Nghiên cứu trường sinh thái của tri thức khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Lời nói đầu
Để hoàn thành bài tiểu luận này, em xin chân thành cảm ơn cô Lê Thị Hoài Châu
(trường Đại học sư phạm) đã có sự giúp đỡ và hướng dẫn hết sức tận tình. Em cũng xin chân
thành cảm ơn thầy Nguyễn Cung Tạo (trường PTTH Trưng Vương) đã cung cấp cho em
những tài liệu giảng dạy đã có nhiều góp ý trong mục "Sai lầm của học sinh và biện pháp hạn
chế những sai lầm". Xin cảm ơn các thầy, cô khác ở trường Trưng Vương và bán công
Nguyễn Thị Diệu đã cung cấp một số thông tin để em có thể hoàn thành mục "Hiện trạng dạy
và học".
Mặc dù đã có sự cố gắng và đầu tư nhiều vào bài tiểu luận, tuy nhiên khó tránh khỏi hết
những thiếu sót, mong cô Lê Thị Hoài Châu và các bạn khác nếu có dịp đọc bài này hãy góp
ý, sửa chữa và bổ sung để góp phần cho bài tiểu luận sẽ được hoàn chỉnh hơn. Chân thành
cám ơn.
Với kiến thức còn nhiều hạn chế và các nguồn tư liệu vẫn còn thiếu cho nên khó tránh
khỏi những phân tích mang tính chủ quan về chương trình, sách giáo khoa. Nếu lỡ vướng
phải sai sót gì, thành thật xin lỗi các tác giả sách giáo khoa. Mong các tác giả thông cảm.
Trong bài tiểu luận, những ý chính và từ ngữ quan trọng đã được em in đậm. Hi vọng
rằng điều này sẽ góp phần cho cô Lê Thị Hoài Châu dễ dàng hơn trong việc theo dõi và đánh
giá bài luận cũng như sẽ giúp cho các bạn khác nếu có dịp sẽ đọc bài tiểu luận dễ dàng hơn.

26/05/2005
Sinh viên ĐHSP TP.HCM
Hoàng Nam
1
Mục lục
I/ Dẫn nhập 3
1) Lí do chọn đề tài 3
2) Mục đích nghiên cứu 3
3) Hệ câu hỏi nghiên cứu 3
4) Phương pháp nghiên cứu 4
5) Phạm vi của đề tài 4
II/ Lòch sử hình thành và phát triển của tri thức hàm số và việc 4

khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số
III/ Nội dung khảo sát và vẽ đồ thò hàm số trong chương trình 7
phổ thông
1) Mục đích đưa vào 7
2) Tìm hiểu sơ nét về thuật ngữ có liên quan 7
3) Cách thức đưa nội dung khảo sát hàm số vào sách giáo khoa 13
IV/ Những phần kiến thức có liên quan và ứng dụng của nó 14
1) Những phần kiến thức có liên quan và ứng dụng trong khoa học toán 1 4
phổ thông
2) Ứng dụng của nội dung "Khảo sát hàm số và vẽ đồ thò" trong đời sống 1 4
và trong khoa học khác
V/ Vấn đề về dạy và học với nội dung "Khảo sát và vẽ đồ thò 1 7
hàm số"
1) Hiện trạng về dạy và học "khảo sát và vẽ đồ thò hàm số" 17
2) Các dạng hàm số được khảo sát và vẽ trong chương trình hiện hành và 1 8
phương pháp giải
3) Phân tích SGK lớp 12 hiện hành và phân tích Sách giáo viên (Tài liệu
hướng dẫn giảng dạy Toán 12, Văn Như Cương-Ngô Thúc Lanh, nxb. giáo
dục, 2000) 23
4) Dự kiến những khó khăn, sai lầm và những hạn chế của học sinh khi
làm "khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số" 27
5) Một số biện pháp khắc phục những sai lầm của học sinh 29
2
TRANG
Các tài liệu đã được tham khảo trong tiểu luận 31
Nghiên cứu trường sinh thái của tri thức
"khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số"
I/ Dẫn nhập :
1) Lí do chọn đề tài :
Nội dung khảo sát hàm số là nội dung có vò trí và vai trò quan trọng trong chương trình môn

toán phổ thông và cả các kì thi. Thật vậy :
 Theo phân bố chương trình của bộ (2003-2004) thì chương Ứng dụng của đạo hàm
( vấn đề liên quan đến khảo sát, khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò) có thời lượng
18 tiết riêng bài Khảo sát hàm số và vẽ đồ thò thì được phân bố trong 4 tiết.
 Ở các kì thi của lớp 12, trong đề thi toán hầu như luôn có 2 điểm hoặc 1 điểm
dành cho khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số.
 Việc nghiên cứu hàm số được coi là nhiệm vụ chủ yếu suốt chương trình bậc Toán
phổ thông trung học (Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học Toán, nxb. Đại học sư
phạm, 2002, tr.93). Nội dung về hàm số được trãi ra trong cả 3 lớp 10, 11, 12.
• Mặc dù là vấn đề cơ bản trong môn toán nhưng học sinh vẫn còn thấy khó khăn và dễ
lộn các dạng với nhau. Ngoài ra có không ít học sinh làm một cách máy móc mà không
hiểu được bao nhiêu và cũng chẳng hiểu được chúng ứng dụng để làm gì.
• Việc nghiên cứu sẽ giúp tôi: hiểu được sâu sắc hơn về nội dung sẽ dạy sau này, có những
nhận đònh sâu sắc hơn về chương trình toán phổ thông.
2) Mục đích nghiên cứu :
• Nghiên cứu đặc trưng khoa học luận của tri thức "khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của
hàm số".
• Nghiên cứu những chướng ngại của học sinh.
3) Hệ câu hỏi nghiên cứu :
• Lòch sử hình thành của việc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số ra sao?
• Đặc trưng khoa học luận của tri thức "khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số" là
gì?
• Ảnh hưởng của sách giáo khoa đến quan niệm của học sinh về tri thức như thế nào?
3
4) Phương pháp nghiên cứu :
• Nghiên cứu lòch sử có liên quan đến nội dung khảo sát hàm số.
• Tìm hiểu và phân tích nội dung này và những nội dung có liên quan trong các sách giáo
khoa một số thời kì.
• Tìm hiểu các tư liệu có liên quan (chẳng hạn như sách giáo viên,…)
• Tiến hành thực nghiệm: tìm hiểu hiện trạng việc dạy và học nội dung khảo sát và vẽ đồ

thò hàm số nói riêng cũng như dạy và học môn toán nói chung trên các báo đài, internet
và thông qua khảo sát thực tế,…
• Nghiên cứu những ảnh hưởng của sách giáo khoa lên quan niệm và sai lầm của học
sinh.
5) Phạm vi của đề tài :
• Do đề tài được nghiên cứu ở đây chỉ có quy mô là một bài tiểu luận nhỏ nên chắc rằng
không thể nghiên cứu sâu được về vấn đề này mà chỉ xin đi vào một số phần trọng tâm.
• Nội dung được tìm hiểu trong bài tiểu luận chỉ giới hạn là ở bài "Khảo sát sự biến thiên
và vẽ đồ thò của hàm số" chứ không đi vào từng phần cụ thể như tìm giá trò lớn nhất
nhỏ nhất, tính lồi lõm, điểm uốn, tiệm cận,…
• Việc tìm hiểu nội dung này chỉ còn hạn hẹp trong một số tư liệu, sách vở, thông tin nên
sẽ khó tránh khỏi những sai sót về nội dung được trình bày.
II/ Lòch sử hình thành và phát triển của tri thức hàm số và việc khảo sát sự
biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số
1
:
Khái niệm hàm xuất hiện đầu tiên vào thế kỉ thứ 10 trước CN (Babilon)
Từ khi khái niệm số thực được hình thành, nó đã làm xác lập mối quan hệ hoàn hảo về mặt
logic giữa số và điểm trong hình học. Đó là luận cứ hình thức dẫn Descartes (giữa thế kỉ 17)
đến ý tưởng đưa toán học hệ toạ độ vuông góc và biểu diễn hàm số bằng đồ thò trong hệ toạ
độ ấy.
Khái niệm hàm số đã tạo ra sự phát triển mạnh mẽ của toán học, các ngành toán học mới
được ra đời, mà đầu tiên đó chính là giải tích toán học. Vào thế kỉ 17, giải tích toán học là
11
Có sự tổng hợp và tham khảo ở các tài liệu sau:-Từ điển toán học phổ thông,nxb. giáo dục
- PPGD, thầy Nguyễn Văn Vónh (khoa Toán-Đại học sư phạm TP.HCM)
-Những nhà toán học triết học, Nguyễn Cang, nxb. Đại học quốc gia
- Câu chuyện toán học về bài toán Fermat,Trần Văn Nhung, Đỗ Trung Hậu,
Nguyễn Kim Chi dòch, nxb. giáo dục
4

tập hợp cách giải những bài toán riêng lẻ và rời rạc. Chẳng hạn, phép tính tích phân, đó là
bài toán tính diện tích các hình, thể tích các vật giới hạn bởi các đường cong, công chuyển
dời của lực,...Vào thời điểm này, các nhà toán học cũng có sự quan tâm đến các đồ thò của
hàm số để từ đó có thêm công cụ mà giải quyết các bài toán về phương trình bậc cao
(Decarters đã từng dựng nghiệm của phương trình bậc 3 và bậc 4 bằng cách cho giao nhau
giữa hai đường cong). Tuy nhiên đến lúc này do giải tích chưa phát triển mạnh nên việc
khảo sát hàm số cũng như nghiên cứu đồ thò của chúng là còn nhiều hạn chế. Giải tích
toán học, như một nhất thể có hệ thống chỉ được hình thành nhờ các công trình của Newton,
Leibniz, Euler, Lagrange, và các nhà bác học khác của thế kỉ 17-18, và nền tảng của nó
chính là lí thuyết giới hạn-được Cauchy hoàn thiện vào đầu thế kỉ 19.
Trong giải tích toán học cổ điển, đốùi tượng nghiên cứu (khảo sát) chủ yếu là các hàm số. Sự
phát triển của giải tích toán học đưa tới khả năng nghiên cứu những đối tượng còn phức
tạp hơn hàm số (phiến hàm, toán tử). Nhờ giải tích toán học-ngành toán nghiên cứu các
hàm số mà các ngành kỉ thuật và tự nhiên đã sử dụng nó như một công cụ đắc lực để giải
quyết nhiều vấn đề. Từ đó tạo nên sự phát triển cho ngành giải tích. Ngành giải tích toán
học hiện nay là một mảng rất lớn của toán học, nó bao gồm các bộ môn toán khác nhau
như : phép tính vi phân, phép tính tích phân.
Phép tính vi phân nghiên cứu đạo hàm và vi phân của hàm số để ứng dụng nghiên cứu
hàm số. Việc hình thành nó gắn liền với tên tuổi của 2 nhà toán học Newton và Leibniz.
Nhờ các phương pháp của phép tính vi phân, các mệnh đề ấy cho phép nghiên cứu chi tiết
dáng điệu của hàm có đủ tính trơn (tức đạo hàm bậc đủ cao). Như vậy có thể xác đònh độ
trơn, tăng giảm của hàm, các cực đại và cực tiểu (cực trò), độ lồi và lõm...Nghiên cứu hàm
số bằng cách sử dụng đạo hàm là ứng dụng cơ bản của phép tính vi phân. Phép tính vi phân
đặc biệt thuận tiện trong việc khảo sát các hàm sơ cấp, bởi vì đạo hàm của chúng cũng là
những hàm sơ cấp.
Trong công trình của Fermat "Khái luận về nghiên cứu các vò trí phẳng và đặc" (1636) có
nói : về mối quan hệ hàm số với đồ thò biểu diễn nó ("vò trí" của Fermat có nghóa là đường).
1637, các nhà toán học nghiên cứu các đường, dựa vào phương trình của chúng trong hình
học của Descartes. Nhà bác học Anh Barrow ("Bài giảng về hình học", 1670), dưới dạng
hình học, đã xác lập tính ngược đảo qua lại giữa phép tính vi phân và tích phân (dó nhiên,

không sử dụng các thuật ngữ như vậy). Điều trên chứng minh rằng họ nắm khái niệm hàm
số rất rõ ràng. Về khái niệm này, chúng ta còn tìm thấy ở Newton, dưới dạng hình học và cơ
học. Nhưng thuật ngữ "hàm số" chỉ xuất hiện lần đầu tiên với Leibniz, năm 1692, song cũng
không hoàn toàn như chúng ta hiểu ngày nay về khái niệm ấy. Leibniz gọi hàm số là những
đoạn khác nhau, có liên hệ với một đường cong nào đó (chẳng hạn như hoành độ các điểm
của nó). Trong giáo trình in đầu tiên "Giải tích vô cùng bé" của nhà toán học Pháp
L'Hospital (1696) cũng không thấy sử dụng thuật ngữ "hàm số".
Đònh nghóa đầu tiên của hàm số, gắn với quan điểm hiện đại, là của Johnann Bernouilli
(1781) : "Hàm số là đại lượng gồm có biến số và hằng số". Trong chiều sâu của đònh nghóa
5
chưa thật hoàn chỉnh ấy là ý tưởng biểu diễn hàm số bằng công thức giải tích. Trong cuốn
"Nhập môn giải tích vô cùng" (1784), Euler, khi phát biểu đònh nghóa ấy, cũng nói lên ý
tưởng như vậy : "Hàm số của một đại lượng biến thiên là biểu thức giải tích bao gồm lượng
biến thiến ấy và các số hoặc các đại lượng không đổi". Kí hiệu hiện đại cho hàm số là f(x)
cũng được Euler đề xuất năm 1734.
Nửa đầu thế kỉ 19, do sự phát triển của khoa học đòi hỏi phải mở rộng khái niệm hàm, dấu
hiệu đặc trưng của hàm số là sự tương ứng giữa các giá trò của 2 đại lượng.
Từ đầu thế kỉ 19, người ta thường đònh nghóa hàm số mà không nhắc gì đến cách biểu diễn
giải tích của nó. Trong cuốn "Lí thuyết giải tích về nhiệt" của nhà bác học Pháp Fourrier
(1822) có câu : "Hàm f(x) biểu diễn một hàm hoàn toàn tuỳ ý, tức là một dãy giá trò đã cho,
(tuân theo hay không tuân theo đònh luật chung) tương ứng với mọi trò x, ở giữa 0 và đại
lượng nào đó của x". 1834, Lobasepxki đưa ra khái niệm hàm số như sau: "Hàm số của biến
số x là số được cho với mỗi giá trò x và biến thiên cùng với x. Giá trò của hàm số có thể được
cho bằng một biểu thức giải tích hoặc bằng đồ thò cho phép thử tất cả các giá trò". Đến
1837, Dirichlet đưa ra khái niệm: "y là hàm số của x nếu với mỗi giá trò của x thì tương ứng
với một giá trò hoàn toàn xác đònh của f, còn sự tương ứng đó xác đònh bằng cách nào thì
không quan trọng".
• Nhận xét :
 Ta thấy khái niệm hàm số trãi qua một thời kì biến đổi khá dài và việc nghiên cứu
(khảo sát hàm số) chỉ mới được nghiên cứu một cách chính quy và bài bản trong

vài thế kỉ này.
 Trong lòch sử thì sự nghiên cứu và phát triển khái niệm hàm số và việc khảo sát,
vẽ đồ thò của nó đều là do nhu cầu thực tế trong toán học. Nhưng khi kiến thức đó
phát triển đến một mức nhất đònh thì nó sẽ trở thành một công cụ đắc lực để sử
dụng vào đời sống thực tế (xin coi thêm phần ứng dụng).
 Khi đạo hàm ra đời thì nó là một công cụ đắc lực (hiện đại) cho việc khảo sát
hàm số, nhờ công cụ đạo hàm mà chúng ta có nhiều thông tin hơn về một hàm số
6
Minh hoạ đồ thò của phương
trình elliptic
hoặc đồ thò của chúng so với lúc chưa có công cụ đạo hàm thì chỉ hoàn toàn
nghiên cứu một cách sơ cấp. Đó cũng chính là sự khác biệt giữa việc nghiên cứu
hàm số và đồ thò ở cấp 2 với việc nghiên cứu hàm số và đồ thò ở cấp 3. Điều này sẽ
được phân tích kỉ hơn trong phần dưới.
III/ Nội dung khảo sát và vẽ đồ thò hàm số trong chương trình phổ thông :
1) Mục đích đưa vào :
• Trong khoa học toán có 4 nhóm ngôn ngữ chính : nhóm ngôn ngữ dùng kí hiệu, nhóm
ngôn ngữ dùng lời, nhóm ngôn ngữ đồ thò. Nội dung khảo sát hàm số gắn chặt với việc
sử dụng ngôn ngữ đồ thò của toán học. Do đó việc đưa khảo sát hàm số vào không ngoài
mục đích giúp cho học sinh có thể hiểu sâu sắc hơn về ngôn ngữ đồ thò của toán và cũng
có năng lực làm việc trên đồ thò, một kó năng quan trọng trong đời sống.
• Việc nghiên cứu hàm số được coi là nhiệm vụ chủ yếu của chương trình bậc phổ thông
trung học, nhiều phần kiến thức trong toán liên quan chặt chẽ quan đến hàm số (phương
trình, cấp số, giới hạn, hàm số lượng giác …). Do đó việc đưa phần khảo sát hàm số vào
chương trình toán đã góp phần hoàn thành nhiệm vụ này.
• Khảo sát hàm số chính là sự tổng hợp của nhiều phần kiến thức đã học ở lớp 10, 11 và
12. Nên việc đưa nó vào như là sự củng cố và phát triển hơn các kiến thức đó.
• Là công cụ đắc lực để giải quyết một số vấn đề khác của toán học mà nếu không sử
dụng kiến thức này thì việc giải quyết sẽ vô cùng khó khăn và phức tạp (vấn đề về
phương trình, bất đẳng thức…)

2) Tìm hiểu sơ nét về thuật ngữ có liên quan :
Dưới đây ta sẽ tìm hiểu sơ nét về các khái niệm sau : hàm so á
1
, đồ thò của hàm số và sự
biến thiên.
Các khái niệm dưới đây được trích dẫn theo thứ tự trong tài liệu sau :
Từ điển toán học (Hoàng Hữu Như, Lê Đình Thònh, Hoàng Tụy), nxb. khoa học kỉ thuật
Từ điển toán học thông dụng (Ngô Thúc Lanh, Đoàn Quỳnh, Nguyễn Đình Trí), nxb. giáo
dục
Sách giáo khoa lớp 10 ( Trần Văn Hạo-Cam Duy Lễ), nxb. giáo dục, 2000
Hà
m
Hàm : phần tử của một tập hợp E
y
(bản chất bất kì) được gọi là hàm của
mỗi phần tử x, xác đònh trên một tập hợp E
x
, nếu mỗi phần tử x của tập E
x
được đặt tương ứng với một phần tử duy nhất của tập E
y
. Nếu E
x
và E
y
là
1
Theo nhà toán học Nga nổi tiếng Khinchin thì không có khái niệm nào có thể phản ánh được những hiện tượng của thực tế
khách quan một cách trực tiếp và cụ thể như tương quan hàm
7

số
những tập hợp số thực nào đó, thì ta có hàm số biến số thực hay gọi đơn
giản là hàm số.
Hàm : là khái niệm cơ bản của toán. Cho một hàm là cho :
1) Một tập hợp A là gọi tập nguồn
2) Một tập hợp B, không nhất thiết là A, gọi là tập đích
3) Một quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử của A thì cho nhiều nhất
một phần tử của B (hoặc không có phần tử nào của B, hoặc có duy nhất
một phần tử của B)
Nếu tập đích của một hàm là
¡
thì hàm đó được gọi là hàm số
Cho D là tập con khác rỗng của
¡
. Một hàm số xác đònh trên D là một
quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử x
∈
D có một và chỉ một số thực y.
Khi đó ta kí hiệu f(x) là giá trò của hàm số tại x.
Đồ
thò
của
hà
m
số
Đồ thò của hàm số : y=f(x) (của biến số thực x) là quỹ tích các điểm của
mặt phẳng mà các toạ độ Descartes vuông góc của chúng thoả mãn đẳng
thức y=f(x)
Đồ thò của hàm số một biến số :
:f X ⊂ →¡ ¡

là tập hợp (quỹ tích) các
điểm M(x,y) của mặt phẳng có các toạ độ (x,y) trong hệ toạ độ Oxy thoả
mãn hệ thức y=f(x), x
X∈
Đồ thò của hàm số là tập hợp tất cả những điểm M(x,y) trong mặt phẳng
toạ độ Oxy với x∈D và y=f(x)
Sự
biế
n
thi
ên
Sự biến thiên của hàm số : sự đơn điệu của hàm số
Sự biến thiên của hàm số : sự thay đổi giá trò của hàm số
Sự biến thiên của hàm số : sự đồng biến (tăng) hoặc nghòch biến (giảm)
của hàm số
Một số phân tích về các thuật ngữ trên :
• Ba đònh nghóa trên về hàm đều xem hàm như một quy tắc hay sự tương ứng, đó là một
trong những kiểu đònh nghóa thông dụng và thường dùng trong những sách giáo khoa phổ
thông của ta. Để thấy được sự tương tự, ở đây sẽ giới thiệu một số các đònh nghóa về hàm
khác trong các sách giáo khoa phổ thông ở Việt Nam:
8
 Đại số lớp 10. Sách bổ túc văn hoá 1975: "Đại lượng y được gọi là hàm số của đại
lượng x nếu với mỗi giá trò của x trong khoảng biến thiên của nó thì tương ứng với
một giá trò xác đònh của đại lượng y, x được gọi là đối số".
 Đại số lớp 7. Hoàng Xuân Sính 1987: "Giả sử X, Y là 2 tập hợp số. Một hàm sốù f
từ X đến Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi giá trò x thuộc X một và chỉ một giá
trò y thuộc Y mà ta ký hiệu là f(x)".
• Có một số sách nước ngoài thì chỉ đưa ra khái niệm hàm (tổng quát) mà không đưa ra
khái niệm hàm số một cách tường minh. Chẳng hạn như:
 Theo Helena Rasiowa: Cơ sở của toán học hiện đại, Hà Nội 1987

Đònh nghóa hàm ánh xạ thông qua tập tích Đềcác và quan hệ hai ngôi: "Nếu một quan
hệ hai ngôi F
⊂
XxY thoả mãn điều kiện sau đây: với mọi x thuộc X có đúng một y
thuộc Y sao cho xFy thì F gọi là một hàm ánh xạ X vào Y".
 Đònh nghóa hàm số theo sách Mathematic Methods, Patric Tobin, "ấn bản của Đại
học OXFORD"
1
.
(Để đảm bảo tính chính xác, ở đây xin giới thiệu nguyên văn tiếng Anh)
"A function f from a set A to a set B is a rule that assigns to each element x in the
set A exactly one element y in the set B. The set A is called the domain of f, and
the set B is called the co-domain, which contains the range of f "
Ở đònh nghóa trên không đề cập đến tập số. Sau đó tác giả đưa ra bài tập liên quan
đến những hàm mà A, B là những tập số mà không đưa thêm đònh nghóa gì mới.
Và thuật ngữ "function" được dùng luôn cho cả hàm số.
• Phân tích riêng về các đònh nghóa trong sách giáo khoa phổ thông hiện hành (đònh
nghóa thứ 3 trên bảng)
 Các khái niệm trên giữa sách giáo khoa và từ điển toán học được khá ổn đònh
không có sự khác biệt lớn qua đó ta thấy trong sách giáo khoa hiện hành thì các
khái niệm trên có tính chính xác cao nhưng vẫn mang được tính sư phạm (ngắn
gọn, dễ hiểu, phù hợp với sự tiếp thu của học sinh và vì học sinh đã được đã có vài
nét các khái niệm này khi học ởcấp 2). Theo thầy Nguyễn Văn Vónh (khoa Toán-
Đại học sư phạm TP.HCM) thì "điều này hoàn toàn tự nhiên vì bất cứ giáo trình
toán phổ thông nào, trong khi đáp ứng đòi hỏi về tính khoa học thì cũng không thể
được xây dựng nếu thiếu sự tính toán tới đặc điểm tâm lí, khả năng của người
học".
 Đònh nghóa về hàm số và đồ thò của hàm số gắn liền với lý thuyết tập hợp mà học
sinh đã được học bắt đầu ở lớp 6 và nhắc lạò, mở rộng ở lớp 10. Khái niệm hàm ở
1

Tạm dòch từ cụm từ "OXFORD UNIVERSITY PRESS"
9
trên được đònh nghóa thông qua khái niệm loại và nêu rõ thuộc tính đặc trưng của
chủng, có khái niệm dẫn xuất là "quy tắc" được xem như là khái niệm ban đầu
không được đònh nghóa.
 Trong sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000 này thì đònh nghóa đã được sửa chữa lại nên
trong đònh nghóa có sự phân biệt giữa 2 kí hiệu đó là kí hiệu hàm số "f" và kí hiệu
về giá trò của hàm số f(x). Trước khi chỉnh lí, khái niệm được viết trong SGK
1
như
sau: "Cho D là một tập con của tập hợp R các số thực, ta gọi hàm số f(x) vớ miền
xác đònh D (còn gọi la tập xác đònh) là một quy tắc cho tương ứng mỗi số thực x
thuộc D với một số thực duy nhất f(x) thuộc R, x gọi là biến số f(x) gọi là giá trò
của hàm số tại x. Ta thường viết y=f(x) và thay vì gọi hàm số f(x), ta còn gọi là
hàm số y=f(x)". Khi đó, theo thầy Nguyễn Văn Vónh (khoa Toán-Đại học sư phạm
TP.HCM) thì "điều này dễ gây mơ hồ và khó khăn cho người dạy và cả người học
khi triển khai nghiên cứu khái niệm. Chẳng hạn, cùng với một hàm số với biểu
thức giải tích y=f(x), khi thay x bằng các giá trò cụ thể x
1
, x
2
thì phải chăng ở đây
có 2 hàm số f(x
1
), f(x
2
) hay đang nói đến các giá trò x
1
, x
2

?"
2
• Phân tích sự khác biệt trong nhận thức của học sinh khi học hàm số và đồ thò ở cấp 2
và cấp 3
 Về Tập xác đònh:
(Ở dưới phân tích dựa vào SGK Đại số 9, Ngô Hữu Dũng, Trần Kiều, 2002-tái bản
lần thứ 12, nxb. giáo dục)
Cấp 2 : Ở lớp 9, sách giáo khoa nhắc lại khái niệm hàm số ở lớp 7 đã học. Qua đó
học sinh có thể dễ hơn trong việc tiếp cận kiến thức mới về đồ thò và hàm số. Học
sinh được học các khái niệm có liên quan đến việc khảo sát hàm số như "Tập xác
đònh của hàm số", sự đồng biến nghòch biến. Lúc này, khái niệm "Tập xác đònh
của hàm số" chỉ được tác giả giới thiệu khá hạn hẹp qua 3 ví dụ
2
3=y x
,
2 1
, 5
3
−
= = −
−
x
y y x
x
, chưa có phong phú về loại tìm tập xác đònh và cả bài tập
trong sách thì chỉ dừng lại việc xét tới những hàm số đơn giản.
Trích bài tập trong SGK ĐS 9:
"Tìm TXĐ của hàm số sau:
2
2

2 3 2 3 1
1
1
y x y x x
x
y y x
x
= − + = − +
= = −
−
Điều này là do học sinh mới học đến những biểu thức có dạng biểu thức hữu tỉ
(phân thức)-được học ở lớp 8 hay là biểu thức vô tỉ mà học sinh chỉ mới làm quen
1
Sách giáo khoa
2
Trích trong Tư liệu bàn Về tuyến hàm trong chương trình cải cách giáo dục môn Toán 1992
10
ở đầu năm lớp 9 (chương trình cũ, còn chương trình mới học sinh được học căn bậc
hai ở lớp 7). Một lí do khác là học sinh chưa học sâu về lí thuyết tập hợp, mặt dù
có học ở lớp 6 nhưng ngay cả những phép giao, hợp của tập hợp thì SGK cũng
chưa giới thiệu cho học sinh (theo SGK lớp 6, Lê Hải Châu, nxb. giáo dục, 1999
(tái bản lần thứ 12)).
Sau khi giới thiệu trực tiếp việc tìm TXĐ
1
của 3 hàm số tác giả đi vào ngay trả lời
câu hỏi "Thế nào là tìm TXĐ của một hàm số" mà cũng không đưa ra đònh nghóa
TXĐ của hàm số. Tác giả viết: "tìm TXĐ của hàm số y=f(x) là tìm tất cả những giá
trò của x sao cho biểu thức f(x) có nghóa".
Cấp 3 : Học sinh có cái nhìn hoàn chỉnh hơn về TXĐ không chỉ tìm TXĐ của
những hàm số đơn giản giới hạn bởi 3 loại trên mà còn có những kiểu kết hợp giữa

2 loại và tìm TXĐ cả những hàm số siêu việt. Chẳng hạn bài tập tìm TXĐ của
hàm số mà học sinh đã gặp ở cấp 3 như sau:
"Tìm TXĐ của hàm số
2
( 2) 1
y
x x
=
+ +
,
2
log ( 1)
2
x
y
x
+
=
−
,
tg cotgy x x= −
"
Điều này là do đến cấp 3 học sinh được học lí thuyết tập hợp (phép giao, hợp,
hiệu) một cách sâu sắc hơn. Thật vậy ta thấy ở 3 ví dụ về TXĐ bên trên thì đều
phải sử dụng khái niệm giao của 2 tập hợp, chẳng hạn như ở ví dụ đầu tiên giao
của 2 tập hợp
{ }
/ 2A x R x= ∈ ≠ −
và
{ }

/ 1B x R x= ∈ > −
. Và một lí do khác là lên
cấp 3 học sinh mới học những hàm số siêu việt.
 Về các yếu tố khác:
Học sinh mới vẽ và khảo sát những đồ thò đơn giản (hàm số bậc nhất
y ax b= +
và
bậc hai
2
y ax=
. Ta xét cách vẽ đồ thò của hàm số
2
1
2
y x= −
, đây là một ví dụ trong
SGK Đại số lớp 9
1. Nhận xét. Trước hết ta nêu một số nhận xét sau:
a) Biểu thức f(x)=
2
1
2
x−
luôn có nghóa với mọi
x R
∈
. Vậy hàm số có tập xác đònh
là R.
b) f(x)=
2

1
2
x−
0
≤
với mọi
x R
∈
: hàm số luôn nhận giá trò âm với mọi
x R
∈
, trừ
khi x=0 thì y=0 là giá trò lớn nhất của hàm số.
Suy ra : Các điểm (x;y) của đồ thò hàm số luôn nằm phía dứơi trục hoành và nhận
điểm O(0,0) là điểm "cao nhất" của đồ thò.
1
Tập xác đònh
11
c)Với mọi x
1
, x
2
mà 0<x
1
<x
2
thì
2
1
1

2
x−
>
2
2
1
2
x−
: hàm số là nghòch biến trong R
+
Tương tự thì với x
1
<x
2
<0 thì hàm số là đồng biến trong R
-
Lập bảng một số giá trò tương ứng của x và y:
x -
3
-2 -1 0 1 2 3
y -
4
,
5
-2 -0,5 0 -0,5 -2 -4,5
Ta thấy: mỗi cặp giá trò đối nhau của x ứng với cùng một giá trò y. Chẳng hạn x=
±
1,
y=-0.5; x=
±

2, y=-2;…Trên mặt phẳng toạ độ, các cặp điểm: (-1;-0,5) và (1;-0,5); (-
2;-2) và (2;-2) đối xứng qua trục tung: đồ thò nhận trục tung là trục đối xứng.

Như vậy ta thấy rằng việc khảo sát hàm số và vẽ đồ thò ở lớp dưới chỉ dừng lại ở
việc xét đồ thò bậc 2 đơn giản có trục là Oy và có đỉnh là gốc toạ độ O. Còn lên lớp
10 thì học sinh đã được học việc khảo sát đồ thò trong phạm vi rộng hơn, đỉnh của
Parabol nằm tuỳ ý, trục thì song song với Oy.
Việc vẽ đồ thò và khảo sát như trên hoàn toàn sơ cấp. Ở lớp 12, học sinh sẽ sử
dụng công cụ tối tân hơn đó là công cụ đạo hàm. Khi đó việc vẽ đồ thò sẽ chính
xác hơn và học sinh sẽ có nhiều thông tin hơn về đồ thò.
Việc đưa ra cách vẽ lấy một số điểm nối lại để được một đường cong Parabol như
vậy là không ổn. Cho dù ta lấy 100 điểm đi chăng nữa và nối lại thì cũng chỉ dừng
lại ở việc dự đoán đó là đường cong (bởi vì lỡ có một lân cận nào đó nó là đường
12