Đề thi học sinh giỏi toán 12 tỉnh Nam Định 2008-2009 vòng 2 pps

Sở Giáo dục − ðào tạo
Nam ðịnh
ðỀ CHÍNH THỨC
Kì thi học sinh giỏi lớp 12 THPT chuyên
Năm học 2008 − 2009
Môn: Toán − Ngày thứ hai
Thời gian làm bài: 180 phút


Bài 1 (2 ñiểm):
Cho a;b;c các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 1.
CMR:
3
2
ab bc ca
c ab a bc b ca
+ + ≤
+ + +


Bài 2 (5 ñiểm):
Giải hệ phương trình với ẩn x;y;z dương:
2
2 2 2 3 4
4 3 2
2 1
3 3 1
4 4 6
z xyz
x y y x x y
z zy y y y z


+ =

+ = +


+ + = +



Bài 3 (4 ñiểm):
Cho các số thực a;b;c;d;e. CMR nếu phương trình ax
2
+(b+c)x+d+e = 0 có
nghiệm thực thuộc khoảng [1;+∞) thì phương trình ax
4
+bx
3
+cx
2
+dx+e = 0 có
nghiệm thực.

Bài 4 (5 ñiểm):
Tìm tất cả các hàm số
:f
+
→
ℝ ℝ
tăng và thỏa mãn ñiều kiện f(x+1) = f(x) + 2

−x

với mọi số thực dương x.

Bài 5 (4 ñiểm):
Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Trên cạnh BC lấy ñiểm D sao cho BD =
2DC. Giả sử P là ñiểm trên ñoạn AD sao cho
∠
BAC =
∠
BPD.
Chứng minh rằng
∠
BAC = 2
∠
DPC

Hết