BÀI GIẢNG MÔN XỬ LÍ SỐ TÍN HIỆU CHƯƠNG 5 - BIẾN ĐỔI Z pptx

BA
BA
Ø
Ø
I GIA
I GIA
Û
Û
NG
NG
X
X
ÖÛ
ÖÛ
LY
LY
Ù
Ù
SO
SO
Á
Á
T
T
Í
Í
N HIE
N HIE
Ä
Ä
U

U
Bieân soa
Bieân soa
ï
ï
n: PGS.TS LEÂ TIE
n: PGS.TS LEÂ TIE
Á
Á
N TH
N TH
Ö
Ö
Ô
Ô
Ø
Ø
NG
NG
Tp.HCM, 02-2005
5.1 Những tính chất cơ bản
5.2 Miền hội tụ
5.3 Nhân quả và sự ổn đònh
5.4 Phổ tần số
5.5 Biến đổi Z ngược
CH
CH
Ư
Ư
ƠNG 5: BIE

ƠNG 5: BIE
Á
Á
N
N
Đ
Đ
O
O
Å
Å
I Z
I Z
5.1 Những tính chất cơ bản
Biến đổi z là công cụ cơ bản để thiết kế, phân tích và
biểu diễn của các bộ lọc số. Biến đổi z của tín hiệu rời rạc
về thời gian x(n) được đònh nghóa như sau:
(biến đổi z) (5.1.1)
hoặc dưới dạng các số hạng:
X(z) = … +x(-2)z
2
+ x(-1)z + x(0) + x(1)z
-1
+ x(2)z
-2
+ …
Nếu tín hiệu x(n) là nhân quả thì chỉ luỹ thừa âm z
-n
, n ≥
0 xuất hiện trong công thức khai triển.

CH
CH
Ư
Ư
ƠNG 5: BIE
ƠNG 5: BIE
Á
Á
N
N
Đ
Đ
O
O
Å
Å
I Z
I Z
() ()
∑
∞
=
−∞=
−
=
n
n
n
znxzX
Đònh nghóa (5.1.1) có thể được áp dụng cho chuỗi đáp ứng

xung h(n) của bộ lọc số. Biến đổi z của h(n) được gọi là hàm
truyền của bộ lọc được đònh nghóa:
(hàm truyền) (5.1.2)
Ví dụ 5.1.1: Xác đònh hàm truyền H(z) của hai bộ lọc
nhân quả của ví dụ 3.4.3
(a) h = {h
0
, h
1
, h
2
, h
3
} = {2,3,5,2}
(b) h = {h
0
, h
1
, h
2
, h
3
, h
4
} = {1,0,0,0,-1}
CH
CH
Ư
Ư
ƠNG 5: BIE

ƠNG 5: BIE
Á
Á
N
N
Đ
Đ
O
O
Å
Å
I Z
I Z
() ()
∑
∞
=
−∞=
−
=
n
n
n
znhzH
Giải:
Dùng đònh nghóa (5.1.2), ta có:
H(z)= h
0
+ h
1

z
-1
+ h
2
z
-2
+ h
3
z
-3
= 2 + 3z
-1
+ 5z
-2
+ 2z
-3
đối với câu a, và
H(z)= h0 + h
1
z
-1
+ h
2
z
-2
+ h
3
z
-3
+ h

4
z
-4
= 1 - z
-4
đối với câu b.
Có 3 tính chất của biến đổi z mà thuận lợi cho việc
phân tích và tổng hợp của các hệ thống tuyến tính:
- Tính tuyến tính
-Tính trễ
-Tính chập
CH
CH
Ư
Ư
ƠNG 5: BIE
ƠNG 5: BIE
Á
Á
N
N
Đ
Đ
O
O
Å
Å
I Z
I Z
CH

CH
Ư
Ư
ƠNG 5: BIE
ƠNG 5: BIE
Á
Á
N
N
Đ
Đ
O
O
Å
Å
I Z
I Z
Tính tuyến tính: biến đổi z của tổ hợp tuyến tính các tín
hiệu bằng tổ hợp tuyến tính của các biến đổi z đó.
(5.1.3)
Tính trễ: trễ tín hiệu bởi D mẫu sẽ tương đương với tích
biến đổi z của nó với hệ số z-D.
(5.1.4)
Tính chập: chập trong miền thời gian trở thành tích
trong miền z.
(5.1.5)
()
(
)()
(

)
zXazXanxanxa
2
211
Z
2
211
+⎯→⎯+
()
(
)
(
)
(
)
zXzDnxzXnx
D
ZZ
−
⎯→⎯−⇒⎯→⎯
()
(
)
(
)
(
)()
(
)
zHzXzYnx*nhny

=
⇒=
Ví dụ 5.1.2: Hai bộ lọc của ví dụ trên và của ví dụ 3.4.3 có
thể được viết dưới dạng “đóng” sau:
(a) h(n) = 2δ(n) + 3δ(n-1) + 5δ(n-2) + 2δ(n-3)
(b) h(n) = δ(n) - δ(n-4)
Hàm truyền có thể đạt được bằng cách dùng tính trễ và
tính tuyến tính như sau:
Trước hết, chú ý biến đổi z của δ(n) là 1.
CH
CH
Ư
Ư
ƠNG 5: BIE
ƠNG 5: BIE
Á
Á
N
N
Đ
Đ
O
O
Å
Å
I Z
I Z
() () ()
1z0znn
0

n
n
n
Z
==⎯→⎯
−
∞
=
−∞=
−
∑
δδδ
Ví dụ 5.1.2:
Kế đó, từ tính trễ ta có
Dùng tính tuyến tính, chúng ta có:
đối với (a), và
đối với (b).
CH
CH
Ư
Ư
ƠNG 5: BIE
ƠNG 5: BIE
Á
Á
N
N
Đ
Đ
O

O
Å
Å
I Z
I Z
()
()
()
, 1.3
,1.2
,1.1
33
22
11
−−
−−
−−
=⎯→⎯−
=⎯→⎯−
=⎯→⎯−
zzn
zzn
zzn
Z
Z
Z
δ
δ
δ
() ( )

(
)
(
)
321
Z
z2z5z323n22n51n3n2
−−−
+++⎯→⎯−+−+−+
δδδδ
() ()
(
)()
4
Z
z1zH4nnnh
−
−=⎯→⎯−−=
δδ
Ví dụ 5.1.3: Dùng u(n)-u(n-1)=δ(n), đối với mọi n, và tính
chất biến đổi z. Hãy xác đònh biến đổi z của 2 tín hiệu.
(a) x(n) = u(n) (b) x(n) = -u(-n-1)
Giải:
Đối với (a), chúng ta có phương trình vi phân
x(n) - x(n-1) = u(n) - u(n-1) = δ(n)
Lấy biến đổi z hai vế và dùng tính trể và tính tuyến tính,
ta có:
CH
CH
Ư

Ư
ƠNG 5: BIE
ƠNG 5: BIE
Á
Á
N
N
Đ
Đ
O
O
Å
Å
I Z
I Z
() ( ) () () () ()
1
1
Z
z
1
1
zX1zXzzXn1nxnx
−
−
−
=⇒=−⎯→⎯=−−
δ
Ví dụ 5.1.3:
Tương tự: đối với (b), chúng ta có phương trình vi phân

x(n)-x(n-1)=-u(-n-1)+u(-(n-1)-1)= u(-n)-u(-n-1)=δ(-n)
Phương trình cuối cùng, chúng ta dùng đònh nghóa cho
trước bằng cách thay n bằng –n. Chú ý δ(-n)= δ(n) và lấy
biến đổi z hai vế, ta có
Vì thế mặc dù hai tín hiệu u(n) và –u(-n-1) là hoàn
toàn khác nhau trong miền thời gian (một nhân quả và
một phản nhân quả) nhưng biến đổi z của chúng giống
nhau.
CH
CH
Ư
Ư
ƠNG 5: BIE
ƠNG 5: BIE
Á
Á
N
N
Đ
Đ
O
O
Å
Å
I Z
I Z
() ( ) ( ) () () ()
1
1
Z

z
1
1
zX1zXzzXn1nxnx
−
−
−
=⇒=−⎯→⎯−=−−
δ
V
V
í
í
du
du
ï
ï
5.1.4: T
5.1.4: T
í
í
nh ngõ ra cu
nh ngõ ra cu
û
û
a v
a v
í
í
du

du
ï
ï
4.1.1 ba
4.1.1 ba
è
è
ng ca
ng ca
ù
ù
ch th
ch th
ự
ự
c
c
hie
hie
ä
ä
n t
n t
í
í
nh cha
nh cha
ä
ä
p nh

p nh
ư
ư
la
la
ø
ø
phe
phe
ù
ù
p nhân trong mie
p nhân trong mie
à
à
n z.
n z.
Gia
Gia
û
û
i:
i:
Hai chuỗi h={1,2,
Hai chuỗi h={1,2,
-
-
1,1}, x={1,1,2,1,2,2,1,1} co
1,1}, x={1,1,2,1,2,2,1,1} co
ù

ù
bie
bie
á
á
n
n
đ
đ
o
o
å
å
i z:
i z:
H(z)= 1 +
H(z)= 1 +
2z
2z
-
-
1
1
-
-
z
z
-
-
2

2
+
+
z
z
-
-
3
3
X(z)= 1 +
X(z)= 1 +
z
z
-
-
1
1
+
+
2z
2z
-
-
2
2
+
+
z
z
-

-
3
3
+
+
2z
2z
-
-
4
4
+
+
2z
2z
-
-
5
5
+
+
z
z
-
-
6
6
+
+
z

z
-
-
7
7
Nhân hai
Nhân hai
đ
đ
a th
a th
ứ
ứ
c, ta co
c, ta co
ù
ù
t
t
í
í
ch Y(z)
ch Y(z)
=
=
X(z)H(z)
X(z)H(z)
Y(z)=
Y(z)=
1

1
+
+
3z
3z
-
-
1
1
+
+
3z
3z
-
-
2
2
+
+
5z
5z
-
-
3
3
+
+
3z
3z
-

-
4
4
+
+
7z
7z
-
-
5
5
+
+
4z
4z
-
-
6
6
+
+
3z
3z
-
-
7
7
+
+
3z

3z
-
-
8
8
+z
+z
-
-
10
10
He
He
ä
ä
so
so
á
á
lũy th
lũy th
ừ
ừ
a cu
a cu
û
û
a z la
a z la
ø

ø
nh
nh
ư
ư
õng mẫu cha
õng mẫu cha
ä
ä
p ng
p ng
õ
õ
ra:
ra:
y=h*x={1,
y=h*x={1,
3,
3,
3,
3,
5,
5,
3,
3,
7,
7,
4,
4,
3,

3,
3,
3,
3,
3,
0,
0,
1}
1}
CH
CH
Ư
Ư
ƠNG 5: BIE
ƠNG 5: BIE
Á
Á
N
N
Đ
Đ
O
O
Å
Å
I Z
I Z
5.2 Miền hội tụ
Miền hội tụ ROC của X(z) là tập con của mặt phẳng
phức z mà các chuỗi (5.1.1) hội tụ, nghóa là

(5.2.1)
Miền hội tụ là một khái niệm quan trọng về nhiều
phương diện: nó cho biến đổi ngược duy nhất của biến đổi
z và cho các đặc tính tiện lợi của tính chất nhân quả và
ổn đònh của tín hiệu hay hệ thống.
Miền hội tụ phụ thuộc vào tín hiệu x(n) cần biến đổi.
CH
CH
Ư
Ư
ƠNG 5: BIE
ƠNG 5: BIE
Á
Á
N
N
Đ
Đ
O
O
Å
Å
I Z
I Z
() ()
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨

⎧
∞≠=∈=
∑
∞=
−∞=
−
n
n
n
znxzXCzROC
Ví dụ, xét tín hiệu nhân quả sau:
x(n)=(0.5)
n
u(n)={1,0.5,0.5
2
,…}
Biến đổi z là
Ở đây, tổng bò giới hạn với n ≥ 0 vì x(n) nhân
quả. Dùng công thức chuỗi hình học vô hạn để
tính tổng vô hạn:
(5.2.2)
Mà hội tụ với |x| < 1 và ngược lại thì phân kỳ.
CH
CH
Ư
Ư
ƠNG 5: BIE
ƠNG 5: BIE
Á
Á

N
N
Đ
Đ
O
O
Å
Å
I Z
I Z
x1
1
x xxx1
0n
n32
−
==++++
∑
∞
=
Cho x = 0.5z
-1
, ta có tổng
Điều kiện để hội tụ chuỗi hình học là:
Vì thế, miền hội tụ là tập của các z trong miền
z mà nằm ngoài vòng tròn bán kính 0.5.
ROC={z∈C||z|>0.5}
CH
CH
Ư

Ư
ƠNG 5: BIE
ƠNG 5: BIE
Á
Á
N
N
Đ
Đ
O
O
Å
Å
I Z
I Z
()
()
hoặc
x
xzzX
n
n
n
n
−
===
∑∑
∞
=
∞

=
−
1
1
5.0
00
1
()
5.0z
z
z
5.01
1
zX
1
−
=
−
=
−
5.0z1z5.0x
1
>⇒<=
−
Chú ý, biến đổi z có cực tại z=0.5. Tóm lại, ta có:
Biến đổi z và ROC của nó được xác đònh duy nhất bởi
tín hiệu thời gian x(n). Tuy nhiên cũng có thể có hai tín
hiệu có cùng biến đổi z như ví dụ 5.1.3. Các tín hiệu như
thế chỉ có thể phân biệt trong miền z bởi ROC của chúng.
Ví dụ xét tín hiệu phản nhân quả x(n)=-(0.5)

n
u(-n-1)
Biến đổi z sẽ là:
CH
CH
Ư
Ư
ƠNG 5: BIE
ƠNG 5: BIE
Á
Á
N
N
Đ
Đ
O
O
Å
Å
I Z
I Z
()()
5.0
5.01
1
5.0
1
>
−
⎯→⎯

−
z với
z
nu
Z
n
() ( ) ( )
(
)
()
(
)
11
11
1
0.5 0.5 0.5
nm
n
n
nn m
X
zz z z
−− ∞
−
−−
−
=−∞ =−∞ =
=− =− =−
∑∑ ∑
Ở đây chúng ta chuyển các biến tổng từ n

thành m=-n. Để tính tổng chúng ta dùng:
Mà hội tụ với |x| < 1 và ngược lại thì phân kỳ.
Cho x=0.5z
-1
, ta có
Mà giống như ví dụ nhân quả trên.
CH
CH
Ư
Ư
ƠNG 5: BIE
ƠNG 5: BIE
Á
Á
N
N
Đ
Đ
O
O
Å
Å
I Z
I Z
x1
x
x xxx
1m
m32
−

==+++
∑
∞
=
() ( )
()
∑∑
∞
=
−
−
∞
=
−
−
−=
−
−=−=−=
1
1
1
1
1
5.01
5.0
1
5.0
m
m
m

m
z
z
x
x
xzzX hoặc
()
1
z5.01
1
5.0z
z
zX
−
−
=
−
=
Tuy nhiên, ROC trong trường hợp này thì khác. Nó
được xác đònh từ điều kiện hội tụ của chuỗi
là tập của các z bên trong vòng tròn bán kính 0.5.
CH
CH
Ư
Ư
ƠNG 5: BIE
ƠNG 5: BIE
Á
Á
N

N
Đ
Đ
O
O
Å
Å
I Z
I Z
5.0z1z5.0x
1
<⇒<=
−
{
}
5.0zCzROC <∈=
Tóm lại, chúng ta có biến đổi z:
Hai tín hiệu có cùng biến đổi z nhưng ROC thì hoàn
toàn khác nhau. Tổng quát, chúng ta có các kết quả sau:
(5.2.3)
CH
CH
Ư
Ư
ƠNG 5: BIE
ƠNG 5: BIE
Á
Á
N
N

Đ
Đ
O
O
Å
Å
I Z
I Z
()()
()( )
5.0,
z
5.01
1
1nu5.0
5.0,
z5.01
1
nu5.0
1
Z
n
1
Z
n
<
−
⎯→⎯−−−
>
−

⎯→⎯
−
−
z với
z với
()
()
a,
a
z
1
1
1nua
a,
az1
1
nua
1
Z
n
1
Z
n
<
−
⎯→⎯−−−
>
−
⎯→⎯
−

−
z với
z với
Ở đây a là số phức bất kỳ. ROC của chúng như sau:
Biến đổi z (5.2.3) cùng với tính tuyến tính và tính trể
có thể xây dựng nhiều biến đổi phức tạp hơn.
CH
CH
Ư
Ư
ƠNG 5: BIE
ƠNG 5: BIE
Á
Á
N
N
Đ
Đ
O
O
Å
Å
I Z
I Z
Ví dụ 5.2.1: cho a= ±1 trong (5.2.3), chúng ta có biến
đổi z của tín hiệu bước nhân quả, phản nhân quả và các
tín hiệu bước khác:
CH
CH
Ư

Ư
ƠNG 5: BIE
ƠNG 5: BIE
Á
Á
N
N
Đ
Đ
O
O
Å
Å
I Z
I Z
()
()
()()
()( )
1,
1
1
11
1,
1
1
1
1,
1
1

1
1,
1
1
1
1
1
1
<
+
⎯→⎯−−−−
>
+
⎯→⎯−
<
−
⎯→⎯−−−
>
−
⎯→⎯
−
−
−
−
z với
z với
z với
z với
z
nu

z
nu
z
nu
z
nu
Z
n
Z
n
Z
Z
Ví dụ 5.2.2: Xác đònh biến đổi z và ROC tương ứng
CH
CH
Ư
Ư
ƠNG 5: BIE
ƠNG 5: BIE
Á
Á
N
N
Đ
Đ
O
O
Å
Å
I Z

I Z
[]
() { }
()
n
n
n
nn
1. x(n) u(n-10)
2. x(n) (-0.8) u(n)
3. x(n) (-0.8) u(n)- u(n-10)
1
4. x(n) u(n) 1 u(n) 1,0,1,0,1,0,1,0,
2
1
5. x(n) (0.8) u(n) (-0.8) u(n)
2
n
6. x(n) cos {1, 0, 1, 0,1, 0, 1, 0,1, 0, 1, 0,
2
un
π
=
=
=
⎡⎤
=+−=
⎣⎦
⎡⎤
=+

⎣⎦
⎛⎞
= =−−−
⎜⎟
⎝⎠
}
Ví dụ 5.2.2: xác đònh biến đổi z và ROC tương ứng
CH
CH
Ư
Ư
ƠNG 5: BIE
ƠNG 5: BIE
Á
Á
N
N
Đ
Đ
O
O
Å
Å
I Z
I Z
[]
() ()
{1,2,3} hoàntuần lại lặp
và
u(n)(-0.8j)u(n)(0.8j)x(n) 8.

u(n)
2
n
cos(0.8)
nn
n
, },3,2,1,3,2,1,3,2,1{)(.10
)sin()()cos()(.9
2
1
)(.7
00
=
==
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
nx
nunnxnunnx
nx
ωω
π
Giải:
(1) Dùng tính chất trễ, chúng ta có:
với ROC |z| > 1.

(2) Dùng (5.2.3) với a = -0.8
CH
CH
Ư
Ư
ƠNG 5: BIE
ƠNG 5: BIE
Á
Á
N
N
Đ
Đ
O
O
Å
Å
I Z
I Z
() ()
1
10
10
z1
z
zUzzX
−
−
−
−

==
()
8.08.0,
z8.01
1
zX
1
=−>
+
=
−
z :ROC với
(3) x(n) = (-0.8)
n
u(n) - (-0.8)
10
(-0.8)
n -10
u(n-10))
Ở số hạng thứ hai, chúng ta nhân & chia cho hệ số (-0.8)
10
để tạo lại phiên bản trễ 10 đơn vò của số hạng thứ nhất. Vì
thế dùng tính trễ và tuyến tính và kết quả của trường hợp
(2), ta có:
Cho a=-0.8, ta có:
x(n)=a
n
[u(n)-u(n-10)]={1,a,a
2
,a

3
,a
4
,a
5
,a
6
,a
7
,a
8
,a
9
,0,0,0,…}
Vì thế, biến đổi z có thể được tính bởi tổng hữu hạn:
X(z)=1 + az
-1
+ a
2
z
-2
+…+ a
9
z
-9
CH
CH
Ư
Ư
ƠNG 5: BIE

ƠNG 5: BIE
Á
Á
N
N
Đ
Đ
O
O
Å
Å
I Z
I Z
() ()
(
)
1
10
10
1
10
10
1
z8.01
z8.01
z8.01
z
8.0
z8.01
1

zX
−
−
−
−
−
+
−−
=
+
−−
+
=
Sử dụng chuỗi hình học vô hạn
Lấy tổng các chuỗi trên
(4) Sử dụng tính tuyến tính và (5.2.3) với a=1 và a=-1:
với ROC |z| > 1.
CH
CH
Ư
Ư
ƠNG 5: BIE
ƠNG 5: BIE
Á
Á
N
N
Đ
Đ
O

O
Å
Å
I Z
I Z
x1
x1
x xx1
N
1N2
−
−
=++++
−
()
(
)
1
10
10
1
1010
99221
z8.01
z8.01
az1
za1
za zaaz1zX
−
−

−
−
−−−
+
−−
=
−
−
=++++=
()
211
1
1
1
1
1
1
2
1
−−−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+

−
=
zzz
zX