LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP DAO ĐỘNG CƠ pdf

GV: Trịnh Hoàng Trung

1

LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP
DAO ĐỘNG CƠ
I. DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
A. LÝ THUYẾT:
1. Phương trình dao động có dạng :
. ( )
x Acos t
 
 
hoặc
.sin( . ).
x A t
 
 

2. Vận tốc trong dao động điều hoà.
'
. .sin( )
v x A t
  
   

3. Gia tốc trong dao động điều hoà.
' " 2 2
. . ( . ) .
a v x A cos t x
   

      
(

a
luôn hướng về VTCB )
Trong đó: + A là biên độ dao động > 0. chiều dài quỹ đạo L =2A.
+

là tốc độ góc, đơn vị (rad/s) > 0
+

là pha ban đầu ( là pha ở thời điểm t = 0), đơn vị (rad).
+ x là li độ dao động ở thời điểm t.
+ (
.
t
 

) là pha dao động ở thời điểm t bất kỳ.

- x , v, a dao động điều hòa với cùng tần số góc

, tần số f, chu kỳ T. với
T
f


2
2 

- v dao động sớm pha hơn x là

/2, a dao động sớm pha hơn v là

/2, a dao động ngược pha với x.
- Vật ở VTCB : x = 0, v
max
=

A

, a = 0. Vật ở biên x =

A, v = 0, a
max
=
A
2

.
- Hệ thức độc lập: x
2
+
2
2

v
= A
2
,

2
2

v
+
4
2

a
= A
2



v>0

v<0

a>0

a<0

-
A

-
A

0

x
<0

x>0

v=0

v=0

v=


A


x

GV: Trịnh Hoàng Trung

2


- Lực gây dao động: F = ma = -m

2
x. (

F
luôn hướng về VTCB, gọi là lực phục hồi ), F
max

= m

2
A
- Động năng :W
đ
= )(sin
2
2
0
2
222


 t
Ammv
Cơ năng:W = W
đ
+ W
t
=
2
2
mv
+
2
2
kx
=
2

2
max
mv
=
- Thế năng : W
t
=
)(cos
2
2
0
2
222


 t
Amkx
=
2
2
kA
=
2
22
Am

.
- Động năng và thế năng biến đổi điều hòa với tần số góc

’=2


, f’ = 2f, T’ = T/2.
- Tỉ số giữa động năng, thế năng, cơ năng.

2
max
22
max
22
2
v
vv
xA
x
W
W
đ
t





2
max
2
2
22
v
v

A
xA
W
W
đ




2
max
22
max
2
2
v
vv
A
x
W
W
t



CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1: Bài toán viết phương trình dao động.
Phương trình cơ sở:
. ( )
x Acos t
 
 
( 1) ,
'
. .sin( )
v x A t
  
   
( 2), a =-
2

sin(

t +

) =-
2

x (
3)
Phải đi tìm A,

,

.

Tìm

:
T
f


2
2  + Chu kỳ T (s) là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần
A

A/
2

-
A

0

-
A/2

-A/
2

A/2

W
đ
= W

t
W
đ
= W
t
W
đ
= 3 W
t
W
đ
= 3 W
t
W
đ
= 0
W
tmax
=W
W
đ
= 0
W
tmax
=W
W
đmax
=W
W
tmax

=0
GV: Trịnh Hoàng Trung

3

T =
N
t

( N là số dao động vật thực hiện được trong thời gian
t

)
Tìm A: + Dựa vào chiều dài quỹ đạo A =L/2
+ Dựa vào v
max
=

A

; a
max
= A
2


+ Dựa vào biểu thức độc lập: x
2
+
2

2

v
= A
2
,
2
2

v
+
4
2

a
= A
2
+
Dựa vào biểu thức của năng lượng : W = W
đ
+ W
t
=
2
2
mv
+
2
2
kx

=
2
2
max
mv
=
2
2
kA
=
2
22
Am

.
Tìm

: Dựa vào điều kiện ban đầu: tìm x, v, a tại t = 0, thay vào các phương trình cơ sở, giải phương
trình suy ra

. Chú ý điều kiện giới hạn của

.
Hệ quả:
+ Tại t = 0, vật ở biên dương

= 0
+ Tại t = 0, vật qua VTCB theo chiều âm

=

2/


+ Tại t = 0, vật qua vị trí –A/2 theo chiều âm

=2
3/


+ Tại t = 0, vật qua vị trí -A
2
/2 theo chiều dương

=-
4/3


+ Tại t = 0, vật qua VTCB theo chiều dương

= 2/


+ Tại t = 0, vật qua A/2 theo chiều dương

=-
3/



Vd: Tìm pha ban đầu nếu t = 0 vật qua vị trí

2
3A
theo chiều âm?
Tìm pha ban đầu nếu t = 0 vật qua vị trí
2
2A
theo chiều dương?
Dạng 2: Xác định thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí x
1
đến vị trí x
2
-
A

A


= 4/



=



=0


=
2/





=2
3/



=-
3
/



= 2/



=- 4/3


D45
o

120
o

-
135

o

-
A/2

-
60
o

GV: Trịnh Hoàng Trung

4

* Cách 1: Tìm

1
,

2
với cos

1
=
A
x
1
, cos

2
=

A
x
2
, và 0


21
,


t =
o
T
360
.
2121









.
* Cách 2: Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều.
+ Vẽ đường tròn lượng giác, xác định góc OM quét khi vật di chuyển từ x
1
đến vị trí x

2
+ t =
o
T
360
.




- Các khoảng thời gian đặc biệt









Dạng 3: Cho phương trình, tìm quãng đường vật đi được sau thời gian t

từ t
1
đến t
2
+ Xác định vị trí, chiều chuyển động của vật tại thời điểm t
1
, đặt điểm này là điểm I
+ Xác định vị trí, chiều chuyển động của vật tại thời điểm t

2
, đặt điểm này là điểm K
+ Vẽ đúng chiều chuyển động của vật từ I tới K từ đó suy ra S
1
.
* Nếu t

< T: S
1
là kết quả.
* Nếu t

> T:

t

= n T + t
o
( với t
o
< T )
-
A

A

I

K

0

x

A

A/
2

-
A

0

-
A/2

-A/ 2
A/2

T/12
T/8
T/6
T/4
T/4
T/12
T/6
T/8
T/8
T/8

GV: Trịnh Hoàng Trung

5

+ Quãng đường vật đi được = n. 4A + S
1

( n.4A và S
1
là quãng đường vật đi được tương ứng với thời gian n.T và t
o
)
Dạng 4: Xác định số lần vật đi qua vị trí có tọa độ x
o
sau một khoảng thời gian
t

từ t
1
đến t
2
.
+ Xác định vị trí, chiều chuyển động của vật tại thời điểm t
1
, đặt điểm này là điểm I
+ Xác định vị trí, chiều chuyển động của vật tại thời điểm t
2
, đặt điểm này là điểm K
+ Vẽ đúng chiều chuyển động của vật từ I tới K từ đó suy ra số lần

vật đi qua x
o
là a.
Nếu
t

< T thì a là kết quả, nếu
t

> T

t

= n.T + t
o
thì số lần vật qua x
o
là 2n + a
( 2n và a là số lần vật qua x
o
tương ứng với thời gian n.T và t
o
)
Dạng 5: Cho phương trình, tìm thời điểm vật đi qua vị trí x lần thứ n.
Cách 1: + Thay x vào phương trình li độ suy ra các họ nghiệm,
chú ý thời gian không âm, cho k chạy thu được các thời điểm tương ứng,
sắp xếp các thời điểm từ nhỏ điến lớn , suy ra kết quả.
Cách 2: + Xác định vị trí, chiều chuyển động của vật trên quỹ đạo
Và vị trí tương ứng của M trên đường tròn ở thời điểm t = 0, vận dụng mối liên
hệ giữa dao động diều hòa và chuyển động tròn đều suy ra lần 1, 2, 3… vật qua

vị trí x, suy ra kết quả. t
1
=
T
OMM
o
.
360
10
; t
2
=
T
OMM
o
.
360
20

( chú ý phân biệt họ nghiệm nào làm vật đi theo chiều âm, dương)
Dạng 6: Cho phương trình tìm thời điểm độ lớn vận tốc vật = v
o
lần thứ n
+ Giải phương trình
v
=v
o
suy ra các họ nghiệm, chú ý thời gian không âm, cho k chạy lấy vài giá trị
thu được các thời điểm tương ứng, sắp xếp các thời điểm đó từ nhỏ đến lớn, suy ra kết quả.
(Chú ý phân biệt họ nghiệm nào làm cho vật đi theo chiều âm, chiều dương.)

x
o

M
o

x

M
1
M
2
GV: Trịnh Hoàng Trung

6

Dạng 7: Tìm thời điểm t
2
để vật đi được quãng đường S từ thời điểm t
1
.
+ Xét tỉ số
A
S
4
= n + k

t
2
– t

1
= n.T + t
o
.
+ Để tìm t
o
: xác định vị trí x
1
, v
1
của vật tại t
1
, xác định vị trí tương ứng M
1
trên đường tròn . Biểu
điễn quãng đường S vật đi được rồi suy ra vị trí x
2
, v
2
tại t
2
xác định vị trí tương ứng M
2
trên đường tròn, xác
định góc

mà OM quét được,

t
o

=
o
T
360
.



 . ( chú ý nếu k = 0,5

t
o
= 0,5.T )
Dạng 8: Cho phương trình, cho S đi được từ thời điểm t
1
, tìm x, v, a của vật sau khi đi được quãng
đường S?
+ Xác định trạng thái chuyển động ( x, v, a)của vật tại t
1
, đặt điểm này là điểm I .
+ Vẽ đường đi của vật kể từ điểm I ( đảm bảo xuất phát đúng vị trí và vẽ đi theo đúng chiều vận tốc)
sao cho nét vẽ đi được quãng đường S thì dừng lại, tại đó ta sẽ biết x, chiều chuyển động rồi

v, a.
Dạng 9: Tìm quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất vật đi được sau khoảng thời gian
t

< T/2.
* Vật có vận tốc lớn nhất khi đi qua VTCB, nhỏ nhất khi đi qua vị trí biên nên trong cùng một khoảng
thời gian quãng đường vật đi được càng lớn khi vật càng gần VTCB và càng nhỏ khi càng gần biên.

* Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều xác định góc OM quét được
trong thời gian
t

là

=

.
t


+ Quãng đường lớn nhất của vật = HK khi M đi từ M
1
đến M
2

( M
1
đối xứng với M
2
qua trục sin )
S
max
=2A.sin
2


+ Quãng đường nhỏ nhất của vật = 2IA khi M đi từ
'

1
M đến
'
2
M
(
'
1
M
đối xứng với
'
2
M
qua trục cos )
S
min
=2(A - Acos
2
'

)
-
A

A

M
2
M
1

K H
'
1
M

'
2
M
I



'


GV: Trịnh Hoàng Trung

7


+ Nếu phải tìm S
max
, S
min
trong khoảng thời gian
t

> T/2 thì chia nhỏ
t


= n.T + 0,5.T + t
o
Tính
S
max
, S
min
trong khoảng thời gian t
o
rồi cộng với quãng đường vật đi trong thời gian n.T là n.4A, quãng
đường vật đi trong thời gian 0,5.T là 2A.
+ Chú ý tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất là : v
max
=
t
S

max
, v
min
=
t
S

min

Dạng 10: Cho trạng thái dao động ở thời điểm t, tìm trạng thái dao động ở thời điểm t +
t

.

Cách 1: + Biến đổi thuần túy theo lượng giác.
Cách 2: + Biểu diễn trạng thái của vật tại thời điểm t trên quỹ đạo và vị trí tương ứng của M trên
đường tròn.
+ Tìm góc mà OM quét trong thời gian
t

, suy ra vị trí, vận tốc, gia tốc của vật tại thời
điềm t +
t

.
II CON LẮC LÒ XO.
A. LÝ THUYẾT.
1. Tần số góc
m
k


, chu kỳ T =
k
m



2
2
 ; tần số f =
m
k
T



2
1
2
1

2. - Độ biến dạng của lò xo treo thẳng đứng khi vật ở VTCB.
k
mg
l
o
 =
2
g


g
l
T
o



2 ( l
o
, là chiều dài tự nhiên và
o
l là độ biến dạng của lò xo tại VTCB )

-Độ biến dạng của lò xo trên mặt phẳng nghiêng góc

so với phương ngang.

k
mg
l
o

sin



sin
2
g
l
T
o



3. + Chiều dài của lò xo tại VTCB: l
cb
= l
o
+
o
l .
l

o
O


l
o

m

k

x

H

GV: Trịnh Hoàng Trung

8

+ Chiều dài cực tiểu ( khi vật ở vị trí cao nhất ) l
min
= l
o
+
o
l - A

l
cb
= ( l

min
+ l
max
)/2
+ Chiều dài cực đại( khi vật ở vị trí thấp nhất ) l
max
= l
o
+
o
l + A.
*Vật ở trên H thì lò xo nén, vật dưới H thì lò xo giãn.
4. Lực kéo về hay lực phục hồi: F = -kx = -m
x
2


Đặc điểm: + Là lực gây ra dao động cho vật
+ Luôn hướng về VTCB
+ Biến thiên điều hòa cùng tần số với li độ …
5. Lực đàn hồi ( đưa vật về vị trí lò xo không biến dạng )
+ Độ lớn : F
đh
= k.
l

(
l

là độ biến dạng của lò xo )

+ Với con lắc lò xo nằm ngang thì lực đàn hồi và lực phục hồi là một.
+ Với con lắc lò xo thẳng đứng: + F
đh
= k
xl
o

( chiều dương hướng xuống dưới )
+ F
đh
= k xl
o
 ( chiều dương hướng lên trên )
+ Lực đàn hồi cực đại F
đh max
= k(
o
l + A ) ( lúc vật ở vị trí thấp nhất)
+ Lực đàn hồi cực tiểu :
+ Nếu
l

< A

F
đh max
= 0
+ Nếu
l


> A

F
đh min
= k(
o
l - A )
+ Lực đẩy đàn hồi cực đại (khi lò xo bị nén nhiều nhất ) F = k( A -
o
l
)
6. Một lò xo chiều dài l, độ cứng k bị cắt thành các lò xo dài l
1
, l
2
, l
3
…có độ cứng k
1
, k
2
, k
3
…
thì k.l = k
1
.l
1
= k
2

.l
2
= k
3
.l
3
=…
+ Ghép nối tiếp :

111
21

kkk

cùng treo một vật vào thì T
2
=
2
2
2
1
TT 

GV: Trịnh Hoàng Trung

9

+ Ghép song song: k = k
1
+ k

2
+….

cùng treo một vật vào thì
2
2
2
1
2
111
TTT


+ Gắn vào lò xo k một vật m
1
thì được chu kỳ T
1
, vật m
2
thì được chu kỳ T
2
, vật m
3
= m
1
+ m
2
thì
được chu kỳ T
3

, vật m
4
= m
1
- m
2
thì được chu kỳ T
4
khi đó:
2
3
T =
2
2
2
1
TT  ;
2
4
T =
2
2
2
1
TT 
B. BÀI TẬP:
Dạng 1: khảo sát chu kỳ dao động của con lắc lò xo.
Dạng 2: Khảo sát chuyển động của con lắc lò xo
+ Viết phương trình. + Xác định lực đàn hồi, phục hồi.
+ Tìm khoảng thời gian nén giãn trong một chu kỳ + Xác định động năng, cơ năng.

III. CON LẮC ĐƠN.
1. Tần số góc:
l
g



g
l
T



2
2
 =
N
t


( N là số dao động vật thực hiện trong thời gian t

)
Tần số f =
T
1
=
l
g


2
1

Điều kiện dao động điều hòa: bỏ qua ma sát,
o

, S
o
nhỏ.
2. Lực phục hồi : F = -mg.sin

=-mg

=mg
l
s
=m
2

s
+ Với con lắc đơn lực phục hồi tỉ lệ thuận với khối lượng
+ Với con lắc lò xo lực phục hồi không phụ thuộc khối lượng.
3. Phương trình dao động:
S = S
o
cos(
o
t



); hoặc
)cos(
oo
t


( với s =
l.

, S
o
=
o

.
l
)

)sin(
'
oo
tSsv


=
)sin(
oo
tl



Chú ý: s và S
o
đóng vai trò như x và A.
O

o


S
o

s

-S
o

GV: Trịnh Hoàng Trung

10


)cos(
2''
oo
tSsa

 = )cos(
2
oo
tls



4. Hệ thức độc lập:
a = -

2
.s = -

2
. l.


2
2
2
2
o
S
v
s 

hoặc
2
2
2
o
gl
v



5. Cơ năng: W = W
đ
+ W
t
= )cos1(
2
2

 mgl
mv
=
22
2
1
o
Sm

=
l
mgS
o
2
2
=
2
2
o
mgl

=

2
222
o
lm


6. Vận tốc v = )cos(cos2
o
gl

 ( Các cộng thức này đúng cả khi góc

lớn. )
Lực căng T = mg(3cos

- 2cos
o

)
Khi vật dao động điều hòa với biên độ góc
o

nhỏ. )(
222


o
glv và )5,11(
22
o

mgT


7. Tại cùng một nơi con lắc đơn chiều dài l
1
có chu kỳ T
1
; con lắc đơn dài l
2
có chu kỳ T
2
, con lắc đơn dài
l
3
= l
1
+ l
2
có chu kỳ T
3
, con lắc đơn dài l
4
= l
1
– l
2
có chu kỳ T
4
thì
2

2
2
1
2
3
TTT  và
2
2
2
1
2
4
TTT 
8. Sự thay đổi chu kỳ theo nhiệt độ:(g =const)
T
2
= T
1
(1 +
)
2
t





2
1
t

T
T




(

là hệ số nở dài của dây treo)
9. Sự thay đổ của chu kỳ theo độ cao(l = const)
T
2
= T
1
(1 + )
R
h




R
h
T
T



1

10. Con lắc đơn có chu kỳ đúng T
1
ở độ cao h
1
ở nhiệt độ t
1
khi đưa tới độ cao h
2
ở nhiệt độ t
2
thì

R
h
T
T



1
+
2
t



11. Sự chạy sai của đồng hồ quả lắc sau 1 ngày:
86400.
1
T

T



( s ) ( T
1
là chu kỳ của đồng hồ chạy đúng )
Nếu
T

> 0 thì sau 1 ngày đồng hồ chạy chậm đi

giây và ngược lại.
h là độ cao so với mặt đất
R=6400km là bán kính trái đất
GV: Trịnh Hoàng Trung

11

12. Sự thay đổi chu kỳ theo ngoại lực.
+ Chỉ có trọng lực :
g
l
T

2 ( g =
m
P
)
+ Có ngoại lực


F
không đổi tác dụng:
'
'
2
g
l
T


( g
’
=
m
P
'
) ; (




F
P
P
'
)
* Con lắc đơn đặt trong thang máy đang chuyển động với gia tốc a
Lên nhanh dần đều Lên chậm dần đều Xuống nhanh dần đều Xuống chậm dần đều
ag

l
T



2
'

ag
l
T



2
'

ag
l
T



2
'

ag
l
T




2
'


+ Con lắc đơn đặt trong thùng ô tô chuyển động biến đổi đều với gia tốc a:


cos2
22
'
T
ag
l
T 



(

là góc tạo bởi dây treo và phương thẳng đứng khi vật ở trạng thái cân bằng, với tan

=
g
a
)
* Con lắc đơn, vật nặng tích điện q đặt trong điện trường

E

; ( a =
m
Eq
m
F
tđ
 )
q > 0 q < 0

E
hướng lên

E
hướng xuống

E
hướng lên

E
hướng xuống
GV: Trịnh Hoàng Trung

12

ag
l
T




2
'

ag
l
T



2
'

ag
l
T



2
'

ag
l
T



2
'

+

E
hướng theo phương ngang:

cos2
22
'
T
ag
l
T 


(

là góc tạo bởi dây treo và phương thẳng đứng khi vật ở trạng thái cân bằng, với tan

=
g
a
)
* Lực đẩy Ácsimét F = DVg (

F
luôn hướng thẳng đứng lên trên )
Trong đó : D là khối lượng riêng của chất lỏng hay chất khí
V là thể tích phần vật bị chìm trong chất lỏng hay khí đó






F
P
P
'



m
DVg
gg 
'
= g( 1 -
V
D
D
)


'
'
2
g
l
T


=

)1(
2
V
D
D
g
l



13. Hiện tượng trùng phùng: Gọi T
o
chu kỳ của con lắc 1 và T là chu kỳ cần xác định của con lắc 2,

là
khoảng thời gian giữa hai lần trùng phùng liên tiếp.
Nếu T
o
> T Nếu T
o
< T

111

o
TT


111


o
TT


IV. TỔNG HỢP DAO ĐỘNG.
* Tổng hợp hai dao động :




x
1
= A
1
cos(
1

t
)
x
2
= A
2
cos(
2

t )
Dao động tổng hợp
x = Acos(




t
)

GV: Trịnh Hoàng Trung

13

Trong đó :
)cos(2
1221
2
2
2
1
2

 AAAAA
; tan

=
2211
2211
coscos
sinsin



AA

AA


(
21

 )
Nếu


k2


( x
1
, x
2
cùng pha)

A
max
= A
1
+ A
2
Nếu


)1(2




k ( x
1
, x
2
ngược pha)

A
min
=
21
A- A

* Khi biết một dao động thành phần: x
1
= A
1
cos(
1

t ) và dao động tổng hợp x = Acos(



t
)
thì dao động thành phần còn lại là x
2
= A

2
cos(
2

t )
Trong đó )cos(2
11
2
1
22
2

 AAAAA ; tan
2

=
11
11
coscos
sinsin



AA
AA


; (
21


 )
* Nếu vật tham gia đồng thời nhiều dao động điều hòa cùng phương cùng tần số: x
1
= A
1
cos(
1

t )
x
2
= A
2
cos(
2

t
)…thì dao động tổng hợp cũng là dao động điều hòa cùng phương cùng tần số:
x = Acos(



t
)
Chiếu lên trục Ox và trục Oy ta được
A =
22
yx
AA 
và

x
y
A
A


tan
với
];[
maxmin




V DAO ĐỘNG TẮT DẦN, DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC, CỘNG HƯỞNG
1. Một con lắc lò xo dao động tắt dần với biên độ A, hệ số ma sát giữa vật và mặt sàn là


* Độ giảm biên độ sau một lần vật qua VTCB là :
k
mg
k
F
A
c

2
2


* Quãng đường vật đi được từ đầu đến lúc dừng lại là: S =
g
A
mg
kA



22
222


* Số lần vật qua VTCB từ lúc dao động đến lúc tắt hẳn là: N =
A
A


2. Hiện tượng cộng hưởng: xảy ra khi : f = f
o
hay T = T
o
hay
o


)(
max
min
AAA 



cosAA
x

2211
coscos

AA 
…


sinAA
y

2211
sinsin

AA  …

GV: Trịnh Hoàng Trung

14

Với f , T ,

, và f
o
, T
o

,
o

là tần số, chu kỳ, tần số góc của hệ dao động và của ngoại lực cưỡng bức.
+ Con lắc treo trên toa tàu : T
ch
=
v
l
(
l
là chiều dài của mỗi thanh ray, v là vận tốc của tàu )
+ Người đi bộ : T
ch
=
v
l
(
l
là chiều dài của mỗi bước chân , v là vận tốc của người )