CƠ HỌC LÝ THUYẾT - PHẦN 3 ĐỘNG LỰC HỌC - CHƯƠNG 13 ppsx

12
CHƯƠNG 13: CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT ĐỘNG LỰC HỌC
I. ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG KHỐI TÂM CƠ HỆ.
1. Định lý chuyển động khối tâm cơ hệ.
Khối tâm của cơ hệ chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng
của cơ hệ và chịu tác dụng của lực có vectơ lực bằng vectơ chính của hệ ngoại lực tác
dụng lên cơ hệ:
e
K
C
MWF
=
∑
uurr
(13.1)
Chứng minh:
Xét hệ có n chất điểm, hệ phương trình vi phân của nó là:
ei
11
1
1
ei
22
2
2
ei
nn
n
n
m.WFF

m.WFF

m.WFF

=+



=+



=+


uurrr
uurrr
uurrr
.
Cộng từng vế các phương trình của hệ ta được:
ei
KK
K
K
m.WFF
=+
∑∑∑
uurrr
.
Ta thấy

i
K
F0
=
∑
r
nên
e
K
K
K
m.WF
=
∑∑
uurr
(*)
Mặc khác từ (12.1) ta có
CKK
r.Mm.r
=
∑
rr

Lấy đạo hàm hai lần đẳng thức này ta được:
CK
CKKK
r.Mm.rW.Mm.W
=⇔=
∑∑
uuruur

rr
&&&&
,
thay vào (*) ta được
e
K
C
MWF
=
∑
uurr
. Định lý đã được chứng minh.
Chiếu (13.1) lên các trục tọa độ ta được:
e
CKx
e
CKy
e
CKz
MxF
MyF
MzF

=

=


=


∑
∑
∑
&&
&&
&&
(13.2). Đây là phương
trình vi phân chuyển động khối tâm dưới dạng hình chiếu.
2. Định luật bảo toàn khối tâm cơ hệ.
Nếu vectơ chính của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ bằng không thì khối tâm của
cơ hệ đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều.
Chứng minh: Từ (13.1) ta thấy nếu
e
K
F0
=
∑
r
thì
C
W0
=
uur
⇒
C
Vc
osnt
=
ur
. Vậy nếu

ban đầu
C
V0
=
ur
thì khối tâm cơ hệ đứng yên, còn nếu
C
0
VV
=
ur
thì khối tâm cơ hệ chuyển
động thẳng đều với vectơ V
0
.
Hoàn toàn tương tự với (13.2) ta có định luật sau:
Nếu hình chiếu của vectơ chính của các ngoại lực lên một trục nào đó luôn luôn
bằng không thì hình chiếu của khối tâm cơ hệ trên trục đó đứng yên hoặc chuyển động
thẳng đều.
Định luật này gọi là “Định luật bảo toàn chuyển động của hình chiếu khối tâm cơ hệ”
II. ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG.
1. Động lượng của chất điểm và cơ hệ.
a, Động lượng chất điểm: Động lượng chất điểm là một đại lượng vectơ, ký hiệu là
q
r

bằng tích khối lượng của chất điểm với vận tốc của nó.
qm.V
=
ur

r
(13.3)

13
b, Động lượng cơ hệ: Động lượng cơ hệ (ký hiệu là
Q
ur
) là tổng hình học động lượng
các chất điểm thuộc cơ hệ.
K
K
Qm.V
=
∑
urur
(13.4)
Từ (12.1) ta được
KKC
m.rM.r
=
∑
rr
. Đạo hàm hai vế đẳng thức này theo t ta được:
KC
K
m.VM.V
=
∑
urur
. Hay là

C
QM.V
=
urur
. Như vậy động lượng của cơ hệ có thể xác định
bằng công thức
C
QM.V
=
urur
. Với M là khối lượng của cả cơ hệ,
C
V
ur
là vận tốc khối tâm cơ
hệ.
2. Xung lượng của lực(Xung lực).
Xung lượng nguyên tố của lực
F
r
là đại lượng vectơ, ký hiệu là
dS
r
, bằng tích của
lực
F
r
và dt.
dSF.dt
=

rr
(13.5)
Xung lượng của
F
r
trong khoảng thời gian hữu hạn từ
01
tt
→
là tích phân của xung
lực nguyên tố:
11
00
tt
tt
SdSF.dt
==
∫∫
rrr
. Nếu
Fc
osnt
=
r
thì
(
)
10
SF.tt
=−

rr
.
Đơn vị của xung lực là Ns.
3. Các định lý biến thiên động lượng của chất điểm và cơ
hệ.
a, Định lý 1: Đạo hàm theo thời gian động lượng của chất điểm bằng hợp lực của
các lực tác dụng lên chất điểm đó.
()
(
)
K
dm.V
dq
F
dtdt
==
∑
ur
r
r
(13.6)
Chứng minh: Xét chất điểm M có khối lượng m, các lực tác dụng vào chất điểm là
12n
F,F, ,F
rrr
. Viết phương trình cơ bản động lực học cho M ta có:
(
)
K
dm.V

dVdq
FmWm
dtdtdt
====
∑
ur
ur
r
ruur
(ĐPCM)
b, Định lý 2: Đạo hàm theo thời gian động lượng của cơ hệ bằng vectơ chính của
các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ.
(
)
e
K
dQ
F
dt
=
∑
ur
r
(13.7)
Chứng minh: Xét chất điểm
K
M
có khối lượng
K
m

, các lực tác dụng vào chất điểm
gồm có ngoại lực
e
K
F
r
và nội lực
i
K
F
r
. Theo định lý 1 ta có:
(
)
K
ei
K
K
KK
dm.V
dq
FF
dtdt
==+
ur
r
rr
.
Cộng từng vế đẳng thức này ta được:
(

)
K
ei
K
KK
K
K
dm.V
ddQ
m.VFF
dtdtdt
===+
∑∑∑∑
ur
ur
urrr

Chú ý là
i
K
F0
=
∑
r
nên
e
K
dQ
F
dt

=
∑
ur
r
(ĐPCM)
c, Định lý 3: Biến thiên động lượng của chất điểm trong một khoảng thời gian nào
đó bằng tổng hình học xung lượng của các lực tác dụng lên chất điểm trong thời gian ấy.

14
1
0
t
K
10K
t
m.Vm.VF.dtS
−==
∑∑
∫
ururrr
(13.8)
Chứng minh: Từ (13.6) ta có
(
)
K
dm.VF.dt
=
∑
urr
. Tích phân hai vế đẳng thức này

với cận tương ứng ta được
()
1
11
0
00
tt
V
KK
tt
V
dm.VF.dtF.dt
==
∑∑
∫∫∫
uur
uur
urrr
.
Hay là :
1
0
t
K
10K
t
m.Vm.VF.dtS
−==
∑∑
∫

ururrr
(ĐPCM)
d, Định lý 4: Biến thiên động lượng của cơ hệ trong một khoảng thời gian nào đó
bằng tổng hình học xung lượng của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ trong khoảng thời
gian ấy.
1
0
t
ee
K
K
10
t
QQF.dtS
−==
∑∑
∫
ururrr
(13.9)
Chứng minh: Từ (13.7) ta có
(
)
e
K
dQF.dt
=
∑
urr
. Tích phân hai vế đẳng thức này với
cận tương ứng ta được

()
1
11
0
00
tt
V
ee
KK
tt
V
dQF.dtF.dt
==
∑∑
∫∫∫
uur
uur
urrr
.
Hay là :
1
0
t
ee
K
K
10
t
QQF.dtS
−==

∑∑
∫
ururrr
(ĐPCM)
Chú ý: Khi chiếu các đẳng thức trên lên các trục tọa độ đề các ta có các hệ sau:
- Chất điểm:
(
)
()
()
x
Kx
y
Ky
z
Kz
dm.V
F
dt
dm.V
F
dt
dm.V
F
dt


=




=




=


∑
∑
∑
ur
r
ur
r
ur
r
(13.10)
và
1
0
1
0
1
0
t
Kx
1x0xKx
t

t
Ky
1y0yKy
t
t
Kz
1z0zKz
t
m.Vm.VF.dtS
m.Vm.VF.dtS
m.Vm.VF.dtS

−==




−==




−==


∑∑
∫
∑∑
∫
∑∑

∫
ururrr
ururrr
ururrr
(13.11)

15
- Cơ hệ:
(
)
()
()
e
x
Kx
e
y
Ky
e
z
Kz
dQ
F
dt
dQ
F
dt
dQ
F
dt



=



=




=


∑
∑
∑
ur
r
ur
r
ur
r
(13.12) và
e
Kx
1x0x
e
Ky
1y0y

e
Kz
1z0z
QQS
QQS
QQS

−=


−=


−=


∑
∑
∑
ururr
ururr
ururr

(13.13)
Trong các công thức trên ta không thấy sự có mặt của nội lực. Vậy nội lực không làm
biến đổi động lượng của hệ.
Các định lý trên thường được sử dụng cho các bài toán va chạm và các bài toán về
chuyển động trong môi trường liên tục. Sau đây ta xét một số trường hợp mà động lượng
được bảo toàn.
4. Định luật bảo toàn động lượng.

Ta chỉ xét cho trường hợp cơ hệ, đối với chất điểm được xem như mọt trường hợp
riêng của cơ hệ.
a, Định lý 5: Nếu vectơ chính của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ luôn luôn bằng
không thì động lượng của cơ hệ được bảo toàn.
e
K
F0Qc
osnt
=⇔=
∑
rur
(13.14)
Chứng minh: Nếu
e
K
F0
=
∑
r
, từ (13.7) ta có
(
)
e
K
dQ
F0Qc
dt
osnt
==⇒=
∑

ur
rur
.
(ĐPCM)
b, Định lý 6: Nếu hình chiếu của vectơ chính của các ngoại lực lên một trục nào đó
luôn luôn bằng không thì hình chiếu động lượng của cơ hệ lên trục ấy được bảo toàn.
Chứng minh: Nếu
e
Kx
F0
=
∑
r
, ta có
(
)
e
x
Kx
x
dQ
F0Qc
dt
osnt
==⇒=
∑
ur
rur
. (ĐPCM)
III. ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG.

1. Mômen động lượng của chất điểm và cơ hệ.
a, Mômen động lượng của chất điểm:
- Mômen động lượng của chất điểm đối với tâm O là một vectơ ký hiệu là l
O
là
mômen của vectơ động lượng đối với điểm O.
()
(
)
OOO
lmqmm.Vrm.V
===∧
urur
r
rrrr
(13.15)
- Mômen động lượng của chất điểm đối với trục z là một lượng đại số ký hiệu là l
z

()
(
)
()
ZZZ
lmqmm.Vm.V.h
′
===±
ur
rrr
(13.16)

Trong đó
m.V
′
là hình chiếu của
m.V
ur
lên mặt phẳng π vuông góc với trục z, h là
khoảng cách từ O (là giao điểm của mặt phẳng π với trục z) đến
m.V
′
. Lấy dấu cộng khi
nhìn từ trục z xuống mặt phẳng π thấy
V
′
uur
quay quanh O theo ngược chiều kim đồng hồ.
Tương tự mômen lực ở tĩnh học ta cũng có: Mômen động lượng của chất điểm đối
với một trục bằng hình chiếu lên trục ấy của vectơ mômen động lượng của chất điểm đối
với một điểm thuộc trục.
(
)
(
)
zOzOz
hclhcmFmF

==

rr
r

r
(13.17)

16
Gọi x,y,z là tọa độ của chất điểm và
xyz
V,V,V
là hình chiếu vận tốc chât điểm ấy lên
các trục tọa độ. Từ (13.15) ta có:
O
xyz
ijk
lrm.Vxyz
mVmVmV
=∧=
rrr
ur
r
r
. (13.18)
Tương tự công thức (1.2) ta cũng có:
(
)
()
()
xZy
yxz
zyx
lmy.Vz.V
lmz.Vx.V

lmx.Vy.V

=−


=−


=−


(13.19)
b, Mômen động lượng của cơ hệ:
- Mômen động lượng của cơ hệ đối với một tâm bằng tổng mômen động lượng của
các chất điểm thuộc cơ hệ với cùng tâm đó.
()
(
)
O
KK
OKOKKK
Lmqmm.Vrm.V
===∧
∑∑∑
ururur
rrrr
(13.20)
- Mômen động lượng của cơ hệ đối với một trục bằng tổng mômen động lượng của
các chất điểm thuộc cơ hệ với cùng trục đó.
()

(
)
K
ZZKZK
Lmqmm.V
==
∑∑
ur
rrr
(13.21)
Đơn vị của mômen động lượng là: kgm
2
/s

c, Mômen động lượng của vật rắn quay quanh trục cố định:
Xét vật rắn quay quanh trục cố định z với vận tốc góc là ω.
Mômen động lượng của chất điểm
K
M
với trục z là:
(
)
K
KZZK
lmm.V
=
ur
r
. Do
K

K
m.V
ur
nằm trên mặt phẳng chứa
K
M
và
K
r
r
nên
KZKKK
lr.m.V
=±
. Theo hình vẽ ta lấy dấu cộng vậy
KZKKK
lr.m.V
=
. Mặc khác
KK
V.r
=ω
nên ta có
2
KZKK
l.m.r
=ω
.
Mômen động lượng của cả vật đối với trục z là:
(

)
2
ZZKKK
Lmq.m.r
==ω
∑∑
rr

Theo (12.3) thì
22
zKKKK
Jm.dm.r
==
∑∑
, vậy ta được:
Zz
L.J
=ω
(13.22)

2. Định lý biến thiên mômen động lượng của
chất điểm và cơ hệ.
a, Định lý 1: Đạo hàm theo thời gian mômen động lượng của chất điểm đối với một
tâm (với một trục) cố định bằng tổng mômen các lực tác dụng lên chất điểm đối với cùng
tâm (trục) đó.
()
O
K
O
dl

mF
dt
=
∑
r
r
r
(13.23) và
()
z
K
z
dl
mF
dt
=
∑
r
(13.24)
Chứng minh: Xét chất điểm M, có khối lượng m, chịu tác dụng của hệ lực
(
)
12n
F,F, ,F
rrr
. Phương trình cơ bản của động lực học:

(
)
KKK

dm.V
dV
m.WFm.FF
dtdt
=⇔=⇔=
∑∑∑
ur
ur
uurrrr

Gọi
r
r
là vectơ định vị chất điểm, nhân hai vế đẳng thức trên với
r
r
ta được:
(
)
K
dm.V
rrF
dt
∧=∧
∑
ur
r
rr
(*)
ω

r

k
r
r

k
M

k
V
ur

k
m.V
ur


17
Chú ý rằng
() ()
ddrd
rm.VmVrm.V
dtdtdt
∧=∧+∧
r
ururur
rr
. Mà ta thấy
dr

mVVmV0
dt
∧=∧=
r
ururur

⇒
() ()
dd
rm.Vrm.V
dtdt
∧=∧
urur
rr
. Thay vào (*) ta có:
()
K
d
rm.VrF
dt
∧=∧
∑
urr
rr
hay là:
(
)
()()
O
KKK

O
dl
rFrFmF
dt
=∧=∧=
∑∑∑
r
rrr
rrr
(ĐPCM)
Chiếu 2 vế của (13.23) lên trục z qua điểm O ta được (13.24).
b, Định lý 2: Đạo hàm theo thời gian mômen động lượng của cơ hệ đối với một tâm
(với một trục) cố định bằng tổng mômen của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ đối với cùng
tâm (trục) đó.
(
)
e
O
K
O
dL
mF
dt
=
∑
ur
r
r
(13.25) và
(

)
e
z
K
z
dL
mF
dt
=
∑
r
(13.26)
Chứng minh: Xét cơ hệ có n chất điểm, gọi nội lực và ngoại lực tác dụng lên chất
điểm thứ K là
i
K
F
r
và
e
K
F
r
. Áp dụng (13.23) cho chất điểm thứ K ta được:
(
)
(
)
(
)

ie
OK
KK
OO
dl
mFmF
dt
=+
r
rr
rr

Viết phương trình như trên cho tất cả các chất điểm còn lại của cơ hệ và cộng từng
vế ta được:
(
)
(
)
(
)
ie
OK
KK
OO
dl
mFmF
dt
=+
∑∑∑
r

rr
rr
(*)
Ta có
(
)
()
()
OK
O
OK
dl
dd
lL
dtdtdt
==
∑∑
r
ur
r
và
(
)
i
K
O
mF
∑
r
r

nên (*) được viết lại là:
(
)
e
O
K
O
dL
mF
dt
=
∑
ur
r
r
(ĐPCM)
Chiếu 2 vế của (13.25) lên trục z qua điểm O ta được (13.26).
3. Định luật bảo toàn mômen động lượng.
Nếu mômen chính của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ đối với một tâm (một trục) cố
định luôn luôn bằng không thì mômen động lượng của cơ hệ đối với tâm (trục) đó bảo
toàn.
Chứng minh: Từ (13.25) ta thấy nếu
(
)
e
K
O
mF0
=
∑

r
r
thì
O
dL
0
dt
=
ur
⇒
O
Lc
onst
=
ur
.
Như vậy mômen động lượng đối với một tâmcủa cơ hệ được bảo toàn.
Tương tự từ (13.26) ta cũng chứng minh được nếu
(
)
e
K
O
mF0
=
∑
r
r
thì mômen động
lượng đối với một trục của cơ hệ được bảo toàn.

IV. ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG NĂNG.
1. Công của lực.
a, Công nguyên tố của lực: Công nguyên tố dA của
lực
F
r
trên đoạn dời điểm đặt vô cùng nhỏ ds của nó là
đại lượng vô hướng bằng:
dAF.ds.c
os
=α
(13.27).
O
X
Y
Z
0
M

1
M

F
τ
r

V
ur

F

r

α


18
Z
X
O
Y
0
M

1
M

P
ur

Nhận xét rằng
F.cF
os
τ
α=
là hình chiếu của
F
r
lên phương
V
ur

. Vậy
dAF.ds
τ
=
.
Có thể viết biểu thức công nguyên tố dưới những dạng khác:
- Vì
dsV.dt
=
nên
dAF.V.c.dtF.V.dt
os
τ
=α=
. (13.28)
- Biết
F.V.cF.V
osα=
rur
và
V.dtdr
=
ur
r
nên
dAF.dr
=
r
r
. (13.29)

- Gọi
xyz
F,F,F
rrr
hình chiếu của
F
r
lên các trục tọa độ thì
xyz
dAFdxFdyFdz
=++

(13.30)
b, Công hữu hạn của lực: Công của lực trên quãng đường hữu hạn
01
MM
do điểm
đặt của lực vạch ra bằng tích phân của công nguyên tố trên quãng đường ấy.
¼
1
01
0
M
MM
M
AdA
=
∫
(13.31)
Đơn vị của công là jun, ký hiệu là J. Đơn vị này có thể gọi là Niutơn mét, ký hiệu là

N.m.
c, Công của một số lực thường gặp:
♦Công của trọng lực: Giả sử chất điểm M chịu tác dụng của trọng lực
P
ur

đời chỗ theo đường cong (C) nào đó từ
0000
M(x,y,z)
đến
1111
M(x,y,z)
như hình vẽ. Ở gần mặt đất, trọng lực
P
ur
có thể xem
như không đổi là
Pm.g
=
hường thẳng đứng xuống dưới.
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ, trục Oz hướng thẳng đứng lên trên và
ta có:
xy
PP0
==
,
z
PP
=−
. Khi đó công của lực

P
ur
khi M di
chuyển trên đoạn
0,1
MM
là:
()
111
01
000
MMz
MMxyz
MMz
AdAP.dxP.dyP.dzP.dz
→
==++=−
∫∫∫

(
)
(
)
01
MM1001
APzzPzz
→
=−−=−. Nếu gọi
01
hzz

=−
thì ta có
P
AP.h
=±

Dấu (+) khi
01
zz
≥
, tức M đi xuống thấp, dấu (-) khi
01
zz
<
, tức M đi lên cao.
Từ các công thức trên ta thấy công của trọng lực không phụ thuộc vào dạng quỹ đạo
điểm đặt lực mà chỉ phụ thuộc điểm đầu và điểm cuối của điểm đặt lực, tức độ chênh cao
h.
Công của trọng lực tác dụng lên cơ hệ bằng tổng công trọng lực tác dụng lên các chất
điểm thuộc hệ, vậy ta có công của trọng lực tác dụng lên cơ hệ khi nó dịch chuyển từ vị trí
0 đến vị trí 1 là:
(
)
01KK0K1KK0KK1
APzZP.zP.z
→
=−=−
∑∑∑
.
Từ công thức xác định khối tâm ta có:

KKC
P.zP.z
=
∑
với
K
PP
=
∑
là trọng lượng
của cả hệ, C là khối tâm của cơ hệ. Thay vào ta có:
01C0C1
AP.zP.zP.h
→
=−=±
với
C0C1
hzz
=−

(13.32)
Như vậy khi tính công của trọng lực tác dụng lên hệ chất điểm ta có thể quy về một
chất điểm mạng khối lượng của cả cơ hệ nằm tạ khối tâm của cơ hệ.
♦ Công của lực đàn hồi tuyến tính: Trong nhiều trường hợp, do tính đàn hồi của
vật gây liên kết mà nó tác dụng lên chất điểm một lực
F
r
tuân theo định luật Húc:
FC.r
=−

r
r
. Trong công thức trên C là hệ số cứng,
r
r
là vectơ định vị chất điểm từ vị trí cân
bằng. Khi đó công của đàn hồi trên đoạn dịch chuyển
01
MM
→
là:
()
1
1111
01
0000
0
r
Mrrr
2
22
MM10
Mrrr
r
rC
AdAF.drC.r.drCr.drC.rr
22
→
===−=−=−=−−
∫∫∫∫

r
rrr
rrr
r
r
r
rrrrr


19
Nếu
0
M
trùng với vị trí cân bằng tĩnh thì
0
r0
=
r
, vậy
01
2
2
1
MM
C.r
C.
A
22
→
λ

=−=−

(13.33)
với
1
r
λ=
. Cũng như công của trọng lực, công của lực đàn hồi tuyến tính cũng chỉ phụ
thuộc điểm đầu và điểm cuối mà không phụ thuộc quỹ đạo điểm đặt lực.
♦ Công của lực tác dụng lên vật rắn chuyển động:
- Chuyển động tịnh tiến: Theo công thức tính công nguyên tố (13.29) ta có:
C
C
dAF.drF.V.dtF.V.dtF.dr
====
rrurrurr
rr
(13.34)
- Chuyển động quay quanh trục cố định z:
(
)
z
dAF.dsF.R.dmF.d
ττ
==ϕ=ϕ
r

(13.35)
Nếu là ngẫu lực
z

m
thì ta có:
z
dAm.d
=ϕ

(13.36)
- Chuyển động song phẳng: Xem vật chuyển động quay quanh trục Pz đi qua P
(tâm vận tốc tức thời) và vuông góc với mặt phẳng chuyển động.
Viết (13.35) ta được:
(
)
zP
dAmF.d
=ϕ
r

(13.37)
Vì P liên tục thay đổi do vậy người ta còn đưa ra công thức sau:
(
)
C
zCC
dAmF.dF.dr
=ϕ+
rr
r

♦ Công của lực ma sát:
- Ma sát trượt:

ms
dAF.ds.c
os
=α
mà
c1
os
α=−
nên
ms
dAF.dsf.N.ds
=−=−
(13.38)
Công của lực ma sát trượt luôn luôn âm.
- Công của lực ma sát tác dụng lên vật lăn không trượt: Tiếp điểm P là tâm vận tốc
tức thời nên
P
V0
=
, ta có:
msmsP
dAF.dsF.V.dt0
===

(13.39)
Khi vật lăn không trượt, công của lực ma sát bằng không
♦ Công của các nội lực vật rắn:
Xét hai phần tử là
1
M

và
2
M
của vật rắn. Lực tác dụng tương hỗ giữa chúng là
12
F
r

và
21
F
r
hướng theo phương
12
MM
và
1221
FF
=−
rr
. Tổng công nguyên tố của hai lực đó là:
(
)
ii
1221122112
1212
1212
dAdAF.drF.drF.V.dtF.V.dtF.VV.dt
+=+=+=−
rrrurrurrurur

rr

Theo định lý liên hệ vận tốc ta có:
121212
MMMM12MM
VVVVVV=+⇒−=
urururururur
.
Mà
1212
1212
MMMM
VFF.V0
⊥⇒=
urrrur
vậy
ii
12
dAdA0
+=
.
- Ta có thể kết luận: tổng công của các nội lực tác dụng lên các chất điểm
thuộc vật rắn luôn bằng không
i
K
dA0
=
∑
.
(13.40)

Chú ý rằng với các cơ hệ bất kỳ
i
K
dA
∑
có thể khác không vì chúng làm cho các
chất điểm chuyển động tương đối với nhau.
2. Công suất.
Công suất là công do lực sinh ra trong một đơn vị thời gian. Ký hiệu của công là N,
theo định nghĩa
dA
N
dt
= .
(13.41)
Đơn vị của công là Oát, ký hiệu là W. (1W=1J/s).

20
Ta có thể viết
NF.V.c
os
=α
, với α là góc giữa
F
r
và
V
ur
.
(13.42)

3. Động năng.
a, Động năng của chất diểm và cơ hệ.
- Động năng của chất điểm: là một đại lượng vô hướng dương, ký hiệu là T, được
xác định bằng công thức:
2
1
Tm.V
2
= (13.43)
- Động năng của cơ hệ: Là tổng động năng các chất điểm thuộc cơ hệ:
22
KKKK
11
Tm.Vm.V
22
==
∑∑
(13.44)
Trong trường hợp đặt biệt, cơ hệ gồm một số vật chuyển động thì động năng của nó
là tổng động năng của các chất điểm chuyển động.
b, Động năng trong một số chuyển động của vật.
♦Chuyển động tịnh tiến: Trong trường hợp này
KC
VV
=
urur
nên động năng của vật
là:
222
KKKCC

111
Tm.Vm.VM.V
222
===
∑∑
(13.45)
♦Chuyển động quay quanh trục cố định z: Trong trường hợp này
KK
V.r
=ω
nên
động năng của vật là:
222222
KKKKKKz
1111
Tm.Vm.r.m.rJ.
2222
==ω=ω=ω
∑∑∑
(13.46)
♦Chuyển động song phẳng: Ta coi như vật rắn chuyển động quay tức thời quanh
trục Pz đi qua vận tốc tức thời P và vuông góc với mặt phẳng chuyển động.
Áp dụng (13.46) ta được:
2
Pz
1
TJ.
2
=ω
. P luôn di chuyển khi vật rắn chuyển động

song phẳng nên ta biến đổi sang dạng thuận tiện hơn.Ta có
2
PzCz
JJM.d
=+ , với Cz là trục
song song với Pz và đi qua khối tâm C của vật rắn. Thay vào công thức trên ta được
()
22
Cz
1
TJM.d.
2
=+ω

Hay
222
Cz
11
TJ.M.d.
22
=ω+ω
mà
C
d.PC.V
ω=ω=
nên
22
CzC
11
TJ.M.V

22
=ω+
(13.47)
4. Các định lý biến thiên động năng đối với chất điểm và cơ
hệ.
a, Định lý 1: Vi phân động năng của chất điểm bằng tổng đại số công nguyên tố của
các lực tác dụng lên chất điểm ấy.
2
K
1
dTdmVdA
2

==


∑
(13.48)
Chứng minh: Xét chất điểm M có khối lượng m chuyển động dưới tác dụng của các
lực
12n
F,F, ,F
rrr
. Phương trình cơ bản của động lực học đối với chất điểm là:
K
dV
m.Wm.F
dt
==
∑

ur
uurr


21
Nhân vô hướng hai vế với
dr
r
là ta được:
K
dVdr
m.drm.dV.m.dV.VF.dr
dtdt
===
∑
ur
r
urururr
rr

(*)
Ta có
2
m.Vm
dTd.2.V.dVm.V.dV
22


===



ur
urururur
và
K
K
F.drdA
=
∑∑
r
r
.
Thay vào (*) ta được (13.48), định lý được chứng minh.
Chú ý : Chia cả hai vế (13.48) cho
dt
ta được :
K
K
dA
dT
N
dtdt
==
∑
∑
. Vậy ta có
định lý sau : Đạo hàm theo thời gian động năng của chất điểm bằng tổng công suất của
các lực tác dụng lên chất điểm.
K
K

dA
dT
N
dtdt
==
∑
∑
(13.49)
b, Định lý 2: Vi phân động năng của cơ hệ bằng tổng đại số công nguyên tố của các
ngoại lực và nội lực tác dụng lên cơ hệ.
ei
KK
dTdAdA
=+ (13.50)
Chứng minh: Xét hệ gồm n chất điểm. Công nguyên tố của ngoại lực và nội lực đặt
vào chất điểm thứ K là
e
K
dA
và
i
K
dA
. Viết (13.48) cho chất điểm thứ K ta được:
2ei
KKKKK
1
dmVdAdAdA
2


==+



Viết (13.48) cho n chất điểm và cộng từng vế ⇒
2ei
KKKK
1
dTdmVdAdA
2

==+


∑∑∑
.
Chú ý : Tương tự định lý 1 ta cũng có định lý sau : Đạo hàm theo thời gian động
năng của cơ hệ bằng tổng công suất của các ngoại lực và nội lực tác dụng lên cơ hệ.
ei
KK
ei
KK
dAdA
dT
NN
dtdt
+
==+
∑∑
∑∑

(13.51)
c, Định lý 3: Biến thiên động năng của chất điểm trên một chuyển dời nào đó bằng
tổng đại số công của các lực tác dụng lên chất điểm trên đoạn chuyển dời ấy.
01
22
10MM
11
mVmVA
22
−=
∑
(13.52)
Chứng minh: Áp dụng (13.48) cho chất điểm ta được :
2
K
1
dmVdA
2

=


∑
. Tích
phân hai vế theo các cận tương ứng với M
0
và M
1
ta được:
01

22
10MM
11
mVmVA
22
−=
∑
(ĐPCM)
d, Định lý 4: Biến thiên động năng của cơ hệ trên một chuyển dời nào đó bằng tổng
đại số công của ngoại lực và nội lực tác dụng lên các chất điểm của cơ hệ trên đoạn chuyển
dời ấy.
ei
10KK
TTAA
−=+
∑∑
(13.53)

Chứng minh: Viết (13.52) cho chất điểm thứ K của cơ hệ ta có :
22ei
10KK
11
mVmVAA
22
−=+

Viết (13.52) cho mọi chất điểm và cộng từng vế ⇒
ei
10KK
TTAA

−=+
∑∑
.
Nội lực làm biến đổi động năng của hệ, do vậy định lý động năng cho phép ta nghiên
cứu sâu sắc hơn chuyển động của cơ hệ.

22
V. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG.
1. Trường lực thế - Thế năng.
a, Trường lực: là khoảng không gian vật lý mà khi chất điểm chuyển động trong
trường lực chịu tác dụng lực chỉ phụ thuộc vào vị trí của nó.
Ví dụ như trường trọng lực, trường các lực đàn hồi…
b, Trường lực thế: là trường lực mà công của các lực tác dụng lên chất điểm không
phụ thuộc vào dạng quỹ đạo điểm đặt lực mà chỉ phụ thuộc điểm đầu và cuối của nó. Lực
do trường lực thế tác dụng lên chất điểm gọi là lực thế.
Ví dụ như trường trọng lực, trường lực đàn hồi tuyến tính là trường lực thế, trọng
lực, lực đàn hồi tuyến tính là các lực thế. Các trường lực không thế ví dụ như trường lực
cản, ma sát …
c, Thế năng: Khảo sát cơ hệ có n chất điểm là M
1
,
M
2
,…,M
n
. Các chất điểm nằm trong trường lực thế và
chịu tác dụng của các lực thế tương ứng là
12n
F,F, ,F
rrr

.
Gọi
0
K
M
là vị trí của chất điểm
K
M
tại vị trí “0” và
1
K
M

là vị trí của chất điểm
K
M
tại vị trí “1”.
Thế năng của cơ hệ tại vị trí “1” bằng tổng công
của các lực thế tác dụng lên cơ hệ khi nó di chuyển từ vị
trí “1” đến vị trí “0”.
10
KK
M10
MM
AA
−
∏==
∑
(13.54)
Chú ý rằng ta có thể chọn vị trí “0” tùy ý nên thế năng của cơ hệ tại một vị trí nào đó

sẽ sai khác một hằng số cộng. Thế năng của cơ hệ tại vị trí “0” luôn bằng không (
0
0
Π=
).
Vì công của lực trong trường lực thế chỉ phụ thuộc các vị trí đầu cuối của điểm đặt lực nên
thế năng chỉ phụ thuộc vị trí của hệ, tức là:
111222nnn
(x,y,z,x,y,z, ,x,y,z)
Π=Π
. Hàm
Π
được gọi là hàm thế.

2. Định luật bảo toàn cơ năng.
Định luật: Khi hệ chuyển động trong trường lực thế thì cơ năng (tổng động năng và
thế năng) của hệ được bảo toàn.
1100
TTc
+Π=Π+=
osnt
(13.55)
Chứng minh: Áp dụng định lý động năng (13.53) ta được
ei
10KK
TTAA
−=+
∑∑
.
Khi hệ chuyển động trong trường lực thế ta có:

ei
KKK01
AAA
+==Π−Π
∑∑∑
,
trong đó
Π
là thế năng của hệ dưới tác dụng của nội lực và ngoại lực.
Vậy ta có:
1001
TT
−=Π−Π
hay
1100
TTc
+Π=Π+=
osnt
(ĐPCM)
Người ta ký hiệu cơ năng là E và
ET
=+Π
. Hệ thức (13.55) còn được gọi là tích
phân năng lượng.
Cơ hệ nghiệm đúng (13.55) được gọi là hệ bảo toàn và lực tác dụng lên hệ là lực bảo
toàn. Dễ thấy lực thế là lực bảo toàn.
Trong trường hợp các lực không bảo toàn (ma sát, lực cản) thì cơ năng của hệ không
bảo toàn do có sự trao đổi năng lượng giữa cơ hệ với môi trường xung quanh. Cơ năng của
hệ sẽ chuyển hóa thành các dạng năng lượng khác như nhiệt năng, hóa năng, điện năng…

(
)
1
1
M

(
)
0
1
M

1
F
r

(
)
1
2
M

(
)
0
2
M

2
F

r

(
)
1
3
M

(
)
0
3
M

3
F
r

Y
X

O
Z