bài tập về bất đăng thức_06 pot
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (323.69 KB, 7 trang )
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn
.
b
2 2 2
3
2
a b c
a b b c c a
+ + ≥
+ + +
.
.
c
2 2 2
2 2 2
1
2 2 2
a b c
a b b c c a
+ + ≥
+ + +
.
Hướng dẫn :
.
a
2
3
3( ) ( ) 3
a b c
ab bc ca a b c ab bc ca
+ + =
+ + ≤ + + ⇒ + + ≤
2 2
2
2 2 2
2
2
(1 )
1 1 1
2
1
1 2
a b ab
a ab
a
a ab
b b b
a
b
b b
⇒
+ −
= = −
+ + +
≥ −
+
+ ≥
Tương tự :
2 2
2 2 2 2
,
2 2
1 1 1 1
b bc bc c ca ca
b b c c
c c a a
= − ≥ − = − ≥ −
+ + + +
Cộng vế theo vế :
2 2 2
3 3
3
2 2
2
1 1 1
a b c ab bc ca
a b c
b c a
≥ − =
+ +
+ + ≥ + + −
+ + +
.
Cho
3
số thực dương
, ,
a b c
thoả mãn
. . 1
a b c
=
. Chứng minh rằng :
.
a
3 3 3
3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + + + + +
.
.
b
1 1 1
1
2 2 2
a b c
+ + ≤
+ + +
Hướng dẫn :
.
a
Cho
3
số thực dương
, ,
a b c
thoả mãn
1
a b c
+ + =
. Chứng minh rằng :
2 2 2
1
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
Giải :
2 2 2 2 2 2
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
a b c a b c
a b c a b c
b c c a a b b c c a a b
+ + ≥ ⇔ + + + + + ≥ + + +
+ + + + + +
www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn
2 2 2
( ) ( ) ( )
1
1
2
a a b c b b c a c c a b
b c c a a b
+ + + + + +
⇔ + + ≥ +
+ + +
( ) ( ) ( )
3
2
a a b c b b c a c c a b
b c c a a b
+ + + + + +
⇔ + + ≥
+ + +
3
2
a b c
b c c a a b
⇔ + + ≥
+ + +
vì
1
a b c
+ + =
.
Cho
3
số thực dương
, ,
a b c
thoả mãn
1
a b c
+ + =
. Chứng minh rằng :
.
a
1
2 2 2 4
ab bc ca
a b c b c a c a b
+ + ≤
+ + + + + +
.
Hướng dẫn :
.
a
Dùng bất đẳng thức
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
.
Cho
3
số thực dương
, ,
a b c
. Chứng minh rằng :
.
a
( )
3 3 3
1
( )( ) ( )( ) ( )( ) 4
a b c
a b c
a b b c b c c a c a a b
+ + ≥ + +
+ + + + + +
.
b
3 3 3
1
( )
( ) ( ) ( ) 2
a b c
a b c
b c a c a b a b c
+ + ≥ + +
+ + +
Hướng dẫn :
.
a
Cách 1 :
3
3
3
3
( )( ) 8 8 4
3
( )( ) 8 8 4
3
( )( ) 8 8 4
a a b b c
a
a b b c
b b c c a
b
b c c a
c c a a b
c
c a a b
+ +
+ + ≥
+ +
+ +
+ + ≥
+ +
+ +
+ + ≥
+ +
.
b
Cách 1:
3
3
3
4
2 ( ) 6
( )
4
2 ( ) 6
( )
4
2 ( ) 6
( )
a
b c a a
b c a
b
c a b b
c a b
c
a b c c
a b c
+ + + ≥
+
+ + + ≥
+
+ + + ≥
+
Cách 2:
3
3
3
8
( ) ( ) 6
( )( )
8
( ) ( ) 6
( )( )
8
( ) ( ) 6
( )( )
a
a b b c a
a b b c
b
b c c a b
b c c a
c
c a a b c
c a a b
+ + + + ≥
+ +
+ + + + ≥
+ +
+ + + + ≥
+ +
Cách 2:
3
3
3
3
( ) 2 4 2
3
( ) 2 4 2
3
( ) 2 4 2
a b c a
a
b c a
b c a b
b
c a b
c a b c
c
a b c
+
+ + ≥
+
+
+ + ≥
+
+
+ + ≥
+
www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn
Cho
3
số thực dương
, ,
x y z
thoả :
3
x y z
+ + ≥
.Tìm GTNN của
2 2 2
A
x y z
x yz y zx z xy
=
+ +
+ + +
( )
2
2 2 2
x y z
x y z
x yz y zx z xy x y z yz zx xy
+ +
+ + ≥
+ + + + + + + +
.
Ta có :
yz zx xy x y z
+ + ≤ + +
.
Suy ra :
( )
2
2 2 2
3
2 2
x y z
x y z x y z
x y z x y z
x yz y zx z xy
+ +
+ +
+ + ≥ = ≥
+ + + + +
+ + +
Đẳng thức xảy ra khi:
3
1
x y z
x y z x y z
x y z
x yz y zx z xy
+ + =
= = ⇔ = = =
= =
+ + +
Cho ba số dương
, ,
x y z
thỏa mãn:
2 2 2
3
x y z
+ + =
.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
5 5 5
4 4 4
3 3 3 3 3 3
x y z
S x y z
y z z x x y
= + + + + +
+ + +
Áp dụng BĐT Côsi cho
3
số ta có :
5 3 2 4
3
3 2
3
4 2 2
x y z x
x
y z
+
+ + ≥
+
tương tự
5 3 2 4 5 3 2 4
3 3
3 2 3 2
3 3
,
4 2 2 4 2 2
y z x y z x y z
y z
z x x y
+ +
+ + ≥ + + ≥
+ +
4
2
1
2 2
x
x
+ ≥
tương tự
4
2
1
2 2
y
y
+ ≥
,
4
2
1
2 2
z
z
+ ≥
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được
( ) ( )
5 5 5
4 4 4 3 3 3 2 2 2
3 2 3 2 3 2
5 3 3
4 4 2
x y z
S x y z x y z x y z
y z z x x y
= + + + + + ≥ + + + + + −
+ + +
Mà
3 3 2
1 3
x x x
+ + ≥
hay
3 2
2 1 3
x x
+ ≥
tương tự
3 2
2 1 3
y y
+ ≥
,
3 2
2 1 3
z z
+ ≥
Do đó ,
( ) ( )
3 3 3 2 2 2 3 3 3
9
2 3 3 6 3
2
x y z x y z x y z S
+ + ≥ + + − = ⇒ + + ≥ ⇒ ≥
Dấu bằng xảy ra
1
x y z
⇔ = = =
www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn
Cho
3
số thực dương
, ,
x y z
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
(2 3 )(2 3 ) (2 3 )(2 3 ) (2 3 )(2 3 )
M
x y z
y z z y z x x z x y y x
= + +
+ + + + + +
.
Giải :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
13 25
(2 3 )(2 3 ) 6 13 6
2 2
y z z y y z yz y z y z y z
=
+ + = + + ≤ + + + +
2 2
2 2
2
(2 3 )(2 3 )
25( )
x x
y z z y
y z
⇒ ≥
+ +
+
Tương tự :
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
,
(2 3 )(2 3 ) (2 3 )(2 3 )
25( ) 25( )
y y z z
z x x z x y y x
z x x y
≥ ≥
+ + + +
+ +
.
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 1 1
; ; min
25 25
25( ) 25( ) 25( )
M
x y z
M f x y z
y z z x x y
+ +≥ ⇒ ≥ ⇒ =
+ + +
.
Với
, ,
x y z
là số dương và
. . 1
x y z
≥
.Chứng minh rằng:
3
2
x y z
x yz y zx z xy
+ + ≥
+ + +
Hướng dẫn.
Đặt
, ,
a x b y c z
= = =
Bài toán trở thành :
, ,
a b c
là số dương và
. . 1
a b c
≥
. Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
3
2
a b c
a bc b ac c ab
+ + ≥
+ + +
Dễ thấy :
( )
( )
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
*
a b c
a b c
a bc b ac c ab a bc b ac c ab
+ +
+ + ≥
+ + + + + + + +
Bình phương hai vế bất đẳng thức:
( )
( ) ( )
2
2 4
2
2
2 2 2
2 2 2
*
a b c a b c
VT
a bc b ac c ab
a bc b ac c ab
+ + + +
≥ =
+ + + + +
+ + + + +
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
4 4 4
2 2 2
2 2
3( )
3 3 3 3
a b c a b c a b c
a b c ab bc ac
a b c ab bc ac a b c
+ + + + + +
≥ ≥ ≥
+ + + + +
+ + − + + + + −
( Vì
( ) ( )
2 2
3
3 3 t 9
ab bc ac abc a b c
+ + ≥ ≥ ⇒ = + + ≥
)
Ta có:
( )
2
2
3 15 3 3 3.9 15 3 3 9 9
2 . *
3( 3) 12 12 3 12 12 3 2 2
t t t t
VT
t t t
+ − + −
= + + ≥ + = ⇒ ≥
− − −
Dấu bằng xảy ra khi
1
x y z
= = =
⇒
điều phải chứng minh
Tổng quát : ta có bài toán sau: với
(
)
1 2
, , , 2
n
x x x n
≥
là số dương và
1 2
. 1
n
x x x
≤
www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn
Cmr:
1 2
1 2 3 2 3 4 1 2 1
2
. . .
n
n n n n
x x x
n
x x x x x x x x x x x x
−
+ + + ≥
+ + +
.
Cho
3
số thực dương
, ,
a b c
. Chứng minh rằng :
.
a
1 1 1 1 1 1
3 3 3 4 4 4
a b b c c a a b c
+ + ≤ + +
+ + +
.
.
b
1 1 1 1 1 1
2 2 2 4 4 4
a b c b c a c a b a b c
+ + ≤ + +
+ + + + + +
.
.
c
( )
( )
( )( )
( )
( )
1 1 1 1 1 1 1
2
a b c
a b a c b c b a c a c b
+ + ≤ + +
+ + + + + +
.
.
d
0
a d b b b c c a
d b b c c a a d
− − − −
+ + + ≥
+ + + +
Cho
[
]
0;1
; ;
x y z
∈
. Chứng minh rằng :
( )
1 1 1 81
2 2 2
2 2 2 8
x y z
x y z
+ + + + <
Giải :
Đặt
[
]
1;2
2 , 2 , 2 , ,
x y z
a b c a b c
= = = ⇒ ∈
Bài toán trở thành : Cho
[
]
1;2
, ,
a b c
∈
. Chứng minh rằng :
( )
1 1 1 81
8
a b c
a b c
+ + + + < .
Thật vậy :
( )
( ) ( )
1 1 1 81 2 2 2 81 2 2 2 9
8 4 2
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c
+ + + + < ⇔ + + + + < ⇔ + + + + <
( )( )
2 2
2
1 2 1 2 0 3 2 0 2 3 3
a a a a a a a a
a
≤ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ + ≤
Tương tự :
2 2
3, 3
b c
b c
+ ≤ + ≤
( )
( )
2 2 2
9 1
a b c
a b c
⇒ + + + + + ≤
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân :
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2
a b c a b c
a b c a b c
⇒ + + + + + ≥ + + + +
Từ
(
)
1
và
(
)
2
suy ra
( ) ( )
( )
4
2 2 2 2 2 2 81
2 9 3
a b c a b c
a b c a b c
+ + + + ≤ ⇔ + + + + ≤
Đẳng thức không xảy ra .
( )
( )
1 1 1 81
3
8
a b c
a b c
⇔ + + + + <
(đpcm).
www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn
Cho
, ,
a b c
là 3 số dương thoả mãn
3
ab bc ca abc
+ + =
. Chứng minh rằng:
3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2
3
4
ab bc ca
a b a c b c b c b a c a c a c b a b
+ + ≤
+ + + + + + + + +
Trích
Giải :
1 1 1
3 3
ab bc ca abc
a b c
+ + = ⇔ + + =
Với
, 0
a b
>
ta luôn có
( )
3 3
,
1 1 1 1
.
4
a b ab a b
a b a b
+ ≥ + ≤ +
+
và với mọi
,
a b
ta luôn có
2 2
2
a b ab
+ ≥
.
3 3 2 2 2 2 2 2
1 1
4 ( )
( ) ( ) ( )
ab ab ab
ab a b
a b a c b c ab a b a b c a b c
≤
≤ +
+
+ + + + + + +
2 2 2 2
1 1 1 1 1
4 4 2
( ) ( ) ( )
ab ab
a b a b c
ab a b a b c a b c
⇒ ≤ + ≤ +
+ +
+ + + +
( )
3 3 2 2
1 1 1 1 1
. 1
16 8
ab
a b c
a b a c b c
≤ + +
+ + +
Tương tự :
( )
3 3 2 2
1 1 1 1 1
. 2
16 8
bc
b c a
b c b a c a
≤ + +
+ + +
( )
3 3 2 2
1 1 1 1 1
. 3
16 8
ca
c a b
c a c b a b
≤ + +
+ + +
Cộng vế theo vế đẳng thức
(
)
1
,
(
)
2
và
(
)
3
ta được đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi
1
a b c
= = =
.
Cho tam giác
ABC
có
3
cạnh :
, ,
AB c BC a AC b
= = =
thoả mãn
3 3 3
a b c
= +
.Chứng minh rằng :
A
là góc nhọn và thoả :
0 0
60 90
A
< <
.
Giải :
2
3
2
2
3
3
3 3 3
2
3
0 1
, , 0
0
0
0 1
b b
b
a b c
b a
b c b c
a a
a
c
a a a a
c a
a b c
c c
a
a a
<
< <
>
< <
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ + < +
< <
= +
< <
<
0
3 3 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
3 2 2
0
2
1 cos 90
bc
b c b c b c b c a
a b c A A
a a a
+ + + + −
⇒ < ⇒ < ⇒ < + ⇒ = > ⇒ <
(
)
(
)
(
)
3 3 3 2 2 2 2 2 2 2
a b c b c b bc c a b bc c a b bc c
= + = + − + > − + ⇒ > − +
0
2 2 2 2 2 2
1
2 2
1 cos 60
bc bc
b c a b c a
A A
+ − + −
⇒ < ⇒ = < ⇒ >
Vậy
0 0
60 90
A
< <
.
www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn
Cho các số thực dương
, ,
a b c
thỏa mãn điều kiện :
2 2 2
1 1 1 1 1 1
15 10 2007
ab bc ca
a b c
+ + = + + +
Tìm giá trị lớn nhất của
2 2 2 2 2 2
1 1 1
5 2 2 5 2 2 5 2 2
P
a ab b b bc c c ca a
= + +
+ + + + + +
Áp dụng đẳng thức :
1 1 1 9
x y z x y z
+ + ≥
+ +
. Đẳng thức xảy ra khi
x y z
= =
.
2 2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 1 1
5 2 2 (2 ) ( ) (2 )
2 9
5 2 2
a ab b a b a b a b
a b a a b
a ab b
+ + = + + − ≥ + ⇒ ≤ ≤ + +
+
+ +
.
Đẳng thức xảy ra khi
a b
=
Tương tự :
2 2
2 2
1 1 1 1 1 1
2 9
5 2 2
1 1 1 1 1 1
2 9
5 2 2
b c b b c
b bc c
c a c c a
c ca a
≤ ≤ + +
+
+ +
≤ ≤ + +
+
+ +
Do đó
1 1 1 1
3
P
a b c
≤ + +
Mặt khác :
2
2 2 2
2
1 1 1 1 1 1 1
3
1 1 1 1 1 1 1
3
a b c
a b c
ab bc ca a b c
+ + ≥ + +
+ + ≤ + +
Mà giả thiết :
2 2 2
1 1 1 1 1 1
15 10 2007
ab bc ca
a b c
+ + = + + +
Do đó :
1 1 1 6021
5
a b c
+ + ≤
Đẳng thức xảy ra khi :
1 6021
1 1 1 6021
3 5
5
a b c
a b c
a b c
= =
⇔ = = =
+ + =
Vậy max
1 6021
3 5
P =
, khi
1 6021
3 5
a b c= = =
www.mathvn.com
