Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 12 THPT Quảng Xương Bảng A - Đề số 3 pot

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (116.32 KB, 4 trang )

THPT Quảng Xơng 3
1
Sở giáo dục và đào tạo
Thanh Hóa kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 THPT

Môn thi Toán bảng A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Bài 1 (4 điểm)
1. Tìm trên trục hoành các điểm có thể kẻ đến đồ thị hàm số
1
2

x
x
y
hai tiếp
tuyến tạo với nhau một góc 45
0
.
2. Tính thể tích vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình giới
hạn bởi:
xy
2
log
; x + y = 3; y = 0.
Bài 2 (4 điểm)
1. Tìm m để hệ

077
022
2
2
mxmx
mxmx
có nghiệm.
2. Giải phơng trình
332
2
xxx
.
Bài 3 (4 điểm)
1. Giải phơng trình cos6x cos4x + 4cos3x + 4 = 0.
2. Trong tam giác ABC, chứng minh rằng:
6
13
coscoscos
1
coscoscos

CBA

CBA
.
Bài 4 (4 điểm)
1. Giải phơng trình

23log5log3
53
xxxx
.
2. Tính
x
xx
x
13121
lim
3
0

.
Bài 5 (4 điểm)
1. Lập phơng trình mặt cầu tâm I(1; -1; 1), biết rằng qua đờng thẳng

0122
0322

zyx
zyx
có hai mặt phẳng vuông góc với nhau tiếp xúc với mặt cầu.
2. Với a, b, c dơng và 1 R, chứng minh rằng:
11
1
11
1
11
1

ba
c
ac
b
cb
a
ba
c
ac
b
cb
a
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh số báo danh
THPT Quảng Xơng 3
2
Hớng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
Môn: toán - bảng A
(đáp án này có 3 trang)
Bài

ý
Nội dung
Điểm
1
TXĐ D = R\{1}
M Ox M(x
0
; 0), đờng thẳng qua M với hệ số góc k có phơng
trình: y = k(x x
0
) ()
() là tiếp tuyến của đồ thị khi hệ:

k
x
xx
xxk

x
x
2
2
0
2
1
2
1
có nghiệm

0
2
22
1
2
1
xx
x
xx
x
x

021
00
xxxx

1
1
2
0
0
0
0
xVoi
x
x
x
x
Với x
0
= 0 k = 0,

Với x
0
=
1
2
0
0
x
x
k =

2
0
0
1
4

x
x
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì:
21
21
0
1
45
kk
kk
tg

2
0
0
1
4
x
x
= 1

223
0
x
M
1
(
223
; 0), M
2
(
223
; 0).
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
I

2
Giao điểm của đồ thị hàm số
xy
2
log
, và đờng thẳng x +y = - 3
là A(2; 1) V =

dxxdxx
3
2
2
2
1
2
3log
=V
1
+ V
2

V
1
=
dxx

2
1
2
log
=
dxxe

2
1
2
ln.log
=
=

12ln2.log
2
e
.
V
2
=

dxx

3
2
2
3
= =
3
1
V=[
3
1
+

12ln2.log
2
e
] (đvtt)
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
II
1

)2(077
)1(022
2
2
mxmx
mxmx

1
= (m 2)
2
0 và
2
= (m 7)
2
0 m = 2 hoặc m = 7 thì
hệ phơng trình vô nghiệm.
Với

7
2
m
m
và
0m
thì tập nghiệm của (1) là D

1
R
+
và tập
nghiệm của (2) là D
2
R
-
nên hệ phơng trình vô nghiệm.
Với m < 0 tập nghiệm D
1
= (m; 2) và tập nghiệm D
2
= (-7; -m)
hệ phơng trình luôn có nghiệm.
Hệ phơng trình luôn có nghiệm với m < 0.
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
y
O 1 2 3 x
1
THPT Quảng Xơng 3
3
Bài
ý
Nội dung
Điểm
2

0133033
2
xxxxxxxx

2
131
03
0
3
2

x
xx
x
xx

2
173
023
1
13

2

x
xx
x
xx
Kết luận:
2
131
x
và
2
173
x
là nghiệm.
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
1

04cos33cos43cos2
2
xsxx

02sin213cos2
2
xx

02sin
13cos
x
x

2
3
2
3

lx
k
x
KL: Nghiệm x = + 2k
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
III
2
đặt
CBA coscoscos
= 1+
2
sin
2
sin
2
sin4
CBA
= t 1< t
2
3
Xét f(t) =
t
t
1

trên (1;

2
3
], có f(t) =
2
1
1
t

> 0 hàm số đồng
biến trên (1;
2
3
]
t (1;
2
3
] thì f(1) < f(t) f(
2
3
) =
6
13
Vậy
6
13
coscoscos
1
coscoscos

CBA
CBA
Dấu bằng xảy ra khi:
CBA coscoscos
=
2
3
hay tam giác đều.
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
1
Pt

3log5log
53
xx
=
3
2

x
x
với x > 5
Hàm số y =

3log5log
53

xx
đồng biến trên (5; + )
Hàm số y =
3
2

x
x
có y=

2
3
5

x
< 0 nghịch biến trên (5; + )
phơng trình có nghiệm duy nhất x = 8
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
IV
2
L =
x
xxxx
x
131313121

lim
333
0

=
x
x
x
x
121
31lim
3
0

+
x
x
x
131
lim
3
0

= L
1
+ L

2
L
1
=
x
x
x
x
121
31lim
3
0

=

121
2
31lim
3
0

xx
x
x
x
= 1

L
2
=
x
x
x
131
lim
3
0

=

13131
3
lim
3
2
3
0
xxx
x

x
= 1
Vậy L = 2
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
THPT Quảng Xơng 3
4
Bài
ý
Nội dung
Điểm
1

)(0122
)(
0322
Qzyx
P
zyx
ta nhận thấy

)(
)(
QI
PI
và (P) (Q)
hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu nhận (Q) làm mặt phẳng
phân giác 2 mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu cũng là
hai mặt phẳng phân giác của góc sinh bởi (P) và (Q). Nên phơng
trình 2 mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu là:
|2x + 4y z -3| = |x 2y -2z -1|

04-3z-x3
02-z4yx
Bán kính mặt cầu cần lập: R = d(I/) =
3
2141
=
3
4
Phơng trình mặt cầu cần lập là:

9
16
111