do đó scl

(A B) scl

(A) scl

(B).
(iv) Suy từ Mệnh đề 1.8.
1.10. Định nghĩa. Giả sử (X, ) là không gian tôpô và A là tập con của X. Khi
đó hợp của tất cả các tập -nửa mở nằm trong A đợc gọi là -nửa phần trong (-semi
interior) của A kí hiệu là sint

(A).
1.11. Mệnh đề. Giả sử (X, ) là không gian tôpô và A, B là các tập con của X.
Khi đó
(i) sint

(A) là tập -nửa mở lớn nhất nằm trong A.
(ii) Nếu A B, thì sint

(A) sint

(B).
(iii) X scl

(A) = sint

(X A).
Chứng minh. Các khẳng định (i) và (ii) suy trực tiếp từ Định nghĩa 1.10.
(iii) Ta có X scl

(A) = X {

G| với G là tập -nửa đóng chứa A} = {

(X
G)| với G là tập -nửa đóng chứa A}. Do G là tập - nửa đóng chứa A nên X G là
tập -nửa mở nằm trong X A. Vậy {

(X G)| với G là tập -nửa đóng chứa A} =
sint

(X A), hay X scl

(A) = sint

(X A).
1.12. Mệnh đề. Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, ). Khi đó A là tập
- nửa mở khi và chỉ khi A scl

(sint

(A)).
Chứng minh. Cần. Giả sử A là tập -nửa mở trong không gian tôpô (X, ). Nhờ Mệnh
đề 1.11 và A là tập -nửa mở, ta suy ra sint

(A) = A. Do đó scl

(sint

(A)) = scl

(A)
chứa A.
Đủ. Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, ) mà A scl

(sint

(A). Vì
sint

(A) là tập -nửa mở, nên tồn tại tập mở U sao cho U sint

(A) cl

(U). Mặt
khác có U sint

(A) A, sint

(A) cl

(U) và tập -đóng là tập -nửa đóng. Do
đó scl

(sint

(A)) scl

(cl

(U)) = cl

(U). Nhờ giả thiết A scl

(sint

(A) ta suy ra
U A cl

(U). Vậy A là tập -nửa mở.
2. Tập -nửa đóng suy rộng
2.1. Định nghĩa. Tập con A của không gian tôpô (X, ) đợc gọi là -nửa đóng
suy rộng (-generalized semi closed) và viết là gs-đóng nếu scl

(A) U với mọi tập
mở U mà A U.
Tập tất cả các tập gs-đóng trong X đợc kí hiệu GSC(X, ).
2.2. Mệnh đề. Giả sử (X, ) là một không gian tôpô và A là tập con của X. Khi
đó nếu A là tập -nửa đóng, thì A là tập gs-đóng.
Chứng minh. Giả sử A là tập -nửa đóng và U là tập mở bất kì chứa A. Khi đó ta
có scl

(A) = A. Từ đó suy ra scl

(A) U. Vậy A là tập gs-đóng.
2.3. Mệnh đề. Giả sử A là tập con mở và gs-đóng của không gian tôpô (X, ).
Khi đó A là tập -nửa đóng.
Chứng minh. Giả sử A là tập gs-đóng. Khi đó với tập mở U bất kì chứa A ta có
scl

(A) U. Vì A là tập mở và A A nên ta có scl

(A) A. Hiển nhiên A scl

(A)
.
Vậy ta có scl

(A) = A, hay A là tập -nửa đóng.
2.4. Định nghĩa. Tập con A của không gian tôpô (X, ) đợc gọi là -nửa mở
suy rộng (-generalized semi open) và đợc viết là gs-mở nếu phần bù X A của
nó là tập gs-đóng.
Tập tất cả các tập gs-mở trong X đợc kí hiệu GSO(X, ).
2.5. Mệnh đề. Giả sử (X, ) là một không gian tôpô và A là tập con của X. A là
gs-mở nếu và chỉ nếu F sint

(A) với mọi tập đóng F nằm trong A.
Chứng minh. Giả sử A là tập gs-mở và F là tập đóng bất kì nằm trong A. Ta sẽ
chứng minh F sint

(A). Thật vậy, do F A nên X A X F . Mặt khác, vì A
là tập gs-mở nên X A là tập gs-đóng. Do đó ta suy ra scl

(X A) X F . Theo
Mệnh đề 1. 11 ta có F X scl

(X A) = sint

(X (X A)) = sint

(A).

Ngợc lại giả sử F sint

(A) với mọi tập đóng F nằm trong A. Ta sẽ chứng
minh X A là tập gs-đóng. Thật vậy, giả sử U là tập mở bất kì chứa X A, khi
đó X U là tập đóng nằm trong A. Theo giả thiết ta có X U sint

(A). Suy ra
X sint

(A) U. Theo Mệnh đề 1.11 ta có scl

(X A) U. Vậy A là tập gs-mở.
2.6. Định nghĩa. Giao của tất cả các tập gs-đóng chứa A trong không gian tôpô
(X, ) đợc gọi là -nửa bao đóng suy rộng (-generalized semi closure) của A và kí
hiệu là gscl

(A).
2.7. Nhận xét. (i) Vì mỗi tập -nửa đóng là tập gs-đóng, nên A gscl

(A)
scl

(A) clA với tập con A bất kỳ.
(ii) Từ định nghĩa tập gs-đóng ta thấy, nếu A là tập gs-đóng, thì gscl

(A) = A.
2.8. Định nghĩa. Điểm x của không gian tôpô (X, ) đợc gọi là điểm -nửa giới
hạn suy rộng ( gs-limit point) của tập A trong X và đợc viết là điểm gs-giới hạn
nếu mọi tập gs-mở U chứa x thì A (U {x}) = .
Tập tất cả các điểm gs-giới hạn của A đợc kí hiệu gsd

(A) và đợc gọi là -nửa
giới hạn suy rộng của A.
2.9. Định nghĩa. Hợp của tất cả các tập gs-mở nằm trong tập con A của không
gian tôpô (X, ) đợc gọi là -nửa phần trong suy rộng (-generalized semi interior)
của A và kí hiệu là gsint

(A).
2.10. Nhận xét. Mỗi tập -nửa mở là tập gs-mở. Vì vậy ta có gsint

(A)
sint

(A) int

(A).
2.11. Định nghĩa. Điểm x của không gian tôpô (X, ) đợc gọi là điểm -nửa
trong suy rộng (-generalized semi interior point ) của A nếu tồn tại tập gs-mở
U A và U chứa x.
2.12. Bổ đề. Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, ). Khi đó gscl

(A) =
A gsd

(A).
Chứng minh. Trớc hết ta chứng minh A gsd

(A) gscl

(A). Lấy x bất kì thuộc

A gsd

(A). Nếu x A, thì hiển nhiên ta có x gscl

(A). Nếu x gsd

(A), thì để
chứng minh x gscl

(A) ta chứng minh rằng x G với G là tập gs-đóng bất kì chứa
A.
Thật vậy, giả sử ngợc lại x / G, suy ra x X G. Do X G là tập gs-mở và
x gsd

(A), nên từ Định nghĩa 2.8 ta suy ra A ((X G) {x}) = . Điều này mâu
thuẫn với A G. Do đó x G. Vậy A gsd

(A) gscl

(A).
Ngợc lại, lấy x gscl

(A). Giả sử x / A. Nếu x / gsd

(A), thì tồn tại tập
gs-mở U chứa x, sao cho A (U {x}) = . Vì x / A, nên A U = . Suy ra
A X U. Chứng tỏ x / gscl

(A). Vậy gscl

(A) A gsd

(A). Nh vậy ta có
gscl

(A) = A gsd

(A).
2.13. Định lý. Giả sử (X, ) là một không gian tôpô và A, B là các tập con của
X. Khi đó
(i) gsd

(A) gsd

(B) gsd

(A B).
(ii) gscl

(A) gscl

(B) gscl

(A B).
(iii) gscl

(gscl

(A)) = gscl

(A).
Chứng minh. (i) Nếu U là tập gs-mở chứa x mà A (U {x}) = , thì (A B) (U
{x}) = . Do đó gsd

(A) gsd

(A B). Tơng tự ta có gsd

(B) gsd

(A B) .
Vậy gsd

(A) gsd

(B) gsd

(A B).
(ii) Suy ra từ (i) và Bổ đề 2.12.
(iii) Hiển nhiên có gscl

(A) gscl

(gscl

(A)).
Ngợc lại, lấy x bất kì thuộc gscl

(gscl

(A)). Nếu x / gscl

(A), suy ra tồn tại
một tập gs-đóng F sao cho F chứa A và x / F . Suy ra gscl

(A) F . Điều này
kéo theo gscl

(gscl

(A)) gscl

(F ) = F . Do đó x / gscl

(gscl

(A)). Vậy gscl

(A) =
gscl

(gscl

(A)).
2.14. Định lý. Giả sử F H X với H là một tập mở, gs-đóng trong không
gian (X, ). Khi đó F là tập con gs-đóng trong (H,
H
) khi và chỉ khi F là tập
gs-đóng trong (X, ).
Chứng minh. Cần. Giả sử F là tập gs-đóng trong (H,

H
) và U là tập mở bất kì
trong X sao cho F U, ta cần chứng minh scl

(F ) U. Thật vậy, vì U là tập mở
bất kì trong X, suy ra U H mở trong H và F U H. Do đó scl
|H
(F ) U H U
(với scl
|H
(F ) = scl

(F ) H) . Lại do H là gs-đóng trong không gian (X, ), nên
scl

(F ) H. Suy ra scl
|H
(F ) = scl

(F ) H. Vì thế ta có scl

(F ) = scl
|H
(F )
U H U .
Đủ. Giả sử F là tập gs-đóng trong (X, ), V là tập mở trong H sao cho F V ,
ta cần chứng minh scl
|H
(F ) V (với scl
|H

(F ) = scl

(F ) H). Thật vậy, vì V mở
trong H và H mở trong X, nên V mở trong X. Do đó scl

(F ) V . Mặt khác, ta lại
có scl
|H
(F ) scl

(F ) V . Vậy F là tập gs-đóng trong (H,
H
).
3. ánh xạ gs-đóng và ánh xạ gs-liên tục
3.1. Định nghĩa. ánh xạ f : (X, ) (Y, ) đợc gọi là ánh xạ gs-đóng nếu
với mỗi tập đóng F trong (X, ) ta có f (F) là tập gs-đóng trong (Y, ).
3.2. Nhận xét. Mọi ánh xạ đóng là gs-đóng.
3.3. Định lý. ánh xạ f : (X, ) (Y, ) là ánh xạ gs-đóng nếu và chỉ nếu với
mỗi S Y và mỗi tập mở U chứa f
1
(S) tồn tại tập gs-mở V trong Y sao cho S V
và f
1
(V ) U .
Chứng minh. Giả sử f : (X, ) (Y, ) là ánh xạ gs-đóng, S là tập con của Y và
U là tập mở chứa f
1
(S). Đặt V = Y f(X U). Khi đó vì U mở và f là ánh xạ gs
- đóng nên V là tập gs-mở trong Y chứa S và f
1

(V ) U .
Ngợc lại, giả sử với mỗi S Y và mỗi tập mở U chứa f
1
(S) tồn tại tập gs-mở
V sao cho f
1
(V ) U . Lấy F là tập đóng bất kì trong X và O là tập mở trong Y sao
cho f(F ) O. Khi đó f
1
(Y f(F )) X F và X F là tập mở. Do đó tồn tại tập
gs-mở V sao cho Y f(F ) V và f
1
(V ) X F. Suy ra F X f
1
(V ). Do đó
f(F ) Y V .
Mặt khác, vì Y O Y f(F ) và Y f(F ) V ta suy ra f(F ) Y V O.
Do Y V là tập gs-đóng và scl

(F ) scl

(Y V ) O. Suy ra scl

(f(F )) O. Vậy
f(F ) là tập gs-đóng hay f là ánh xạ gs-đóng.
3.4. Định lý. Nếu ánh xạ f : (X, ) (Y, ) là ánh xạ gs-đóng và (A,
A
) là
không gian con phản đếm đợc địa phơng của không gian (X, ), thì gscl

(f(A))
f(cl

(A)) với mọi tập con A của X.
Chứng minh. Giả sử A là tập con của X và f là ánh xạ gs-đóng. Theo Định lý 1.3
do (A,
A
) là không gian con phản đếm đợc địa phơng của không gian (X, ), nên
clA = cl

A. Vì clA là tập đóng trong X, suy ra cl

(A) đóng trong X. Do f là ánh
xạ gs-đóng, nên f(cl

(A)) là tập gs-đóng và f(A) f(cl

(A)). Vậy gscl

(f(A))
f(cl

(A)).
3.5. Định lý. Giả sử ánh xạ f : (X, ) (Y, ) là ánh xạ liên tục và gs-đóng.
Khi đó nếu A là tập g-đóng của (X, ), (A,
A
) là không gian con phản đếm đợc địa
phơng thì f(A) là tập gs-đóng.
Chứng minh. Giả sử f(A) O với O là tập mở trong Y . Khi đó A f
1

(O). Vì
f là ánh xạ liên tục, O mở nên f
1
(O) mở trong X. Vì A là tập g-đóng của (X, ),
nên clA f
1
(O), suy ra f(clA) O. Do (A,
A
) là không gian con phản đếm
đợc địa phơng của không gian (X, ), nên clA = cl

(A) và f(A) f(clA). Do đó
f(A) f(cl

(A)). Suy ra scl

(f(A)) scl

(f(cl

(A))). Mặt khác, f là gs-đóng, cl

(A)
là tập đóng, nên f(cl

(A)) là tập gs-đóng. Vì O lại là tập mở chứa f(cl

(A)), nên
scl

(f(cl

(A)) O. Suy ra scl

(f(A)) O. Vậy f(A) là tập gs-đóng.
3.6. Định lý. Giả sử f : (X, ) (Y, ) là ánh xạ đóng, h : (Y, ) (Z, ) là
ánh xạ gs-đóng thì (h f ) : (X, ) (Z, ) là ánh xạ gs-đóng.
Chứng minh. Giả sử F là tập đóng trong (X, ). Vì f là ánh xạ đóng, nên f(F ) là
tập đóng trong (Y, ). Mặt khác, h : (Y, ) (Z, ) là ánh xạ gs-đóng, nên h(f(F ))
là tập gs-đóng trong (Z, ). Vì (h
o
f)(F ) = h(f(F )), nên h
o
f là ánh xạ gs-đóng.
3.7. Định nghĩa. ánh xạ f : (X, ) (Y, ) đợc gọi là gs-mở nếu và chỉ nếu
mỗi tập mở U của không gian tôpô (X, ) thì f(U ) là tập gs-mở của (Y, ).
3.8. Định lý. Cho ánh xạ f : (X, ) (Y, ) và các điều kiện sau
(i) f là ánh xạ gs-mở;
(ii) f(int(A)) gsint

(f(A)) với mọi A X;
(iii) Với mỗi x X và mỗi tập -mở U chứa x, tồn tại tập gs-mở V chứa f(x) sao
cho V f(U);
(iv) Với mỗi tập B Y ta có f
1
(gscl

(B)) cl

(f

1
(B).
Khi đó ta có (i) (ii) (iii) (iv).
Chứng minh. (i) (ii). Giả sử f là ánh xạ gs-mở. Khi đó vì intA là tập mở, nên
f(intA) là tập gs-mở. Mặt khác vì intA A, nên f(intA) f(A). Từ đó ta có
f(intA) gsint

(f(A)).
(ii) (iii) Giả sử x X và U là tập mở chứa x. Khi đó ta có U = intU. Do
đó f(intU) = f(U) gsint

(f(U)). Mặt khác ta luôn có gsint

(f(U)) f(U). Vì vậy
f(U) là tập gs-mở cần tìm.
(iii) (iv) Giả sử B Y và x f
1
(gscl

(B)). Nếu x / cl

(f
1
(B)), thì x
X (cl

(f
1
(B)) . Khi đó, vì U là - mở, nên từ (iii), suy ra tồn tại tập gs-mở
V chứa f (x) sao cho V f(U). Từ V f(U) f(X f

1
(B)) Y B, ta suy ra
V Y B hay B Y V . Chứng tỏ f(x) / gscl

(B). Điều này mâu thuẫn với giả
thiết f(x) gscl

(B).
3.9. Định lý. Giả sử f : (X, ) (Y, ) là ánh xạ gs-mở, B Y và F là tập
đóng chứa f
1
(B). Khi đó tồn tại tập gs-đóng V sao cho B V và f
1
(V ) = F .
Chứng minh. Giả sử F là tập đóng của X sao cho f
1
(B) F . Vì f là ánh xạ gs-mở
nên f (X F) là tập gs-mở. Mặt khác f
1
(B) F , nên X F X f
1
(B). Do đó
f(X F ) f(X f
1
(B)). Vậy f (X F) Y B, kéo theo B Y f (X F). Chứng
tỏ Y f(X F ) là tập gs-đóng chứa B và f
1
(Y f(X F )) = X (X F ) = F .
Lấy V = Y f (X F ) ta có điều phải chứng minh.
3.10. Định nghĩa. ánh xạ f : (X, ) (Y, ) là ánh xạ gs-liên tục nếu f

1
(V )
là tập gs-đóng trong (X, ) với mọi tập V đóng trong Y .
3.11. Định lý. ánh xạ f : (X, ) (Y, ) là ánh xạ gs-liên tục nếu và chỉ nếu
nghịch ảnh của tập mở là tập gs-mở.
Chứng minh. Cần. Suy từ Định nghĩa 2.4 và Định nghĩa 3.10.
Đủ. Giả sử F là tập mở bất kì của (Y, ) và f
1
(U) là tập gs-mở. Ta cần chứng
minh f là gs-liên tục. Thật vậy, vì U mở trong Y , nên Y U là tập đóng trong Y .
Vì f
1
(Y U) = X f
1
(U) và theo giả thiết điều kiện đủ f
1
(U) là tập gs-mở, ta
suy ra X f
1
(U) là gs-đóng. Vậy f là ánh xạ gs-liên tục.
3.12. Định lý. Cho ánh xạ f : (X, ) (Y, ) và các điều kiện sau
(i) f là ánh xạ gs-liên tục.
(ii) Với mỗi x X và mỗi tập mở V sao cho f (x) V , tồn tại tập gs-mở U chứa
x sao cho f(U ) V
(iii) f(gscl

(A)) cl

(f(A)) với mỗi tập A X.
(iv) gscl

(f
1
(B)) f
1
(cl

(B)) với mỗi tập B Y .
Khi đó ta có (i) (ii) (iii) (iv).
Chứng minh. Tơng tự Định lý 3.8.
3.13. Bổ đề. Giả sử f : (X, ) (Y, ) là ánh xạ đóng và gs-liên tục, B là tập
gs-đóng trong Y và (B,
B
) là không gian con phản đếm đợc địa phơng của (Y, ).
Khi đó f
1
(B) là tập gs-đóng trong (X, ).
Chứng minh. Giả sử B là tập gs-đóng trong Y , U là tập mở của (X, ) sao cho
f
1
(B) U . Vì f là ánh xạ đóng nên tồn tại tập mở V sao cho B V và f
1
(V )
U. Vì B là tập gs-đóng, nên scl

(B) V . Do đó f
1
(scl

(B)) U. Mặt khác

scl

(B) cl

(B) và (B,
B
) là không gian con phản đếm đợc địa phơng của (Y, ),
do đó cl

(B) = clB. Điều này chứng tỏ scl

(B) clB. Hơn nữa clB là tập đóng
và f là ánh xạ gs-liên tục, nên f
1
(cl

(B)) là tập gs-đóng trong (X, ). Do đó
scl

(f
1
(cl

(B))) U. Kéo theo scl

(f
1
(B)) U. Vậy f
1
(B) là tập gs-đóng trong

(X, ).
3.14. Định lý. Nếu f : (X, ) (Y, ) là ánh xạ đóng và gs-liên tục, h :
(Y, ) (Z, ) là ánh xạ gs-liên tục, thì h
o
f : (X, ) (Z, ) là ánh xạ gs-liên
tục.
Chứng minh. Giả sử V là tập đóng trong (Z, ). Ta cần chứng minh (h
o
f)
1
(V ) là
tập gs-đóng trong (X, ). Thật vậy, vì h : (Y, ) (Z, ) là ánh xạ gs-liên tục, nên
h
1
(V ) là tập gs-đóng trong (Y, ). Mặt khác, f : (X, ) (Y, ) là ánh xạ đóng
và liên tục nên nhờ Bổ đề 3.13 ta suy ra (h
o
f)
1
(V ) = f
1
(h
1
(V )) là tập gs-đóng
trong (X, ).
3.15. Định lý. Nếu f : (X, ) (Y, ) là ánh xạ gs-liên tục và h : (Y, )
(Z, ) là ánh xạ liên tục, thì h
o
f : (X, ) (Z, ) là ánh xạ gs-liên tục.
Chứng minh. Giả sử B là tập đóng trong (Z, ). Vì h liên tục nên h

1
(B) là tập đóng
trong (Y, ). Lại vì f là ánh xạ gs-liên tục nên f
1
(h
1
(B)) là tập gs-đóng mà
(h
o
f)
1
(B) = f
1
(h
1
(B)). Vậy h
o
f là ánh xạ gs-liên tục.
tài liệu tham khảo
[1] J. K. Kelly, Tô pô đại cơng, Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà
Nội, 1973.
[2] Đinh Văn Phợng , Về các tập nửa đóng suy rộng và các tập đóng nửa suy rộng, Luận
văn thạc sĩ Toán học, Trờng Đại học Vinh, 2006.
[3] Ah. Al. Omari and M. S. Noorani, Regular generralized closed sets, Inter. J. Math.
and Math. Sci., Article JD 16292, 2007, 11 pages.
[4] N. Levin, Generralized closed sets in topology, Ren. Circ. Math. Palermo, 19(2), 1970,
89 - 96.
[5] Kh. Y. Zoubi, On generralized -closed sets, Inter. J. Math. and Math. Sci., 13(2005),
2011 - 2021.
summary

On generalized ω-semi-closed sets
In this paper, we investigated some properties of classes of generalized ω-semi-
closed sets, generalized ω-semi-open sets, ωgs-closed sets, ωgs-closed functions, and
ωgs-continuous functions.
(a) Khoa To¸n, Tr−êng §¹i häc Vinh.
(b) Cao häc 14, chuyªn ngµnh Gi¶i tÝch, Tr−êng §¹i häc Vinh.