PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (196.67 KB, 13 trang )
Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương
210
BÀI 8. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
I. CÔNG THỨC TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Giả sử
(
)
u u x
=
;
v
=
v(x)
có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó ta có:
•
( ) ( )
d uv udv vdu d uv udv vdu uv udv vdu
= + ⇔ = + ⇔ = +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
⇒
( )
b b
b
a
a a
udv uv vdu udv uv vdu
= − ⇒ = −
∫ ∫ ∫ ∫
Nhận dạng:
Hàm số dưới dấu tích phân thường là tích 2 loại hàm số khác nhau
Ý nghĩa:
Đưa 1 tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hơn (trong nhiều
trường hợp việc sử dụng tích phân từng phần sẽ khử bớt hàm số dưới dấu tích
phân và cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dưới dấu tích phân)
Chú ý:
Cần phải chọn
u, dv
sao cho
du
đơn giản và dễ tính được
v
đồng thời
tích phân
vdu
∫
đơn giản hơn tích phân
udv
∫
II. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN CƠ BẢN VÀ CÁCH CHỌN u, dv
1. Dạng 1:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
ax b
ax b
ax b
ax b
u P x
sin ax b dx
sin ax b dx
cos ax b dx
cos ax b dx
P x
dv
e dx
e dx
m dx
m dx
+
+
+
+
=
+
+
+
+
⇒
=
∫
(trong đó P(x) là đa thức)
2. Dạng 2:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
m
m
dv P x dx
arcsin ax b dx
arcsin ax b
arccos ax b dx
arccos ax b
arctg ax b dx
arctg ax b
P x
u
arc cotg ax b dx
arc cotg ax b
ln ax b dx
ln ax b
log ax b dx
log ax b
=
+
+
+
+
+
+
⇒
=
+
+
+
+
+
+
∫
(trong đó P(x) là đa thức)
3. Dạng 3:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
ax b
ax b
ax b
ax b
k
a
ax b
a
a
ax b
k
a
sin lnx
e sin x dx
sin lnx dx
e
u
cos ln x
u
cos ln x dx
e cos x dx
m
sin log x
x ;
sin log x dx
sin x dx
m sin x dx
cos log x
dv
cos log x dx
cos x dx
m cos x dx
dv x dx
+
+
+
+
+
+
α +β
=
=
α +β
⇒ ⇒
α +β
α +β
=
α +β
α +β
=
∫ ∫
Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần
211
III. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA:
1. Dạng 1:
( ) ( ) ( )
{
}
∫
ax+b ax+b
P x sin ax + b ;cos ax + b ;e ; m dx
•
∫
3
1
A = x cos x dx
.
Cách làm chậm:
Đặt
3 2
u x du 3x dx
dv cos x dx v sin x
= =
⇒
= =
. Khi đó ta có:
3 2
1
A x sin x 3 x sin x dx
= −
∫
. Đặt
2
du 2x dx
u x
v cosx
dv sin x dx
=
=
⇒
= −
=
. Khi đó ta có:
3 2
1
A x sin x 3 x cos x 2 x cos x dx
= − − +
∫
. Đặt
u x du dx
dv cos x dx v sin x
= =
⇒
= =
.
(
)
( )
3 2 3 2
1
A x sin x 3x cosx 6 xsinx sinxdx x sinx 3x cosx 6 xsin
x cosx c
= + − − = + − + +
∫
Cách làm nhanh:
Biến đổi về dạng
( ) ( ) ( )
∫ ∫
P x L x dx = P x du
( )
(
)
3 3 3 3 3 2
1
A x cos x dx x d sin x x sin x sin x d x x sin x 3 x sin x dx
= = = − = −
∫ ∫ ∫ ∫
( )
(
)
( )
3 2 3 2 2
3 2 3 2
x sin x 3 x d cos x x sin x 3 x cos x cos x d x
x sin x 3x cos x 6 x cos x dx x sin x 3x cos x 6 x d sin x
= + = + −
= + − = + −
∫ ∫
∫ ∫
(
)
( )
3 2 3 2
x sinx 3x cosx 6 xsin x sinxdx x sinx 3x cosx 6 xsin x
cosx c
= + − − = + − + +
∫
•
( ) ( )
3 5 1 3 5 1 5 1 3
1 1
5 5
x x x
x d e x e e d x
− − − −
= = −
∫ ∫ ∫
3 5x 1
2
A = x e dx
( )
( )
( )
3 5x 1 2 5x 1 3 5x 1 2 5x 1
3 5x 1 2 5x 1 5x 1 2 3 5x 1 2 5x 1 5x 1
3 5x 1 2 5x 1 5x 1 3 5x 1 2 5x 1
5x 1 5x 1
1 1 3
x e 3 x e dx x e x d e
5 5 5
1 3 1 3 6
x e x e e d x x e x e xe dx
5 25 5 25 25
1 3 6 1 3
x e x e x d e x e x e
5 25 125 5 25
6
xe e dx
125
− − − −
− − − − − −
− − − − −
− −
= − = −
= − − = − +
= − + = − +
+ −
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
3 5x 1 2 5x 1 5x 1 5x 1
1 3 6 6
x e x e xe e c
5 25 125 625
− − − −
= − + − +
Nhận xét:
Nếu P(x) có bậc n thì phải n lần sử dụng tích phân từng phần.
Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương
212
x 0
π
2
/4
t 0
π
/2
•
2
/ 4
∫
3
0
A = x sin x dx
π
. Đặt
2
t x t x
= ⇒ =
⇒
dx 2tdt
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
2
3 3 3 3 2
0
3
0 0 0 0
2 2 2 2
2 2
2
2 2 2
0
0 0 0 0
A 2 t sin t dt 2 t d cos t 2t cost 2 cos td t 6 t cos t dt
3 3
6 t d sin t 6t sin t 6 sin td t 12 tsin t dt 12 td cos t
2 2
π π π π
π
π π π π
π
= = − = − + =
π π
= = − = − = +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
2
2 2 2
2 2
0 0
0
3 3 3
12t cos t 12 cos t dt 12sin t 12
2 2 2
π
π π
π π π
= + − = − = −
∫
•
( )
6
6 6
3
3 3
0
0 0
1 cos 1
d cos cos dx
3 3 3
x x
x x x
= − = − +
∫ ∫ ∫
π 6
2
4
0
A = x sin x cos xdx
π
π π
( )
( )
6
6
3
2
0
0
3 1 3 1 sin x 11 3
1 sin x d sin x sin x
48 3 48 3 3 72 48
π
π
π π π π
= − + − = − + − = −
∫
•
( )
∫
1
2 x
5
2
0
x e dx
A =
x + 2
. Đặt
( )
( )
2 x
x
2
u x e
du x x 2 e dx
dx
1
dv
v
x 2
x 2
=
= +
⇒
=
= −
+
+
( )
1
1 1 1
2 x
x x x
5
0
0 0 0
1
1 1
x x x
0 0
0
x e e e
A xe dx xe dx xd e
x 2 3 3
e e e
xe e dx e e 1
3 3 3
= − + = − + = − +
+
= − + − = − + − = −
∫ ∫ ∫
∫
2. Dạng 2:
( )
{
}
m
P x arcsin u;arccos u; arctg u;arc cotg u ; ln u ;lo
g u u ax b dx
= +
∫
•
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2
3 3 3
1
1 1
1 1
ln d ln ln
3 3
e e
e
x x x x x d x
= = −
∫ ∫ ∫
e
2
2
1
1
B = x ln x dx
( )
e e e
3 3 3 2 3 3
1 1 1
1 dx 1 1 2
e 2x ln x e 2x ln x dx e ln x d x
3 x 3 3 3
= − = − = −
∫ ∫ ∫
( )
( )
ee e
3 3 3 3
e
3 3 3 2 3
1
1
1 1
e 2 e 2 2 e 2 5e 2
x ln x x d ln x e x dx x
3 9 3 9 9 9 27 27 27
= − − = − + = + = −
∫ ∫
Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần
213
•
( )
1 2
1 2 1 2
2 2 2
0
0 0
1 1 1 1 1
ln d ln ln
2 1 2 1 1
x x x
x x x d
x x x
+ + +
= = −
− − − −
∫ ∫ ∫
1 2
2
0
1+ x
B = x ln dx
1 x
( )
1 2 1 2
2
2
2
0 0
1 2 1 2
2
2
0 0
1 2
0
1 1 x dx 1 x
ln 3 x ln 3 dx
8 1 x 8 1 x
1 x
1 1 1 1 2
ln 3 1 dx ln 3 1 dx
8 1 x 8 1 x
1 x
1 1 ln 3 3 5
ln 3 x 2ln 1 x 2ln
8 1 x 8 2 6
−
= − ⋅ ⋅ = −
+ +
−
= − − = − + −
+ +
+
= − − − + = + −
+
∫ ∫
∫ ∫
•
( ) ( ) ( )
1
1
2 2
0
0
ln 1 ln 1x x x xd x x
= + + − + +
∫ ∫
1
2
3
0
B = ln x + 1 + x dx
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
1 1
2 2 2
0 0
1
2
1
2
0
2
0
x dx x dx
ln 1 2 x 1 ln 1 2
1 x x 1 x 1 x
1 d 1 x
ln 1 2 ln 1 2 1 x ln 1 2 2 1
2
1 x
= + − + = + −
+ + + +
+
= + − = + − + = + + −
+
∫ ∫
∫
•
(
)
( ) ( )
1 1
2 2
0 0
ln 1 1
x x d x
= + + +
∫ ∫
2
4
2
x ln x + 1 + x
B = dx
1 + x
( ) ( )
( )
( ) ( )
1
1
2 2 2 2
0
0
1
2
2 2
0
1
0
1 x ln x 1 x 1 x d ln x 1 x
dx
x
2 ln 1 2 1 x 1
1 x x 1 x
2 ln 1 2 dx 2 ln 1 2 1
= + + + − + + +
= + − + +
+ + +
= + − = + −
∫
∫
∫
•
(
)
1
0
∫
2
5
2
x ln x + 1 + x
B = dx
x + 1 + x
. Đặt
(
)
( )
2
2
2
u ln x 1 x
x dx
dv x 1 x x dx
x 1 x
= + +
= = + −
+ +
(
)
2
2 2
x dx
du 1 dx x 1 x
1 x 1 x
⇒ = + + + =
+ +
Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương
214
( ) ( ) ( )
1 2 3 2
2 2 2 2 3
1 1
v 1 x d 1 x x dx 1 x x
2 3
= + + − = + −
∫ ∫
( )
( )
( )
1
1
3 2 3 2
2 3 2 2 3
5
2
0
0
1 1 dx
B 1 x x ln x 1 x 1 x x
3 3
1 x
= + − + + − + −
+
∫
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( )
1 1
3
2
2
0 0
1 1
2
2
2
0
0
2 2 1 ln 1 2 1 dx 1 x dx
3 3 3
1 x
1 x
2 2 1 ln 1 2 1 1 1 x 1
arctg x d 1 x
3 3 6
1 x
− +
= − +
+
+
− + + −
= − + +
+
∫ ∫
∫
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
1
1 2 1 2
2 2 2
0
2 2 1 ln 1 2 1
1 x 1 x d 1 x
3 12 6
−
− + π
= − + + − + +
∫
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
1
3 2 1 2
2 2
0
2 2 1 ln 1 2 1 2
1 x 2 1 x
3 12 6 3
2 2 1 ln 1 2 2 2
3 12 9
− + π
= − + + − +
− + π −
= − +
•
( ) ( )
( )
1
2 2
0
1
ln 1
2
x x d x
= + +
∫ ∫
1
2
6
0
B = x ln x + 1 + x dx
( )
( )
( ) ( )
1
1
2 2
2 2
0
0
1 1
2
2
2 2 2
0 0
x ln x 1 x 1
x d ln x 1 x
2 2
1 1 x dx 1 1 x dx
ln 1 2 x 1 ln 1 2
2 2 2 2
1 x x 1 x 1 x
+ +
= − + +
= + − + = + −
+ + + +
∫
∫ ∫
x
0 1
t
0
π
/4
Xét
1
2
2
0
1
x dx
I
x
=
+
∫
.Đặt x
)
tg t ; t 0,
2
π
= ∈ ⇒
dx
2
dt cos t
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
4 4 4
1
22 2 2
2 3 4
2 2
0 0 0 0
2
4 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
0 0 0
tg tx dx dt sin t sin t
I dt d sin t
cos t cos t cos t
1 x 1 tg t
sin t d sin t u du 1 1 u 1 u
du
4 1 u 1 u
1 sin t 1 u
π π π
π
⇒ = = ⋅ = =
+ +
+ − −
= = =
+ −
− −
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần
215
( ) ( )
( )
2 2 2 2
2
2 2 2
0 0
2 2
0
1 1 1 1 1 1 2
du du
4 1 u 1 u 4
1 u
1 u 1 u
1 1 1 1 u 2
2 ln ln 1 2
4 1 u 1 u 1 u 2
= − = + −
− +
−
− +
+
= − − = − +
− + −
∫ ∫
⇒
( ) ( ) ( ) ( )
6
1 1 1 1 2 2
B ln 1 2 I ln 1 2 ln 1 2 ln 1 2
2 2 2 2 2 4
= + − = + − − + = − + +
•
( )
( )
0 0
0
2 2 2
8
8 8
1 1 1
ln 1 d ln 1 ln 1
2 2 2
x x x x x d x
−
− − −
− = − = − − −
∫ ∫ ∫
0
7
8
B = x ln 1 xdx
( )
( )
0 0
2
2
8 8
0 0
2
8 8
0
2
8
1 1 dx 1 x dx
32ln 3 x 32ln 3
2 4 1 x
2 1 x 1 x
1 1 1 x 1 1
32ln 3 dx 32ln 3 1 x dx
4 1 x 4 1 x
1 1 l 63
32ln 3 ln 1 x x x 32 ln 3 6 ln 3 6 ln 3
4 2 2 2
− −
− −
−
−
= − − ⋅ ⋅ = − +
−
− −
− −
= − + = − + − +
− −
= − + − − − − = − + + = −
∫ ∫
∫ ∫
x
−
3
0
t 2 1
•
( )
−
−
− −
∫
0
8
3
ln 1 x
B = dx
1 x 1 x
. Đặt
1
t x
= −
⇒
dx
−
2tdt
Khi đó ta có:
( )
(
)
1 2 2
8
3 2
2 1 1
ln t dt
1
B 2t dt 2 ln t 2 ln t d
t
t t
−
= − = =
∫ ∫ ∫
( )
2 22 2
2
1 1
1 1
2 ln t 1 dt 2
2 d ln t ln 2 2 ln 2 1 ln 2
t t t
t
− −
= − = − + = − − = −
∫ ∫
•
( )
(
)
( )
3 3
2
2 2
2
1 1
1 ln d 1 1 1
ln
2 2
1
1
x x
x d
x
x
+ −
= =
+
+
∫ ∫ ∫
3
9
2
2
1
x ln x dx
B =
x + 1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 3 3
2
2 2
1 1
1
3 3
2 2
2
2
1 1
3
2
1
ln x 1 1 ln 3 1 dx
d ln x
2 20 2
x 1
2 x 1 x x 1
ln 3 1 x 1 x ln 3 1 1 x
dx dx
20 2 20 2 x
x 1
x x 1
ln 3 1 1 9 ln 3
ln x x 1 2
20 2 2 20
− −
= + = +
+
+ +
− + − −
= + = + −
+
+
−
= + − + = −
∫ ∫
∫ ∫
Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương
216
3. Dạng 3: Tích phân từng phần luân hồi
•
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
3 3 3
1 1 1
sin ln sin ln sin ln
3 3 3
= = −
∫ ∫ ∫
2
1
C = x sin ln x dx
x d x x x x d x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 2
3 3 3 3 3
3 3 2 3 3
1
1 1 dx 1 1
x sin lnx x cos lnx x sin ln x x cos ln x dx
3 3 x 3 3
1 1 1 1 1
x sin lnx cos ln x d x x sin lnx x cos lnx x d cos ln x
3 9 3 9 9
1 1 1 1 1 1
x sin lnx x cos lnx x sin ln x dx x sin ln x x cos lnx C
3 9 9 3 9 9
= − = −
= − = − +
= − − = − −
∫ ∫
∫ ∫
∫
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3
1 1
10 1 1 1
C x sin ln x x cos ln x C 3x sin ln x x cos ln x c
9 3 9 10
⇒ = − ⇒ = − +
•
( )
2 2
2 2
0
0 0
1 1 1 1
1 cos2 dx cos 2 dx
2 4 2 4 2
x
x x
e e
e x e x J
−
= − = − = −
∫ ∫ ∫
π
2x 2
2
0
C = e sin x dx
π
π π
π
2
0
2
x
J e cos x dx
π
=
∫
( )
( )
2x 2x 2x
0
0 0
1 1 1
e d sin 2x e sin 2x sin 2x d e
2 2 2
ππ π
= = −
∫ ∫
( )
( )
2x 2x 2x 2x
0
0 0 0
2 2 2 2
2x
0
1 1 1
e sin 2x dx e d cos 2x e cos 2x cos 2x d e
2 2 2
e 1 e 1 e 1 e 1
e cos 2x dx J 2J J
2 2 2 4
ππ π π
π
π π π π
= − = = −
− − − −
= − = − ⇒ = ⇒ =
∫ ∫ ∫
∫
⇒
2 2 2 2
2
e 1 1 e 1 e 1 e 1
C J
4 2 4 8 8
π π π π
− − − −
= − = − =
•
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1
1 1
cos ln cos ln 1 sin ln dx
e e
e
x x xd x e x= − = − + +
∫ ∫ ∫
π
e
3
1
C = cos ln x dx
π π
π
π
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
e e
e
1
1 1
e
3 3 3
1
e 1 sin ln x dx e 1 x sin ln x xd sin ln x
1
e 1 cos ln x dx e 1 C 2C e 1 C e 1
2
π π
π
π
π π
π π π π
= − + + = − + + −
−
= − + − = − + − ⇒ = − + ⇒ = +
∫ ∫
∫
•
( ) ( )
[ ]
( )
1
1 1
1 1 1 1 1
1 cos 2ln dx cos 2ln
2 2 2 2 2
ee e
e
x x x dx I
−
= + = − = −
∫ ∫ ∫
π
e
2
4
1
C = cos ln x dx
ππ π
π
Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần
217
Xét
( )
1
2
e
I cos ln x dx
π
=
∫
( ) ( )
( )
( )
e e
e
1
1 1
2sin 2lnx
xcos 2lnx xd cos 2lnx e 1 x dx
x
π π
π
π
= − = − +
∫ ∫
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
e e
e
1
1 1
e e
1 1
e 1 2 sin 2 ln x dx e 1 2x sin 2 ln x 2 xd sin 2 ln x
2 cos 2ln x
e 1 2 x dx e 1 4 cos 2 ln x dx e 1 4I
x
π π
π
π π
π π
π π π
= − + = − + −
= − − = − − = − −
∫ ∫
∫ ∫
⇒
( )
4
e 1 e 1 6
5I e 1 I C e 1 I e 1 e 1
5 5 5
π π
π π π π
− −
= − ⇒ = ⇒ = − + = − + = −
•
( )
(
)
1 sin 1 sin
1 sin
1 cos
1 cos 1 cos
x x x
x x
x
d e e e d
x
x x
+ +
+
= = −
+
+ +
∫ ∫ ∫
x
5
1 + sin x
C = e dx
1 + cos x
( ) ( )
( )
( )
x x
x x x
2 2
x x
x
2
1 sin x 1 cos x sin x 1 sin x e dx e sin x dx
e e dx e
1 cos x 1 cos x 1 cos x
1 cos x 1 cos x
1 sin x e dx e sin x dx
e I J ; I ; J
1 cos x 1 cos x
1 cos x
+ + + +
= − = − −
+ + +
+ +
+
= − − = =
+ +
+
∫ ∫ ∫
∫ ∫
1
Xét
( )
2
1
x
e sin x dx
J
cos x
=
+
∫
. Đặt
( )
( )
( )
x
x
2
2
du e dx
u e
d 1 cos x 1
sin x dx
dv
v
1 cos x
1 cos x
1 cos x
=
=
⇒
− +
=
= =
+
+
+
∫
⇒
x x x
e e dx e
J I
1 cos x 1 cos x 1 cos x
= − = −
+ + +
∫
(2)
. Thay (2) vào (1) ta có:
⇒
x x
x x
5
1 sin x e 1 sin x e
C e I I c e c
1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x
+ +
= − − − + = − +
+ + + +
•
∫
π
2
6
x
0
sin x
C = dx
e
( )
0 0 0
1 1 1
1 2 2
2 2 2
π π π
− − −
= − = −
∫ ∫ ∫
x x x
e cos x dx e dx e cos x dx
0
0 0
1 1 1 1 1
2 2
2 2 2 2 2 2
π
π π
− −π −π
− −
− − −
= − = − = −
∫ ∫
x
x x
e e e
e cos x dx e cos x dx J
0
2
x
J e cos x dx
π
−
=
∫
( )
( )
x
x x
0
0 0
1 e sin 2x 1
e d sin 2x sin 2x d e
2 2 2
π
π π
−
− −
= = −
∫ ∫
( )
( )
0
0 0 0
1 1 2 1
2 2 2
2 4 4 4
x
x x x
e cos x
e sin x dx e d cos x cos x d e
π
π π π
−
− − −
−
= = = − +
∫ ∫ ∫
Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương
218
0
1 1 1 1 5 1 1
2
4 4 4 4 4 4 5
x
e e e e
e cos x dx J J J
π
−π −π −π −π
−
− − − −
= − = − ⇒ = ⇒ =
∫
⇒
( )
6
1 1 1 1 2
1
2 2 2 10 5
e e e
C J e
−π −π −π
−π
− − −
= − = − = −
•
( )
; 0
a
− >
∫
a
2 2
7
0
C = a x dx
( )
(
)
2 2 2 2
2 2 2 2
07
2 2 2 2
0 0 0
2
2 2 2 2 2 2
7
2 2
0
0 0 0
2
a a a
a
aa a a
x dx a a x
C x a x x d a x dx
a x a x
dx x a
a a x dx a arcsin a x dx C
a
a x
− −
= − − − = =
− −
π
= − − = − − = −
−
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
⇒
2 2
7 7
2
2 4
a a
C C
π π
= ⇒ =
•
( )
; 0
a
>
∫
a
2 2
8
0
C = a + x dx
( )
( )
2
2 2 2 2 2
08
2 2
0 0
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
0 0 0
2
2 2
a a
a
a a a
x
C x a x xd a x a dx
a x
a x a dx
a dx a a x dx a
a x a x
= + − + = −
+
+ −
= − = − + +
+ +
∫ ∫
∫ ∫ ∫
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2
8
0
0
2 2 2
8 8
2 2 1 2
2 1 2
2 2 1 2
2
a
a
a a ln x a x a x dx a a ln C
ln
C a a ln C a
= + + + − + = + + −
+ +
⇒ = + + ⇒ =
∫
•
( )
; 0
a
>
∫
a
2 2 2
9
0
C = x a + x dx
. Đặt
( )
3
2 2
2 2
2
du dx
u x
1
v a x
dv x a x dx
3
=
=
⇒
= +
= +
( ) ( )
a
a
3 3
2 2 2 2
2 2
9
0
0
a a
2 2
4 2 2 2 2 2 4
8 9
0 0
x 1
C a x a x dx
3 3
2 2 a 1 2 2 a 1
a a x dx x a x dx a C C
3 3 3 3 3 3
= + − +
= − + − + = − −
∫
∫ ∫
Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần
219
(
)
(
)
(
)
2
4
13 9
4 2 2 a 2 ln 1 2 3 2 ln 1 2 3 2 ln 1 2
C a C
3 3 3 2 6 8
+ + − + − +
⇒ = − ⋅ = ⇒ =
•
( )
; 0
a
− >
∫
a
2 2 2
10
0
C = x a x dx
. Đặt
( )
3
2 2
2 2
2
du dx
u x
1
v a x
dv x a x dx
3
=
=
⇒
−
= −
= −
( ) ( )
a
a a a
3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
10
0
0 0 0
2 2 4 4
7 10 10 7 10
x 1 1
C a x a x dx a a x dx x a x dx
3 3 3
a 1 2 a a a
C C C C C
3 3 3 3 12 8
−
= − + − = − + −
π π
= + ⇒ = = ⇒ =
∫ ∫ ∫
•
( )
2
2
2 2 2 2
2
2
a
a
a
a
x x a x d x a
− = − − −
∫ ∫
2a
2 2
11
a 2
C = x a dx
( ) ( )
(
)
( )
( )
( )
2a 2a
2 2 2
2 2
2 2 2 2
a 2 a 2
2a 2a
2 2 2 2
2 2
a 2 a 2
2a
2a
2 2 2 2 2 2
a 2
a 2
2 2
11
x a x a
2 3 2 a x dx 2 3 2 a dx
x a x a
dx
2 3 2 a a x a dx
x a
2 3 2 a a ln x x a x a dx
2 3
2 3 2 a a ln C
1 2
+ −
= − − = − −
− −
= − − − −
−
= − − + − − −
+
= − − −
+
∫ ∫
∫ ∫
∫
( ) ( )
2
2 2
11 11
2 3 a 2 3
2C 2 3 2 a a ln C 2 3 2 ln
2
1 2 1 2
+ +
⇒ = − − ⇒ = − −
+ +
•
( )
(
)
2 2
2
4
4 4
cotg1
1
cotg cotg
sin
sin sin
x
d x x d
x
x x
= − = − +
∫ ∫ ∫
π 2
12
3
π 4
dx
C =
sin x
π π
π
π
π π
2 2
2 2
4 4
2 2 2
12
3 2
4 4 4
cos x 1
1
2 cotg x dx 2 1 dx
sin x
sin x sin x
dx dx sin x dx
2 2 C
sin x
sin x 1 cos x
π π
π π
π π π
π π π
= − − = − − −
= − + − = − + −
−
∫ ∫
∫ ∫ ∫
( )
(
)
2
12 12
4
1 1 cos x 2 ln 1 2
2C 2 ln 2 ln 1 2 C
2 1 cos x 2
π
π
+ − + +
⇒ = − − = − + + ⇒ =
−
Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương
220
4. Dạng 4: Các bài toán tổng hợp
•
( ) ( )
3 3 3
3 2 3 2 3
2 2 2
0 0 0
2 1
dx dx dx
1 1 1
x x x x x
x x x
+ +
= = +
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
3
5 3
1
2
0
x + 2x
D = dx
x + 1
3 3
2 2 2
2
0 0
x dx
x .x x 1 dx x I J
x 1
= + + = +
+
∫ ∫
Xét
3
2 2
0
1
I x .x x dx
= +
∫
. Đặt
( )
2
3 2
2
2
du 2x dx
u x
1
v x 1
dv x x 1 dx
3
=
=
⇒
= +
= +
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
3 3 3
3 2 3 2 3 2
2 2 2 2 2
0
0 0
3
5 2
2
0
1 2 1
I x x 1 x x 1 dx 8 x 1 d x 1
3 3 3
2 2 58
8 x 1 8 32 1
15 15 15
= + − + = − + +
= − + = − − =
∫ ∫
Xét
3
2
2
0
1
x dx
J x
x
=
+
∫
. Đặt
2
2
2
u x
du 2x dx
x dx
dv
v x 1
x 1
=
=
⇒
=
= +
+
( ) ( )
33 3
3
3 2
2 2 2 2 2 2
0
0
0 0
2 4
J x x 1 2x x 1 dx 6 x 1d x 1 6 x 1
3 3
= + − + = − + + = − + =
∫ ∫
⇒
1
58 4 26
D I J
15 3 5
= + = + =
•
(
)
2
2 2
3 3
3
3 3 3
1
1 1
1 1 1 1
1
1
3 3
3
x d x
x d
x x x
+ +
= − + = − +
∫ ∫ ∫
2
3
2
4
1
1 + x
D = dx
x
(
)
( )
( )
( )
2 2
2 3
3 3 3 3
1 1
3 3
2
2
2
2 2
3
2
2 1 1 x dx 2 1 1 d 1 x
3 8 2 3 8 6
x 1 x x 1 x
2 1 1 d u 2 1 1 du
3 8 6 3 8 3
u 1
u 1 u
2 1 1 u 1 2 1 1 1
ln ln 2 ln 1 2
3 8 3 u 1 3 8 3 2
+
= − + = − +
+ +
= − + = − +
−
−
−
= − + = − + + +
+
∫ ∫
∫ ∫
Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần
221
•
( )
2
2
2 sin
0
1
2 cos 2 sin cos dx
4
x
x x x e
π
=
∫ ∫
2
π 2
sin x 3
3
0
D = e sin x cos x dx
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2
2
sin x sin x sin x
0
0 0
2 2
2
sin x sin x sin x
0
0 0
1 1 1
1 cos 2x d e 1 cos 2x e e d 1 cos 2x
4 4 4
1 1 1 1 1 1 e
e sin 2x dx d e e 1
2 2 2 2 2 2 2
π π
π
π π
π
= + = + − +
−
= + = − + = − + = −
∫ ∫
∫ ∫
•
( ) ( ) ( )
2
3
ln 1 cos d sin
x x
π
π
− = −
∫ ∫
π 2
4
π 3
D = cos x ln 1 cos x dx
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
3
3 3
2 2
2
3 3
2
3
3 sin x dx
sin x ln 1 cos x sin xd ln 1 cos x ln 2 sin x
2 1 cos x
3 1 cos x 3
ln 2 dx ln 2 1 cos x dx
2 1 cos x 2
3 3 3
ln 2 x sin x ln 2 1
2 2 6 2
π π
π
π
π π
π π
π π
π
π
= − − − = −
−
−
= − = − +
−
π
= − + = − − +
∫ ∫
∫ ∫
•
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
3 3
3
4
4 4
ln tg d cos cos ln tg cos ln tg
x x x x x d x
π π
π
π
π π
= − = − +
∫ ∫ ∫
π 3
5
π 4
D = sin x ln tg x dx
( )
( )
3 3 3
2 2
4 4 4
3
3
2
4
4
1 cos x dx 1 dx 1 sin x dx
ln 3 ln 3 ln 3
4 4 sin x 4
cos x tg x sin x
1 d cos x 1 1 1 cos x 3
ln 3 ln 3 ln ln 1 2 ln 3
4 4 2 1 cos x 4
1 cos x
π π π
π π π
π
π
π
π
= − + = − + = − +
+
= − − = − − = + −
−
−
∫ ∫ ∫
∫
•
( )
(
)
4 4 4 4
2
0 0 0 0
sin dx dx 1 cos
tg
2
1 cos 1 cos
2cos
2
+
= + = − +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
π 4
6
0
x + sin x
D = dx
1 + cos x
x x d x
x
xd
x
x x
π π π π
( ) ( ) ( )
4 4
4
0 0
0
x x 4 x
ln 1 cos x x tg tg dx ln tg 2 ln cos
2 2 4 8 2
2 2
4 2 2
ln 2 1 ln 2 1 ln1 2 1
4 4 4 4
2 2
π π
π
π π
= − + + − = + +
+
π + π π
= + − + = − + = −
+
∫
Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương
222
•
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
4 4
7
0 0
2 sin cos cos sin dx 2 sin cos sin d sin
= =
∫ ∫ ∫
π 2
4
0
D = sin 2x cos sin x dx
x x x x x x
π π
( ) ( )
( )
( )
( )
1 1 1
4 2
2
0 0 0
1 1
0 0
1
1 1 1
2
0
0 0 0
1 1
2 t cos t dt t 1 cos 2t dt t 1 2cos 2t cos 2t dt
2 2
1 1 cos 4t 1
t 1 2cos 2t dt t 2 4cos 2t cos 4t dt
2 2 4
1 1 t 1 1
2t dt t 4cos 2t cos 4t dt t d 2sin 2t sin 4t
4 4 4 4 4
= = + = + +
+
= + + = + +
= + + = + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
1
1
0
0
1
0
1 1 1 1 1
t 2 sin 2t sin 4t 2sin 2t sin 4t dt
4 4 4 4 4
1 1 1 1 1
2sin 2 sin 4 cos 2t cos 4t
4 4 4 4 16
1 1 1 1 31
sin 2 cos 2 sin 4 cos 4
2 4 16 16 64
= + + − +
= + + − − −
= + + + +
∫
•
( )
4 4
2
2
8
2 2
0 0
sin 2 cos
2 cos dx d cos
cos cos
x x
x x
x x
π π
−
= − = −
∫ ∫ ∫
π 4
2
0
tg x
D = 1 + sin x dx
cos x
(
)
( )
1 2
1 2 1 2 1 2
2 2
2 2
2
1
1 1 1
1 2
1 2
2
1
1
2 u 2 u 1
1
d u 2 u d d 2 u
u
u u
u
du u
3 1 3 1 arcsin 3 1
12
2
2 u
− −
= − = − = − −
π
= − − = − − = − −
−
∫ ∫ ∫
∫
•
( ) ( )
3
9
2
0
cos
dx
cos
sin cos
x x x
x
x x x
π
= ⋅
+
∫ ∫
π 3
2
2
0
x dx
D =
x sin x + cos x
(
)
3 3
3
0
0 0
3
3
0
2
0
x x x
1 1 1
d d
x sin x cos x x sin x cos x x sin x cos x
cos x cos x cos x
4 4 3 3
cos x x sin x
1
dx tg x
x sin x cos x
3 3 3 3 3 3
cos x
π π
π
π
π
= − = − ⋅ +
+ + +
− π − π −π
+
= + = + =
+
+ π +π + π
∫ ∫
∫
