Tài liệu ôn toán - Bài tập giải tích lớp 12 - Phần 1 pps

TRẦN SĨ TÙNG
---- ›š & ›š ----

BÀI TẬP

ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC

Năm 2010


Trần Sĩ Tùng

Khảo sát hàm số

CHƯƠNG I
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. Đinh nghĩa:
Hàm số f đồng biến trên K Û ("x1, x2 Ỵ K, x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2)
Hàm số f nghịch biến trên K ("x1, x2 ẻ K, x1 < x2 ị f(x1) > f(x2)
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thỡ fÂ(x) 0, "x ẻ I
b) Nu f nghịch biến trên khoảng I thì f¢(x) £ 0, "x Î I
3. Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm trờn khong I.
a) Nu f (x) 0, "x ẻ I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
b) Nếu f¢ (x) £ 0, "x ẻ I (fÂ(x) = 0 ti mt s hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I.
c) Nếu fÂ(x) = 0, "x ẻ I thỡ f khụng i trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác định của hàm số.
– Tính y¢. Tìm các điểm mà tại đó y¢ = 0 hoặc y¢ khơng tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)
– Lập bảng xét dấu y¢ (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch
biến của hàm số.
Baøi 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

x2
5
+x4
4

a) y = - 2 x 2 + 4 x + 5

b) y =

d) y = x 3 - 2 x 2 + x - 2

e) y = (4 - x )( x - 1)2

f) y = x 3 - 3 x 2 + 4 x - 1
i) y =

g) y =

1 4
x - 2x2 - 1
4

h) y = - x 4 - 2 x 2 + 3

k) y =

2x -1
x+5

l) y =

n) y =

2 x 2 + x + 26
x +2

o) y = - x + 3 -

x -1
2- x

Trang 1

c) y = x 2 - 4 x + 3

1 4 1 2
x + x -2
10
10

m) y = 1 1

1- x

p) y =

1
1- x

4 x 2 - 15 x + 9
3x


Khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng

Baøi 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) y = -6 x 4 + 8 x 3 - 3 x 2 - 1
d) y =

2x -1
x

b) y =
e) y =

2

x2 -1
x2 - 4

x
2

x - 3x + 2

h) y = x 2 - x 2

g) y = 2 x - 1 - 3 - x
ỉ p
pư
è 2
2ø

k) y = sin 2 x ç -

c) y =

x2 - x + 1
x2 + x + 1

f) y = x + 3 + 2 2 - x
i) y = 2 x - x 2

ỉ p
pư
l) y = sin 2 x - x ỗ - < x < ÷
è 2
2ø

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến
trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)
Cho hàm số y = f ( x , m ) , m là tham số, có tập xác định D.

· Hàm số f ng bin trờn D y 0, "x ẻ D.
· Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, "x Ỵ D.
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:
1) y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu y ' = ax 2 + bx + c thì:
é ìa = b = 0
ê íc ³ 0
· y ' ³ 0, "x Ỵ R Û ê ỵ
ê ìa > 0
ê íD £ 0
ëỵ

é ìa = b = 0
ê íc £ 0
· y ' Ê 0, "x ẻ R ờ ợ
ờ ỡa < 0
ê íD £ 0
ëỵ

3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g( x ) = ax 2 + bx + c :

· Nếu D < 0 thì g(x) ln cùng dấu với a.
b
)
2a

· Nếu D > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu
với a, ngồi khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.

· Nếu D = 0 thì g(x) ln cùng dấu với a (trừ x = -

4) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g( x ) = ax 2 + bx + c với số 0:
ìD > 0
ï
· x1 < x2 < 0 Û í P > 0
ïS < 0
ỵ

ìD > 0
ï
· 0 < x1 < x2 Û í P > 0
ïS > 0
ỵ

· x1 < 0 < x2 Û P < 0

5) Để hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) bằng d
thì ta thực hiện các bước sau:
· Tính y¢.
· Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:
ìa ¹ 0
íD > 0
ỵ

(1)

· Biến đổi x1 - x2 = d thành ( x1 + x2 )2 - 4 x1 x2 = d 2
Trang 2

(2)


Trần Sĩ Tùng

Khảo sát hàm số

· Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
· Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập

xác định) của nó:
a) y = x 3 + 5 x + 13

b) y =

x3
- 3x 2 + 9 x + 1
3

c) y =

2x -1
x+2

x2 + 2 x - 3
x 2 - 2mx - 1

e) y = 3 x - sin(3 x + 1)
f) y =
d) y =
x +1
x-m
Baøi 2. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc
tập xác định) của nó:
a) y = -5 x + cot( x - 1)

b) y = cos x - x

c) y = sin x - cos x - 2 2 x

Bài 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác

định) của nó:
a) y = x 3 - 3mx 2 + (m + 2) x - m b) y =
mx + 4
d) y =
x+m
Bài 4. Tìm m để hàm số:

x 3 mx 2
- 2x +1
3
2

x 2 - 2mx - 1
e) y =
x-m

c) y =

x+m
x -m

x 2 - 2mx + 3m 2
f) y =
x - 2m

a) y = x 3 + 3 x 2 + mx + m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
b) y =

1 3 1 2
x - mx + 2 mx - 3m + 1 nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3.
3
2

1
c) y = - x 3 + (m - 1) x 2 + (m + 3) x - 4 đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4.
3
Bài 5. Tìm m để hàm số:
a) y =

x3
+ (m + 1) x 2 - (m + 1) x + 1 đồng biến trên khoảng (1; +¥).
3

b) y = x 3 - 3(2m + 1) x 2 + (12 m + 5) x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +¥).
c) y =

mx + 4
x + m2

(m ¹ ±2) đồng biến trên khoảng (1; +¥).

d) y =

x+m
đồng biến trong khoảng (–1; +¥).
x -m

e) y =

x 2 - 2mx + 3m 2
đồng biến trên khoảng (1; +¥).
x - 2m

f) y =

-2 x 2 - 3 x + m
nghch bin trờn khong
2x +1

ổ 1
ử
ỗ - ; +Ơ ữ .
ố 2
ứ

Trang 3


Khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:
· Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ³, £ ). Xét hàm số y = f(x) trên tập xác
định do đề bài chỉ định.
· Xét dấu f¢ (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến.
· Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận.
Chú ý:
1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f¢ (x) thì ta đặt h(x) = f¢ (x) và quay lại
tiếp tục xét dấu h¢ (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thơi.
2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b).
Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).
Baøi 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) x -

x3
< sin x < x , với x > 0
6

b)

2
1

p
sin x + tan x > x , với 0 < x <
3
3
2

p
p
d) sin x + tan x > 2 x , với 0 < x <
2
2
Baøi 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
c) x < tan x, với 0 < x <

a)

tan a a
p
< , với 0 < a < b <
tan b b
2

b) a - sin a < b - sin b, với 0 < a < b <

p
2

p
2
Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

c) a - tan a < b - tan b, với 0 < a < b <

a) sin x >

2x
p
, với 0 < x <
p
2

b) x -

x3
x3 x5
< sin x < x - +
, với x > 0
6
6 120

p
2
Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
c) x sin x + cos x > 1, với 0 < x <

a) e x > 1 + x , với x > 0

b) ln(1 + x ) < x , với x > 0

(

)

1
d) 1 + x ln x + 1 + x 2 ³ 1 + x 2
, với x > 0
1+ x
Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
c) ln(1 + x ) - ln x >

a) tan 550 > 1, 4

b)

1
7
< sin 20 0 <
3
20

HD: a) tan 550 = tan(450 + 10 0 ) . Xét hàm số f ( x ) =

c) log 2 3 > log3 4
1+ x
.
1- x

b) Xét hàm số f ( x ) = 3 x - 4 x 3 .
ỉ 1 1ư
1
7

f(x) đồng biến trong khoảng ỗ - ; ữ v ,sin 200 , ẻ
ố 2 2ø
3
20
c) Xét hàm số f ( x ) = log x ( x + 1) với x > 1.

Trang 4

æ 1 1ử
ỗ- ; ữ.
ố 2 2ứ


Trần Sĩ Tùng

Khảo sát hàm số
VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:
· Chọn được nghiệm x0 của phương trình.
· Xét các hàm số y = f(x) (C1) và y = g(x) (C2). Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến
và một hàm số nghịch biến. Khi đó (C1) và (C2) giao nhau tại một điểm duy nhất có hồnh
độ x0. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).
Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng.
Bài 1. Giải các phương trình sau:

a)

x + x-5 = 5

b) x 5 + x 3 - 1 - 3 x + 4 = 0

c)

x + x - 5 + x + 7 + x + 16 = 14

d)

x 2 + 15 = 3 x - 2 + x 2 + 8

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a)

5

x +1 + 5 x + 2 + 5 x + 3 = 0

b) ln( x - 4) = 5 - x

c) 3 x + 4 x = 5 x
Baøi 3. Giải các bất phương trình sau:
a)

d) 2 x + 3 x + 5 x = 38

x + 1 + 3 5 x - 7 + 4 7 x - 5 + 5 13 x - 7 < 8

b) 2 x + x + x + 7 + 2 x 2 + 7 x < 35

Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:

ì2 x + 1 = y 3 + y 2 + y
ï
a) í2 y + 1 = z3 + z2 + z
ï2 z + 1 = x 3 + x 2 + x
ỵ

ì x = y3 + y2 + y - 2
ï
b) í y = z3 + z2 + z - 2
ïz = x 3 + x 2 + x - 2
ỵ

ì y 3 = 6 x 2 - 12 x + 8
ï 3
c) íz = 6 y 2 - 12 y + 8
ï x 3 = 6 z2 - 12 z + 8
ỵ

ìtan x - tan y = y - x
ï
5p
d) ï2 x + 3y =
í
4
ï p
p
ï- < x , y <
ỵ 2

2

ìsin x - sin y = 3 x - 3y
ï
ï
p
e) í x + y =
5
ï
ï x, y > 0
ỵ

ìsin 2 x - 2 y = sin 2 y - 2 x
ï
f) ï2 x + 3y = p
í
ï0 < x, y < p
ï
2
ỵ

ìcot x - cot y = x - y
ï
g) í5 x + 7 y = 2p
ï0 < x, y < p
ỵ

h)

HD: a, b) Xét hàm số f (t ) = t 3 + t 2 + t

c) Xét hàm số f (t ) = 6t 2 - 12t + 8

d) Xét hàm số f(t) = tant + t

Trang 5


Khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng

II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I. Khái niệm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D Ì R) và x0 Ỵ D.
a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) Ì D và x0 Ỵ (a; b) sao cho
f(x) < f(x0), với "x Î (a; b) \ {x0}.
Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f.
b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) Ì D và x0 Ỵ (a; b) sao cho
f(x) > f(x0), với "x Ỵ (a; b) \ {x0}.
Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f.
c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f¢ (x0) = 0.
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc khơng
có đạo hàm.
III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị
1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên
(a; b)\{x0}

a) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0.
b) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0.
2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f¢ (x0) = 0 và có
đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
a) Nếu f¢¢ (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0.
b) Nếu f¢¢ (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0.

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số
Qui tắc 1: Dùng định lí 1.

· Tìm f¢ (x).
· Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc khơng có đạo hàm.
· Xét dấu f¢ (x). Nếu f¢ (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi.
Qui tắc 2: Dùng định lí 2.
· Tính f¢ (x).
· Giải phương trình f¢ (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …).
· Tính f¢¢ (x) và f¢¢ (xi) (i = 1, 2, …).
Nếu f¢¢ (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi.
Nếu f¢¢ (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi.

Trang 6


Trần Sĩ Tùng

Khảo sát hàm số

Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 3 x 2 - 2 x 3

b) y = x 3 - 2 x 2 + 2 x - 1

x4
- x2 + 3
e) y = x 4 - 4 x 2 + 5
2
- x2 + 3x + 6
3x 2 + 4 x + 5
g) y =
h) y =
x+2
x +1
Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
d) y =

4x2 + 2x -1

a) y = ( x - 2)3 ( x + 1)4

b) y =

d) y = x x 2 - 4

e) y = x 2 - 2 x + 5

2x2 + x - 3

1
c) y = - x 3 + 4 x 2 - 15 x

3
x4
3
f) y = + x2 +
2
2
2
x - 2 x - 15
i) y =
x -3

c) y =

3x 2 + 4 x + 4
x2 + x + 1

f) y = x + 2 x - x 2

Bài 3. Tìm cực trị của các hàm số sau:
3

2

3

x2
2x +1

a) y = x + 1

b) y =

d) y = x 2 - 5 x + 5 + 2 ln x

e) y = x - 4sin 2 x

c) y = e x + 4e - x
f) y = x - ln(1 + x 2 )

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f¢ (x0) = 0 hoặc tại x0 khơng có đạo hàm.
2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f¢ (x) đổi dấu khi x đi qua x0.
Chú ý:

· Hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d có cực trị Û Phương trình y¢ = 0 có hai nghiệm
phân biệt.
Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:
+ y( x0 ) = ax03 + bx0 2 + cx0 + d
+ y ( x0 ) = Ax0 + B , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y¢.
ax 2 + bx + c
P( x )
· Hm s y =
=
(aaÂạ 0) cú cc tr Phng trình y¢ = 0 có hai
a' x + b'
Q( x )
b'
nghiệm phân biệt khác - .
a'
Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:

P ( x0 )
P '( x 0 )
hoặc y ( x0 ) =
y ( x0 ) =
Q ( x0 )
Q '( x 0 )

· Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ
nghiệm ngoại lai.
· Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là
định lí Vi–et.
Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau ln có cực đại, cực tiểu:

a) y = x 3 - 3mx 2 + 3(m2 - 1) x - m 3

b) y = 2 x 3 - 3(2m + 1) x 2 + 6m(m + 1) x + 1

x 2 + m(m 2 - 1) x - m 4 + 1
c) y =
x-m

x 2 + mx - m + 2
d) y =
x - m +1
Trang 7


Khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng

Bài 2. Tìm m để hàm số:

a) y = (m + 2) x 3 + 3 x 2 + mx - 5 có cực đại, cực tiểu.
b) y = x 3 - 3(m - 1) x 2 + (2 m2 - 3m + 2) x - m(m - 1) có cực đại, cực tiểu.
c) y = x 3 - 3mx 2 + (m 2 - 1) x + 2 đạt cực đại tại x = 2.
1
d) y = - mx 4 + 2(m - 2) x 2 + m - 5 có một cực đại x = .
2
2
x - 2mx + 2
e) y =
đạt cực tiểu khi x = 2.
x-m
x 2 - (m + 1) x - m 2 + 4m - 2
f) y =
có cực đại, cực tiểu.
x -1
x2 - x + m
g) y =
có một giá trị cực đại bằng 0.
x -1
Bài 3. Tìm m để các hàm số sau khơng có cực trị:
a) y = x 3 - 3 x 2 + 3mx + 3m + 4
- x 2 + mx + 5
c) y =
x -3
Bài 4. Tìm a, b, c, d để hàm số:

b) y = mx 3 + 3mx 2 - (m - 1) x - 1

x 2 - (m + 1) x - m 2 + 4m - 2
d) y =
x -1

a) y = ax 3 + bx 2 + cx + d đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng

4
1
tại x =
27
3

b) y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x =

3.

x 2 + bx + c
đạt cực trị bằng –6 tại x = –1.
x -1
ax 2 + bx + ab
d) y =
đạt cực trị tại x = 0 và x = 4.
bx + a
ax 2 + 2 x + b
đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.
e) y =
x2 + 1
Bài 5. Tìm m để hàm số :
c) y =

a) y = x 3 + 2(m - 1) x 2 + (m 2 - 4 m + 1) x - 2(m2 + 1) đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho:
1 1 1
+
= (x + x ) .
x1 x2 2 1 2
1 3
x - mx 2 + mx - 1 đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: x1 - x2 ³ 8 .
3
1
1
c) y = mx 3 - (m - 1) x 2 + 3(m - 2) x +
đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho:
3
3
x1 + 2 x2 = 1 .

b) y =

Bài 6. Tìm m để hàm số :

x 2 + mx - m + 2
có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu cùng dấu.
x - m +1
x 2 - (m + 1) x - m 2 + 4m - 2
b) y =
có cực đại, cực tiểu và tích các giá trị cực đại, cực
x -1
a) y =

Trang 8

Trần Sĩ Tùng

Khảo sát hàm số

tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.
-x2 + 3x + m
có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m thoả M - m = 4 .
x-4
2 x2 + 3x + m - 2
d) y =
có yCĐ - yCT < 12 .
x+2
Bài 7. Tìm m để đồ thị hàm số :
c) y =

900m 2
a) y = - x + mx - 4 có hai điểm cực trị là A, B và AB =
.
729
3

2

2

b) y = x 4 - mx 2 + 4 x + m có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ
O làm trọng tâm.
x 2 + mx + m - 2

có hai điểm cực trị nằm hai phía đối với trục tung. Chứng minh
x-m
hai điểm cực trị ln ln nằm cùng một phía đối với trục hồnh.

c) y =

x 2 + mx
có khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10.
1- x
- x 2 + 2 mx + 5
e) y =
có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường
x -1
thẳng y = 2x.
d) y =

x2 + 2x + m + 3
có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.
x-m
Bài 8. Tìm m để đồ thị hàm số :
f) y =

a) y = 2 x 3 + mx 2 - 12 x - 13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung.
b) y = x 3 - 3mx 2 + 4m 3 có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác
thứ nhất.
c) y = x 3 - 3mx 2 + 4m 3 có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng
(d): 3 x - 2 y + 8 = 0 .
x 2 + (2m + 1) x + m 2 + 1
có hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với đường thẳng
x +1

(d): 2 x - 3y - 1 = 0 .
d) y =

Bài 9. Tìm m để đồ thị hàm số :

x 2 - (m + 1) x + 2 m - 1
a) y =
có hai điểm cực trị ở trong góc phần tư thứ nhất của mặt
x-m
phẳng toạ độ.
2 mx 2 + (4m 2 + 1) x + 32 m2 + 2m
b) y =
có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ
x + 2m
hai và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ.
mx 2 - (m 2 + 1) x + 4m 2 + m
có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ nhất và
x-m
điểm kia nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ.
c) y =

d) y =

x 2 + (2m + 1) x + m 2 + 1
có hai điểm cực trị nằm ở hai phía của trục hồnh (tung).
x +1

Trang 9

Khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng
VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

1) Hàm số bậc ba y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d .
· Chia f(x) cho f¢ (x) ta được: f(x) = Q(x).f¢ (x) + Ax + B.
· Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì:
ì y1 = f ( x1 ) = Ax1 + B
í y = f x = Ax + B
( 2)
ợ 2
2

ị Cỏc im (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.
P( x ) ax 2 + bx + c
2) Hàm số phân thức y = f ( x ) =
=
.
Q( x )
dx + e
P '( x0 )
· Giả sử (x0; y0) là điểm cực trị thì y0 =
.
Q '( x0 )

· Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực
P '( x ) 2ax + b
trị ấy là: y =
=

.
Q '( x )
d

Bài 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số :

a) y = x 3 - 2 x 2 - x + 1

b) y = 3 x 2 - 2 x 3

c) y = x 3 - 3 x 2 - 6 x + 8

2x2 - x +1
x2 - x - 1
e) y =
x+3
x-2
Bài 2. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
của đồ thị hàm số:
d) y =

a) y = x 3 - 3mx 2 + 3(m2 - 1) x - m 3

x 2 + mx - 6
x-m
2
x + mx - m + 2
d) y =
x - m +1
b) y =

c) y = x 3 - 3(m - 1) x 2 + (2m 2 - 3m + 2) x - m(m - 1)
Bài 3. Tìm m để hàm số:

a) y = 2 x 3 + 3(m - 1) x 2 + 6(m - 2) x - 1 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song
với đường thẳng y = –4x + 1.
b) y = 2 x 3 + 3(m - 1) x 2 + 6 m(1 - 2m ) x có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên
đường thẳng y = –4x.
c) y = x 3 + mx 2 + 7 x + 3 có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vng góc với
đường thẳng y = 3x – 7.
d) y = x 3 - 3 x 2 + m 2 x + m có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường
thẳng (D): y =

1
5
x- .
2
2

Trang 10


Trần Sĩ Tùng

Khảo sát hàm số

III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa:
Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D Ì R).

ì f ( x ) £ M , "x Ỵ D
a) M = max f ( x ) Û í
D
ỵ$ x 0 Ỵ D : f ( x 0 ) = M
ì f ( x ) ³ m, "x Ỵ D
b) m = min f ( x ) Û í
D
ỵ$x0 Î D : f ( x0 ) = m
2. Tính chất:
a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì max f ( x ) = f (b), min f ( x ) = f (a) .
[ a;b ]

[ a;b ]

b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì max f ( x ) = f (a), min f ( x ) = f (b) .
[ a;b ]

[ a;b ]

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên
Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
· Tính f¢ (x).
· Xét dấu f¢ (x) và lập bảng biến thiên.
· Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].
· Tính f¢ (x).
· Giải phương trình f¢ (x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2, …, xn trên [a; b] (nếu có).
· Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).
· So sánh các giá trị vừa tính và kết luận.
M = max f ( x ) = max { f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn )}

[a;b]

m = min f ( x) = min { f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn )}
[ a;b]

Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) y = x 2 + 4 x + 3

b) y = 4 x 3 - 3 x 4

d) y = x 2 + x - 2

e) y =

x -1
x2 - 2 x + 2
x2 - x + 1

1
( x > 0)
h) y =
x
x2 + x + 1
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
g) y = x 2 +

c) y = x 4 + 2 x 2 - 2
f) y =
i) y =

2 x2 + 4 x + 5
x2 + 1
x4 + x2 +1
x3 + x

a) y = 2 x 3 + 3 x 2 - 12 x + 1 trên [–1; 5]

b) y = 3 x - x 3 trên [–2; 3]

c) y = x 4 - 2 x 2 + 3 trên [–3; 2]

d) y = x 4 - 2 x 2 + 5 trên [–2; 2]

3x - 1
trên [0; 2]
x -3
4 x2 + 7x + 7
g) y =
trên [0; 2]
x+2

x -1
trên [0; 4]
x +1
1 - x + x2
h) y =
trên [0; 1]
1 + x - x2

e) y =

f) y =

Trang 11

( x > 0)


Khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng

i) y = 100 - x 2 trên [–6; 8]
k) y = 2 + x + 4 - x
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
2 sin x - 1
1
a) y =
b) y =
c) y = 2sin 2 x - cos x + 1
2
sin x + 2
cos x + cos x + 1
e) y = sin 3 x + cos3 x

d) y = cos 2 x - 2sin x - 1

g) y = 4 x 2 - 2 x + 5 + x 2 - 2 x + 3

f) y =

x2 -1
x4 - x2 +1

h) y = - x 2 + 4 x + x 2 - 4 x + 3

VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức
Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số.
· Chứng minh một bất đẳng thức.
· Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở thành
đẳng thức.
Baøi 1. Giả sử D = {( x; y; z) / x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z = 1} . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

x
y
z
+
+
.
x +1 y +1 z +1
æ 1
1
1 ử
HD: P = 3 - ỗ
+
+
ữ
ố x +1 y +1 z +1ø

thức:

P=

ỉ 1
1
1 ư
Sử dụng bất đẳng thức Cơ–si: [( x + 1) + ( y + 1) + ( z = 1)] ỗ
+
+
ữ9
ố x +1 y +1 z +1ø
3
1
3
Þ P £ . Dấu “=” xảy ra Û x = y = z = . Vậy min P = .
D
4
3
4
ì
5ü
Bài 2. Cho D = í( x; y ) / x > 0, y > 0, x + y = ý . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:
ợ
4ỵ
4 1
S= +
.
x 4y
ỉ1 1 1 1 1 ư

ỉ4 1 ư
HD: ( x + x + x + x + 4 y ) ỗ + + + + ữ 25 4( x + y ) ỗ + ữ 25
è x x x x 4y ø
è x 4y ø
1
. Vậy minS = 5.
4
Baøi 3. Cho D = {( x; y ) / x > 0, y > 0, x + y < 1} . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Þ S ³ 5. Dấu “=” xảy ra Û x = 1, y =

P=

x2
y2
1
+
+x+y+
.
1- x 1- y
x+y

x2
y2
1
1
1
1
+ (1 + y ) +
+

-2 =
+
+
-2 .
1- x
1- y x + y
1- x 1- y x + y
ỉ 1
1
1 ư
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: [(1 - x ) + (1 - y ) + ( x + y )] ỗ
+
+
ữ9
ố 1- x 1- y x + y ø

HD: P = (1 + x ) +

Û

1
1
1
9
+
+
³
1- x 1- y x + y 2
Trang 12

Trần Sĩ Tùng

Khảo sát hàm số

5
1
5
. Dấu “=” xảy ra Û x = y = . Vậy minP = .
2
3
2
Baøi 4. Cho D = {( x; y ) / x > 0, y > 0, x + y ³ 4} . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

ÞP³

3 x 2 + 4 2 + y2
P=
+
.
4x
y2
HD: P =

æ 1 y yử x+y
x 1
+ + 2ỗ + + ữ +
2
4 x
8 8ø

2
èy

Theo bất đẳng thức Cơ–si:
1
y

ÞP³

2

+

(1)

x 1
x 1
+ ³ 2 . =1
4 x
4 x

(2)

y y
1 y y 3
+ ³ 33
. . =
8 8
y2 8 8 4

(3)

9
9
. Dấu “=” xảy ra Û x = y = 2. Vậy minP = .
2
2

VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trị
Xét bài tốn tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước.
Gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:
ì f ( x ) = y0
(1)
ớ
(2)
ợx ẻ D
Tu theo dng ca h trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thơng thường điều kiện ấy
(sau khi biến đổi) có dạng:
m £ y0 £ M
(3)
Vì y0 là một giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:
min f ( x ) = m; max f ( x ) = M
D

D

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y =

x2 + x + 1

x2 - x + 1
2sin x + cos x + 3
d) y =
2 cos x - sin x + 4

b) y =

2 x 2 + 7 x + 23

c) y =

x 2 + 2 x + 10

2sin x + cos x + 1
sin x - 2 cos x + 3

VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có min f ( x ) = m; max f ( x ) = M . Khi đó:
D

ì f ( x) = a
1) Hệ phương trình í
có nghiệm Û m £ a £ M.
ợx ẻ D
ỡ f ( x) a
2) H bt phng trỡnh ớ
cú nghim M a.
ợx ẻ D

ỡ f ( x) £ b
3) Hệ bất phương trình í
có nghim m Ê b.
ợx ẻ D
4) Bt phng trỡnh f(x) ³ a đúng với mọi x Û m ³ a.
5) Bất phương trình f(x) £ b đúng với mọi x Û M £ b.

Trang 13

D