BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO TÍCH PHÂN HỬU TỈ ppsx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (259.08 KB, 9 trang )
Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ
17
BÀI 3. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN
NÂNG CAO
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN
THỨC HỮU TỈ
I. DẠNG 1: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ ĐỒNG BẬC
Các bài tập mẫu minh họa:
•
1
dx
A =
x 2 x+5
1 5 2 1 1 1 1 2
ln
7 2 5 7 5 5 7 5
x x x
dx dx c
x x x x x
1 x 4 x 5
dx
9 x 5 x 2 x 4
2
dx
A =
x 5 x+2 x+4
1 1 1 1 2 5 1 4 2
9 5 2 2 4 63 5 2 18 2 4
1 1 1 1 1 1 1 5 1 4
ln ln
63 5 2 18 4 2 63 2 18 2
x x x x
dx dx dx
x x x x x x x x
x x
dx dx c
x x x x x x
II. DẠNG 2: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ KHÔNG ĐỒNG BẬC
1. Các bài tập mẫu minh họa:
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
dx 1 x x 3 1 xdx dx
dx
3 3 x
x 3
x x 3 x x 3
1 1 d x 3 dx 1 1 1 x 3
ln x 3 ln x c ln c
3 2 x 3 2 6
x 3 x
1
3
dx
B =
x 3x
•
4 4
4 3
3 4 3 4
dx 1 x x 10 1 xdx dx
dx
10 10
x 10 x
x x 10 x x 10
2
7 3
dx
B =
x 10x
Chương II. Nguyên hàm và tích phân
Trần Phương
18
2 2
2 3 2
2
2
1 1 d x dx 1 1 x 10 1
ln c
10 2 20
x x
10 x 10
x 10
2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
1 2 3 4 5
3 9 4 11 5 6 7
dx dx dx dx dx
B ;B ; B ;B ; B
x 5x x 7x x 8x x 9x x 13x
6 7 8
3 2 3 2 4 3 2
dx dx dx
B ;B ;B
x 6x 19x 22 x 3x 14x 12 x 4x 6x 7x 4
III. DẠNG 3: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 4
2 2
2 2 2 2
dx 1 x 1 x 1 1 x 1 1
dx ln arctgx c
2 4 x 1 2
x 1 x 1 x 1 x 1
1
4
dx
C =
x 1
2 2
2
2 2 2
2 2
1 d x 1 1 1 1 x 1
d x ln c
2 4 4
x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
2
4
xdx
C =
x 1
2 2
2 2
2 2
2 2
1 x 1 x 1 1 1 1
dx dx
2 2
x 1 x 1
x 1 x 1
1 dx 1 dx 1 x 1 1
ln arctgx c
2 2 4 x 1 2
x 1 x 1
2
3
4
x dx
C =
x 1
•
4
4
4
1 d x 1 1
ln x 1 c
4 4
x 1
3
4
4
x dx
C =
x 1
4
1
4 4
x 1 1 dx 1 x 1 1
dx dx x C x ln arctgx c
4 x 1 2
x 1 x 1
4
5
4
x dx
C =
x 1
2
2
2
2
1 d x 1
arctg x c
2 2
x 1
6
4
xdx
C =
x + 1
4
4
4
1 d x 1 1
ln x 1 c
4 4
x 1
3
7
4
x dx
C =
x + 1
2
2
2
2
2
1
1 1
1
d x x 2
1
x x
x
dx ln c
1
1
2 2
1
x 2
x
x 2
x
x
x
2
8
4
x 1
C = dx
x + 1
•
2
2
2
2
2
2
1
1
1
d x
1 x 1
x
x
dx arctg c
1
2 x 2
1
x
x 2
x
x
2
9
4
x + 1
C = dx
x + 1
Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ
19
2 2 2 2
4 4 4
2 2
9 8
2
1 x 1 x 1 1 x 1 x 1
dx dx dx
2 2
x 1 x 1 x 1
1 1 1 x 1 1 x x 2 1
C C arctg ln c
2 2
2 x 2 2 2 x x 2 1
10
4
dx
C =
x + 1
2 2 2 2
4 4 4
2 2
9 8
2
1 x 1 x 1 1 x 1 x 1
dx dx dx
2 2
x 1 x 1 x 1
1 1 1 x 1 1 x x 2 1
C C arctg ln c
2 2
2 x 2 2 2 x x 2 1
2
11
4
x dx
C =
x + 1
4 2 2
4
2
x 1 1 1 1 x 1 1 x x 2 1
dx x arctg ln c
2
x 1
2 x 2 2 2 x x 2 1
4
12
4
x dx
C =
x + 1
2
2
2
2
2
2 2
1
1
1 dx
d x
x
x
1 1
1 1
x 5 x 4
x 5 x 6
x
x
x x
du du 1 1 1 1 x 6x 1
du ln c
7 u 6 u 1 7u 6 u 1
u 5u 6 x x 1
2
13
4 3 2
x -1 dx
C =
x 5x 4x 5x+ 1
•
2 2 2 2
4 2 4 2 4 2
1 x 1 x 1 1 x 1 x 1
dx dx dx
2 2
x x 1 x x 1 x x 1
14
4 2
dx
C =
x + x + 1
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
1 dx 1 dx
d x d x
1 1
x x x x
1 12 4
1 1
x 1 x 1
x 3 x 1
x x
x x
2 2
2
1 1
x x 1
1 1 1 x 1 1 x x 1
x x
arctg ln c arctg ln c
1
4 4
x x 1
2 3 3 2 3 x 3
x 1
x
IV. DẠNG 4: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 3
•
22
dx d x 1
x 1 x x 1
x 1 x 1 3 x 1 3
1
3
dx
D =
x 1
2 2
2
2 2
dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt
dt
3 3 t
t 3t 3
t t 3t 3 t t 3t 3
Chương II. Nguyên hàm và tích phân
Trần Phương
20
2 2
1 dt 1 2t 3 dt 3 dt
3 t 2 2
t 3t 3 t 3t 3
2
2
1 x 2x 1 1 2x 1
ln arctg c
6
x x 1
2 3 3
•
22
dx d x 1
x 1 x x 1
x 1 x 1 3 x 1 3
2
3
dx
D =
x + 1
2 2
2
2 2
dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt
dt
3 3 t
t 3t 3
t t 3t 3 t t 3t 3
2
2 2
1 dt 1 d t 3t 3 3 dt
3 t 2 2
3
t 3t 3
3
t
2
4
2 2
2 2
1 1 t 2t 3 1 x 2x 1 1 2x 1
ln 3arctg c ln arctg c
3 2 6
t 3t 3 x x 1
3 2 3 3
•
2
2
2 2
xdx 1 x x 1 x 1
dx
3
x 1 x x 1 x 1 x x 1
3
3
xdx
D =
x 1
2
1 1 x 1
dx
3 x 1
x x 1
2 2
2
1 dx 1 2x 1 dx 3 dx
3 x 1 2 2
x x 1
3
1
x
2 2
2
1 1 2x 1
ln x 1 ln x x 1 3arctg c
3 2
3
•
2
2
2 2
xdx 1 x x 1 x 1
dx
3
x 1 x x 1 x 1 x x 1
4
3
xdx
D =
x + 1
2 2 2
2
1 1 x 1 1 dx 1 2x 1 dx 3 dx
dx
3 x 1 3 x 1 2 2
x x 1 x x 1
3
1
x
2 2
2
2
2
1 1 2x 1 1 x 2x 1 1 2x 1
ln x 1 ln x x 1 3arctg c ln arctg c
3 2 6
x x 1
3 3 3
V. DẠNG 5: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 6
•
1 2
3 3
3 3
dx 1 dx dx 1
D D
2 2
x 1 x 1
x 1 x 1
1
6
dx
E =
x 1
Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ
21
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1 x 2x 1 1 2x 1 1 x 2x 1 1 2x 1
ln arctg ln arctg
2 6 6
x x 1 x x 1
2 3 3 2 3 3
1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1
ln arctg arctg c
12
4 3 3 3
x 2x 1 x x 1
•
2
1
3 3
2
1 d x 1 du 1
D
2 2 2
u 1
x 1
2
6
xdx
E =
x 1
2 4 2 2
2 4 2
1 1 u 2u 1 1 2u 1 1 x 2x 1 1 2x 1
ln arctg c ln arctg c
2 6 12
u u 1 x x 1
2 3 3 2 3 3
3 3 3
6 3 3
1 d x 1 1 x 1 1 x 1
ln c ln c
3 3 2 6
x 1 x 1 x 1
2
3
6
x dx
E =
x 1
•
2 2
6 3
2
1 x d x 1 udu 1 udu
2 2 2
x 1 u 1
u 1 u u 1
3
4
6
x dx
E =
x 1
2
4 2 2
2 4 2
1 u 1 1 2u 1 1 x 2x 1 1 2x 1
ln arctg c ln arctg c
12 12
u u 1 x x 1
2 3 3 2 3 3
4 2 2
2 4 2 6
2 4 2
x x 1 x 1 2 dx dx dx
dx 2
x 1 x x 1 x 1
x 1 x x 1
4
5
6
x dx
E =
x 1
2 2 2
2 2
1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1 x 1
ln arctg arctg arctg c
12
2 3 3 3 x 3
x 2x 1 x x 1
•
6
6
6
1 d x 1
ln x 1 c
6 6
x 1
5
6
6
x dx
E =
x 1
•
6
1
6 6
x 1 1 dx
dx dx x E
x 1 x 1
6
7
6
x dx
E =
x 1
2 2
2 2
1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1
x ln arctg arctg c
12
4 3 3 3
x 2x 1 x x 1
•
2 2 2
2
4 2
2 4 2
2
2
1
1 dx
x 1 x 1 dx x 1 dx
x
1
x x 1
x 1 x x 1
x 1
x
4
8
6
x 1
E = dx
x + 1
2
2
2
2
1
1
d x
x 3
1 1 x x 3 1
x
x
ln c ln c
1
2 3 2 3 x x 3 1
1
x 3
x 3
x
x
Chương II. Nguyên hàm và tích phân
Trần Phương
22
•
4 2 2 2
2 6
2 4 2
x x 1 x dx x dx
dx
x 1 x 1
x 1 x x 1
4
9
6
x + 1
E = dx
x + 1
3
3
2 6
dx 1 d x 1
arctgx arctg x c
3 3
x 1 x 1
4 4
9 8
6
2
3
2
1 x 1 x 1 1
dx E E
2 2
x 1
1 1 1 x x 3 1
arctgx arctg x ln c
2 3
2 3 x x 3 1
10
6
dx
E =
x + 1
•
3 2 3
2
6 6 6
1 d x 1 d x 1 d x 1
D
3 2 3 2
x 1 x 1 x 1
2
11
6
x + x
E = dx
x + 1
(thay x
2
vào D
2
)
4 2 2
3
4 2
1 1 1 x 2x 1 1 2x 1
arctg x ln arctg c
3 2 6
x x 1
2 3 3
VI. DẠNG 6: SỦ DỤNG KHAI TRIỂN TAYLOR
• Đa thức P
n
(x) bậc n có khai triển Taylor tại điểm x
a là:
n
2 n
n n n
n n
P a P a P a
P x P a x a x a x a
1! 2! n!
1. Các bài tập mẫu minh họa:
•
4 3
1
50
3x 5x + 7x 8
F = dx
x + 2
. Đặt
4 3
4
P x 3x 5x 7x 8
3 4
2 3 4
4 4 4 4
4 4
P 2 P 2 P 2 P 2
P x P 2 x 2 x 2 x 2 x 2
1! 2! 3! 4!
2 3 4
4
P x 66 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2
2 3 4
1
50
50 49 48 47 46
49 48 47 46 45
66 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2
F dx
x 2
66 x 2 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2 dx
66 149 48 29 3
c
49 x 2 48 x 2 47 x 2 46 x 2 45 x 2
VII. DẠNG 7: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC CAO
1. Các bài tập mẫu minh họa:
Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ
23
•
99 99 98
99
99 99
1 3 5 3 1 3
5 5
3 5
3 5 3 5
1
100
dx
G =
3x + 5x
dx x x dx x dx
dx
x
x
x x x x
99 99
99
99 99
1 dx 1 d 3x 5 1 1 1 x
ln x ln 3x 5 c ln c
5 x 99 5 99 495
3x 5 3x 5
50 50 49
2 2
50
50 50
50 50 49 49 49
2 50 2
50
50 50
50
50
1 2x 7 2x 1 dx 2x dx
dx
7 7
x 2x 7
x 2x 7 2x 7
1 1 2x 7 2x 2x dx 1 dx 2x dx 1 2x dx
dx
7 7 49 x 7
2x 7
x 2x 7
2x 7 2x 7
1 dx 1 d 2x 7
49 x 50
2x 7
2
2
50
dx
G =
x 2x +7
50
2
50
50
50
50
50 50
1 d 2x 7
350
2x 7
1 1 1 1 x 1
ln x ln 2x 7 ln c
49 49.50 49.50
2x 7
350 2x 7 350 2x 7
n n n
k k 1 k
n n n
1 ax b ax 1 dx 1 d ax b
dx
b b nb
x ax b x ax b ax b
3
k
n
dx
G =
x ax + b
n n
2 k 2 2 k 1 k
n n n
1 dx 1 d ax b 1 d ax b
nb
b nb
x ax b ax b ax b
n
k k 1 k
k 1 n
n
n
k n k 1
k 1 n
n
1 1 1 1 1
ln x ln ax b c
n
b b
b ax b
b k 1 ax b
1 x 1 1 1
ln c
n
nb ax b
b ax b
b k 1 ax b
2000 2000 1999
2000 2000
2000 1000
2000
2000
2000
1 x 2x dx 2x dx
dx
x
x 1 x 1 x
dx 1 d 1 x 1 x
ln x ln 1 x c ln c
x 1000 1000
1 x
1 x
2000
4
2000
1 x dx
G =
x 1+ x
10 9 10 10 10
10
2 2 2
10 10 10
10 10
10
10 2
10
10
1 .10 1 1 3 3
3
10 10 10
3 3 3
1 3 3 1 3
3 ln 3
10 10
3
10 3
3
19
5
2
10
x dx
G = =
3 + x
x x dx x d x x
d x
x x x
d x d x
x c
x
x
x
Chương II. Nguyên hàm và tích phân
Trần Phương
24
50 49 50
50
7 7
50 50
50 50
6 7 5 6
50 50 50 50
50 50
6 6
50 50
x .x dx 1 2x 3 3
d 2x 3
200
2x 3 2x 3
1 d 2x 3 d 2x 3 1 1 1
3 c
200 200
2x 3 2x 3 5 2x 3 2 2x 3
1 2 2x 3 5 1 4x
c c
200
10 2x 3 2000 2x 3
99
6
7
50
x dx
G =
2x 3
•
n n 1
k
n
x x dx
ax b
2n-1
7
k
n
x dx
G =
ax + b
n
n
2 k
n
1 ax b b
d ax b
na
ax b
n n
2 k 1 k 2 k 2 k 1
n n n n
1 d ax b d ax b 1 1 b
b c
na na
ax b ax b k 2 ax b k 1 ax b
n n
2 k 1 k 1
n 2 n
1 b k 2 k 1 ax b kax b
c c
na
k 1 k 2 ax b na k 1 k 2 ax b
2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
5
****
1 2 3 4 5
8 8 8 8 8
xdx x x dx xdx dx
G ; G dx ; G ;G ; G
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
VIII. DẠNG 8: KĨ THUẬT CHỒNG NHỊ THỨC
•
10
2
3x 5 dx
x 2
x 2
10
1
12
3x 5
H = dx
x + 2
10 11
1 3x 5 3x 5 1 3x 5
d c
11 x 2 x 2 121 x 2
•
99 99
2
7x 1 dx 1 7x 1 7x 1
d
2x 1 9 2x 1 2x 1
2x 1
99
2
101
7x 1
H = dx
2x + 1
100 100
1 1 7x 1 1 7x 1
c c
9 100 2x 1 900 2x 1
•
5 5 6 2
8
dx 1 1 dx
x 3 x 3
x 5 x 5
x 5
x 5 x 5
3
5 3
dx
H =
x + 3 x + 5
Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ
25
6
6
7 5 7 5
1 1 x 3 x 5 1 1
x 3
d u 1 du
x 5
x 5
2 2 u
x 3
x 5
6 5 4 3 2
7 5
7 2 3 4 5
2
7 2 3 4
1 u 6u 15u 20u 15u 6u 1
du
2 u
1
15 20 15 6
1
u 6 du
u
2 u u u u
1 u
20 15
2 1
6u 15ln u c
u
2
2 2u u 4u
2
7
2 3 4
7
1 1 x 3
x 3 x 3
6 15ln
x 5 x 5
2 x 5
2
1
x 5 15 x 5 x 5 x 5
1
20 2 c
x 3 2 x 3 x 3 4 x 3
2
Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
•
1
7 3
dx
H =
3x 2 3x+4
;
1
2
3 4
dx
H =
2x 3x-1
;
3
5 4
dx
H =
3x+ 2 4x -1
