Đề thi học sinh giỏi toán 12 tỉnh Nam Định 2008-2009 vòng 1 pot

Sở Giáo dục − ðào tạo
Nam ðịnh
ðỀ CHÍNH THỨC
Kì thi học sinh giỏi lớp 12 THPT chuyên
Năm học 2008 − 2009
Môn: Toán − Ngày thứ nhất
Thời gian làm bài: 180 phút


Bài 1 (4 ñiểm):
CMR trong 4 số thực dương không nhỏ hơn 1 luôn tồn tại 2 số a;b thỏa mãn
2 2
( 1)( 1) 1
3
2
a b
ab
− − +
≥

Bài 2 (5 ñiểm):
Cho x;y là các số nguyên dương thỏa mãn
2 2
6x y
xy
+ +
∈
Z

Tìm tất cả các cặp số (x;y) ñể
2 2

6
x y
xy
+ +
là lập phương của 1 số tự nhiên.
Bài 3 (2 ñiểm):
Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn ñồng thời 2 ñiều kiện sau với mọi cặp
số thực x;y:
i) f(x) ≥ e
2009x
với
1
lim 1
x
x
e
x
→∞
 
= +
 
 

ii) f(x+y) ≥ f(x).f(y)
Bài 4 (5 ñiểm):
Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích là S. ðặt AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.
CMR
2 2 2 2
13 6 2 4 2
a b c d S+ − + ≥

Bài 5 (4 ñiểm):
Cho dãy số {x
n
} xác ñịnh bởi:
0
1
0
( 1)
2008
n
n
n
x
x
x
−
=



= + −


với mọi n = 1;2;3;…
CMR dãy số {x
n
2
} có giới hạn hữu hạn và tính
2

lim
n
x
x
→+∞
.

Hết