Khóa luận tốt nghiệp " Phương pháp toán tử cho bài toán Exciton hai chiều " docx

TRƯ NG

B GIÁO D C VÀ ÀO T O
I H C SƯ PH M THÀNH PH H

CHÍ MINH

KHOA V T LÝ
o0o

KHÓA LU N T T NGHI P

Giáo viên hư ng d n:
ThS. HOÀNG

NG C TR M

Sinh viên th c hi n:
TRƯƠNG M NH TU N

Tp. H H CHÍ MINH 05/2010


Lu n văn t t nghi p

Ng c Tr m ȱ 2010ȱ

GVHD: Th.S Hồng

L i c m ơn
Trong q trình th c hi n và hồn thành khóa lu n này, ngoài nh ng n l c c a

b n thân, tôi

ã nh n ư c s quan tâm giúp

trong khoa V t lý trư ng
Tôi xin

và

ng viên c a quý th y cô

i h c Sư ph m thành ph H Chí Minh

ơc bày t lịng bi t ơn chân thành t i ThS. Hoàng

Ng c Tr m -

giáo viên hư ng d n lu n văn này – cơ ã t n tình hư ng d n, truy n th cho tôi
nh ng ki n th c b ích, nh ng kinh nghi m quý báu

tôi th c hi n khóa lu n này,

ng th i truy n cho tơi lịng nhi t tình trong nghiên c u khoa h c.
Tôi cũng xin ư c c m ơn anh Lê Quý Giang, ch Nguy n Th M n và các thành
viên cùng

tài Nghiên c u khoa h c ã hư ng d n, giúp

tôi trong vi c l p

trình v i ngơn ng l p trình FORTRAN 77.
Xin c m ơn gia ình, ngư i thân ã h tr tinh th n tơi có th hồn thành khóa
lu n này.
M t l n n a tôi xin chân thành c m ơn.
Trương M nh Tu n

SVTH: Trương M nh Tu n

Trang 1


Lu n văn t t nghi p

GVHD: Th.S Hoàng

M

Ng c Tr m ȱ 2010ȱ

U

Ngày nay v i s phát tri n như vũ bão c a khoa h c k thu t, các h lư ng t
ư c xét

n ngày càng a d ng, trong ó có nhi u bài tốn chưa tìm ư c l i gi i, t

ó phát sinh nhu c u xây d ng và phát tri n các phương pháp gi i các bài toán cơ h c
lư ng t - c th là gi i các phương trình Schrưdinger. M t trong nh ng phương pháp
m nh và ph bi n có th k

n là phương pháp lý thuy t nhi u lo n. Ý tư ng chính

c a lý thuy t nhi u lo n là tách Hamiltonian c a bài toán thành hai thành ph n: m t
ph n có th xác

nh ư c nghi m chính xác, ph n cịn l i là “nhi u lo n” s

óng góp

vào k t qu thơng qua các b chính; trong ó i u ki n áp d ng là thành ph n “nhi u
lo n” ph i nh so v i thành ph n chính.

ây cũng chính là h n ch l n c a phương

pháp này, vì trong th c t m t s trư ng h p thành ph n tách ra không
“nhi u lo n”. Như v y, vi c xây d ng m t phương pháp

nh

coi là

gi i các bài toán phi nhi u

lo n là c n thi t.
Phương pháp toán t (Operator Method, vi t t t là OM) ư c xây d ng t th p
niên 80 c a th k trư c.

ây là m t trong các phương pháp m nh cho m t d i r t r ng

các bài toán phi nhi u lo n nêu trên [7].

Ý tư ng chính c a OM [7] n m trong b n bư c sau: (1) - Bi u di n toán t
ˆ ˆ
Hamiltonian qua các toán t sinh h y: H ( x, p) → H (a, a + , ω ) ; (2) - Tách Hamiltonian
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
thành ph n trung hòa và khơng trung hịa: H (a, a + , ω ) = H 0 (a + a, ω ) + V (a, a + , ω ) ; (3) ˆ ˆ
Ch n tham s ω sao cho H 0 (a + a, ω ) là thành ph n chính c a Hamiltonian và t
ˆ ˆ
có nghi m riêng c a H 0 (a + a, ω ) là năng lư ng g n

ây ta

úng b c không; (4)- Xem

ˆ ˆ
V (a, a + , ω ) là thành ph n nhi u lo n và tính các b chính b c cao theo các sơ

thích

h p.
Qua nghiên c u và ng d ng trong m t lo t các bài toán c th v lý thuy t
trư ng, ch t r n, v t lý nguyên t … OM ã ch ng t tính ưu vi t và hi u qu c a nó [7]
. M t s ưu i m có th k ra như: (1) ph c t p, ưa v các phép bi n
SVTH: Trương M nh Tu n

i thu n

ơn gi n hóa vi c tính toán các y u t ma tr n
i s . Vì v y có th s d ng các chương trình

Trang 2


Lu n văn t t nghi p

GVHD: Th.S Hồng

tính tốn trên bi u tư ng như Matlab, Mathematica

t

Ng c Tr m ȱ 2010ȱ

ng hóa q trình tính tốn;

(2) - Cho phép xét các h lư ng t v i trư ng ngồi có cư ng

b t kì. T

ây có th

tìm giá tr năng lư ng và hàm sóng c a h trong toàn mi n thay

i c a tham s trư ng

ngồi.
M t trong nh ng khó khăn chung khi áp d ng OM là a ph n các bài tốn có
tốn t Hamilton ch a các bi n

ng l c

m u s ho c trong trong d u căn nên n u

ơn thu n chuy n sang bi u di n các tốn t sinh h y thì s gây khó khăn khi tính tốn.
gi i quy t v n

này, trong các cơng trình trư c [2], [7] các tác gi

liên h gi a bài toán nguyên t hydro và bài tốn dao

ng t

i u hịa thơng qua phép

i Levi-Civita giúp ưa các phương trình v d ng bài toán dao

bi n

ã s d ng m i

ng t phi hòa

khá quen thu c – cách gi i này khá “ p m t” v hình th c và cũng ã phát huy tác
d ng
xác

i v i m t s bài toán [7]. Tuy nhiên,

i v i các bài toán ph c t p hơn, vi c

nh năng lư ng m t cách gián ti p như v y gây m t s khó khăn khi tính tốn, l p

trình

tìm nghi m. Do ó, trong

tài này tơi s d ng phương pháp tốn t tìm năng

lư ng E m t cách tr c ti p b ng cách s d ng phép bi n

i Laplace

ưa ph n t a

ra kh i m u s và d u căn. ây ư c coi là m t bư c phát tri n OM.
V i ý nghĩa óng góp vào s phát tri n c a OM, lu n văn này ch áp d ng OM
cho m t bài toán ơn gi n, d dàng tìm nghi m chính xác b ng phương pháp gi i tích
ti n

i chi u, so sánh và rút ra k t lu n: bài toán exciton hai chi u, t

ó có cơ s

áp d ng cho các bài toán ph c t p hơn sau này. Tuy ây là bài toán ơn gi n nhưng
cũng là m t bài toán ư c quan tâm do ý nghĩa th c ti n c a nó [3], [8].
M t trong nh ng khâu quan tr ng khi s d ng OM là ch n giá tr tham s t do

ω , vi c ch n ω phù h p s t i ưu hóa t c

tính tốn do ó kh o sát s h i t c a

phương pháp theo tham s ω là m t nhi m v quan tr ng.
V i m c tiêu là tìm hi u sâu hơn v m t s v n

trong cơ h c lư ng t và bư c

u làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c, tác gi t

t ra cho mình các nhi m v

như sau:

SVTH: Trương M nh Tu n

Trang 3


Lu n văn t t nghi p

Ng c Tr m ȱ 2010ȱ

GVHD: Th.S Hồng

- Tìm hi u v lý thuy t nhi u lo n, c th là nhi u lo n d ng, tính l i sơ

xác

nh các b chính năng lư ng, hàm sóng, áp d ng cho m t bài toán ph bi n trong cơ
h c lư ng t là bài tốn dao
- Tìm hi u v OM (sơ

ng t phi i u hịa.
tính tốn, các ưu i m..) trên cơ s

i chi u, so sánh

v i phương pháp lý thuy t nhi u lo n thơng qua vi c gi i bài tốn dao

ng t phi i u

hịa.
- Hồn thi n các kĩ năng tính tốn: tính tốn trên các tốn t sinh h y, bi n

i

gi i tích.
- Bư c
-

u làm quen v i ngơn ng l p trình (FORTRAN 77, 90).

ưa ra l i gi i cho bài toán exciton hai chi u b ng phương pháp toán t , so sánh

v i k t qu thu ư c b ng l i gi i gi i tích.
- Kh o sát tính h i t c a phương pháp toán t theo tham s ω .
Phương pháp nghiên c u:
- Tính tốn

is

tìm bi u th c gi i tích.

- S d ng ngơn ng l p trình FORTRAN 77

tìm nghi m s .

i chi u, so sánh k t qu s thu ư c b ng l i gi i gi i tích và l i gi i theo OM.

-

B c c c a lu n văn ư c tác gi chia làm 4 chương:
Chương 1: Gi i thi u phương pháp toán t qua bài toán dao
Tác gi gi i thi u OM thơng qua ví d bài tốn dao
th i

ng t phi i u hòa

ng t phi i u hòa,

i chi u v i phương pháp lý thuy t nhi u lo n truy n th ng

hi u qu c a phương pháp này. Trư c h t tác gi vi t l i sơ

ng

th y ư c tính

lý thuy t nhi u lo n

Rayleigh-Schrödinger và áp d ng cho bài tốn nêu trên. Sau ó tác gi

ưa ra các bư c

cơ b n c a OM và áp d ng cho cùng m t bài toán. K t qu b ng s cho th y phương
pháp nhi u lo n ch áp d ng ư c cho trư ng h p tham s phi i u hòa λ

0.1 trong

khi phương pháp toán t cho k t qu h i t nhanh hơn nhi u l n và úng cho m i giá tr
c a tham s λ . Chúng ta s s d ng phương pháp này

gi i quy t v n

nêu ra trong

lu n văn.
SVTH: Trương M nh Tu n

Trang 4


Lu n văn t t nghi p

GVHD: Th.S Hoàng

Ng c Tr m ȱ 2010ȱ

Chương 2: Exciton – Bài toán exciton hai chi u
Chương này tác gi gi i thi u các ki n th c cơ b n v exciton, thi t l p phương
trình Schrưdinger cho bài tốn và ưa ra l i gi i gi i tích. ây là các ki n th c n n, làm

cơ s cho ph n ti p theo.
Chương 3: Phương Pháp Toán T Bài toán exciton hai chi u
Tác gi ti n hành áp d ng OM

gi i quy t bài toán exciton hai chi u. Dùng

chương trình FORTRAN 77

gi i các phương trình truy tốn, tìm ra m t s m c năng

lư ng c a exciton hai chi u,

ng th i kh o sát s h i t tương ng v i m c năng

lư ng cơ b n theo giá tr ω .
Ph n k t lu n: Vi c áp d ng phép bi n

i Laplace và OM có th gi i quy t hi u qu

bài tốn exciton hai chi u. K t qu thu t bài tốn exciton hai chi u ngồi trư ng h p
m c năng lư ng cơ b n, các trư ng h p m c năng lư ng kích thích hồn toàn phù h p
v i k t qu thu ư c t phương pháp gi i tích. V i vi c kh o sát tham s ω trong bài
toán, ta ã xác

nh ư c các giá tr ω

thích. Hư ng phát tri n ti p c a
hóa t c

tài là: ti p t c kh o sát ω

tính tốn, s d ng các sơ

ra ư c sơ

c bi t trong trư ng h p m c năng lư ng kích

tính tốn phù h p. T

khác nhau

tìm ra quy lu t t i ưu

tính tốn nghi m chính xác, ch n

ó ng d ng OM cho bài toán exciton âm và

exciton dương trong t trư ng…

SVTH: Trương M nh Tu n

Trang 5


Lu n văn t t nghi p

GVHD: Th.S Hoàng

Ng c Tr m ȱ 2010ȱ

CHƯƠNG 1

GI I THI U PHƯƠNG PHÁP TỐN T
TỐN DAO

NG T

QUA BÀI

PHI I U HỊA

Trong chương này ta s gi i thi u các bư c cơ b n c a OM thơng qua ví d bài
tốn dao

ng t phi i u hòa.

minh h a nh ng ưu i m c a phương pháp m i này

ta s trình bày song song v i phương pháp lý thuy t nhi u lo n [1], [4] và so sánh các
k t qu b ng s c a hai phương pháp.

1.1 Sơ

Rayleigh- Schrödinger cho phương pháp nhi u lo n d ng

Xét phương trình Schrưdinger d ng:

ˆ
H Ψ ( x) = E Ψ ( x) ,

(1.1)

ta tách toán t Hamilton c a bài toán thành hai thành ph n:

ˆ
ˆ
ˆ
H = H 0 + βV ;

(1.2)

ˆ
trong ó thành ph n H 0 là tốn t Hamilton có nghi m riêng chính xác:
ˆ
H 0ψ n = ε nψ n ,

(1.3)

ˆ
thành ph n V còn l i ư c g i là th nhi u lo n, i u ki n áp d ng lý thuy t nhi u
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
lo n là thành ph n nhi u lo n V ph i “nh ” so v i H 0 , V << H 0 , tham s nhi u
lo n β ( β << 1 ) ư c thêm vào

ch

ˆ

thành ph n V là nh . Khi ó, nghi m c a

phương trình (1.3) s g n v i nghi m c a phương trình (1.1). Lúc này chúng ta xem ε n
và ψ n là nghi m g n úng b c không c a (1.1), các nghi m g n úng b c cao hơn s
ư c tính b ng cách xét

ˆ
n nh hư ng c a V thông qua các b chính năng lư ng và

SVTH: Trương M nh Tu n

Trang 6


Lu n văn t t nghi p
hàm sóng.

GVHD: Th.S Hồng

ây ta ưa vào tham s nhi u lo n β

Ng c Tr m ȱ 2010ȱ

coi thành ph n nhi u lo n là nh
tính tốn qua s mũ c a β .

và d dàng nhìn th y các b c nhi u lo n trong sơ

ˆ
Ta gi thi t r ng các tr riêng c a H là không suy bi n và có ph gián o n, h

ˆ
hàm riêng ψ n c a H 0 là

y

và tr c giao ng v i năng lư ng ε n , v i n = 0,1, 2,... .

ˆ
Khi ó, chúng ta tìm nghi m c a (1.1) dư i d ng khai tri n theo các hàm riêng c a H 0
như sau:
+∞

Ψ ( x ) = ∑ Ck ψ k ( x ) .
k =0

Khơng m t tính t ng qt ta có th gi thi t hàm sóng cho tr ng thái n như sau:

Ψ n ( x) = ψ n ( x) +

+∞

∑C

k =0
( k ≠n )

k

ψ k ( x) .

(1.4)

Th (1.4) vào phương trình (1.1) ta có:
+∞
+∞



ˆ
ˆ 
( H 0 + β V ) ψ n ( x) + ∑ Ck ψ k ( x)  = En ψ n ( x) + ∑ Ck ψ k ( x)  .
k = 0, k ≠ n
k = 0, k ≠ n





(1.5)

Nhân hai v c a (1.5) v i ψ n* ( x) r i tích phân theo tồn mi n bi n s x ta ư c:



ˆ
ˆ
ψ n* ( x)( H 0 + βV ) ψ n ( x) +


+∞




Ck ψ k ( x)  =ψ n* ( x) En ψ n ( x) + ∑ Ck ψ k ( x)  ,
∑≠n
k = 0, k
k = 0, k ≠ n



+∞

suy ra:

H nn + β Vnn + β

+∞

∑

k =0 ( k ≠ n )

Ck Vnk = En .

(1.6)

Bây gi làm tương t như trên cho ψ j * ( x), j ≠ n ta ư c:
+∞
+∞
ˆ + βV ) ψ ( x) + ∑ C ψ ( x)  =ψ * ( x) E ψ ( x) + ∑ C ψ ( x)  ,

ˆ 
ψ j ( x)( H 0


n
k
k
j
n n
k
k
k = 0, k ≠ n
k =0, k ≠ n




*

suy ra:
SVTH: Trương M nh Tu n

Trang 7


Lu n văn t t nghi p

GVHD: Th.S Hoàng

Ng c Tr m ȱ 2010ȱ

+∞

( En − H jj )C j = β V jn + β ∑ CkV jk , ( j ≠ n )

(1.7)

k =0
k ≠n

v i ký hi u các y u t ma tr n:
+∞
ˆ
H kk = ∫ ψ k * ( x) H 0 ψ k ( x)dx ,
−∞

H phương trình

+∞
ˆ
V jk = ∫ ψ j * ( x) V ψ k ( x) dx .
−∞

(1.8)

i s (1.6) - (1.7) có th xem tương ương v i phương trình

Schrưdinger (1.1). Gi i h phương trình này ta thu ư c năng lư ng En và các h s

C j , nghĩa là tìm ư c hàm sóng Ψ n ( x) qua cơng th c (1.4). Ta có th s d ng lý

thuy t nhi u lo n cho h phương trình này b ng cách phân tích theo tham s nhi u lo n
như sau:
+∞

En = En (0) + ∑ β s ∆E ( s ) ,

(1.9)

s =1

+∞

C j = C j (0) + ∑ β s ∆C j ( s ) , j ≠ n .

(1.10)

s =1

ây ta ký hi u En (0) , C j (0) là năng lư ng và h s g n úng b c khơng, cịn

∆En ( s ) , ∆C j ( s ) , s ≥ 1 là các b chính vào năng lư ng và h s hàm sóng.
(1.10) th vào (1.7), (1.8) sau ó

em (1.9) và

ng nh t hai v theo lũy th a c a tham s β ta ư c:

En (0) = H nn , C j (0) = 0 ,

∆En (1) = Vnn , ∆C j (1) =

V jn
En (0) − H jj

( j ≠ n) ;

+∞

∆En ( s ) = ∑Vnk ∆Ck ( s −1) ,

s ≥ 2:

k =0
k ≠n

∆C j

ây là sơ

(s)

 +∞

s −1
1
 V ∆C ( s−1) − ∆E ( s −t ) ∆C ( t )  ( j ≠ n ) .
= (0)
∑ jk k
∑ n
j


En − H jj  k =0
t =1
 k ≠n




(1.11)

lý thuy t nhi u lo n mà ta s s d ng trong các ph n sau.

SVTH: Trương M nh Tu n

Trang 8


Lu n văn t t nghi p

1.2. Phương pháp nhi u lo n và dao
Ta xét bài toán dao

Ng c Tr m ȱ 2010ȱ

GVHD: Th.S Hoàng

ng t phi i u hịa

ng phi i u hịa v i tốn t Hamilton có d ng sau:

1 d2 1 2
ˆ
H =−
+ x + λ x4 ,
2
2 dx
2

(1.12)

v i h s phi i u hịa λ > 0 . Bài tốn này có d ng chuy n

ng trong h th và có các

m c năng lư ng gián o n.
Ta s s d ng phương pháp nhi u lo n ã

c p

trên

gi i quy t bài toán này.

Trư c h t ta chia toán t Hamilton thành hai ph n như sau:
ˆ
ˆ
ˆ
H = H0 + V ,

v i:

2
ˆ = − 1 d + 1 x2 ,
H0
2 dx 2 2

ˆ
V = λ x4 .

(1.13)

ˆ
Toán t Hamilton g n úng H 0 có nghi m riêng chính xác là các hàm sóng c a
dao

ng t

i u hòa:

 x2
 2

ψ n = An exp  −
v i H n ( x ) là a th c Hermit:


 Hn ( x) ,


(1.14)

d n − x2
H n ( x ) = (−1) e
e .
dx n
n

x2

Hàm sóng này ng v i tr riêng là năng lư ng g n úng b c không ε n = n +
Các y u t ma tr n c a các toán t

ˆ
ˆ
H 0 và V

1
.
2

ng v i các hàm s (1.14) có th

tính ư c như sau ( xem ph l c 3):
H nn = n +

SVTH: Trương M nh Tu n

1
2

Trang 9

Lu n văn t t nghi p

GVHD: Th.S Hoàng
Vn , n + 4 =

λ

(n + 4)(n + 3)(n + 2)( n + 1) ,

4

Vn , n + 2 =

λ
2

(2n + 3) (n + 2)(n + 1) ,

Vnn =

λ
4

(6n 2 + 6n + 3) .

Các y u t ma tr n khác khơng khác thu ư c t tính
K t qu : Trong các b ng sau chúng ta s

(1.15)
i x ng: Vkm = Vmk .

ưa ra các s li u thu ư c cho trư ng

h p tr ng thái cơ b n n = 0 và m t tr ng thái kích thích n = 4 .

ˆ
thuy t nhi u lo n ψ n V ψ n

Ng c Tr m ȱ 2010ȱ

i u ki n áp d ng lý

ˆ
ψ n H 0 ψ n lúc này tr thành:

λ
4

(6n2 + 6n + 3)

→λ

n+

1
2

2 ( 2n + 1)

.
6n 2 + 6n + 3

V i tr ng thái cơ b n: n = 0 thì → λ

(1.16)

0.67 , ta s xét các trư ng h p ng v i các

giá tr λ = 0.01, λ = 0.05 , λ = 0.1 , λ = 0.3 và thu ư c các m c năng lư ng tương ng
trong b ng 1.1.

SVTH: Trương M nh Tu n

Trang 10


Lu n văn t t nghi p

GVHD: Th.S Hoàng

Ng c Tr m ȱ 2010ȱ

B ng 1:1 Tr ng thái cơ b n n = 0 thu ư c b ng lý thuy t nhi u lo n.

λ = 0.01

λ = 0.05

λ = 0.1

λ = 0.3

E0(0)

0.5000000000

0.5000000000

0.5000000000

0.5000000000

(
E01)

0.5075000000

0.5375000000

0.5750000000

0.7250000000

E0(2)

0.5072375000

0.5309375002

0.5487500013

4.8875000929

(
E03)

0.5072583125

0.5335390626

0.5695624993

1.0506874797

(
E0 4)

0.5072558996

0.5320310060

0.5454335949

-0.9037538228

(
E05)

0.5072562577

0.5331500624

0.5812433983

7.7980283886

(
E06)

0.5072561937

0.5321503309

0.5172605857

-38.8454419856

(
E07 )

0.5072562070

0.5331891854

0.6502339597

251.9673269259

(

E08)

0.5072562038

0.5319607395

0.3357518043

-1811.3500941848

(
E09)

0.5072562047

0.5335887505

1.1692934364

14595.2498498883

(
E010 )

0.5072562044

0.5311982288

-1.2786007173

-129950.4520395805

V i tr ng thái kích thích: n = 4 i u ki n ta thu ư c là → λ

0.146 . Ta s xét

các trư ng h p ng v i các giá tr λ = 0.01, λ = 0.03 , λ = 0.06 , λ = 0.1 . Khi ó ta có các
m c năng lư ng tương ng

b ng 1.2.

B ng 1.2: Tr ng thái kích thích n = 4 thu ư c b ng lý thuy t nhi u lo n.

λ = 0.01

λ = 0.03

(
E40)

4.5000000000

4.5000000000

4.5000000000

4.5000000000

(
E41)

4.8075000000

5.4225000000

6.3450000000

7.5750000000

(2)
E4

4.7668874959

5.0569874638

4.8829498552

3.5137495980

(
E43)

4.7775845596

5.3458081837

7.1935156144

14.2108132978

(
E44)

4.7738544635

5.0436703988

2.3593110572

-23.0901477918

(
E45)

4.7753851516

5.4156275988

14.2619414562

129.9786587800

(
E46)

4.7746833968

4.9040483689

-18.4791292566

-571.7761147298

(
E47 )

4.7750329077

5.6684285196

79.3615300321

2923.3320274444

SVTH: Trương M nh Tu n

λ = 0.06

λ = 0.1

Trang 11


Lu n văn t t nghi p

GVHD: Th.S Hoàng

Ng c Tr m ȱ 2010ȱ

(
E48)

4.7748469756

4.4448528730

-232.9328160495

-15669.8670185477

(
E49)

4.7749514618

6.5051300165

820.0470425212

888816.3030916408

(
E410 )

4.7748899061

2.8703274765

-2901.9907584706

-526740.6987256789

Nh n xét:
Ta th y

i v i tr ng thái cơ b n (b ng 1.1) trong trư ng h p λ = 0.01, khá nh so

v i gi i h n c a i u ki n nhi u lo n, k t qu b chính b c sáu cho chính xác t i sáu
ch s sau d u ph y. V i trư ng h p λ = 0.05 , m c dù v n nh so v i i u ki n nhi u
lo n xong ã th y có d u hi u phân kì, ch cịn chính xác
C th

n hai ch s sau d u ph y.

n giá tr λ = 0.1 ta th y k t qu phân kì, các b chính b c ba ã cho k t qu

khơng phù h p, và v i λ ≥ 0.03 lý thuy t nhi u lo n khơng cịn úng n a. Ta cũng
nh n th y k t qu tương t

tr ng thái kích thích n = 4 (b ng 1.2)

Như v y khi s d ng sơ

lý thuy t nhi u lo n ch s d ng ư c m t s b chính

u tiên. Các b chính b c cao khơng có ý nghĩa, bên c nh ó t c

h i t c a năng

lư ng không cao và ch áp d ng cho mi n λ nh .
1.3 Phương pháp toán t cho bài toán dao

ng t phi i u hòa

Nh ng ý tư ng v OM ã xu t hi n vào nh ng năm 1979. Tuy nhiên, OM ư c

ưa ra
ư c

u tiên vào năm 1982 b i m t nhóm các giáo sư

trư ng

i h c Belarus và

ng d ng thành công cho m t nhóm r ng rãi các bài tốn như các polaron,

bipolaron trong trư ng i n t , bài toán tương tác chùm i n t v i c u trúc tinh th ,...
trong v t lý ch t r n; bài toán tương tác h các boson trong trong lý thuy t trư ng.
Phương pháp này ư c phát tri n b i Fernandez, Meson và Castro, Gerryva Silverman,
Wistchel và nhi u tác gi khác [7].
Ta s trình bày các i m chính c a phương pháp OM trên cơ s ví d bài tốn dao
ng t phi i u hòa m t chi u. K t qu thu ư c s so sánh v i phương pháp nhi u
lo n

trên.
Xét phương trình Schrưdinger (1.1) cho dao

ng t phi i u hịa v i tốn t

Hamilton khơng th ngun (1.14). Ta s gi i phương trình này b ng OM v i b n bư c
cơ b n như sau:

SVTH: Trương M nh Tu n

Trang 12


Lu n văn t t nghi p

Ng c Tr m ȱ 2010ȱ

GVHD: Th.S Hồng

Bư c m t: Chuy n tốn t Hamilton v bi u di n c a các toán t sinh - h y b ng
cách

t bi n s

ng l c (t a

và tốn t

o hàm) thơng qua các toán t sau:

ω

i 
ω

1 d 
ˆ
ˆ
 x + ω p  = 2  x + ω dx  ;
2




ˆ
a=

ω

(1.17)

ω
1 d 
ˆ
ˆ
 x − ω p  = 2  x − ω dx  .
2




ˆ
a+ =

i

ˆ
ˆ
ây toán t a ư c g i là “toán t h y” và a + ư c g i là “toán t sinh” (xem
[1],[4]); ω là tham s th c dương ư c ưa thêm vào

t i ưu q trình tính tốn, ta s

nói rõ hơn v tham s này trong bư c ba.
Ta d dàng thu ư c h th c giao hoán:
 a, a +  = 1 .
ˆ ˆ 

(1.18)

H th c này s giúp ta ưa các toán t sinh h y v d ng chu n, nghĩa là các tốn
t sinh n m
tính tốn

phía bên trái và các tốn t h y n m v phía bên ph i, thu n l i cho các

i s sau này. T

ây v sau ta g i nó là d ng chu n (normal) c a toán t

Th (1.17) vào (1.12) và s d ng (1.18), ta ư c bi u th c d ng chu n c a toán t
Hamilton như sau( ph l c 1):

ˆ 1+ ω
H=

4ω
+

λ
4ω 2

2

ˆ ˆ
( 2a + a + 1) +

( )

a4 + a
ˆ
ˆ



1−ω2
4ω

ˆ
+ 4(a

+ 4

Bư c hai: Tách Hamiltonian

)

( )

a 2 + a +
ˆ
ˆ



+ 3

2

 + 3λ
 4ω 4


ˆ
ˆ ˆ
ˆ
a + 4a + a 3 + 6 ( a

)

(

2 a+ a
ˆ ˆ



+ 2

)

2

ˆ ˆ
+ 2a + a + 1



ˆ
+ 6a 2  .


(1.19)



(1.19) thành hai thành ph n như sau:

ˆ OM ˆ ˆ,
ˆ ˆ ˆ
- Ph n th nh t là H 0 ( a + a λ , ω ) ch ch a các tốn t “trung hịa” n = a + a ,
nghĩa là bao g m các tốn t có s toán t sinh và s toán t h y b ng nhau:

ˆ OM 1 + ω
H0 =
4ω

2

λ
ˆ ˆ
( 2a a + 1) + 43ω
+

2

(

2 a+ a
ˆ ˆ



)

2

ˆ ˆ
+ 2a + a + 1 .



(1.20)

ˆ
ˆ ˆ OM ˆ ˆ

ˆ ˆ
- Ph n cịn l i ta kí hi u là V OM ( a + , a, λ ,ω ) = H − H 0 ( a + a, λ , ω ) .

SVTH: Trương M nh Tu n

Trang 13


Lu n văn t t nghi p

Ng c Tr m ȱ 2010ȱ

GVHD: Th.S Hoàng

Như v y, tương t như trong lý thuy t nhi u lo n,

ây ta tách toán t Hamilton

ˆ OM ˆ ˆ,
thành hai thành ph n: thành ph n H 0 ( a + a λ , ω ) có nghi m chính xác mà chúng ta s
ˆ
ˆ ˆ
d dàng xây d ng dư i ây; riêng thành ph n V OM ( a + , a, λ , ω )
ph n “nhi u lo n” s

ư c i u ch nh “

nh ”

ư c xem như thành

th a i u ki n c a lý thuy t nhi u

lo n thông qua vi c ch n tham s ω .
Bư c ba: Tìm nghi m chính xác b c không b ng cách gi i phương trình:
0
0
0
ˆ OM ˆ ˆ
H 0 ( a + a, λ , ω ) ψ ( ) = E ( ) ψ ( ) .

(1.21)

ˆ OM ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
Ta th y H 0 ( a + a, λ , ω ) giao hoán v i toán t n = a + a và nghi m c a nó d dàng
xây d ng như sau [4]:

ˆ
(a )
n!

1

n(ω ) =
ây ta ã s d ng kí hi u Dirac

+ n

0 ,

(1.22)

nh nghĩa, khi ó nghi m (1.22) ta g i là vector

tr ng thái; và tr ng thái “chân không” (Vacuum) 0

ˆ(
a ω ) 0 = 0;

ư c xác

nh b ng phương trình:

0 0 = 0.

(1.23)

Khi c n thi t chúng ta có th s d ng phương trình này

xác

nh d ng tư ng

minh c a hàm sóng bi u di n tr ng thái chân khơng.
T các tính ch t c a toán t sinh – h y (1.18), ta d dàng ki m ch ng:

ˆ ˆ
a+a n = n n ;

(1.24)

ˆ ˆ ˆ
i u này có nghĩa là tr ng thái (1.23) là nghi m riêng c a toán t n = a + a , nghĩa là nó
ˆ ˆ ˆ,
cũng là nghi m riêng c a toán t H 0 ( a + a λ , ω ) .
Ta có:
1 + ω 2
λ
(0
ˆ OM
ˆ ˆ
En ) = n H 0 n = n 
( 2a+ a + 1) + 43ω 2
 4ω

(

2 a+ a
ˆ ˆ



1+ ω2
3λ
=
( 2n + 1) + 4ω 2 ( 2n2 + 2n + 1) ,
4ω
SVTH: Trương M nh Tu n

)

2



ˆ ˆ
+ 2a + a + 1  n



(1.25)

Trang 14


Lu n văn t t nghi p

GVHD: Th.S Hoàng

Ng c Tr m ȱ 2010ȱ

là năng lư ng g n úng b c không, ph thu c vào tham s ω (xem ph l c 3). Như ã
nói, ây là tham s

ư c ưa vào

t i ưu hóa q trình tính toán, ta xác

nh ω t

i u ki n:
(
∂En )
= 0.
∂ω
0

Tiêu chí

(1.26)

ch n giá tr ω theo OM ã ư c th o lu n trong m t s cơng trình [7]

và ã ch ra r ng i u ki n (1.26) cho ta k t qu tương
không

i v i nhi u bài tốn khác nhau.

i chính xác

g n úng b c

i u ki n (1.26) cũng phù h p v i i u ki n

ˆ
ˆ
H 0 >> V . V i bài toán chúng ta ang xét, i u ki n (1.26) d n t i phương trình

xác

nh ω như sau:

( 2n + 1) ω 3 − ( 2n + 1) ω − 6λ ( 2n2 + 2n + 1) = 0 .

(1.27)

Bư c b n: Phương pháp toán t (OM) tìm nghi m b ng s :
n ây chúng ta có th s d ng sơ

c a lý thuy t nhi u lo n (1.9)-(1.11)

tính các b chính b c cao. Ngồi ra, do tính h i t c a OM r t cao và chúng ta có tham
s t do ω

i u khi n t c

h i t , ta có th s d ng sơ

vịng l p

gi i tr c

ti p h phương trình (1.6)-(1.7).
Hàm sóng có th vi t dư i d ng chu i c a các vector tr ng thái như sau:

Ψ (n ) = n +
s

n+ s

∑ C( ) k

k =0
( k ≠n)

s

k

.

(1.28)

Th (1.28) vào phương trình (1.1) ta có:





n+s
n+ s
ˆ + βV )  n + ∑ C ( s ) k  = E  n + ∑ C ( s ) k  .
ˆ
(H 0
k
n
k





k =0
k =0




(k ≠n)
( k ≠n)





(1.29)

Nhân hai v c a (1.29) v i n ta ư c:





n+ s
n+ s
ˆ + βV )  n + ∑ C ( s ) k  = n E  n + ∑ C ( s ) k  ,
ˆ
n (H0
k
n

k




k =0
k =0




( k ≠n)
( k ≠n)




SVTH: Trương M nh Tu n

Trang 15


Lu n văn t t nghi p

GVHD: Th.S Hoàng

Ng c Tr m ȱ 2010ȱ

suy ra:
(

Ens ) = H nn + Vnn +

n+s

∑≠n Ck( s )Vnk .
k =0, k

(1.30)

Bây gi làm tương t như trên cho j , j ≠ n ta ư c:





n+ s
n+s
ˆ + βV )  n + ∑ C ( s ) k  = j E  n + ∑ C ( s ) k  ,
ˆ
j (H0
k
n
k




k =0
k =0





( k ≠n)
(k ≠n)




suy ra:
n+s

(
( En s ) − H jj )C (j s +1) = V jn + ∑ Ck( s )V jk , ( j ≠ n )

(1.31)

k =0
k ≠n

s −1
s −1
s
s
Vì Ck ( ) và Ck ( ) cũng như ε n( ) và ε n( ) sai khác nhau r t ít. Nên ta có ư c sơ

vịng vịng l p như sau:
(s)
n

E

= H nn + Vnn +

n+s

∑≠n Ck( s )Vnk ,
k =0, k
n+s

(
( En s ) − H jj )C (j s +1) = V jn + ∑ Ck( s )V jk ,

(1.32)

k =0
k ≠n

v i i u ki n ban

0
u là C (j ) = 0,

( j ≠ n) .

Chú ý r ng

ây chúng ta không c n s

(

d ng tham s nhi u lo n cho nên ã cho β = 1 . Ngoài ra các giá tr Ens ) , C (js ) tương ng

v i các bư c l p khác nhau ch không ph i là b chính.
Các y u t ma tr n trong sơ
ư c

trên cũng như trong sơ

lý thuy t nhi u lo n

nh nghĩa như (1.6), vi t l i như sau:

ˆ OM
H kk = k H 0 k ,

ˆ
V jk = j V k ;

các ph n t ma tr n này có th tính m t cách d dàng b ng các bi n

(1.33)
i thu n

is

d a vào các tính ch t (1.18), (1.23). C th là hai công th c sau :
SVTH: Trương M nh Tu n

Trang 16

Lu n văn t t nghi p

GVHD: Th.S Hoàng

ˆ
a+ n = n + 1 n + 1 ;

ˆ
a n = n n −1 .

Vi c tính các ph n t ma tr n b ng các phép tính thu n
ưu i m c a OM. Th t v y, thay vì

i

(1.34)
i s là m t trong nh ng

nh nghĩa các ph n t ma tr n như (1.6) và tính các

tích phân tương ng v i các hàm sóng
bi n

Ng c Tr m ȱ 2010ȱ

d ng tư ng minh,

ây ta ch d a vào các

i s nh các h th c (1.18) và (1.23) và c th là s d ng (1.26) và (1.34).

K t qu ta có các ph n t ma tr n khác không như sau (xem ph l c 3):
2
1+ ω2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( 2a + a + 1) + 43λ2 2 ( a + a ) + 2a + a + 1 n



4ω
ω 
2
1+ ω
3λ
=
( 2n + 1) + 2 ( 2n2 + 2n + 1) ,
4ω
4ω

H nn = ( H 0 )nn = n

Vn , n + 2 = n

1− ω2 2
λ
ˆ
ˆ ˆ

ˆ
a +
4 a + a 3 + 6a 2 ) n + 2
2 (
4ω
4ω

1 − ω 2

λ
=
+
4n + 6 ) 
2 (
4ω
 4ω


( n + 2 )( n + 1) = 

1 − ω

λ
+
=
2n + 3 ) 
2 (
2ω
 4ω


λ 4
λ
ˆ
2 a n+4 =
4ω
4ω 2

( n + 4 )! = λ

( n + 2 )!

( n + 2 )( n + 1) ,

2

Vn,n + 4 = n

1 − ω 2

λ
+
2n + 3 ) 
2 (
2ω
 4ω


n!

các ph n t ma tr n khác thu ư c d a vào tính

SVTH: Trương M nh Tu n

4ω 2

n!

( n + 4 )( n + 3)( n + 2)( n + 1);

(1.35)

i x ng Vnm = Vmn .

Trang 17


Lu n văn t t nghi p

GVHD: Th.S Hoàng

Ng c Tr m ȱ 2010ȱ

B ng 1.3: Năng lư ng tr ng thái cơ b n n = 0 thu ư c b ng OM.
λ = 0.01

λ = 0.05

λ = 0.1

λ = 0.3

λ = 1.5

E0(0)

0.5072875410

0.5477040816

0.574999999

0.6689058171

0.9727107180

(
E01)

0.5072875410

0.5477040816

0.574999999

0.6689058171

0.9727107180

E0(2)

0.5072563014

0.5323777399

0.558838596

0.6373408787

0.8817884333

(
E03)

0.5072562707

0.5326638127

0.559112766

0.6378326682

0.8840817664

(
E0 4)

0.5072562023

0.5326424521

0.559151382

0.6380153133

0.8849480705

(
E05)

0.5072620492

0.5326424823

0.559146495

0.6379948737

0.8848112845

(
E06)

0.5072620448

0.5326427790

0.559146278

0.6379914404

0.8847892918

(
E07 )

0.5072620453

0.5326427553

0.559146329

0.6379917786

0.8847943659

(
E08)

0.5072620452

0.5326427551

0.559146328

0.6379918013

0.8847946861

(

E09)

0.5072620452

0.5326427553

0.559146327

0.6379917866

0.8847944336

(
E010 )

0.5072620452

0.5326427552

0.559146327

0.6379917844

0.8847944198

(
E0T )

0.5072620452

0.5326427552

0.559146327

0.6379917842

0.8847944251

SVTH: Trương M nh Tu n

Trang 18


Lu n văn t t nghi p

GVHD: Th.S Hoàng

Ng c Tr m ȱ 2010ȱ

B ng 1.4: Năng lư ng tr ng thái kích thích n = 4 thu ư c b ng OM
λ = 0.01

λ = 0.03

λ = 0.06

λ = 0.1

λ = 1.5

(
E40)

4.8092999999

5.2078603252

5.8694444444

6.2490740740

12.4453125000

(
E41)

4.8092999999

5.2078603252

5.8694444444

6.2490740740

12.4453125000

(2)
E4

4.7736995554

5.2060800093

5.6861199877

6.2223820797

12.3776059956

(
E43)

4.7747285026

5.2051664217

5.6967910549

6.2199718947

12.3574329062

(
E44)

4.7749316376

5.2051386595

5.7021291564

6.2202679913

12.3556586805

(
E45)

4.7749139015

5.2051516636

5.7011304336

6.2203200633

12.3576222919

(
E46)

4.7749129456

5.2051514395

5.7009480693

6.2203017742

12.3577769104

(
E47 )

4.7749131151

5.2051511291

5.7010151586

6.2202996521

12.3574810758

(
E48)

4.7749131114

5.2051511437

5.7010178067

6.2203009392

12.3574842521

(
E49)

4.7749131114

5.2051511499

5.7010146470

6.2203009652

12.3575265919

(
E410 )

4.7749131115

5.2051511492

5.7010148920

6.2203008706

12.3575216732

(
E4T )

4.7749131114

5.2051511491

5.7010149485

6.2203008813

12.3575176582

Ta th y khi s d ng OM, v i trư ng h p m c năng lư ng cơ b n n=0 (b ng 1.3)
và trư ng h p kích thích ng v i n = 4 (b ng 1.4) ng v i các giá tr λ khác nhau, sau
b chính b c sáu cũng có k t qu chính xác t i sáu ch s sau d u ph y.
Ta có th th y tính hi u qu c a OM so v i phương pháp nhi u lo n ã thu ư c
b ng 1.1 và b ng 1.2 b ng vi c xét thêm trư ng h p λ = 1.5

i v i hai trư ng h p

n = 0 và n = 4 . Ta th y k t qu v n h i t như các trư ng h p λ có giá tr nh .

Như v y OM cho phép tìm giá tr năng lư ng ng v i các giá tr tham s nhi u
lo n λ khác nhau. Các b chính b c cao h i t t t.

SVTH: Trương M nh Tu n

Trang 19


Lu n văn t t nghi p

GVHD: Th.S Hoàng

Ng c Tr m ȱ 2010ȱ

CHƯƠNG 2

EXCITON – BÀI TOÁN EXCITON HAI CHI U
Trong chương này tác gi gi i thi u các ki n th c cơ b n v exciton như khái
ni m, phân lo i, tính ch t. Sau ó thi t l p phương trình Schrưdinger cho bài tốn và
ưa ra l i gi i gi i tích làm cơ s

so sánh v i k t qu thu ư c b ng OM

chương

sau.

2.1

Exciton

2.1.1 Khái ni m
Trong ch t bán d n thơng thư ng,
hóa tr

sai khác năng lư ng Eg gi a d i d n và gi i

kho ng năng lư ng kéo dài t vùng h ng ngo i t i vùng ánh sáng kh ki n.

M t photon năng lư ng hω > Eg có th kích thích m t i n t trong d i hóa tr nh y lên
d i d n và

l i trong d i hóa tr m t l

tr ng th hi n như m t i n tích dương.
M t i n t liên k t v i m t l tr ng b i
tương tác Coulomb s
tương t
h nm t

như nguyên t

cho ra m t h
hydro.

gi i

th p, khi ó ta b qua hi u

ng nhi u h t, c p

i n t

- l

tr ng

ư c coi như mơt gi h t t do g i là
exciton.

Hình 2.1- Các m c năng lư ng c a exciton [7]

2.1.2 Phân lo i
Exciton ư c phân làm hai lo i tùy thu c vào tính ch t và v t li u ang xét:

- Trong ch t bán d n: i n t và l tr ng tương tác v i nhau

kho ng cách l n

hơn nhi u l n h ng s m ng, c ng thêm th màn ch n (th tương tác) c a môi trư ng
m ng nên năng lư ng liên k t c a exciton thư ng nh hơn nhi u so v i năng lư ng c a

SVTH: Trương M nh Tu n

Trang 20


Lu n văn t t nghi p

GVHD: Th.S Hoàng

Ng c Tr m ȱ 2010ȱ

hydro, lo i này g i là exciton Mott-Wannier ( hình 2.2), thư ng x y ra trong tinh th
ng hóa tr .

Hình 2.2 - Exciton Mott Wannier [7]

- Trong ch t cách i n: h ng s

nhau

i n môi l n nên i n t và l tr ng tương tác v i

kho ng cách phân t , lo i exciton này ư c g i là exciton Frenkel (hình 2.3), do

kích thư c nh nên tương tác Coulomb l n ít nh hư ng trư ng m ng (tinh th ) nên
năng lư ng liên k t c a nó l n (c 1,5eV)

Hình 2.3 – Exciton Frenkel [7]

2.1.3 Tính ch t c a exciton
Exciton có các tính ch t chính như sau:
- Ch có m t trong bán d n ho c i n mơi.
- V m t c u trúc exciton trung hịa gi ng như nguyên t Hydro, tuy nhiên nó có
bán kính l n hơn và năng lư ng liên k t nh hơn. Tương t , các exciton dương hay âm
cho ta hình nh ion phân t H 2+ hay nguyên t He.

SVTH: Trương M nh Tu n

Trang 21


Lu n văn t t nghi p

GVHD: Th.S Hoàng

Ng c Tr m ȱ 2010ȱ

- Vi c t o ra các m c exciton trong vùng c m (exciton Mott-Wannier) r t gi ng v i
vi c t o ra các m c t p trong bán d n.

m c cơ b n năng lư ng liên k t exciton trùng

v i m c năng lư ng t p ch t donor nhóm V ho c các bán d n nguyên t nhóm IV như Si,

Ge (c 0.005eV).
- Khơng ph i ch có m t m c exciton mà có c m t d i các m c exciton gián
o n. Ph h p th exciton là ph gián o n, g m m t d i các v ch như ph h p th c a
hydro.
- S t n t i c a exciton ư c ch ng t trong th c nghi m qua vi c phát hi n m t
vùng ph h p th g n b h p th cơ b n v phía bư c sóng dài v i các mũi nh n (peak)
h p th ( nhi t

th p) mà không làm thay

i n ng

h t d n. Ph v ch d ng gi ng

như nguyên t Hydro ã ư c phát hi n trong các bán d n có vùng c m r ng như CdS,
HgI2, PbI2, CdI2, CuO2,...[7].

2.2

Bài toán exciton hai chi u

2.2.1 Phương trình Schrưdinger cho exciton hai chi u
Theo cơ h c c

i n, năng lư ng c a h g m electron và l tr ng tương tác
E=

p12
p2
+ 2 + U (r) ,

2m1 2m2

(2.1)

trong ó
+ r là kho ng cách gi a hai h t.
+ p1 là xung lư ng c a l tr ng (h).
+ p2 là xung lư ng c a electron (e).
+ U ( r ) là th tương tác e-h.

M t cách tương ng Hamiltonian c a h b ng:
ˆ
H =−

Vi t l i (2.2) trong h t a

2

2m1

2
∇1 −

chuy n

2

2m2

2

∇2 + U ( r ) .

ng kh i tâm và chuy n

(2.2)
ng tương

ic a

hai h t (xem ph l c 4):

SVTH: Trương M nh Tu n

Trang 22


Lu n văn t t nghi p

GVHD: Th.S Hoàng

Ng c Tr m ȱ 2010ȱ

2
2
2 
ˆ 
∇2 −
∇G  Ψ + U ( r ) .
H = −
r

2(m2 + m1 )
 2µ


(2.3)

Trong ó:
+ ∇ r xung lư ng ng v i chuy n

ng tương

+ ∇G là xung lư ng c a chuy n

ng kh i tâm.

i c a hai h t

ˆ
Tách H thành hai thành ph n:

ˆ
ˆ
ˆ
H = HG + Hr ,

(2.4)

trong ó:
ˆ
+ HG = −

ˆ
+ Hr =

2

2 ( m1 + m2 )

2

2µ

2
∇G : chuy n

2
∇ r + U ( r ) : chuy n

v i kh i lư ng rút g n µ =

ng kh i tâm c a h có kh i lư ng m=m1+m2,

ng tương

i c a h t trong trư ng th Coulomb

m1.m2
.
m1 + m2

Khi ó phương trình Schrưdinger có d ng:
2
2

2 
∇G  Ψ −
∇2 Ψ − U ( r ) Ψ = EΨ ,
−
r
2µ
 2(m2 + m1 )


(2.5)

ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
D nh n th y  H G , H r  = 0 , do ó H G , H r giao hoán v i H , khi ó phương trình tr



ˆ ˆ
riêng ư c tách thành hai phương trình tr riêng c a H G , H r .
 2 2

∇ r + U ( r ) ψ r ( r ) = Erψ r ( r )
−
 2µ



2

2
− 2(m + m ) ∇Gψ G ( R ) = EGψ G ( R )

2
1

( 2.6 )
( 2.7 )

Khi ó:
E = Er + EG ,

Ψ = ψ r ( r ) .ψ G ( R ) .

SVTH: Trương M nh Tu n

Trang 23


Lu n văn t t nghi p

GVHD: Th.S Hoàng

Ng c Tr m ȱ 2010ȱ

Phương trình (2.7) là phương trình Schrưdinger c a h t t do có m=m1+m2, ta có
th d dàng tìm ư c năng lư ng và hàm sóng c a nó như sau [5]:

EG =

2π 2 2
nr2 ,
2
L (m1 + m2 )

ψ G (r ) =

Như v y, ta ch c n xác

1 ikr
e .
( 2π )

(2.8)

nh nghi m c a phương trình chuy n

ng tương

i

(2.6). vi t dư i d ng không th nguyên sau ( xem ph l c 4):
2


Z
∂2 
 1 ∂


−  2 + 2 −

ψ = Eψ
∂y 
x2 + y 2 
 2  ∂x



v i U ( x, y ) =

Z
x + y2
2

(2.9)

là th Coulomb.

2.2.2 Phương pháp gi i tích cho bài toán exciton hai chi u.
Trong ph n này ta s ti n hành gi i (2.9) theo phương pháp gi i tích
v i phương pháp tốn t

i chi u

ph n sau.

* Phương trình Schrưdinger c a exciton hai chi u trong t a

c c:

Chuy n toán t Hamiton trong phương trình (2.9) qua bi u di n trong t a

c c

ta ư c
1 ∂  ∂  1 ∂2 Z
ˆ
H =−
r −
− .
2r ∂r  ∂r  2r 2 ∂ϕ 2 r


(2.10)

V i tốn t có d ng như trên, khi thay vào phương trình Schrưdinger

tìm

nghi m s khó vì trong phương trình ch a hai bi n s . Ta s s d ng m t nguyên lý
trong cơ h c lư ng t : “N u hai tốn t giao hốn v i nhau thì chúng có chung h hàm
riêng”, vì v y ta i tìm các toán t giao hoán v i toán t

ˆ
H , ta bi t

i v i bài toán h

nguyên t hai chi u hình chi u moment xung lư ng trên Oz b o tồn.Th c v y ta có:
∂
ˆ
LZ = −i
;
∂ϕ

SVTH: Trương M nh Tu n

(2.11)

Trang 24