Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ

Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ
A- ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong quá trình giảng dạy thì vấn đề tổ chức, hướng dẫn cho học sinh ôn tập, củng cố các kiến
thức và rèn luyện kỹ năng giải toán chuẩn bị cho các kỳ thi sắp đến là một công việc rất quan trọng
và cần thiết cho mỗi người thầy, cô giáo. Nên mỗi một thầy, cô giáo cần phải đổi mới phương pháp
dạy học, chọn lọc nội dung và tìm ra phương pháp giải toán cho học sinh dễ hiểu, dễ tiếp thu để kích
thích học sinh hứng thú say mê, sáng tạo và tìm ra hướng giải quyết bài toán đó. Chúng ta cần phải
chọn lọc nội dung trọng tâm, dung lượng kiến thức, ứng dụng các kiến thức đã học để giúp các em
rèn luyện kỹ năng và tư duy để tìm ra phương pháp giải những dạng toán thường gặp trong các kỳ
thi mà sách giáo khoa chưa đề cập đến nhiều.
Để góp phần nhỏ vào việc ôn tập môn Toán 12 cho học sinh, bản thân xin trình bày một phần
nội dung ôn tập: “Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số”.
Ta thường gặp một số “Bài toán liên quan đến đồ thị hàm số” trong Bài 1 của các đề thi Tốt
nghiệp Trung học phổ thông và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng. Đây là dạng toán có liên quan đến
việc “Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số”, là một trong những nội dung toán học có tính chất
phát triển tư duy lô-gic, hình thành kỹ năng thực hành và phát huy khả năng vận dụng sáng tạo vào
thực tiễn cuộc sống sau này cho học sinh. Qua những năm giảng dạy nội dung này, tôi nhận thấy kết
quả học tập của đa số học sinh chưa cao, khoảng trên 65% chưa đạt theo chuẩn. Việc tìm hiểu
nguyên nhân và biện pháp khắc phục để nâng cao chất lượng học tập của học sinh là thực sự cần
thiết đối với mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng dạy. Thực tế cho thấy:
– Khả năng phân tích bài toán còn lúng túng, kỹ năng tính toán còn chậm và thiếu chính xác.
– Liên hệ với những kiến thức ở lớp dưới còn nhiều hạn chế.
– Thiếu chủ động, tư tưởng ngại khó khi gặp phải bài toán phức tạp, nhiều dữ kiện ràng buộc.
– Đa số các em chỉ làm phần Khảo sát hàm số mà chưa làm được Bài toán liên quan đến đồ thị.
Để giúp các em lấy được trọn vẹn điểm số của Bài 1 trong các Đề thi Tốt nghiệp Trung học phổ
thông, cũng như Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng dưới đây xin đưa ra một số giải pháp như sau:
B- GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:
Việc trang bị cẩn thận cho học sinh những phương pháp cơ bản, những kỹ năng ban đầu là rất
cần thiết, củng cố được niềm tin và tạo cơ sở tiền đề cho các em tiếp tục phát huy khả năng sáng tạo
để có thể tự giải được các dạng toán tương tự:

- Giảng dạy thật chu đáo các bài toán cơ bản, chẳng hạn:
+ Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số;
+ Tìm phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số;
+ Tìm tọa độ giao điểm của hai đường;
+ Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong
- Hướng dẫn cho học sinh cách phân tích định hướng giải quyết bài toán, biết quy lạ về quen.
- Đặc biệt cần hướng dẫn cho các em biết cách phân rã một bài toán phức tạp thành những bài
toán con đơn giản đã biết cách giải.
- Dành thời gian hợp lý để học sinh tự giải quyết được những bài toán tương đối đơn giản, gây
được sự tự tin và hứng thú học tập cho các em.
- Sau khi học sinh tự giải được bài toán cơ bản ở trên, để tiếp tục nâng cao năng lực tư duy cho
các em, giáo viên có thể mở rộng, tăng độ phức tạp của bài toán bằng cách: Đưa vào tham số và
thêm những ràng buộc giữa các dữ kiện của bài toán.
Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguyễn Xuân Vĩ
1
Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
C- QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN:
Qua quá trình giảng dạy, bản thân nhận thấy rằng: Để một tiết ôn tập đạt chất lượng và hiệu
quả thiết thực thì học sinh phải biết tư duy, sáng tạo, tích cực hoạt động tham gia xây dựng bài học,
người thầy phải chủ động vạch hướng giải quyết bằng cách hướng dẫn, đặt câu hỏi gợi ý, gợi mở
từng bước để dẫn dắt các em tìm hướng giải và lời giải đúng, từ đó các em mới có hứng thú, say mê
vào việc giải quyết bài toán. Muốn vậy thì chúng ta phải chuẩn bị kỹ và tiến hành các khâu sau:
I./ Nghiên cứu nội dung cần ôn tập:
- Nghiên cứu kỹ nội dung cần ôn tập, cần củng cố cho học sinh.
- Vạch ra phương án kiểm tra nội dung kiến thức chuẩn bị cho tiết ôn tập.
Trước khi ôn tập “Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số” thì thầy, cô giáo cần dặn dò
học sinh ôn tập trước các kiến thức đã học và kiến thức cơ bản có liên quan:
+ Định nghĩa điểm cực trị của hàm số; Điều kiện đủ để hàm số có cực trị.
+ Đường tiệm cận của đồ thị và cách tìm phương trình của đường tiệm cận.
+ Giao điểm và cách tìm tọa độ giao điểm của hai đường.

+ Khoảng cách và các công thức tính khoảng cách.
+ Bất đẳng thức Cô-si; Định lý Vi-ét và các ứng dụng
II./ Thành lập hệ thống các dạng bài tập.
- Cần thành lập hệ thống các dạng bài tập từ dễ đến khó, từ cơ bản đến nâng cao.
- Phân thành từng dạng bài tập có liên quan với nhau.
III./ Phân tiết dạy:
- Dựa vào tình hình thực tế giảng dạy, thời lượng ôn tập, năng lực tư duy của học sinh trong lớp
dạy để thầy, cô giáo lựa chọn nội dung kiến thức, phân bổ các dạng bài tập cụ thể cho phù hợp.
IV./ Chọn các bài tập mẫu:
- Chọn ra các bài tập mẫu, trọng tâm thường gặp ở đề thi để tiến hành ôn tập trên lớp.
- Dựa theo trình độ của học sinh trong lớp dạy để chọn các bài tập trọng tâm, chọn bài tập từ dễ
đến khó, đầy đủ các dạng:
V./ Chọn các bài tập tương tự:
- Sau khi thầy, cô giáo đã hướng dẫn ôn tập kiến thức thông qua các bài tập mẫu thì chúng ta
tiếp tục cung cấp cho học sinh các bài tập tương tự để các em tự học, tự rèn luyện. Đây là yếu tố rất
cần thiết giúp học sinh tự củng cố kiến thức, phát huy tính độc lập, chủ động, tự tin làm bài.
- Trên cơ sở các bài tập mẫu học sinh tự lực, chủ động rèn luyện phương pháp, kỹ năng giải,
củng cố kiến thức đã thu nhận từ thầy, cô giáo để từ đó các em tự giải quyết được các bài toán khác.
- Các bài tập tương tự này thầy, cô giáo gợi ý hướng dẫn phương pháp và có thể cho đáp số bài
toán để học sinh giải xong đối chiếu kết quả tìm được của mình.
D- NỘI DUNG:
Bao gồm hệ thống các dạng bài tập liên quan đến đồ thị của hàm số, thường gặp trong các đề
thi và được phân thành từng dạng. Trong quá trình giảng dạy, tùy vào tình hình thực tế, thời lượng
ôn tập, năng lực tư duy của học sinh trong lớp để quý thầy, cô giáo có thể lựa chọn nội dung kiến
thức, các dạng bài tập cụ thể cho phù hợp.
Phần 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐIỂM CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU CỦA HÀM SỐ
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm
0

x
và hàm số có đạo hàm tại điểm
0
x
thì
0
'( ) 0.f x =
(Hàm số f(x) có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó nó không có đạo hàm)
Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguyễn Xuân Vĩ
2
Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f có đạo hàm tại x
0
và đạt cực trị tại x
0
thì tiếp tuyến với đồ thị hàm
số tại
0 0
( ; ( ))x f x
song song hay trùng với trục hoành.
2. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị.
a.) Giả sử hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm
0
x
và có đạo hàm trên các khoảng
0
( ; )a x
và
0
( ; )x b

. Khi đó:
 Nếu
0
'( ) 0, ( ; )f x x a x< ∀ ∈
và
0
'( ) 0, ( ; )f x x x b> ∀ ∈
thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm
0
x
 Nếu
0
'( ) 0, ( ; )f x x a x> ∀ ∈
và
0
'( ) 0, ( ; )f x x x b< ∀ ∈
thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm
0
x
(Chú ý: Không cần xét hàm số f(x) có hay không có đạo hàm tại điểm
0
=x x
)
b.) Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm
0
x
,
0
'( ) 0f x =
và f(x) có

đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm
0
x
. Khi đó:
 Nếu
0
"( ) 0f x <
thì hàm số đạt cực đại tại điểm
0
x
.
 Nếu
0
"( ) 0f x >
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
0
x
.
II. BÀI TẬP.
Trước khi đi vào giải những bài toán nâng cao kỹ năng, để kiểm tra tình hình nắm kiến thức
của học sinh, thầy cô giáo có thể hỏi bài cũ với kiến thức cơ bản hoặc tương tự như sau:
Bài 1. Xác định m để mỗi hàm số sau có cực đại và cực tiểu:
a.)
3 2
3 1y x x mx m
= − + + −
b.)
4 2
2( 1)y x m x m
= − + −

c.)
2
2 1
1
x mx
y
x
+ +
=
−
Gợi ý giải:
a.)
+
2
' 3 6y x x m
= − +
;
2
' 0 3 6 0y x x m
= ⇔ − + =
(*)
+ Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
' 9 3 0 3m m⇔ ∆ = − > ⇔ <
Vậy, với
3m
<
thì hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
b.)
+
3 2

' 4 4( 1) 4 ( 1)y x m x x x m
= − + = − −

2
2
0
' 0 4 ( 1) 0
1 (*)
x
y x x m
x m
=

= ⇔ − − = ⇔

= +

+ Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0

1 0 1m m
⇔ + > ⇔ > −
.
Vậy, với
1m < −
thì hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
c.)
+
2
2
2 2 1

'
( 1)
x x m
y
x
− − −
=
−
;
2
2
2 2 1
' 0 0
( 1)
x x m
y
x
− − −
= ⇔ =
−

2
1
2 2 1 0 (*)
x
x x m
≠

⇔


− − − =

Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguyễn Xuân Vĩ
3
Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
+ Đặt:
2
( ) 2 2 1g x x x m
= − − −
+ Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1

' 0 2 2 0 1
1
(1) 0 2 2 0 1
m m
m
g m m
∆ > + > > −
  
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ > −
  
≠ − − ≠ ≠ −
  
.
Vậy, với
1m
< −
thì hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
Bài 2. Cho hàm số:
3 2 2

1
( 1) 1
3
= − + − + +y x mx m m x
.
Xác định m để hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1.
Lưu ý: Hàm số
3 2
,( 0)y ax bx cx d a= + + + ≠
đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm x
0
khi và chỉ khi
0
0
'( ) 0
''( ) 0
y x
y x
=


<

(hoặc
0
0
'( ) 0
''( ) 0
y x
y x

=


>

)
Sau đó thầy, cô giáo cho học sinh ghi nhớ:
Hàm số bậc ba:
3 2
, ( 0)y ax bx cx d a= + + + ≠
có cực trị khi và chỉ khi phương trình
' 0y =
có
hai nghiệm phân biệt.
Hàm số trùng phương:
4 2
, ( 0)y ax bx c a= + + ≠
có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương
trình
' 0y =
có ba nghiệm phân biệt.
Hàm số:
2
, ( ' 0)
' '
ax bx c
y aa
a x b
+ +
= ≠

+
có cực trị khi và chỉ khi phương trình
' 0y =
có hai nghiệm
phân biệt khác
'
'
b
a
−
.
Để tăng thêm những vướng mắc cho học sinh, giáo viên có thể đưa vào tham số hay những ràng
buộc dữ kiện của bài toán.
Một vấn đề phức tạp là tổ hợp của nhiều vấn đề đơn giản, một bài toán khó là sự kết nối của
nhiều bài toán đơn giản. Chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản, rồi bằng óc phân tích và tổng hợp
chúng ta có thể giải quyết được những bài toán khó. Đứng trước một bài toán phức tạp, có nhiều
ràng buộc học sinh thường lúng túng, không biết bắt đầu giải quyết từ đâu. Giáo viên cần phân tích
và hướng dẫn cho các em biết cách phân rã bài toán ban đầu thành những bài toán con, rà soát lại
những mạch kiến thức đã học có liên quan để giải quyết.
Bài tập 1. Cho hàm số
1
3
1
23
−+−=
mxmxxy
. Xác định m để hàm số đạt cực trị tại
1 2
x ,x
thoả mãn

1 2
4x x
− ≥
?
Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của 2 bài toán con là:
1.) Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị;
2.) Điều kiện để hai điểm cực trị
1 2
x ,x
thoả mãn
1 2
4x x
− ≥
.
Gợi ý giải:
*
2
' 2y x mx m
= − +
;
2
' 0 2 0y x mx m
= ⇔ − + =
(*)
+ Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
2
0
' 0 0
1
m

m m
m
<

⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔

>

* Ta có:
1 2
4x x
− ≥

⇔

2 2
1 2 1 2 1 2
(x - x ) 16 x + x 4x x 16
≥ ⇔ − ≥
( )
(**)
Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguyễn Xuân Vĩ
4
Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
+ Áp dụng định lý Vi-ét vào phương trình (*), ta có:
{
2
1 2
1 2
x + x = m

x x = m
2 2
1 - 17
2
4 4 16 4 0
1 + 17
2

≤

⇔ − ≥ ⇔ − − ≥ ⇔


≥

(**)
m
m m m m
m
+ Đối chiếu với điều kiện, ta được kết quả:
1 - 17
2
≤
m
hoặc
1 + 17
2
≥
m
.

Bài tập 2. Cho hàm số
3 2
3 3 3 2
= − − + +
y x mx x m
có đồ thị là
( )
m
C
. Xác định m để đồ thị
( )
m
C
có
điểm cực đại và cực tiểu, đồng thời khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất?
Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của 2 bài toán con là:
1.) Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu;
2.) Điều kiện để khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị nhỏ nhất.
Gợi ý giải:
*
2 2
' 3 6 3; ' 0 2 1 0, (*)
= − − = ⇔ − − =
y x mx y x mx
+ Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

2
' 1 0,m m R⇔ ∆ = + > ∀ ∈
.
Suy ra, với mọi giá trị của m, hàm số luôn có hai điểm cực trị.

* Tìm tọa độ các điểm cực trị của
( )
m
C
: Gọi A, B là 2 điểm cực trị của đồ thị, khi đó hoành độ
điểm A, B là các nghiệm của phương trình (*).
Cách 1: Vì
( )
, ∈
m
A B C
nên lần lượt thay các nghiệm của (*) vào hàm số, ta có:

2 3 2 2 2
( 1; 2 2 1 2 1 2)A m m m m m m+ + − − + − + +
,
2 3 2 2 2
( 1; 2 2 1 2 1 2)B m m m m m m− + − + + + + +
Cách 2:
- Chia y cho y’ và viết lại hàm số dưới dạng:
2
1 1
'.( ) (2 2) 2 2
3 3
= − − + + +
y y x m m x m
.
- Suy ra, đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B của đồ thị có phương trình:

2

(2 2) 2 2
= − + + +
y m x m
(**)
- Lần lượt thay các nghiệm của (*) vào (**), ta có:

2 3 2 2 2
( 1; 2 2 1 2 1 2)A m m m m m m+ + − − + − + +
,

2 3 2 2 2
( 1; 2 2 1 2 1 2)B m m m m m m− + − + + + + +
+
2 2 2 2
( 2 1;4 1 4 1)AB m m m m= − + + + +
uuur
2 4 2 2 2 2
2 ( 1)(4 8 5) 2 ( 1)[4( 1) 1] 2 5AB m m m m m⇒ = + + + = + + + ≥
Cách 3:
- Gọi
1 2
,x x
là hai nghiệm của (*) và lần lượt thay vào (**) , ta có:

2
1 1
( ; (2 2) 2 2)A x m x m− + + +
,

2

2 2
( ; (2 2) 2 2)B x m x m− + + +
2 2 2 2
2 1 2 1
( ) (2 2) ( )AB x x m x x⇒ = − + + −

4 2
2 1 1 2
(4 8 5)[( ) 4 ]m m x x x x= + + + −

Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguyễn Xuân Vĩ
5
Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
- Áp dụng định lý Vi-ét vào phương trình (*), ta có:
2
1



1 2
1 2
x + x = m
x x = -
4 2
(4 8 5)(4 4)AB m m m⇒ = + + +

2 2 2
2 [4( 1) 1]( 1) 2 5m m= + + + ≥
+
min

2 5 0AB m= ⇔ =
.
+ Đối chiếu với điều kiện, ta được kết quả:
0m =
.
Giáo viên cho học sinh nhận xét: Việc thay hoành độ của A, B vào hàm số khá phức tạp, dễ dẫn
đến kết quả sai. Chỉ áp dụng cách này trong trường hợp phương trình (*) có biệt thức là số chính
phương.
Bài tập 3. Cho hàm số
3 2
12 3y x mx x= + + +
. Xác định m để hàm số có đường thẳng đi qua hai điểm
cực đại và cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = x -7?
Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của những bài toán con là:
1.) Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị;
2.) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số;
3.) Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc với nhau.
Gợi ý giải:
*
2
' 3 2 12y x mx= + +

2
' 0 3 2 12 0y x mx= ⇔ + + =
(*)
+ Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu là phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
2
6
' 0 36 0
6

m
m
m
< −

⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔

>

* Chia y cho y’ và viết lại hàm số dạng:
2
1 1 2 4
( ). ' (8 ) 3
3 9 9 3
y x m y m x m= + + − − +
.
Suy ra đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu có phương trình
2
2 4
(8 ) 3
9 3
y m x m= − − +
* Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích hệ số góc của chúng bằng -1
2 2 2 2
2 2 81 9
1.(8 ) 1 8 1 81 2 0
9 9 2
2
m m m m m⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ±
.

+ Đối chiếu với điều kiện, ta được kết quả:
9
2
m = ±
Bài tập 4. Cho hàm số
( )
3 2
2 3(2 1) 6 1 1y x m x m m x= − + + + +
(1)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng (d): y = x + 2.
Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của những bài toán con là:
1.) Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị;
2.) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số;
3.) Điều kiện để hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng.
Gợi ý giải:
*
( )
2
' 6 6(2 1) 6 1= − + + +y x m x m m

( )
2
' 0 6 6(2 1) 6 1 0= ⇔ − + + + =y x m x m m

( )
2
(2 1) 1 0⇔ − + + + =x m x m m
(*)
Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguyễn Xuân Vĩ
6

Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
+ Vì
1 0,∆ = > ∀m
nên phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt
, 1x m x m= = +
* Gọi A, B là 2 điểm cực trị của đồ thị ta có:
3 2
( ;2 3 1)A m m m+ +
,
3 2
( 1;2 3 )B m m m+ +
Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B của đồ thị, ta có phương trình:
3 2
2 3 1= − + + + +y x m m m
Có thể học sinh giải cách khác:
- Chia y cho y’ và viết lại hàm số dưới dạng:
3 2
1 1
[ (2 1)].y' 2 3 1
3 6
= − + − + + + +y x m x m m m
.
- Suy ra, đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B của đồ thị có pt:
3 2
2 3 1= − + + + +y x m m m
Giáo viên lưu ý thêm cho học sinh: Trong trường hợp này việc chia đa thức cũng dễ dẫn đến
kết quả sai.
* Gọi I là trung điểm của AB, ta có:
3 2
1 1

( ;2 3 )
2 2
I m m m+ + +
+ A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) khi và chỉ khi:
( )
( ),
AB d
I d
⊥


∈

• Với mọi m đường thẳng AB luôn vuông góc với (d).
•
( )I d∈ ⇔
3 2 3 2 2
1 1
2 3 2 2 3 2 0 ( 1)(2 2) 0
2 2
m m m m m m m m m+ + = + + ⇔ + − − = ⇔ + + − =

1
1 17
4
m
m
= −



⇔
− ±

=


Giáo viên cho học sinh ghi nhớ:
1.) A và B cách đều đường thẳng (d)
( , ) ( , )d A d d B d⇔ =
.
2.) A và B cách đều gốc tọa độ O
⇔
OA = OB.
3.) A và B đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O
O AB
OA OB
∈

⇔

=

4.) A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d)
( )
( ),
AB d
I d
⊥

⇔


∈

Bài tập 5. Cho hàm số
12
224
+−= xmxy
. Xác định m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam
giác vuông cân.
Gợi ý giải:
+
3 2 2 2
' 4 4 4 ( )y x m x x x m= − = −

2 2
0
' 0 4
0 (*)
x
y
x m
=

= ⇔

− =

+ Hàm số có ba điểm cực trị
⇔
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

0m⇔ ≠
+ Gọi
4 4
(0;1), ( ; 1), ( ; 1)A B m m C m m− + − − +
là các điểm cực trị của đồ thị.
+ Tính:
4 2 8
( ; )AB m m AB m m= − ⇒ = +
uuur

4 2 8
( ; )AC m m AC m m= − − ⇒ = +
uuur
+ Vì
ABC∆
cân tại A nên 3 điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác vuông cân khi và chỉ
khi
. 0AB AC AB AC⊥ ⇔ =
uuur uuur uuur uuur
.

2 8
0m m⇔ − + =

2 6
( 1) 0m m⇔ − =
Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguyễn Xuân Vĩ
7
(Với I là trung điểm AB)

(Với I là trung điểm AB)
Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số

0
1
m
m
=

⇔

= ±

+ Đối chiếu với điều kiện, ta có kết quả:
1m
= ±
.
Bài tập 6. Cho hàm số
4 2 2
2y x mx m m= + + +
(1) , với
m
là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
2m
= −
.
b) Xác định
m
để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành

một tam giác có góc bằng
120
o
.
Gợi ý giải:
a) (Học sinh tự giải)
b) +
3 2
' 4 4 4 ( )= + = +y x mx x x m
;
2
0
' 0
(*)
=

= ⇔

= −

x
y
x m
+ Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
0m⇔ <
+ Gọi
2
(0; ), ( ; ), ( ; )A m m B m m C m m+ − − −
là các điểm cực trị của đồ thị.
+ Ta có:

2 4
( ; ) AB m m AB m m= − − ⇒ = −
uuur

2 4
( ; )
( 2 ;0) 4 2
AC m m AC m m
BC m BC m m
= − − − ⇒ = −
= − − ⇒ = − = −
uuur
uuur
+ Vì
ABC
∆
cân tại A nên 3 điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có góc bằng
120
o
khi
và chỉ khi
0
1
( , ) 120 ( , )
2
AB AC cos AB AC= ⇔ = −
uuur uuur uuur uuur
4 4
4 4
4

4 4
. 1 1 1
2( )
. 2 2 2
.
AB AC m m m m
m m m m
AB AC m m
m m m m
+ +
⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ + = − +
−
− −
uuur uuur
4 3
3
0
3 0 (3 1) 0
1
3
m
m m m m
m
=


⇔ + = ⇔ + = ⇔

= −



+ Đối chiếu điều kiện, ta được:
3
1
3
m = −
Bài tập 7. Cho hàm số
4 2
2 1y x mx m= + − −
(1) , với
m
là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1m
= −
.
b) Xác định
m
để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành
một tam giác có diện tích bằng
4 2
.
Gợi ý giải:
a) (Học sinh tự giải)
b) +
3 2
' 4 4 4 ( )= + = +y x mx x x m
;
2
0

' 0
(*)
=

= ⇔

= −

x
y
x m
+ Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
0m⇔ <
+ Gọi
2 2
(0; 1), ( ; 1), ( ; 1)A m B m m m C m m m− − − − − − − − − − −
là các điểm cực trị của đồ thị.
+ Ta có:
2 4
( ; ) AB m m AB m m= − − ⇒ = −
uuur

2 4
( ; )
( 2 ;0) 4 2
AC m m AC m m
BC m BC m m
= − − − ⇒ = −
= − − ⇒ = − = −
uuur

uuur
Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguyễn Xuân Vĩ
8
Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
+ Vì
ABC
∆
cân tại A nên gọi I là trung điểm BC khi đó IA là đường cao
+
2 2
(0; ) IA m IA m= ⇒ =
uur
+ Diện tích:
4 2
ABC
S
∆
=

1
. 4 2
2
IA BC⇔ =

2
1
.2 4 2
2
m m⇔ − =

5 5 5
32 ( 2) 2m m m⇔ = − ⇔ = − ⇔ = −
+ Đối chiếu với điều kiện, ta có kết quả:
2m = −
.
Bài tập 8. Cho hàm số
4 2
2 1y x mx m= − + −
(1) , với
m
là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1m
=
.
b) Xác định
m
để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành
một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
1
.
Gợi ý giải:
a) (Học sinh tự giải)
b) +
3 2
2
0
' 4 4 4 ( ) 0
=


= − = − = ⇔

=

x
y x mx x x m
x m
+ Hàm số (1) có ba điểm cực trị
0m⇔ >
.
+ Gọi
2 2
(0; 1), ( ; 1), ( ; 1)A m B m m m C m m m− − + − − − + −
là các điểm cực trị của đồ thị.
+ Ta có:
2 4
( ; ) AB m m AB m m= − ⇒ = +
uuur

2 4
( ; )
( 2 ;0) 4 2
AC m m AC m m
BC m BC m m
= − − ⇒ = +
= − ⇒ = =
uuur
uuur
+
ABC

∆
cân tại A, gọi I là trung điểm của BC, ta có:
2 2 2
(0; 1) (0; )I m m AI m AI m
− + − ⇒ = − ⇒ =
uur

2 2
1 1
. .2
2 2
ABC
S AI BC m m m m
∆
⇒ = = =
(1)
+ Mặt khác:
4 4 4
. . . .2 ( )
4 4.1 2
ABC
AB AC BC m m m m m m m m
S
R
∆
+ + +
= = =
(2)
+ Từ (1) và (2) suy ra:
4

2 3 2
( )
( 1) 2
2
m m m
m m m m m m m
+
= ⇔ + =

3 2
0
1
0 0
1 5
2 1 0 ( 1)( 1) 0
2
1 5
2
m
m
m m
m
m m m m m
m
=


=

= =

 

− +
⇔ ⇔ ⇔
=
 

− + = − + − =
 


− −
=


+ Đối chiếu với điều kiện, ta được kết quả:
1 5
1,
2
m m
− +
= =
.
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Cho hàm số
mxmxxy ++−=
223
3
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0
b) Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng

1 5
( ):
2 2
d y x
= −
Bài 2. Cho hàm số
)1()232()1(3
223
−−+−+−−= mmxmmxmxy
Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguyễn Xuân Vĩ
9
Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại cực tiểu tạo với đường
thẳng
1
5
4
y x
= − +
một góc 45
0
.
Bài 3. Cho hàm số
13)1(33
2223
−−−++−= mxmxxy
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b) Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu cách đều gốc toạ độ O.
Bài 4. Cho hàm số

11292
223
+++= xmmxxy
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực đại
CD
x
và cực tiểu
CT
x
đồng thời
2
CD CT
x x
=
Bài 5. Cho hàm số
( ) ( )
4 2 2
2 2 5 5y f x x m x m m
= = + − + − +

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số với
m
= 1
b) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác
vuông cân.
Bài 6. Cho hàm số
424
22 mmmxxy ++−=
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

b) Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều.
Hướng dẫn:
b) + Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu: m >0.
+ Gọi
4
(0;2 )A m m+
,
4 2
( ; 2 )B m m m m− +
,
4 2
( ; 2 )C m m m m− − +
là các điểm cực trị.
+ ABC là tam giác đều khi và chỉ khi AB = AC = BC.
+ Đối chiếu điều kiện để kết luận:
3
3m =
.
Phần 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Hoành độ giao điểm của hai đường
1
( ) : ( )C y f x=
và
2
( ) : ( )C y g x=
là nghiệm của phương trình
( ) ( )f x g x=
;
Số giao điểm của

1
( )C
và
2
( )C
bằng số nghiệm của phương trình
( ) ( )f x g x=
.
II. BÀI TẬP.
Bài tập 1. Cho hàm số:
3 2
( 1) ( 2) 2, ( )y x m x m x Cm
= + − − − −
Xác định m để đường thẳng
( ) : 2d y x= −
cắt đồ thị (C
m
) tại 3 điểm phân biệt.
Gợi ý giải:
+ Phương trình hoành độ giao điểm:
3 2
( 1) ( 2) 2 2x m x m x x
+ − − − − = −
3 2 2
2
0
( 1) ( 1) 0 [ ( 1) 1] 0
( 1) 1 0 (*)
x
x m x m x x x m x m

x m x m
=

⇔ + − − − = ⇔ + − − + = ⇔

+ − − + =

+ Đặt:
2
( ) ( 1) 1g x x m x m
= + − − +
+ Đường thẳng (d) cắt đồ thị
( )
m
C
tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2
nghiệm phân biệt khác 0
2
3
3
2 3 0
1
1
(0) 1 0
1
m
m
m m
m
m

g m
m
 < −

< −

∆ = + − >



⇔ ⇔ ⇔
>
 


>
= − + ≠



≠

Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguyễn Xuân Vĩ
10
Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
Vậy, giá trị cần tìm là:
3m
< −
hoặc
1m

>
.
Bài tập 2. Cho hàm số:
3 2
(2 1) 2y x mx m x m
= − + + − −
. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm
phân biệt có hoành độ dương.
Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của những bài toán con là:
1.) Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt;
2.) Điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm dương phân biệt.
Gợi ý giải:
+ Phương trình hoành độ giao điểm:
3 2
2
1
(2 1) 2 0
( 1) 2 0, (*)
=

− + + − − = ⇔

− − + + =

x
x mx m x m
x m x m
+ Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương khi và chỉ khi phương trình
(*) có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1.

2
6 7 0 1 7
2 0 2 7
1 0 1

∆ = − − > < − ∨ >



⇔ + > ⇔ > − ⇔ >
 
 
− > >


m m m m
m m m
m m
.
Vậy, giá trị cần tìm là:
7m >
.
Bài tập 3. Cho hàm số
2 1
1
+
=
−
x
y

x
(H). Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(-2;2) và có hệ số góc m.
Xác định m để (d) cắt (H):
a.) tại 2 điểm phân biệt;
b.) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của (H).
Gợi ý giải:
+ Đường thẳng (d) đi qua điểm A(-2;2), có hệ số góc m có phương trình dạng:
2 2y mx m= + +
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (H) là:
2 1
2 2, ( 1)
1
+
= + + ≠
−
x
mx m x
x

2
(2 3) 0⇔ + − + =mx mx m
(*). Đặt:
2
( ) (2 3)= + − +g x mx mx m
a.) + (d) cắt (H) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
2
0
0
0
4

0 9 12 0 0
4
3
0
(1) 0 3 0,
3
≠

≠

≠


 
⇔ ∆ > ⇔ + > ⇔ ⇔ < − >
  
< − >
  
≠ − ≠ ∀



m
a
m
m m m hoac m
m hoac m
g m
.
+ Giá trị cần tìm là:

4
3
m < −
hoặc
0m >
.
b.) + (d) cắt (H) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của (H) khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm
1 2
,x x

thỏa mãn
1 2
1x x
< <
.
+ Đặt
1t x= −
phương trình (*) trở thành:
2
3 3 0+ − =mt mt
(**)
+ Phương trình (*) có 2 nghiệm
1 2
,x x
thỏa mãn
1 2
1x x
< <

⇔

Phương trình (**) có 2 nghiệm
1 2
,t t
thỏa mãn
1 2
0t t
< <

⇔
3
0 0m
m
− < ⇔ >
.
+ Vậy, giá trị cần tìm là:
0m
>
.
Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguyễn Xuân Vĩ
11
Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
Bài tập 4. Cho hàm số
3 2
2( 1) ( 2) 3= − + + − + +y x m x m x m
(1), m là tham số thực. Xác định m để đồ
thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
, ,x x x
sao cho
2 2 2

1 2 3
= + +
P x x x
nhỏ nhất.
Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của hai bài toán con là:
1.) Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt;
2.) Điều kiện để
2 2 2
1 2 3
= + +
P x x x
nhỏ nhất.
Gợi ý giải:
* Hàm số được viết lại:
2
( 1)[ (2 1) ( 3)]= − − + − +y x x m x m
+
2
0 ( 1)[ (2 1) ( 3)] 0= ⇔ − − + − + =y x x m x m

2
1
(2 1) ( 3) 0 (2)
=

⇔

− + − + =

x

x m x m
+ Đặt:
2
( ) (2 1) ( 3)= − + − +g x x m x m
+ Đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2
nghiệm phân biệt khác 1

2
0
4 8 13 0,
1
(1) 0
3 3 0
∆ >

+ + > ∀

⇔ ⇔ ⇔ ≠ −
 
≠
− − ≠


m m m
m
g
m
.
+ Với
1m

≠ −
, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
khác 1; Tức là, phương trình y = 0
có ba nghiệm
1 2
,x x
và
3
1
=
x
.
*
2 2 2
1 2 3
= + +
P x x x

2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 ( ) 2
= + + = + + −
x x x x x x

( )
2
1 2 1 2( 3)m m= + + + +

2
4 6 8m m= + +

2
3 23 23
(2 )
2 4 4
m= + + ≥
+ Vậy, P nhỏ nhất bằng
23
4
khi và chỉ khi
3
4
m = −
.
Bài tập 5. Cho hàm số:
3 2
m
2 ( 3) 4, (C )= + + + +y x mx m x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = -3.
b) Tìm m để đường thẳng
( ): 4y x∆ = +
cắt đồ thị
( )
m
C
tại 3 điểm phân biệt A, B,C sao cho tam
giác MBC có diện tích bằng 4, với M(1;3), điểm B và C có hoành độ khác 0.
Gợi ý giải:

a) (Học sinh tự giải)
b) + Phương trình hoành độ giao điểm:

3 2 3 2
2 ( 3) 4 4 2 ( 2) 0+ + + + = + ⇔ + + + =x mx m x x x mx m x
2
0
2 2 0 (*)
=

⇔

+ + + =

x
x mx m
+
( )∆
cắt
( )
m
C
tại A, B, C
⇔
Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.

2
1 2
' 2 0
2

2 0
m m
m m
m
m
< − ∨ >

∆ = − − >

⇔ ⇔
 
≠ −
+ ≠


+ Với điều kiện trên, phương trình (*) luôn có 2 nghiệm
1 2
,x x
. Gọi
1 1 2 2
( ; 4), ( ; 4)B x x C x x+ +
2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
( ) ( ) 2[( ) 4 ] 2(4 4 8) 2 2( 2)BC x x x x x x x x m m m m⇒ = − + − = + − = − − = − −
+ Chiều cao của
MBC
∆
hạ từ đỉnh M đến BC là:
1 3 4
2

( ,( )) 2
2 2
h d M
− +
= ∆ = = =
Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguyễn Xuân Vĩ
12
Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
+
2 2 2
2
1
4 . 2.2 2( 2) 4 2 2 6 0
3
2
MBC
m
S m m m m m m
m
∆
= −

= ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔

=

+ Đối chiếu điều kiện, ta được kết quả:
3m
=
.

Bài tập 6. Cho hàm số
2 2
1
x
y
x
−
=
+
(C). Xác định m để đường thẳng (d): y = 2x +m cắt đồ thị (C) tại
hai điểm phân biệt A, B sao cho
5=AB
.
Gợi ý giải:
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): 2x
2
+ mx + m + 2 = 0, (x ≠ -1)
+ Đặt: g(x) = 2x
2
+ mx + m + 2
+ (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt ⇔ Phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1

0
( 1) 0g
∆ >

⇔

− ≠


⇔ m
2
- 8m - 16 > 0 (*)
+ Gọi A(x
1
; 2x
1
+ m), B(x
2
; 2x
2
+ m). Ta có x
1
, x
2
là 2 nghiệm của phương trình g(x) = 0.
Theo ĐL Vi-ét, ta có:
1 2
1 2
2
2
2
m
x x
m
x x

+ = −




+

=


.
AB
2
= 5 ⇔
2 2
1 2 1 2
( ) 4( ) 5x x x x− + − =
⇔
2
1 2 1 2
( ) 4 1xx x x+ − =
⇔ m
2
- 8m - 20 = 0
⇔ m = 10, m = - 2 (thỏa mãn (*))
Đối chiếu điều kiện (*), ta có kết quả: m = 10, m = - 2.
Bài tập 7. Cho hàm số
2
1
−
=
−
x
y

x
(H). Xác định m để đường thẳng (d): y = x + m cắt đồ thị hàm số
(H) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
2 2
32+ =OA OB
.
Gợi ý giải:
+ Phương trình hoành độ giao điểm:
2
, ( 1)
1
−
= + ≠
−
x
x m x
x
2
2 ( )( 1) (2 ) ( 2) 0
⇔ − = + − ⇔ − − − − =
x x m x x m x m
(*)
+ Đặt:
2
( ) (2 ) ( 2)
= − − − −
g x x m x m
+ (d) cắt (H) tại 2 điểm phân biệt ⇔ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

2

0 2
4 0
(1) 0 2
1 0,
∆ > < −

− >
 
⇔ ⇔ ⇔
 

≠ >
≠ ∀
 

m
m
g m
m
+ Với điều kiện trên, phương trình (*) luôn có hai nghiệm
1 2
,x x
. Gọi A, B là hai giao điểm của
(d) và (H), ta có:
1 1 2 2
( ; ), ( ; )A x x m B x x m+ +
2 2 2 2 2
1 1 1 1
( ) 2 2OA x x m x x m m= + + = + +
2 2 2 2 2

2 2 2 2
( ) 2 2OB x x m x x m m= + + = + +
2 2
32OA OB⇒ + =

2 2 2
1 2 1 2
2( ) 2( ) 2 32
⇔ + + + + =
x x x x m m
2 2 2
1 2 1 2
( ) ( ) 16
⇔ + + + + =
x x x x m m
2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2 ( ) 16
⇔ + − + + + =
x x x x x x m m
(Áp dụng định lý Vi-ét vào phương trình (*))
2 2
(2 ) 2( 2) (2 ) 16
⇔ − − − + − + =
m m m m m
2
16 4
⇔ = ⇔ = ±
m m
+ Đối chiếu điều kiện, ta được kết quả:

4m = ±
Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguyễn Xuân Vĩ
13
Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
Bài tập 8. Cho hàm số
4 2
2 2y x x= − +
. Xác định m để đường thẳng
y m=
cắt (C) tại 4 điểm A, B, C,
D sao cho hoành độ của chúng lập thành một cấp số cộng.
Gợi ý giải:
+ Gọi
0C
x x=
.
+ Do đồ thị (C) nhận trục tung làm trục đối xứng nên
0B
x x= −
Và vì
, , ,
A B C D
x x x x
lập thành CSC nên
0
3
A
x x= −
và
0

3
D
x x=
+ Vì
, ( )C D C∈
nên:

4 2 4 2
4 2
0 0 0 0
0 0
4 2 4 2
0 0 0 0
2 2 2 2
80 16 0
(3 ) 2(3 ) 2 81 18 2
x x m x x m
x x
x x m x x m
 
− + = − + =
⇔ ⇒ − =
 
− + = − + =
 
0
2 2
0 0
0
0

(5 1) 0
1
5
x
x x
x
=


⇔ − = ⇔

= ±


x
y
1
-1
O
1
2
A
B
C
D
x
A
x
B
x

C
x
D
+ Với
0
1
5
x = ±
ta có:
41
25
m =
là giá trị cần tìm.
Bài tập 9. Cho hàm số y =
2x 1
x 1
+
+
Tìm m để đường thẳng (d): y = -2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
3
(O là gốc tọa độ).
Gợi ý giải:
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d) là:
( ) ( )
2
2 1
2 2 4 ( 1) 0, ( 1) *
1
+

= − + ⇔ − − − − = ≠ −
+
x
x m x m x m x
x

+ Đặt:
( )
2
( ) 2 4 ( 1)= − − − −g x x m x m
+ Đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2
nghiệm phân biệt khác -1
2
0
8 0
( )
( 1) 0
1 0
∆ >

+ >

⇔ ⇔ ∀
 
− ≠
− ≠


m
m

g
Suy ra, với mọi m phương trình (*) luôn có hai nghiệm
1 2
,x x
nên đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (C)
tại hai điểm phân biệt .
Cách 1:
+ Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (C), ta có:
1 1 2 2
( ; 2 ), ( ; 2 )A x x m B x x m− + − +

2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
( ) 4( ) 5( ) 5[( ) 4 ]AB x x x x x x x x x x⇒ = − + − = − = + −

2
2 2
2
4 1 8 16 8 1
5 4. 5 2 2 5 5( 8)
2 2 4 4 2
m m m m m
m m
 
   
− − − + +
 
= + = + − = = +
 
 ÷  ÷

 ÷
 
 
   
 
+ Chiều cao hạ từ đỉnh O đến AB là:
( ; )
5
m
h d O d= =
+
2
1 1
3 . . 5( 8) 3
2 2
5
OAB
m
S m
∆
= ⇔ + =
2
2
2 2 4 2
2
4
8 3 .( 8) 3 8 48 0 2
4 16
12
m

m
m
m m m m m
m

=
⇔ + = ⇔ + = ⇔ + − = ⇔ ⇔ = ±

= −

Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguyễn Xuân Vĩ
14
(loại, vì khi đó B trùng với C)
Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
+ Vậy, giá trị cần tìm là:
2m
= ±
.
 Giáo viên hướng dẫn cách chứng minh công thức
1
2
∆
= −
OAB A B B A
S x y x y
:
Ta có:
1
1 1
. .

2 2
A A A A
S x y x y= =

2
1
. .
2
B B B B
S x y x y= = −
3
1 1 1
. ( ).( ) ( )
2 2 2
A B B A A B B A A B A A B B B A
S x x y y x x y y x y x y x y x y
= − − = − − = − − +

S
2
y
x
S
3
S
1
O
1
B
A

y
B
x
B
x
A
y
A
1 2 3
1
. ( ) ( ). ( . . . . . . )
2
OAB A B B A B B A A B B A B A A B B B A
S x x y S S S x x y x y x y x y x y x y x y
∆
⇒ = − − + + = − − − + − − +

1
(2 2 . . . . . . )
2
A B B B A A B B A B A A B B B A
x y x y x y x y x y x y x y x y
= − − + − + + −

1
( )
2
A B B A
x y x y
= −

Tổng quát:
1
. .
2
OAB A B B A
S x y x y
∆
= −
Cách 2. Ta có:
( ) ( )
2 2 2 3
1
3 3
2
∆
⇔ − + − − += ⇔ =− =
A B B AOAB A B B A
x xS m xx x my x y
( ) ( )
2
2
2 3 12
A B A B
m x x m x x⇔ − = ⇔ − =
2
2 4 2
8
. 12 8 48 0 2
4
+

⇔ = ⇔ + − = ⇔ = ±
m
m m m m
Giáo viên lưu ý: Học sinh thường mắc sai lầm
1
.
2
∆
=
OAB
S OAOB
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Cho hàm số y = x
3
− 6x
2
+ 9x − 1 (C)
a) Khảo sát hàm số.
b) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(2; 1) và có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ
thị (C) tại 3 điểm phân biệt.
Bài 2. Cho hàm số
)5(2)75()21(2
23
++−+−+= mxmxmxy
. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục
Ox tại 3 điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.
Bài 3. (ĐH 2010-A) Cho hàm số y =
3 2
2 (1 )y x x m x m= − + − +
(1), m là tham số thực.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
; ;x x x
thoả
mãn điều kiện
2 2 2
1 2 3
4x x x
+ + <
Bài 4. Cho hàm số
x
y (H)
x 1
=
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H)
b) Xác định m để đường thẳng: y = -x + m cắt (H) tại 2 điểm phân biệt.
Bài 5. Cho hàm số
)1()1(33
2223
−−−+−= mxmmxxy
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
b) Tìm m để hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.
Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguyễn Xuân Vĩ
15
Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
Bài 6. Tìm m để đồ thị hàm số
mmxmmmxxy −+−+−=
223

9)4(23
cắt trục Ox tại 3 điểm tạo thành
1 cấp số cộng.
Bài 7. Tìm m để hàm số
8)45()13(
23
−+++−= xmxmxy
cắt trục Ox tại 3 điểm lập thành cấp số
nhân.
Bài 8. Tìm m để hàm số
12)1(2
24
+++−= mxmxy
cắt Ox tại 4 điểm tạo thành cấp số cộng.
Bài 9. Cho hàm số:
= + + + +
3 2
2 ( 3) 4y x mx m x
(C
m
)
a.) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
b.) Xác định m để đường thẳng
( ) : 4d y x= +
cắt đồ thị (C
m
) tại 3 điểm phân biệt A(0;4), B và C
sao cho tam giác BCM có diện tích bằng
8 2
, với M(1;3)?

Bài 10. Cho hàm số: y =
2 1
1
x
x
−
+
(C)
a) Khảo sát hàm số.
b) Gọi d là đường thẳng đi qua I(2; 0) và có hệ số góc m. Xác định m để d cắt đồ thị (C) tại 2
điểm phân biệt A và B sao cho I là trung điểm của đoạn AB. Đáp số: m = 2/3
Bài 11. Cho hàm số
)(
1
12
H
x
x
y
−
+
=
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H)
b) Viết phương trình đường thẳng cắt (H) tại B, C sao cho B, C cùng với điểm
)5;2(
−
A
tạo thành
tam giác đều.
Phần 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN VÀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN

I. BÀI TẬP:
Bài tập 1. Cho hàm số
1
3
+−−= mmxxy
(Cm). Xác định m để tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm)
với trục Oy chắn trên hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8.
Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của các bài toán con là:
1.) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung;
2.) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại một điểm;
3.) Tìm giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ;
4.) Xác định m để diện tích tam giác bằng 8.
Gợi ý giải:
+ Gọi B là giao điểm của (C
m
) với trục Oy, ta có:
(0; 1)B m− +
+ Phương trình tiếp tuyến với (C
m
) tại B:
2
' 3 '(0)y x m y m= − ⇒ = −
là hệ số góc
Phương trình tiếp tuyến là:
( 0) 1y m x m= − − − +
hay
1y mx m= − − +
+ Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến với trục Ox, ta có:
1
( ;0)

m
A
m
−
.
+ Ta có:
1 m
OA
m
−
=
và
1OB m= −
+ Diện tích:
1
8 . 8
2
OAB
S OA OB
∆
= ⇔ =

1
.1 16
m
m
m
−
⇔ − =

2
(1 ) 16.m m⇔ − =
Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguyễn Xuân Vĩ
16
Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số

2 2
2 2
0 0
(1 ) 16 18 1 0
9 80
0 0
7 48
(1 ) 16 14 1 0
m m
m m m m
m
m m
m
m m m m
 ≥ ≥
 
 
 

− = − + =
= ±
 
 
⇔ ⇔ ⇔


 
< <
 
= − ±


 
 
 
− = − + + =
 
 
+ Vậy, giá trị cần tìm là:
9 80m = ±
hoặc
7 48m = − ±
.
Bài tập 2. Cho hàm số
)(
1
2
H
x
x
y
+
=
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến tại M của (H) cắt 2 trục Ox, Oy tại A, B sao

cho tam giác OAB có diện tích bằng
4
1
.
Gợi ý giải:
a) (Học sinh tự giải)
b) + Giả sử
2
( ; ) ( )
1
m
M m H
m
∈
+
, gọi (d) là tiếp tuyến với (H) tại M.
+
( )
2 2
2 2
' '
( 1) ( 1)
m
y y k
x m
= ⇒ = =
+ +
là hệ số góc của tiếp tuyến
2
2 2

( ): ( )
( 1) 1
m
d y x m
m m
⇒ = − +
+ +
hay
2
2 2
2 2
( 1) ( 1)
m
y x
m m
= +
+ +
+ (d) cắt Ox, Oy lần lượt tại
2
( ;0)A m−
và
2
2
2
(0; )
( 1)
m
B
m +
2

2
2
2
,
( 1)
m
OA m OB
m
⇒ = =
+
+ Diện tích:
1 1 1
.
4 2 4
OAB
S OA OB
∆
= ⇔ =

2
2
2
1 2 1
.
2 ( 1) 4
m
m
m
⇔ =
+

4 2 2 2
4 ( 1) (2 1)(2 1) 0m m m m m m⇔ = + ⇔ + + − − =
2
2
1
2 1 0 ( )
1
2 1 0
2
m
m m VN
m
m m
=


+ + =

⇔ ⇔


= −
− − =


+ Vậy, có hai điểm M cần tìm có tọa độ: (1; 1),
1
( ; 2)
2

− −
.
Bài tập 3. Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
+ 1 có đồ thị (C
m
).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = -3.
b) Tìm m để (C
m
) cắt (d): y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của
(C
m
) tại B và C vuông góc với nhau.
Gợi ý giải:
+ Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C
m
) là:
x
3
+ mx
2
+ 1 = – x +1
⇔
x(x
2
+ mx + 1) = 0 (*)
+ Đặt g(x) = x

2
+ mx + 1.
+ (d) cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt
⇔
g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0.
Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguyễn Xuân Vĩ
17
Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
( )
2
4 0 2
2
0 1 0,

∆ = − > >


⇔ ⇔


< −
= ≠ ∀



g m m
m
g m

.
Vì x
B
, x
C
là nghiệm của g(x) = 0
1
B C
B C
S x x m
P x x
= + = −

⇒

= =

.
+ y’ = 3x
2
+2 mx = x(3x + 2m)
+ Tiếp tuyến của (C
m
) tại B và C vuông góc với nhau nên ta có:
( )
( )
' . ' 1= −
C B
y x y x
( )

( )
3 2 3 2 1
B C B C
x x x m x m⇔ + + = −

( )
2
9 6 4 1
B C B C B C
x x x x m x x m
 
⇔ + + + = −
 
( )
2
1. 9 6 4 1
 
⇔ + − + = −
 
m m m

2
2 10m
⇔ =
5m
⇔ = ±

+ Đối chiếu với điều kiện, ta được kết quả:
5
= ±

m
.
Bài tập 4. Cho hàm số
)(
1
23
H
x
x
y
−
−
=
và M là điểm bất kỳ thuộc (H).
a) Tiếp tuyến tại điểm M cắt hai đường tiệm cận tại A, B. Chứng minh rằng M là trung điểm của
đoạn AB.
b) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận. Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi.
c) Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
Gợi ý giải:
a) + Giả sử
3 2
( ; ) ( )
1
m
M m H
m
−
∈
−
, gọi (d) là tiếp tuyến với (H) tại M.

+
( )
2 2
1 1
' '
( 1) ( 1)
m
y y k
x m
− −
= ⇒ = =
− −
là hệ số góc của tiếp tuyến
2
1 3 2
( ): ( )
( 1) 1
m
d y x m
m m
− −
⇒ = − +
− −
hay
2
2 2
1 3 4 2
( 1) ( 1)
m m
y x

m m
− − +
= +
− −
+ Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d) với tiệm cận đứng và tiệm cận ngang, ta có:
2
2
3 4 1
(1; ), (2 1;3)
( 1)
m m
A B m
m
− +
−
−
Suy ra, trung điểm của AB có tọa độ:
3 2
( ; )
1
m
m
m
−
−
đây chính là tọa độ của M.
b) + Giao điểm của hai đường tiệm cận là: I(1;3)
+
2 2
(0; )

1 1
IA IA
m m
= ⇒ =
− −
uur

(2 2;0) 2 1IB m IB m= − ⇒ = −
uur
+ Diện tích:
1 1 2
. . .2 1 2
2 2 1
IAB
S IA IB m
m
∆
= = − =
−
là hằng số.
c) + Chu vi:
IAB
C IA IB AB
∆
= + +
+
2
2 2
2 2 2 1
(2 2; ) (2 2; ) 2 ( 1)

( 1) 1 ( 1)
m
AB m m AB m
m m m
− + −
= − = − ⇒ = − +
− − −
uuur
2
2
2 1
2 1 2 ( 1)
1 ( 1)
IAB
C m m
m m
∆
⇒ = + − + − +
− −
+ Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguyễn Xuân Vĩ
18
Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
2
2
2
2 1 4
1
4 2 2
1

2 ( 1) 2 2
( 1)
IAB
m
m
C
m
m
∆

+ − ≥

−

⇒ ≥ +


− + ≥

−

+
2
2
1
1
1
0 (0;2)
min 4 2 2
2 (2;4)

1
( 1)
( 1)
IAB
m
m
m M
C
m M
m
m
∆

= −

−
= ⇒


= + ⇔ ⇔


= ⇒


− =

−

+ Vậy, có hai vị trí của M cần tìm có tọa độ: (0;2), (2;4).

Bài tập 5. Cho hàm số
2 3
2
x
y
x
+
=
+
(H). Tìm những điểm M thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại M cắt
hai tiệm cận tại A, B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có bán kính nhỏ nhất, với I là giao
điểm của hai đường tiệm cận.
Gợi ý giải:
+ Giao điểm của hai đường tiệm cậnlà: I(-2;2).
+ Giả sử
2 3
( ; ) ( )
2
m
M m H
m
+
∈
+
, gọi (d) là tiếp tuyến với (H) tại M.
+
( )
2 2
1 1
' '

( 2) ( 2)
m
y y k
x m
= ⇒ = =
+ +
là hệ số góc của tiếp tuyến
2
1 2 3
( ): ( )
( 2) 2
m
d y x m
m m
+
⇒ = − +
+ +
hay
2
2 2
1 2 6 6
( 2) ( 2)
m m
y x
m m
+ +
= +
+ +
+ Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d) với tiệm cận đứng và tiệm cận ngang, ta có:
2( 1)

( 2; ), (2 2;2)
2
m
A B m
m
+
− +
+
+ Vì
IAB∆
vuông tại I nên bán kính đường tròn ngoại tiếp
IAB∆
là:
2
2 2 2
2 2
1 1 2 1 4 1
(2 4) 4( 2) ( 2)
2 2 2 2 ( 2) ( 2)
R AB m m m
m m m
 
= = + + = + + = + +
 ÷
+ + +
 
+ Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:
2
2
1

( 2) 2 2
( 2)
m R
m
+ + ≥ ⇒ ≥
+
2 4 2 2
min
2
1
2 ( 2) ( 2) 1 [( 2) 1].[( 2) 1]=0
( 2)
R m m m m
m
= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + − + +
+
2 2
1 ( 1;1)
( 2) 1=0 4 3 0
3 ( 3;3)
m M
m m m
m M
= − ⇒ −

⇔ + − ⇔ + + = ⇔

= − ⇒ −

+ Vậy, có hai điểm M cần tìm có tọa độ:

( 1;1), ( 3;3)− −
.
Bài tập 6. Cho hàm số
2
1x
y
x
+
=
. Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ để từ đó có thể kẻ
đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc.
Gợi ý giải:
+ Gọi M(x
0
; y
0
). Đường thẳng d đi qua M, có hệ số góc k có phương trình là: y = k(x – x
0
) + y
0
.
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
( )
( )
2
0 0
1
, 0
x
k x x y kx

x
+
= − + ≠
( )
( )
( )
2
0 0
1 1 0 *k x y kx x⇔ − − − + =
Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguyễn Xuân Vĩ
19
Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
+ (d) tiếp xúc với (C):
( )
( )
2
0 0
1
4 1 0
k
y kx k
≠


⇔

∆ = − − − =


( )

( )
2 2 2
0 0 0 0
0 0
1
2 2 4 0 I
k
x k x y k y
y kx
≠


⇔ + − + − =


≠

+ Từ M vẽ hai tiếp tuyến đến (C) vuông góc với nhau khi (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:
1 2
1 2
, 1
1
k k
k k
≠


= −


( )
0
2
0
2
0
2
0 0
0
4
1
0
x
y
x
y x

≠


−

⇔ = −



− ≠


0

2 2
0 0
0 0
0
4
x
x y
y x
≠


⇔ + =


≠

.
Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là một đường tròn:
2 2
4x y+ =
loại bỏ bốn giao
điểm của đường tròn với hai đường tiệm cận.
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Cho hàm số
13
23
+++= mxxxy
(Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0
b) Tìm m để đường thẳng y=1 cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D, E và các tiếp tuyến tại D

và E của (Cm) vuông góc với nhau.
Bài 2. Cho hàm số
xxy 3
3
−=
(C) và đường thẳng y = m(x+1)+2 (d)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (C) tại một điểm cố định A. Tìm m để đường
thẳng (d) cắt (C) tại 3 điểm A, M, N mà tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau.
Bài 3. Cho hàm số
)(
1
12
H
x
x
y
−
−
=
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (H). Tìm điểm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến
của (H) tại M vuông góc với đường thẳng IM.
Hướng dẫn:
+ Giao điểm của hai đường tiệm cận là: I(1;2).
+ Gọi
0
0
0
2 1

( ; ) ( )
1
x
M x H
x
−
∈
−
, đường thẳng IM có phương trình:
2
0 0
2 2
0 0
2 4 1
1
( 1) ( 1)
x x
y x
x x
− +
= +
− −
.
+
0
( )
2 2
0
1 1
' '

( 1) ( 1)
x
y y
x x
− −
= ⇒ =
− −
là hệ số góc của tiếp tuyến tại M.
+ Tiếp tuyến của (H) tại M vuông góc với đường thẳng IM khi và chỉ khi:
4
0
2 2
0 0
1 1
. 1 ( 1) 1
( 1) ( 1)
x
x x
−
= − ⇔ − =
− −
+ Giải ra được:
0 0
0, 2x x= =
; Suy ra có hai điểm M thỏa mãn: (0;1), (2; 3).
Phần 4: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH.
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Công thức về khoảng cách:
+ Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng):
( ) ( )

2 2
B A B A
AB x x y y= − + −
.
+ Khoảng cách từ điểm M(x
0
;y
0
) đến đường thẳng
( ): 0∆ + + =Ax By C
là:
( )
0 0
2 2
,.
Ax By C
d M
A B
+ +
∆ =
+
Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguyễn Xuân Vĩ
20
Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
II. BÀI TẬP:
Bài tập 1. Cho hàm số
1
1
mx
y

x
−
=
+
(C) và đường thẳng (d): y = x - 1. Xác định m để đường thẳng
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho A và B cách đều đường thẳng
( )∆
: x +2y -3 = 0.
Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của hai bài toán con là:
1.) Xác định điều kiện để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt;
2.) Tìm điều kiện để hai điểm cách đều đường thẳng.
Gợi ý giải:
* Phương trình hoành độ giao điểm:
1
1, ( 1)
1
−
= − ≠ −
+
mx
x x
x

1 ( 1)( 1)⇔ − = − +mx x x

2
0
0
=


⇔ − = ⇔

=

x
x mx
x m
+ Suy ra, đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi
0m ≠
và
1m ≠ −
.
* Gọi
(0; 1)A −
,
( ; 1)B m m −
là hai giao điểm.
+ A và B cách đều đường thẳng
( )∆
: x +2y -3 = 0

( ,( )) ( ,( ))d A d B⇔ ∆ = ∆

2 2 2 2
0 2.( 1) 3 2( 1) 3
1 2 1 2
m m+ − − + − −
⇔ =
+ +

10
3 5 5
5 3 5
3
3 5 5
0
m
m
m
m
m

− =
=


⇔ = − ⇔ ⇔


− = −

=

+ Đối chiếu điều kiện, ta được kết quả:
10
3
m =
.
Bài tập 2. Cho hàm số
2

12
+
+
=
x
x
y
(H). Xác định m để đường thẳng (d): y = -x + m cắt đồ thị (H) tại
hai điểm A, B mà độ dài AB nhỏ nhất.
Gợi ý giải:
+ Phương trình hoành độ giao điểm:
2 1
, ( 2)
2
+
= − + ≠ −
+
x
x m x
x

2
( 4) (2 1) 0⇔ − − − − =x m x m
(*). Đặt:
2
( ) ( 4) (2 1)= − − − −g x x m x m
+ Đường thẳng (d) cắt (H) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình (*) có hai
nghiệm phân biệt khác -2
2
0

12 0
( )
( 2) 0
3 0
m
m
g
∆ >

+ >

⇔ ⇔ ∀
 
− ≠
− ≠


+ Với mọi giá trị của m đường thẳng (d) luôn cắt (H) tại hai điểm là:
1 1 2 2
( ; ), B( ; )A x x m x x m
− + − +
2 1 1 2
( ; )AB x x x x
⇒ = − −
uuur
2 2 2 2
2 1 1 2 1 2 1 2 1 1
( ) ( ) 2( ) 2[( ) 4 ]AB x x x x x x x x x x
⇒ = − + − = − = + −

2 2
2[( 4) 4(2 1) 2( 12) 24m m m
= − + − = + ≥
+
min
24 0AB m= ⇔ =
.
+ Đối chiếu với điều kiện, ta có kết quả:
0m =
.
Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguyễn Xuân Vĩ
21
Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
Bài tập 3. Cho hàm số:
2
1
1
x mx
y
x
+ −
=
−
. Xác định m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số cắt các trục
tọa độ theo một tam giác có diện tích bằng 32 (đvdt).
Gợi ý giải:
+
2
1
1

1 1
x mx m
y y x m
x x
+ −
= ⇔ = + + +
− −
+ Tiệm cận xiên (TCX) có phương trình:
1y x m= + +
+ Gọi A là giao điểm của TCX với trục Ox:
0 1 ( 1;0)y x m A m= ⇒ = − − ⇒ − −
và B là giao điểm của TCX với trục Oy:
0 1 (0; 1)x y m B m= ⇒ = + ⇒ +
Suy ra, diện tích tam giác OAB là:
2
1 1 1
. 1. 1 1
2 2 2
S OAOB m m m= = − − + = +
Suy ra:
2 2
1 8 7
1
1 32 1 64 1 8
1 8 9
2
m m
m m m
m m
+ = =

 
+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ ⇔
 
+ = − = −
 
Bài tập 4. Cho hàm số:
2
6 9
2
x x
y
x
− + −
=
−
. Chứng minh rằng: Tích các khoảng cách từ điểm
( ; )M x y
bất kỳ trên đồ thị hàm số đến các đường tiệm cận là một hằng số.
Gợi ý giải:
+
2
6 9 1
4
2 2
x x
y y x
x x
− + −
= ⇔ = − + −
− −

+ TCĐ: x = 2, TCX:
4 4 0y x x y= − + ⇔ + − =
+ Khoảng cách từ điểm M đến TCĐ là:
1
2d x= −
Khoảng cách từ điểm M đến TCX là:
2
4
1 1
x y
d
+ −
=
+
, vì
1
4
2
y x
x
= − + −
−
nên
2
1 1 1 1
. .
2 2
2 2
d
x x

= − =
− −
Suy ra:
1 2
1 1 1
. 2 . .
2
2 2
d d x
x
= − =
−
là hằng số.
Bài tập 5. Cho hàm số
( )
2 2
:
1
+
=
−
x
H y
x
. Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (H) có tổng khoảng cách đến
hai tiệm cận là nhỏ nhất.
Gợi ý giải:
+ TCĐ: x = 1, TCN:
2=y
+ Khoảng cách từ điểm

( ; ) ( )M x y H∈
đến TCĐ là:
1
1= −d x
Khoảng cách từ điểm M đến TCN là:
2
2= −d y
, vì
4
2
1
= +
−
y
x
nên
2
4 4
1 1
= =
− −
d
x x
Suy ra, tổng khoảng cách :
1 2
4
1 4
1
= + = − + ≥
−

d d d x
x

+
4
4 1
1
min
d x
x
= ⇔ − =
−

2
3 4
( 1) 4
1 0
x y
x
x y
= ⇒ =

⇔ − = ⇔

= − ⇒ =

+ Vậy, có hai điểm cần tìm:
( ) ( )
3;4 , 1;0−
Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguyễn Xuân Vĩ

22
Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
Bài tập 6. Cho hàm số
( )
2
1
:
1
− +
=
−
x x
H y
x
. Tìm các điểm M thuộc (H) có tổng khoảng cách đến 2 tiệm
cận là nhỏ nhất.
Gợi ý giải:
+
2
1 1
1 1
− +
= ⇔ = +
− −
x x
y y x
x x
+ TCĐ: x = 1, TCX:
0= ⇔ − =y x x y
+ Khoảng cách từ điểm

( ; ) ( )M x y H∈
đến TCĐ là:
1
1= −d x
Khoảng cách từ điểm M đến TCX là:
2
1 1
−
=
+
x y
d
, vì
1
1
= +
−
y x
x
nên
2
1 1 1 1
. .
1 1
2 2
= − =
− −
d
x x
Suy ra, tổng khoảng cách :

1 2
1 1 1
1 . 2
1
2 2
= + = − + ≥
−
d d d x
x

+
1 1 1
2 1 .
1
2 2
min
d x
x
= ⇔ − =
−

4
4 4
2 4
4
4 4
1 1
1 1 2
2 2
2( 1) 1 2( 1) 1

1 1
1 1 2
2 2
x y
x x
x y

= + ⇒ = + +


⇔ − = ⇔ − = ⇔

= − ⇒ = − −


+ Vậy, có hai điểm cần tìm:
4 4
4 4 4 4
1 1 1 1
1 ;1 2 , 1 ;1 2
2 2 2 2
   
+ + + − − −
 ÷  ÷
   
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Tìm M thuộc (C):
2
53
−

−
=
x
x
y
để tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) nhỏ nhất.
Bài 2. Cho hàm số
( )
2 2
:
1
x
C y
x
+
=
−
. Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho
đoạn MN nhỏ nhất.
Bài 3. Cho hàm số:
2
( 1) 1
1
x m x m
y
x
− − − +
=
+
. Xác định m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số cắt các

trục tọa độ theo một tam giác có diện tích bằng 18 (đvdt). ĐS:
6m
= ±
.
Bài 4. (ĐH Khối−A 2005) Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số:
1
y mx
x
= +
(*) (với m là tham số)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m =
1
4
.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C
m
) đến tiệm cận
xiên bằng
1
2
. ĐS: m=1.
Bài 5. Tìm trên đồ thị hàm số
1
22
2
−
−+
=

x
xx
y
điểm M sao cho MI nhỏ nhất với I là giao điểm 2
đường tiệm cận.
ĐS: Có hai điểm cần tìm là
4 4
4 4 4 4
1 1 1 1
1 ;4 2 , 1 ;4 2
2 2 2 2
   
+ + + − − −
 ÷  ÷
   
Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguyễn Xuân Vĩ
23
Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
E- ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
1. Sau khi thực hiện chuyên đề, đã tiến hành kiểm tra ở 3 lớp 12:
KIỂM TRA 45 PHÚT (Năm học 2010 - 2011)
ĐỀ BÀI: Cho hàm số
2 3
2
x
y
x
+
=
+

có đồ thị (H).
a.) Xác định m để đường thẳng
( ) :d y x m= +
cắt đồ thị (H) tại hai điểm phân biệt. (3,0 điểm)
b.) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) tại giao điểm của (H) với trục tung. (3,0 điểm)
c.) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tìm những điểm M thuộc đồ thị (H) thỏa mãn tiếp
tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có bán kính nhỏ
nhất. (4,0 điểm)
ĐÁP SỐ:
a.)
2m <
hoặc
6m >
.
b.)
1 3
4 2
y x= +
.
c.) + Giao điểm của hai đường tiệm cận là: I(-2;2).
+ Gọi (d) là tiếp tuyến với (H) tại
2 3
( ; ) ( )
2
m
M m H
m
+
∈
+

. Khi đó (d):
2
2 2
1 2 6 6
( 2) ( 2)
m m
y x
m m
+ +
= +
+ +
+ Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d) với TCĐ và TCN, ta có:
2( 1)
( 2; ), (2 2;2)
2
m
A B m
m
+
− +
+
+ Vì
IAB∆
vuông tại I nên bán kính đường tròn ngoại tiếp
IAB∆
là:
2
2 2 2
2 2
1 1 2 1 4 1

(2 4) 4( 2) ( 2)
2 2 2 2 ( 2) ( 2)
R AB m m m
m m m
 
= = + + = + + = + +
 ÷
+ + +
 
+ Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:
2
2
1
( 2) 2 2
( 2)
m R
m
+ + ≥ ⇒ ≥
+
2
min
2
1
2 ( 2)
( 2)
R m
m
= ⇔ + =
+
, giải ra được m = -1 hoặc m = -3

+ Vậy, có hai điểm M cần tìm có tọa độ:
( 1;1), ( 3;3)− −
.
2. Kết quả thu được trong bảng sau:
1. Lớp 12A1: Sĩ số 36
Điểm 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Số lượng 5 6 6 4 4 4 3 2 1 1 0
2. Lớp 12A2: Sĩ số 44
Điểm 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Số lượng 7 5 6 5 7 5 4 3 2 0 0
3. Lớp 12A5: Sĩ số 35
Điểm 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Số lượng 2 5 6 4 5 5 3 3 1 1 0
Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguyễn Xuân Vĩ
24
Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số
F- KẾT LUẬN:
Đây là một chuyên đề khó, kiến thức rộng và sâu, liên quan đến nhiều mạch kiến thức, để làm
được từng dạng bài toán đòi hỏi học sinh phải thực hiện nhiều bước, áp dụng nhiều thao tác. Tôi
nhận thấy ban đầu các em có nhiều lúng túng, nhưng dần dần các em tiếp xúc với phương pháp phân
rã một bài toán thành nhiều bài toán con đơn giản. Từ đó các em hình thành được thói quen tư duy
và phương pháp giải cho những dạng toán khác. Củng cố được niềm tin và chủ động tìm tòi kiến
thức mới lạ trong quá trình học tập của mình.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong việc chọn lọc kiến thức, nội dung và hình thức trình bày,
nhưng chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót ngoài ý muốn. Mong nhận được những ý kiến
đóng góp chân thành của quý thầy cô giáo và các bạn.
Xin chân thành cảm ơn !
Ninh Sơn, tháng 05 năm 2011.
Người viết
Nguyễn Xuân Vĩ

&
Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguyễn Xuân Vĩ
25