Tài liệu ôn toán - Bài tập hình học lớp 12 - phần 6 pdf

Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 49

b)
{
{
12
1322123
dxtytzmtdxtytzt
:;;;:';';'
=-=+=+=+=+=-

c)
12
240230
30260
xyzxymz
dd
xyxyz
:;:
ìì
+ =++-=
íí
+-=++-=
îî



VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:

·
Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của mặt
phẳng.

·
Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng.

Baøi 1. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm giao điểm (nếu có) của
chúng:
a)
{
213100
dxtytztPxyz:;;;():
==-=+++-=

b)
{
32144543650
dxtytztPxyz:;;;():
=-=-= =

c)
1291
3520
431
xyz
dPxyz:;():

==+ =

d)
113
33250
243
xyz
dPxyz:;():
+-
==-+-=

e)
1314
2410
823
xyz
dPxyz:;():

==+-+=

f)
357160
540
260
xyz
dPxz
xyz
:;():
ì
+++=
=
í

-+-=
î

g)
236100
4170
50
xyz
dPyz
xyz
:;():
ì
++-=
++=
í
+++=
î

Baøi 2. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm m, n để:
i) d cắt (P). ii) d // (P). iii) d ^ (P). iv) d Ì (P).
a)
123
3250
212
xyz
dPxyz
mm
:;():
-++
==+ =

-

b)
131
3250
22
xyz
dPxyz
mm
:;():
+
==++-=
-

c)
3230
2320
43420
xyz
dPxymz
xyz
:;():()
ì
-++=
-++-=
í
-++=
î

d)

{
3414312490
dxtytztPmxyzn:;;;():()
=+=-=-+-+-+-=

e)
{
32532223350
dxtytztPmxnyz:;;;():()()
=+=-=-++++-=

Baøi 3. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm m, n để:
a)
{
23
dxmtytzt
:;;
=+=-=
cắt
250
Pxyz
():
-+-=
tại điểm có tung độ bằng 3.
b)
230
250
xy
d
yz

:
ì
=
í
++=
î
cắt
2220
Pxyzm
():
++-=
tại điểm có cao độ bằng –1.
c)
230
3270
xy
d
xz
:
ì
+-=
í
=
î
cắt
0
Pxyzm
():
+++=

PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 50

VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt cầu ta có thể sử dụng các phương pháp sau:

·
Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và bán kính.

·
Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt cầu.

Baøi 1. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt cầu (S). Tìm giao điểm (nếu có) của chúng:
a)
222
12
2410
211
xyz
dSxyzxz:;():

==++-++=
-

b)
222

210
1216
230
xyz
dSxyz
xz
:;():()()
ì
+ =
-+-+=
í
=
î

c)
222
210
22140
20
xyz
dSxyzxy
xy
:;():
ì
=
++-+-=
í
++=
î

d)
222
210
421080
20
xyz
dSxyzxyz
xy
:;():
ì
=
+++ =
í
++=
î

e)
{
222
2324220
dxtytztSxyzxyz:;;;():
= ==-++ +-=

f)
{
222
122324620
dxtytztSxyzxyz:;;;():
=-=+=+++ +-=

g)
{
222
12424620
dxtytzSxyzxyz:;;;():
=-=-=++ +-=

Baøi 2. Biện luận theo m, vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt cầu (S):
a)
222
20
1218
20
xyzm
dSxyz
xy
:;():()()()
ì
+=
-+-++=
í
++=
î

b)
{
222
122410
dxt ymt z tSxyzxz:;;;():
=-=+=+++-++=

c)
222
230
2240
210
xy
dSxyzxyzm
xz
:;():
ì
=
+++-++=
í
+-=
î

Baøi 3. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d:
a)
{
121143242
Idxtytzt
(;;);:;;
-=+=-=-

b)
{
121122
Idxtyzt
(;;);:;;

-=-==

c)
211
421
212
xyz
Id(;;);:
-+-
-==
d)
12
121
213
xyz
Id(;;);:

-==
-

e)
210
121
10
xy
Id
z
(;;);:
ì
=

-
í
-=
î

Baøi 4. Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 3. Viết phương trình tiếp tuyến d của (S),
biết:
a) d đi qua A(0; 0; 5) Î (S) và có VTCP
122
a
(;;)
=
r
.
b) d đi qua A(0; 0; 5) Î (S) và vuông góc với mặt phẳng:
32230
xyz
():.
a
-++=

Baøi 5. Cho tứ diện ABCD. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện, với:
a) A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3), D(1; 3; 3).
b) A(1; 0; 2), B(2; –1; 1), C(0; 2; 1), D(–1; 3; 0).
c) A(3; 2; 1), B(1; –2; 1), C(–2; 2; –2), D(1; 1; –1).
d) A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8), D(–3; 1; 2).



Trn S Tựng PP To trong khụng gian

Trang 51

VN 5: Khong cỏch
1. Khong cỏch t im M n ng thng d

ã
Cỏch 1: Cho ng thng d i qua M
0
v cú VTCP
a
r
.

0
MMa
dMd
a
,
(,)
ộự
ởỷ
=
uuuuur
r
r


ã
Cỏch 2: Tỡm hỡnh chiu vuụng gúc H ca M trờn ng thng d.
d(M,d) = MH.

ã
Cỏch 3: Gi N(x; y; z)
ẻ
d. Tớnh MN
2
theo t (t tham s trong phng trỡnh ng thng d).
Tỡm t MN
2
nh nht.
Khi ú N

H. Do ú d(M,d) = MH.
2. Khong cỏch gia hai ng thng chộo nhau
Cho hai ng thng chộo nhau d
1
v d
2
.

ã
Cỏch 1: d
1
i qua im M
1
v cú VTCP
1
a
r
, d

2
i qua im M
2
v cú VTCP
2
a
r


1212
12
12
aaMM
ddd
aa
,.
(,)
,
ộự
ởỷ
=
ộự
ởỷ
uuuuuur
rr
rr


ã
Cỏch 2: Gi A

ẻ
d
1
, B
ẻ
d
2
.
AB l ng vuụng gúc chung


1
2
ABa
ABa
ỡ
^
ù
ớ
^
ù
ợ
uuur
r
uuur
r
. T ú ta tỡm c A, B.

12
dddAB

(,)=

Chỳ ý: Khong cỏch gia hai ng thng chộo nhau d
1
, d
2
bng khong cỏch gia d
1
vi mt
phng (
a
) cha d
2
v song song vi d
1
.
3. Khong cỏch gia hai ng thng song song bng khong cỏch t mt im thuc ng
thng ny n ng thng kia.
4. Khong cỏch gia mt ng thng v mt mt phng song song
Khong cỏch gia ng thng d vi mt phng (
a
) song song vi nú bng khong cỏch t mt
im M bt kỡ trờn d n mt phng (
a
).

Baứi 1. Tớnh khong cỏch t im A n ng thng d:
a)
14
23122

41
xt
Adyt
zt
(;;),:
ỡ
=-
ù
=+
ớ
ù
=-
ợ
b)
22
1261
3
xt
Adyt
zt
(;;),:
ỡ
=+
ù
-=-
ớ
ù
=-
ợ

c)
21
100
121
xyz
Ad(;;),:

==
d)
211
231
122
xyz
Ad(;;),:
+-+
==
-

e)
211
111
122
xyz
Ad(;;),:
+-+
-==
-
f)
210
231

3220
xyz
Ad
xyz
(;;),:
ỡ
+ =
-
ớ
+++=
ợ

Baứi 2. Chng minh hai ng thng d
1
, d
2
chộo nhau. Tớnh khong cỏch gia chỳng:
a)
{
{
12
123232132
dxtytztdxtytzt
:;;;:';';'
=-=+= ==+=-
b)
{
{
12
12222534

dxtytztdxtytz:;;;:';';
=+=-=-==-=

c)
{
{
12
32144223412
dxtytztdxtytzt
:;;;:';';'
=-=+=-=+=-=-

d)
12
2111
322124
xyzxyz
dd:;:
-+-+
====
-

e)
12
739311
121723
xyzxyz
dd:;:

====

PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 52

f)
12
213311
212221
xyzxyz
dd:;:
+-
====


g)
12
2220220
2240210
xyzxyz
dd
xyzxyz
:;:
ìì
-+-=+-+=
íí
+-+=-+-=
îî

Baøi 3. Chứng minh hai đường thẳng d

1
, d
2
song song với nhau. Tính khoảng cách giữa chúng:
a)
{
{
12
32432445632
=+=+=+=+=+=+
dxt yt zt dxt yt zt
:,,;:',','

b)
12
123231
2683912
xyzxyz
dd:;:
-+-+-+
====


c)
11
312151
213426
xyzxyz
dd:;:
+++-

====
d)
12
759
22100
220
314
xyz
xyz
dd
xyz
:;:
+
ì
+ =
==
í
=
-
î

Baøi 4. Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P). Tính khoảng cách giữa chúng:
a)
{
32144543650
dxtytztPxyz:;;;():
=-=-= =

b)
{

122280
dxtytztPxz:;;;():
=-==+++=

c)
210
22450
230
xyz
dPxyz
xyz
:;():
ì
-++=
-++=
í
+ =
î

d)
3230
2220
43420
xyz
dPxyz
xyz
:;():
ì
-++=
=

í
-++=
î



VẤN ĐỀ 6: Góc
1. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt có các VTCP
12
aa
,
rr
.
Góc giữa d
1
, d
2
bằng hoặc bù với góc giữa
12
aa
,
rr
.

( )

12
12
12
aa
aa
aa
.
cos,
.
=
rr
rr
rr

2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP
123
aaaa
(;;)
=
r
và mặt phẳng (
a
) có VTPT
nABC
(;;)
=
r
.
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (

a
) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d
¢
của
nó trên (
a
).

·
( )
123
222222
123
AaBaCa
d
ABCaaa
sin,()
.
a
++
=
++++


Baøi 1. Tính góc giữa hai đường thẳng:
a)
{
{
12
1213421342

=+=+=+==+=+
dxt yt ztd xt yt zt
:,–,;:–',–','

b)
12
124234
212362
xyzxyz
dd:;:
-+-+-+
====


c)
{
12
23390
953
230
xyz
ddxt yt zt
xyz
:;:;;–
ì
=
===+
í
-++=
î

d)
{
12
220
2314
73170
xz
ddxt y zt
xyz
:;:;–;–
ì
-+=
=+==
í
-+-=
î

Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 53

e)
12
122
210
2320
314
xyz
xyz
dd

xz
:;:
-++
ì
+ =
==
í
+-=
î

f)
1
312
211
xyz
d :
+
== và d
2
là các trục toạ độ.
g)
12
402310
2100
xyzxyz
dd
xyzxyz
:;:
ìì
-+-=-+-=

íí
-++=++=
îî

h)
12
2340230
32704370
xyzxyz
dd
xyzxyz
:;:
ìì
-+-=+-+=
íí
+-+=-++=
îî

Baøi 2. Chứng minh hai đường thẳng sau vuông góc với nhau:
a)
12
7215070
7534034110
xzxyz
dd
yzxy
:;:
ìì
= =
íí

++= =
îî

b)
Baøi 3. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng sau bằng a:
a)
{
{
0
12
122212260
a
=-+=-=+=+=+=+=dxtytztdxtytzmt:;;;:';';'; .
b)

Baøi 4. Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)::
a)
113
22100
123
xyz
dPxyz:;():–––
+
===
-
.
b)
{
44
1253540

dxytztPxz:;;;():
==+=+++=

c)
4270
310
3720
xyz
dPxyz
xyz
:;():–
ì
+-+=
++=
í
+-=
î

d)
230
34250
2350
xyz
dPxyz
xyz
:;():––
ì
+-+=
+=
í

-++=
î

Baøi 5. Cho tứ diện ABCD có A(3; 2; 6), B(3; –1; 0), C(0; –7; 3), D(–2; 1; –1).
a) Chứng minh các cặp cạnh đối của tứ diện đôi một vuông góc với nhau.
b) Tính góc giữa AD và mặt phẳng (ABC).
c) Tính góc giữa AB và trung tuyến AM của tam giác ACD.
d) Chứng minh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Tính thể tích của tứ diện ABCD.
Baøi 6. Cho tứ diện SABC có S(1; 2; 1), A(3; 2; 1), B(1; 3; 1), C(1; –2; 5).
a) Viết phương trình của các mặt phẳng (ABC), (SAB), (SAC).
b) Tính góc tạo bởi SC và (ABC) và góc tạo bởi SC và AB.
c) Tính các khoảng cách từ C đến (SAB) và từ B đến (SAC).
d) Tính khoảng cách từ C đến AB và khoảng cách giữa SA và BC.
Baøi 7. Cho tứ diện SABC có S(1; –2; 3), A(2; –2; 3), B(1; –1; 3), C(1; –2; 5).
a) Tìm phương trình các hình chiếu của SA, SB trên mặt phẳng (ABC).
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Tính góc tạo bởi SM và NP và góc tạo
bởi SM và (ABC).
c) Tính các khoảng cách giữa SM và NP, SP và MN.




PP To trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 54

VN 7: Mt s vn khỏc
1. Vit phng trỡnh mt phng

ã
Dng 1: Mt phng (P) i qua im A v ng thng d:

Trờn ng thng d ly hai im B, C.
Mt VTPT ca (P) l:
nABAC
,
ộự
=
ởỷ
uuuruuur
r
.

ã
Dng 2: Mt phng (P) cha hai ng thng song song d
1
, d
2
:
Xỏc nh VTCP
a
r
ca d
1
(hoc d
2
).
Trờn d
1
ly im A, trờn d
2
ly im B. Suy ra A, B

ẻ
(P).
Mt VTPT ca (P) l:
naAB
,
ộự
=
ởỷ
uuur
rr
.

ã
Dng 3: Mt phng (P) cha hai ng thng ct nhau d
1
, d
2
:
Ly im A
ẻ
d
1
(hoc A
ẻ
d
2
)
ị
A
ẻ

(P).
Xỏc nh VTCP
a
r
ca d
1
,
b
r
ca d
2
.
Mt VTPT ca (P) l:
[
]
nab
,
=
r
rr
.

ã
Dng 4: Mt phng (P) cha ng thng d
1
v song song vi ng thng d
2
(d
1
, d

2
chộo
nhau):
Xỏc nh cỏc VTCP
ab
,
r
r
ca cỏc ng thng d
1
, d
2
.
Mt VTPT ca (P) l:
[
]
nab
,
=
r
rr
.
Ly mt im M thuc d
1

ị
M
ẻ
(P).

ã
Dng 5: Mt phng (P) i qua im M v song song vi hai ng thng chộo nhau d
1
, d
2
:
Xỏc nh cỏc VTCP
ab
,
r
r
ca cỏc ng thng d
1
, d
2
.
Mt VTPT ca (P) l:
[
]
nab
,
=
r
rr
.
2. Xỏc nh hỡnh chiu H ca mt im M lờn ng thng d

ã
Cỏch 1: Vit phng trỡnh mt phng (P) qua M v vuụng gúc vi d.
Khi ú: H = d

ầ
(P)

ã
Cỏch 2: im H c xỏc nh bi:
d
Hd
MHa
ỡ
ẻ
ớ
^
ợ
uuuur
r

3. im i xng M' ca mt im M qua ng thng d

ã
Cỏch 1: Tỡm im H l hỡnh chiu ca M trờn d.
Xỏc nh im M
Â
sao cho H l trung im ca on MM
Â
.

ã
Cỏch 2: Gi H l trung im ca on MM
Â
. Tớnh to im H theo to ca M, M

Â
.
Khi ú to ca im M
Â
c xỏc nh bi:
d
MMa
Hd
'
ỡ
^
ớ
ẻ
ợ
uuuuur
r
.
4. Xỏc nh hỡnh chiu H ca mt im M lờn mt phng (P)

ã
Cỏch 1: Vit phng trỡnh ng thng d qua M v vuụng gúc vi (P).
Khi ú: H = d
ầ
(P)

ã
Cỏch 2: im H c xỏc nh bi:
P
HP
MHncuứngphửụng

()
,
ỡ
ẻ
ớ
ợ
uuuur
r

5. im i xng M' ca mt im M qua mt phng (P)

ã
Cỏch 1: Tỡm im H l hỡnh chiu ca M trờn (P).
Xỏc nh im M
Â
sao cho H l trung im ca on MM
Â
.

ã
Cỏch 2: Gi H l trung im ca on MM
Â
. Tớnh to im H theo to ca M, M
Â
.
Khi ú to ca im M
Â
c xỏc nh bi:
P
HP

MHncuứngphửụng
()
,
ỡ
ẻ
ớ
ợ
uuuur
r
.



Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 55

Baøi 1. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và đường thẳng d:
a)
42
23123
3
xt
Adyt
zt
(;;),:
ì
=+
ï
-=-
í

ï
=+
î
b)
2
14312
13
xt
Adyt
zt
(;;),:
ì
=-
ï
-=-+
í
ï
=-
î

c)
125
423
342
xyz
Ad(;;),:
-+-
-== d)
321
215

213
xyz
Ad(;;),:
++-
-==
e)
210
214
2250
xyz
Ad
xyz
(;;),:
ì
-+-=
-
í
+++=
î
f)
3210
324
230
xyz
Ad
xyz
(;;),:
ì
+-+=
-

í
-+-=
î


Baøi 2. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng song song d
1
, d
2
:
a)
{
12
213
23421
321
xyz
dxtytztd:;;;:
+-+
=+=+=-==
b)
12
132214
234234
xyzxyz
dd:,:
-+-+
====
c)
12

123231
2683912
xyzxyz
dd:;:
-+-+-+
====


d)
12
312151
213426
xyzxyz
dd:;:
+++-
====
Baøi 3. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng cắt nhau d
1
, d
2
:
a)
{
{
12
3123124
dxtytztdxtytzt
:;;;:';';'
==-=+=+==+

b)
{
12
30
123
210
xyz
ddxtytzt
xy
:;:;;
ì
+++=
=+=-+=-
í
-+=
î

c)
12
24020
260270
xyzxz
dd
xyzyz
:;:
ìì
= =
íí
+++=++=
îî

d)
12
210330
10210
xyxyz
dd
xyzxy
:;:
ìì
++=+-+=
íí
-+-=-+=
îî

Baøi 4. Cho hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d
1
và song
song với d
2
:
a)
{
{
12
123232132

=-=+= ==+=-
dxtytztdxtytzt
:;;;:';';'

b)
{
{
12
12222534
=+=-=-==-=
dxtytztdxtytz:;;;:';';
c)
{
{
12
32144223412
=-=+=-=+=-=-
dxtytztdxtytzt
:;;;:';';'

d)
12
2111
322124
-+-+
====
-
xyzxyz
dd:;:
e)

12
739311
121723

====

xyzxyz
dd:;:
f)
12
213311
212221
+-
====

xyzxyz
dd:;:
g)
12
2220220
2240210
ìì
-+-=+-+=
íí
+-+=-+-=
îî
xyzxyz
dd
xyzxyz
:;:

Baøi 5. Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng d và điểm M¢ đối xứng với M qua
đường thẳng d:
a)
22
1261
3
xt
Mdyt
zt
(;;),:
ì
=+
ï
-=-
í
ï
=-
î
b)
14
23122
41
xt
Mdyt
zt
(;;),:
ì
=-
ï
=+

í
ï
=-
î

PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 56

c)
2
2131
12
xt
Mdyt
zt
(;;),:
ì
=
ï
-=-
í
ï
=-+
î
d)
2
12112
3
xt
Mdyt

zt
(;;),:
ì
=-
ï
-=+
í
ï
=
î

e)
122
121
212
xyz
Md(;;),:
-+-
-== f)
123
252
221
xyz
Md(;;),:
++-
==
-

g)
20

213
250
xyz
Md
xyz
(;;),:
ì
=
-
í
+ =
î
h)
40
213
220
yz
Md
xyz
(;;),:
ì
+-=
-
í
+=
î

Baøi 6. Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P) và điểm M¢ đối xứng với M qua
mặt phẳng (P):
a)

2260235
PxyzM
():,(;;)
-+-=-
b)
5140142
PxyzM
():,(;;)
++-=

c)
623120312
PxyzM
():,(;;)
-++=-
d)
24430234
PxyzM
():,(;;)
-++=-

e)
40211
PxyzM
():,(;;)
-+-=-
f)
320124
PxyzM
():,(;;)

-+-=




BÀI TẬP ÔN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Baøi 1. Tìm trên trục Ox điểm M cách đều đường thẳng
D
:
2
2
2
1
1
+
==
-
zyx
và mặt phẳng
220
xyz
():
a
=
.
Baøi 2. Cho 2 điểm A(1; 0; 0) và B(0; 2; 0). Viết phương trình của mp )(
a
qua AB và tạo với
mp(Oxy) một góc 60

0
.
Baøi 3. Viết phương trình của đường thẳng (d) qua A(3; –1; 1) nằm trong mp )(
a
: x – y + z – 5 = 0
và hợp với đường thẳng
D
:
2
2
2
1
zyx
=
-
= một góc
0
45 .
Baøi 4. Gọi )(
a
là mặt phẳng qua A(2; 0; 1) và B(–2; 0; 5) và hợp với mp(Oxz) một góc 45
0
. Tính
khoảng cách từ O đến mp )(
a
.
Baøi 5. Chứng minh rằng 2 đường thẳng
1
D :
4

5
3
2
2
1
-
=
-
+
=
-
zyx
và
2
D :
ï
î
ï
í
ì
=
+=
+=
tz
ty
tx
31
22
37
cùng nằm

trong một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng ấy.
Baøi 6. Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) và đường thẳng
122
322
xyz
d:
+
==
-

a) Chứng minh rằng đường thẳng d và đường thẳng AB cùng thuộc một mặt phẳng.
b) Tìm điểm I thuộc d sao cho IA + IB nhỏ nhất.
Baøi 7. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1; 2; 3), B(–2; 1; 0), C(–1; 0; 2), D(0; 2; 3).
1) Chứng minh ABCD là một tứ diện. Tính thể tích tứ diện đó.
2) Tìm điểm M sao cho :
2230
MAMBMCMD
+-+=
uuuruuuruuuruuuur
r
.
3) Xác định toạ độ trọng tâm tứ diện ABCD.
4) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng AB, AC, BC.
5) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với trục Oz.
6) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và B và vuông góc với mặt phẳng
230
xyz
–
+=
.

7) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với hai mặt phẳng 2x + 3y – z = 0,
x + 2y – 3z = 0.
8) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chắn các nửa trục dương Ox, Oy, Oz lần lượt tại
các điểm I , J, K sao cho thể tích tứ diện OIJK nhỏ nhất.
9) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chắn các nửa trục dương Ox, Oy, Oz lần lượt tại
Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 57

các điểm I , J, K sao cho OI + OJ + OK nhỏ nhất.
10) Viết phương trình mặt phẳng đi qua C, song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng
x + 2y – 3z = 0.
11) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và qua giao tuyến của hai mặt phẳng :
(P):
40
xyz
–
++=
, (Q):
310
xyz
––
+=
.
12) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng :
131
342
xyz
+
==
-

.
13) Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d:
211
321
xyz
++-
== và tính khoảng
cách từ A đến đường thẳng d.
14) Tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A và mặt phẳng (P):
31030
xy
++=
.
15) Viết phương trình đường thẳng qua A, song song với mặt phẳng (P):
40
xyz
–––
=
và
vuông góc với đường thẳng D:
131
213
xyz
+
==.
16) Viết phương trình đường thẳng qua A vuông góc và cắt đường thẳng:
3
24
xy
z

==+
.
17) Tìm điểm P thuộc mặt phẳng (P):
2320
xyz
––
+=
sao cho PA + PB nhỏ nhất.
18) Chứng minh rằng đường thẳng AB và đường thẳng d :
31
313
xyz

== cùng thuộc một mặt
phẳng. Tìm điểm N thuộc d sao cho NA + NB nhỏ nhất.
19) Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc với đường thẳng d
1
:
31
121
xyz

==
và
cắt đường thẳng d
2
:
15
33
xytzt

;;
ì
=-=-+=
í
î
.
20) Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng (P):
30
xyz
–
+=
.
21) Tính góc tạo bởi đường thẳng AB với mặt phẳng (BCD).
22) G là trọng tâm DABC, G’ là một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P):
2330
xyz
–
++=
.
Chứng minh rằng:
222
GAGBGC
¢¢¢
++
nhỏ nhất khi và chỉ khi G' là hình chiếu của G lên (P).
Tìm toạ độ điểm G’.
23) Lập phương trình mặt cầu đi qua A, B, C và có tâm thuộc mp(Oxy)
24) Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S):
222
24650

xyzxyz
++ =
tại B.
25) Lập phương trình mặt phẳng qua A, B và tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình:

222
42650
xyzxyz
++-+-+=
.
26) Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 58



Để giải các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp.
Bước 2: Dựa vào giả thiết bài toán xác định tọa độ các điểm có liên quan.
Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán.
Chú ý: Thông thường ta dựa vào các yếu tố đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để chọn hệ
trục Oxyz sao cho dễ xác định toạ độ các điểm liên quan.




Ví dụ 1:
Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. H là hình chiếu
của O trên (ABC).

1. Chứng minh DABC có ba góc nhọn.
2. Chứng minh H là trực tâm DABC.
3. Chứng minh
2222
1111
OHOAOBOC
=++.
4. Gọi
·
(
)
·
(
)
·
(
)
OABABCOBCBCAOACACB
(),(),(),(),(),()
abg
===.
Chứng minh
222
1
coscoscos.
abg
++=

Giải:
Chọn hệ trục Oxyz sao cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (a, b, c > 0)

1. Chứng minh DABC có ba góc nhọn:
Ta có 
2
000
ABACabaca.(;;)(;;)= =>
uuuruuur


·
BAC
Þ nhọn
Tương tự:
·
·
ABCACB
, nhọn.
Vậy DABC có ba góc nhọn.
2. Chứng minh H là trực tâm DABC:
Ta có phương trình mp (ABC):

10
xyz
bcxacyabzabc
abc
++=Û++-=


OHABC
OHABCunbcacab
()

()(;;)
^Þ==
rr

Þ Phương trình đường thẳng OH:
xbct
yacttR
zabt
()
ì
=
ï
=Î
í
ï
=
î

Thay x, y, z vào phương trình mp(ABC):
222222
bcacabtabc
()++=
V. GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ
MỘT SỐ VÍ DỤ

C

B

A

x

z

y

H

O