Thử sức với toán - Đại học Hồng Đức doc

TRNGHHNG C
KHOAKHTN
THI THIHC,CAONGNM2011
Mônthi:Toán,khithiB
Thigianlàmbài:180phút
***********
IPHNCHUNGCHOTTCCÁCTHÍSINH(7,0đim)
CâuI(2,0đim)
Chohàms
3 2
y=x +3x 3 2x + + (C)
1.Khosátsbinthiênvàvđthhàms
2.M,Nthay đitrên(C)saochotiptuynca(C)tiMsongsongvitiptuynca(C)tiN.Vit
phngtrình đngthngMNbitMNtovicáctrcto đmttamgiáccódintíchbng
8
3
.
CâuII(2,0đim)
1.Giiphngtrình: 2( tanx sinx) 3(cotx cos ) 1 0x − − − − =
2.Giiphngtrình:
2
1 1
3 ( ) 2 3
4 2
x x x x + + − =
CâuIII(1,0đim)
Tínhtíchphân:
1
3
0
dx

I=
( 2) (2 1)x x + +
∫
CâuIV(1,0đim)
ChochóptgiácS.ABCđáy ABCvuôngtiB,AB=a,BC=a
2
,SA vuônggóc vimtphng(ABC),
góctobi(SAC)và(SBC)bng60
o
.GiM,Nlnlt làhìnhchiuvuônggóc caAlên SB,SC.Tính
th tíchtdinS.AMN
CâuV(1đim)
Tìmttccácsthcmsaochophngtrìnhsaucónghim thc:
1
ln( 1) ln( 2)
2
x x m
x
+ − + + =
+
IIPHNRIÊNG(3,0đim)
Thísinhchđclàmmttronghaiphn(phn1hoc2)
1.TheochngtrìnhChun
CâuVI.a(2,0đim)
1.TrongmtphngvihtođOxy,chotam giácABCcânti A,.ngthngABvàBClnltcó
phngtrình: d
1
:2x+y +2=0,d
2
:x+y +2=0.Vitphngtrình đngcaoktBcatam giácABC

2.TrongkhônggianvihtođOxyz,chocácđngđngthng (d
1
)
1 2 1
2 1 1
x y z − − +
= = và (d
2
)
1 2 1
1 2 1
x y z − − +
= =
−
. Vitphngtrìnhchínhtc cácđngphân giác ca các góctobi (d
1
) và(d
2
) .
CâuVII.a(1,0đim)
Tìmtphpcácđimbiudin casphcz’=z+3ibit
2 3 2z i + − ≤
2.TheochngtrìnhNângcao
CâuVI.b (2,0đim)
1.TrongmtphngtođOxy,chotamgiácABCcóA’(0;2),B’(1;4)vàC’(2;3)lnltlàhìnhchiu
vuônggóccaA,B,ClêncácđngthngBC,AC,vàAB.Lpphngtrình đngthngBC
2.TrongkhônggianvihtrctođOxyzchohìnhvuôngABCDcóA(1;3;2),C(1;2;1) .Tìmtođ
đnhDbitCthucmtphng(P):x+y+z+2=0.
CâuVII.b(1đim)
www.VNMATH.com

Giihphngtrỡnh:
1
2
2
log log ( 3) 0
2 3
x y
x x y
+ + =





+ + =


Htờnthớsinh:.Sbỏodanh:
PN đề thi th năm 2011
Mụn:TON khi B
Thigianlmbi:180phỳt
Cõu Nidung
i
I.PHNCHUNGCHOTTCTHSINH(7,0im)
CõuI
2.0
1. TXĐ: R
Ta có: 'y =
( )
2

2
3 6 3 3 1x x x + + = +
'y = 0
1x =
0.25
Bảng biến thiên:
x 1 +
y

+ 0 +
+
y 1

0.5
Đồ thị:
( C) cắt
Ox
tại x = -2
( C) cắtOy tại y = 2
2 1 1
x
y
2
0
0.25
2.
1.0
Gọi k là hệ số góc TT của (C) tại M và N. khi đó: x
M
, x

N
là
nghiệm phơng trình: 'y ( )x = k
2
2
3 6 3
3 6 3 0
x x k
x x k
+ + =
+ + >
Điều kiện để tồn tại các điểm M, N sao cho TT tại M song
song TT tại N:
' 3 0 0k k = > >
0.25
Phâ
n tích:
( )
'y y x = .
( ) ( )
q x r x +
0.25
www.VNMATH.com
=
( )
)
2
1 1
3 6 3 1
3 3

x x x

+ + + +


Vậy đờng thẳng MN cóphngtrỡnh:
1 1
3 3
1 1
1 1
3 3
y k x y kx k

= + + = + +


A= MN
3
0
k
Ox
k
+

=


B = MN
3
0

3
k
Oy
+

=



0.25
S
OAB
=
8
3
( )
2
3
1 8 16
.
2 3 3 3
k
OAOB
k
+
= =
2
2
10 9 0
22 9 0

k k
k k

+ =


+ + =


1
9
k
k
=


=

Khi đó MNcúphngtrỡnh :
1 4
3 3
3 4
y x
y x

= +


= +

0,25
CõuII
2.0
1.
ĐK:sin 2 0
2
k
x x




k z
Phơng trình đã cho tơng đơng với:
2( tan x - sin x +1) - 3( cot x - cos x +1)=0
sin sin .cos cos cos sin .cos 1
2 3. 0
cos sin
x x x x x x x
x x
+ +
=
( )
2 3
sin sin .cos cos 0
cos sin
x x x x
x x

+ =

0,25

sin sin cos cos 0 (1)
3
tan (2)
2
x x x x
x
+ =



=

0,25
+ Giải (1): Đặt t =
sin cos 2 2x x

+

(1)
2
2 1 0t t =
1 2
1 2
t
t

= +

=


Với t = 1-
2
ta có:
1 2 2 2
sin
4 2
2
x x




+ = =


0,25
( loại)
www.VNMATH.com
2 2
arcsin 2
2 4
( )
2 2 3
arcsin 2
2 4

x k
k z
x k








= +





= + +


+ Giải (2):
(2)
3
arctan ( ).
2
x k k z

= +
0,25
2.

1,0
TXĐ:
2
1 3 2 2 3 2 2
3 0
4 2 2
x x x x
+
+ +
Phơng trình đã cho tơng đơng với:
2 2 2
1
. 0
2
1 1
3 12 (1)
4 4
x x
x x x x x









+ + + =

0,25
Ta thấy
0x =
không là nghiệm của phơng trình ( 1).
xét
0x
, chia hai vế của ( 1) cho
2
x :
(1)
1 1
3 1 12
4 4
x x
x x

+ + + =


Đặt t=
1
4
x
x
+ , khi đó:
(1)
2

( 3)( 1) 12 2 15 0t t t t + = + =
3
5
t
t
=



=

0,25
2
3 2 2
( / )
2
3 4 12 1 0
3 2 2
(kot/m)
2
x t m
t x x
x

+
=


= + =

=


0.25
2
5 2 6
5 4 20 1 0 ( / )
2
t x x x t m

= + + = =
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm:
3 2 2
2
x
+
= và
5 2 6
2
x

=
0,25
Cõu
III
( ) ( )
1
3
0

2 2 1
dx
I
x x
=
+ +

1,0
Ta có:
( )
1
0
2 ( 2)(2 1)
dx
I
x x x
=
+ + +

0
www.VNMATH.com
§Æt
2
1 1
2x dx dt
t t
+ = ⇒ = đicn:x=0thit=½;x=1thìt=1/3
0,25
1 1
2 2

2
1 1
2
3 3
1
1 2
1 3
1
2
2 3
3
. 2 3 2 3
t
t
dt
dt
I t
t t
= = = − −
− −
∫ ∫
0.25
VyI=
2 2
3
−
0.25
Câu
IV
1,0

TheocácgithitbàiratachngminhđcM,N,P,A đngphng.
Gi VlàthtíchkhichópS.ABCD tacóthtíchcahaikhichópS.ABCvàS.ADCbngnhau
vàbng
2
V
.
0,25
Dođó
.
.
.
1 2 1 1
. .
2 3 3 6
S ANM
S ANM
S ABC
V
SN SM
V V
V SB SC
= = = ⇒ = và
0.25
.
.
.
1 2 1 1
. .
2 3 3 6
S APM

S APM
S ADC
V
SP SM
V V
V SB SC
= = = ⇒ =
0.25
Suyra
1 .
1
3
S AMNP
V V V = = .Dođóthtíchphncònlilà
2
1 2
3 3
V V V V = − = .Suyratsthtích
cahaiphnlà1:2.
0.25
CâuV
1.0
TX§: 1, .x x R > − ∈
§Æt
1
( ) ln( 1) ln( 2)
2
f x x x
x
= + − + +

+
( ) ( )( )
2 2
1 1 1 1
' 0
1 2
2 1 2
f
x x
x x x
= − − = >
+ +
+ + +
0.25
1
lim ( )
x
f x
→−
= −∞
1
lim ln( 1) ln( 2)
2
x
x x
x
−+∞
 
+ − + +
 

+
 
=
1 1
lim ln
2 2
x
x
x x
→+∞
+
 
−
 
− +
 
= 0
0.25
B¶ng biÕn thiªn:
x 1 +∞
f
′
+
0
f
−∞
0.25
www.VNMATH.com
Vậy phơng trình có nghiệm 0m <
0.25

II.PHNRIấNG(3,0im)
A.Chngtrỡnhchun
CõuVI.a
2.0
1. Ta có (0 2)B AB AB BC = = =
0,25
Gọi M (1;-4)

AB ta tìm M
'
đối xứng M qua BC
Khi đó: M
'
(2;-3)
0,25
Nhận xét:
'
songsongBM AC khi đó AH đi qua B và
'
BM
0,25
Vậy BH có phơng trình 2x-y -2=0
0.25
2. Nhận thấy: d
1
cắt d
2
tại I (1;2;-1)
Ta có:
1

(211)u =

2
(1 21)u =

Đặt
1
1
1
2 1 1
( )
6 6 6
u
e
u
= =



2
2
2
1 2 1
( )
6 6 6
u
u
e
=
=

0.25
khi đó
1 2
3 1 2
( )
6 6 6
e e

+ =

1 2
1 3
( 0)
6 6
e e =

0.25
phân giác
1
của
1 2
,d d đi qua I nhận
1 2
e e +

làm vtcp
1 1

1 3
(3 12) ( ) : 2 ( )
1 2
x t
u y t t R
z t
= +


= =


= +




0,25
phân giác
2
của
1 2
,d d đi qua I nhận
1 2
e e

làm vtcp
( ) ( )
2
1

1
(3 12) : 2 3
1
x t
u y t t R
z
= +


= = +


=




www.VNMATH.com
CâuVII.a
1.0
Gis , , z x yi x y = + ∈ ∈ ℝ ℝ . Tgithit 2 2 1 z i − + =
( ) ( )
2 2 2 1 1 x y i ⇔ − + + =
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
1 1
2 2 2 1 1 1
2 2
x y x y

   
⇔ − + + = ⇔ − + + =
   
   
.
0,25
t
1 1 1
cos 1; sin
2 2 2
x y
ϕ ϕ
= + = − tacó
2 2
2 2
1 1 1
cos 1 sin
2 2 2
z x y
ϕ ϕ

   
= + = + + −
   
   
0,25
2
3 1 3 1 3 5
cos sin 1
2 2 2 2 2

ϕ ϕ

+
 
= + − ≤ + + =
 
 
(theobđtBunhiacopski)
Du“=”xyrakhi
2 1
cos ;sin
5 5

ϕ ϕ
= = −
0,25
Sphccómodulelnnhtthamãn 2 2 1 z i − + = là
5 5 5 5
5 10
z i
 
+ +
= −
 
 
 
0,25
B.Chngtrìnhnângcao
Câu

VI.b
2.0
1.NX:




1 1 2 1
' , 'A B A C = = mà




1 1 1 2
' 'C B A A = ⇒ = .
VËy A A
′
lµ ph©n gi¸c trong gãc A
′
cña
A B C
′ ′ ′
△ BC AA
′
⊥
⇒
BC lµ ph©n gi¸c ngoµi
gãc A
′
cña A B C

′ ′ ′
△
A
B
′
C
′
B A
′
C
0,25
pt :A B
′ ′
2x-y+2=0
pt A C
′ ′
: x-2y+4=0
0,25
gäi
1 2
,d d lµ ph©n gi¸c c¸c gãc t¹o bëi A B
′ ′
vµ A C
′ ′
( )
1
: 2 0d x y + − =
( )
2
: 2 0d x y − + =

0,25
kimtraB’,C’cùngphía vi d
1
vy phngtrìnhBClà:
( )
1
: 2 0d x y + − =
0.25
2.
1.0
GiB(x,y,z)khiđó:
2 2 2 2 2 2
(2 )( 3 ) (1 )( 4 ) (1 )(1 ) 0
. 0
(2 ) (1 ) (1 ) ( 3 ) ( 4 ) (1 )
1 0
( )
x x x x x x
BA BC
x x x x x x
BA BC
x y z
B P
− − − + − − − + − − =


=


− + − + − = − − + − − + −

=
 
⇔
 
 
 
+ + + =
∈


 
0.5
Giihtrêntađcx=2,y=4,z=1hocx=3,y=1,z=1
0.25
VyB(2;4;1)khi đóDđi xngBquatrung đim ACvàD(3;1;1)
0,25
Câu
VII.b
1.0
www.VNMATH.com
K:
0
3
x
y
>


> −


Tacó:
2
1
2
2
log log ( 3) 0 3x y x y + + = ⇔ = +
0.25
Khi đó
2 2
2
2 3 2 3 3 2 3 3
2 3 2 3 (1)
x x y x x x x x x
x x x x
+ + = ⇔ + + = − ⇔ + + + =
⇔ + + + = +
0.2
Xéthàm
2
( ) ( 0)f t t t t = + ≥ khi đóf(t)liêntcvàđng binvi t
0 ≥
Vy (1)tng đngvi
2 3 3x x x + = ⇔ = Vyhcónghim duynhtx=3vày=6
0.
(Hcsinhgiiđúngnhngkhôngtheocáchnhtrongđápán,vnchođimtiđatng
ngnhtrongđápán).
www.VNMATH.com