BÀI TẬP ĐẠO HÀM CÓ HƯỚNG DẪN GỢI Ý doc

BÀI TẬP ĐẠO HÀM
Bài 1: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số: y =
2x 1

tại x
0
=
5
Giải: Tập xác định D =
1
x : x
2
 

 
 

 Với

x là số gia của x
0
= 5 sao cho 5+

x


thì


y =

2(5 x) 1
  
-
10 1


 Ta có:
y
x


=
9 2 x 9
x
  

Khi đó: y’(5)=
x 0
y
lim
x
 


=




 

x 0
9 2 x 3 9 2 x 3
lim
x 9 2 x 3
 
     
   

 =
 
x 0
9 2 x 9
lim
x 9 2 x 3
 
  
   
=
 
x 0
2
lim
9 2 x 3
 
  
=
1
3

Bài 2 : Chứng minh hàm số

x
y
x 1


liên tục tại x
0
= 0, nhưng không có
đạo hàm tại điểm đó.
HD: Chú ý định nghĩa:
x
=
x
,neáu x 0
-x ,neáu x<0





Cho x
0
= 0 một số gia

x

y = f(x
0
+


x) –f(x
0
) = f(

x) –f(0) =
x
x 1

 

y
x


=
 
x
x x 1

  

 Khi

x

0
+
( thì

x > 0) Ta có:

x 0
y
lim
x

 


=
 
x 0
x
lim
x x 1

 

  
=
 
x 0
1
lim
x 1

 
 
=1
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) =
2

x ,
,

 


neáu x 0
x neáu x<0

a) Cm rằng hàm số liên tục tại x = 0b) Hàm số này có đạo hàm tại điểm
x = 0 hay không ? Tại sao?
Bài 4: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) =
2
(x 1) ,n
,n

 




2
eáu x 0
-x eáu x<0
không có
đạo hàm tại x = 0. Tại x = 2 hàm số đó có đạo hàm hay không ?
Bài 5: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) =
2
(x 1) ,
,

2
neáu x 0
(x+1) neáu x<0

 




không có
đạo hàm tại x
0
= 0, nhưng liên tục tại đó.
HD:a) f(0) = (0-1)
2
= 1;
x 0
y
lim
x

 


= -2;
x 0
y
lim
x


 


= 2

x 0
y
lim
x

 



x 0
y
lim
x

 





hàm số không có đạo hàm tại x
0
= 0
b) Vì
x 0

lim f(x)

 
=1;
x 0
lim f(x)

 
=1; f(0) = 1

x 0
lim f(x)

 
=
x 0
lim f(x)

 
= f(0) = 1

hàm số liên tục tại x
0
= 0
Bài 6: Cho hàm số y = f(x) =
cosx,
sin x
Neáu x 0
Neáu x<0







a) Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại x = 0.
b) Tính đạo hàm của f(x) tại x =
4


HD:a) Vì
x 0
lim f(x)


=
x 0
lim cos x


=1 và
x 0
lim f(x)


=
x 0
lim( sin x)




= 0; f(0) = cos0 = 1

x 0
lim f(x)



x 0
lim f(x)




hàm số không liên tục tại x
0
= 0 (hàm số gián đoạn tại x
0
= 0)
Bài 7: Tính đạo hàm các hàm số sau:
1. y = (
2
x
-3x+3)(
2
x
+2x-1); Đs: y’ = 4x
3
-3x
2

– 8x+ 9
2. y = (
3
x
-3x+2)(
4
x
+
2
x
-1); Đs: y’ =7*x^6-12*x^2+3-
10*x^4+8*x^3+4*x
3. Tìm đạo hàm của hàm số: y =
 
2
3x x 1
x
 
 
 
 

Giải: y’ =
 
2
3x ' x 1
x
 
 
 

 
+
 
2
3x x 1 '
x
 
 
 
 
=
 
2
2
3 x 1
x
 
  
 
 
=
2 1
3x
x
2 x
 
 

 
 

 
 

=
 
2
2
3 x 1
x
 
  
 
 
+
1 3x
x x 2 x


3. y =
 
1
x 1 1
x
 
 
 
 

4. y =





3 2
3
x 2 1 x 3x
  
5. y = (
2
x
-1)(
2
x
-4)(
2
x
-9); Đs: 6*x^5-56*x^3+98*x
6. y = (1+
x
)(1+
2x
)(1+
3x
)
7. y =
1 x
1 2x



8. y =
3
3
1 2x
1 2x



9. y =
x 1
x 1


; Đs:-
3
1
(x 1)(x 1)
 

10. y =
2
2
1 x
1 x


; Đs:-
2 2 3
2x
(1 x )(1 x )

 

11. y = cos
2
1 x
1 x
 

 
 

 
; Đs:
2
1 1 x
sin 2
x(1 x) 1 x
 

 
 
 
 

12. y = (1+sin
2
x)
4
; Đs:
2 3

(1 sin x) sin 2x

13. y =sin
2
(cos3x); Đs: -3sin(2cos3x)sin3x
14. y =
sin x cos x
sin x cos x


; Đs:
2
2
(sin x cosx)


15. y =
2
sin 3x
sin x.cos x

518) y = f(x) =
x
1 cos x

; y’ =
 
2
1 cosx xsin x
1 cosx

 


519) y = f(x) =
tan x
x
; y’ =
2 2
x sin x cos x
x cos x


522) y = f(x) =
sin x
1 cos x

; y’ =
1
1 cos x


523) y = f(x) =
x
sin x cos x

; y’ =
sin x cos x x(sin x cos x)
1 sin 2x
  


526) y = f(x) =
4
1
tan x
4
; y’ = tan
3
x.
2
1
cos x

527) y = f(x) = cosx
3
1
cos x
3
 ; y’ = -sin
3
x
528) y = f(x) = 3sin
2
x –sin
3
x; y’ =
3
sin 2x(2 sin x)
2


529) y = f(x) =
1
3
tan
3
x –tanx + x; y’ = tan
4
x
535) y = f(x) = tan
x 1
2

; y’ =
2
1
x 1
2cos
2


539) y = f(x) = cos
3
4x; y’ = -12cos
2
4x.sin4x
544) y = f(x) =
1
1 tan x
x
 

 
 
 
; y’ =
2
2 2
x 1
1 1
2x cos x 1 tan x
x x

   
  
   
   

672) y = f(x) = 3cos
2
x –cos
3
x; y’ =
3
2
sin2x(cosx-2)
682) y = f(x) =
2
2sin x
cos2x
; y’ =
2

2sin 2x
cos 2x

684) y = f(x) =
x x
tan cot
2 2
x

; y’ =
2 2
2(x cosx sin x)
x sin x


685) y = f(x) =
2
x x
sin cot
3 2
; y’ =
1 x 2x
cot sin
3 2 3
2
1 x
sin
2 2
 ….
689) y = f(x) =

2 4
1 tan x tan x
  ; y’ =
2
2 2 4
tan x(1 2tan x)
cos x 1 tan x tan x

 

694) y = f(x) =
6 8
1 1
sin 3x sin 3x
18 24
 ; y’ = sin
5
3xcos
3
3x
705) y = f(x) = cosx.


2
1 sin x
 ; y’ =
3
2
2sin x
1 sin x




706) y = f(x) = 0.4
2
2x 1
cos sin 0.8x
2

 

 
 
; y’ = -0.8
2x 1
cos sin 0.8x
2

 

 
 
2x 1
sin cos0.8x
2

 

 
 

713) y = f(x) =
2
1
1 sin x

; y’ =
 
3
2
sin 2x
2 1 sin x



721) y = f(x) = sin
2
x.sinx
2
; y’ =2sinx(xsinx.cosx
2
+cosx.sinx
2
)
722) y = f(x) =
2cos x
cos2x
; y’ =
2sin x
cos 2x cos2x

BÀI TẬP ĐẠO HÀM BỔ SUNG
1.Tìm đạo hàm của hàm số: y =
x
cot2x Giải: y’ = (
x
)cot2x+
x
(cot2x)’ =
1
2 x
cot2x
2
2 x
sin 2x

2. Tìm đạo hàm của hàm số: y = 3sin
2
xcosx+cos
2
x
y’ = 2(sin
2
x)’cosx+3(sin
2
x)(cosx)’+(cos
2
x)’
= 6sinxcos
2

x-3sin
3
x-2cosxsinx =sinx(6cos
2
x-3sin
2
x-2cosx)
3. Cho hàm số : y =
2
x
x x 1
 

Tìm TXĐ và tính đạo hàm của hàm số ? TXĐ: D = R
y’ =
2
2
2
2x 1
x x 1 x.
2 x x 1
x x 1

  
 
 
=
 
2
3

2
2(x x 1) x(2x 1)
x x 1
   
 
=…

Bài : Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:

a) y = sin
6
x + cos
6
x +3sin
2
xcos
2
x;
HD:
Cách 1: y = (sin
2
x)
3
+(cos
2
x)
3
+3sin
2
xcos

2
x= (sin
2
x+cos
2
x)(sin
4
x-
sin
2
xcos
2
x+cos
4
x) +3sin
2
xcos
2
x
= [(sin
2
x)
2
+[(cos
2
x)
2
+2sin
2
xcos

2
x-3sin
2
xcos
2
x] +3sin
2
xcos
2
x
=[(sin
2
x+cos
2
x)
2
-3sin
2
xcos
2
x] +3sin
2
xcos
2
x
= 1

y’ = 0 (đpcm)
Cách 2:
y’ = 6sin

5
x.(sinx)’ +6cos
5
x.(cosx)’+3[(sin
2
x)’.cos
2
x+sin
2
x(cos
2
x)’]
= 6sin
5
x.cosx -6cos
5
x.sinx + 3[2sinx(sinx)’.cos
2
x+sin
2
x.2cosx.(cosx)’]
= 6sinx.cosx(sin
4
x-cos
4
x) + 3[2sinx.cosx. cos
2
x-sin
2
x.2cosx.sinx]

= 6sinx.cosx(sin
4
x-cos
4
x) + 6sinx.cosx(cos
2
x – sin
2
x)
b) y = cos
2
x
3

 

 
 
+cos
2
x
3

 

 
 
+cos
2
2

x
3

 

 
 
+cos
2
2
x
3

 

 
 
-2sin
2
x.
Bài : Cho hàm số y = f(x) = 2cos
2
(4x-1)
a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị của hàm số f'(x)
Bài : Cho hàm số y = f(x) = 3cos
2
(6x-1)
a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị của hàm số f'(x)
Bài : Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn phương trình :

a) y =
2
2x x

; y
3
y"+1 = 0. b) y = e
4x
+2e
-x
; y''' –13y' –12y = 0. c) y =
e
2x
sin5x; y"-4y'+29y = 0
d) y =
3
x
[cos(lnx)+sin(lnx)];
2
x
y"-5xy'+10y = 0. e) y =


2
2
x x 1
  ;
(1+
2
x

)y"+xy'-4y = 0
Bài : Cho hàm số
y= f(x) = 2x
2
+ 16 cosx – cos2x.
1/. Tính f’(x) và f”(x), từ đó tính f’(0) và f”(

). 2/. Giải phương
trình f”(x) = 0.
Bài : Cho hàm số y = f(x) =
x 1
2

cos
2
x
a) Tính f'(x) b) Giải phương trình f(x) -(x-1)f'(x) = 0
Bài : Giải phương trình f’(x) = 0 biết rằng:
f(x) = 3x+
60
x
3
64
x
 +5; b) f(x) =
sin3x
3
+cosx-
3
cos3x

sin x
3
 

 
 

Giải:
f’(x) = 3
2
60
x
 +
2
6
64.3x
x
== 3
2
60
x
 +
4
64.3
x
== 3
2 4
20 64
1
x x

 
 
 
 

f’(x) = 0

2 4
20 64
1
x x
 
 
 
 
= 0

x
4
-20x
2
+64 = 0 (x

0)

…


2; 4
 