Tỉ số lượng giác của góc nhọn pps

108
§2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Vào khoảng 200 năm trước công nguyên. Ơ-ra-tô-xten, một
nhà toán học và thiên văn học Hi Lạp đã ước lượng được “chu
vi” của Trái Đất nhờ vào hai quan sát sau:
1) Một ngày trong năm, ông ta để ý thấy Mặt Trời chiếu thẳng
các đáy giếng ở thành phố Xy-en (nay gọi là Ac-su-an), tức là
tia sáng chiếu thẳng đứng.
2) Cùng lúc đó ở thành phố A-lieeec-xan-dri-a cách Xy-en
800km, một tháp cao 25m có bóng trên mặt đất dài 3,1m.
Ơ-ra-tô-xten đã ước lượng “chu vi” Trái Đất như thế nào?
O
B
C
S
A
Hình 14


1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn
a) Đặt vấn đề
Ta đã biết hai tam giác vuông có cùng góc nhọn α thì đồng
dạng với nhau, do đó tỉ số của các cặp cạnh tương ứng của
chúng bằng nhau. Chẳng hạn (xem hình 15), hai tam giác ABC,
A’B’C’ vuông tại A và A’, có
l
l
'BB
α

=
=
.

109
B
C
A
a)
α

C’B
A’
b)
α

Hình 15
Do đó
ΔABC ~ ΔA’B’C’, vì vậy ta có các cặp tỉ số bằng nhau
như sau:

'' '' '' ''
;;;;
'' '' '' ''
AB A B AC A C AC A C AB A B
BC B C BC B C AB A B AC A C
====

Vậy mọi tam giác ABC vuông tại A, có
l

B
α
=
luôn có các tỉ
số
,,,
A
BACABAC
BC BC AC AB
không đổi, không phụ thuộc vào từng
tam giác. Tuy nhiên chúng phụ thuộc vào độ lớn của góc
α.
b) Đònh nghóa
Ta nhắc lại các khái niệm cạnh kề, cạnh đối của một góc trong
tam giác. Xét góc nhọn B của tam giác vuông ABC (h.16).
A
C
B
Cạnh huyền
C
a
ï
n
h

ke
á
C
a
ï

n
h

đ
o
á
i
α
Hình 16


• AB được gọi là cạnh kề của góc B.

• AC được gọi là cạnh đối của góc B.
Cho góc nhọn
α. Dựng một tam giác vuông có một góc nhọn
α. Cạnh kề và cạnh đối nói tới trong đònh nghóa dưới đây là
của góc
α.
Đònh nghóa :
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc
α,
kí hiệu sin
α.
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc
α,
kí hiệu cos
α.

110

Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc
α, kí
hiệu tg
α, (hay tan α).
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc
α,
kí hiệu cotg
α (hay cotα).
Như vậy:
sin
α
=
đối
hu
y
ền
;
sco
α
=
kề
hu
y
ền

tg
α
=
đối
kề

;
cot g
α
=
kề
đối

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau :
Ta có thể chứng minh dễ dàng các đẳng thức sau :
sin cos ; cos sin
tg cot ; cotggtg
α
βαβ
α
βαβ
=
=
==


Như vậy ta có bảng tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt sau
đây :

Các em có thể dựa vào nửa tam giác đều ở trên và tam giác
vuông cân để suy ra các giá trò ở bảng trên (trường hợp 0
o
và
90
o
là trường hợp để tham khảo thêm)

Đònh lí: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc
kia, tang góc nay bằng côtang góc kia.


111
Có thể em chưa biết
Bất ngờ về cỡ giấy thương mại A4 (21cm
× 29,7cm).

• Tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng của tờ giấy A4 xấp xỉ
bằng
2
.

• Giả sử tờ giấy A4 được minh hoạ bằng hình 23. Nếu gấp tờ
giấy theo các đường thẳng AC và BI thì ta sẽ có một góc
vuông!
K
Hình 23
BC
D
A
I


• Nếu gấp tờ giấy theo đường phân giác BM của góc ABC, sau
đó gấp tiếp theo đường phân giác BN của góc ABM (h.24) thì
điểm M sẽ trùng với điểm A!
M
Hình 24

BC
D
A
N


112
Bằng hiểu biết của mình, em có thể giải thích được các điều lí
thú này đấy.
Bài tập
17. Lập các tỉ số lượng giác của góc 34
o
bằng cách vẽ một tam
giác vuông có góc nhọn 34
o
.
Giải
Ta có :

0
0
0
0
sin34
cos34
34
c34
A
B
BC

A
C
BC
A
B
tg
AC
A
C
otg
A
B
=
=
=
=

18. Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó AC = 0,90m,
BC = 1,20m. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra
các tỉ số lượng giác của góc A.
Giải
Theo đề bài :
l
0,9 3
1, 2 4
AC
tgB
BC
===

l
0
37B⇒≈

Mà
ll
0
90AB+=
nên
l
0
53A ≈

19. Hãy biến đổi các tỉ số lượng giác sau đây thành tỉ số lượng
giác của các góc nhỏ hơn 45
o
.
sin60
o
, cos75
o
, sin52
o
30’, cotg82
o
, tg80
o
.
Giải

000 0
sin60 sin(90 30 ) cos30=−=

0000
75 cos(90 15 ) sin15cos =−=


00000
sin52 30' sin52,5 sin(90 37,5 ) cos37,5==−=


0000
cot 82 cot (90 8 ) 8gg tg=−=

000 0
80 (90 10 ) cot 10tg tg g=−=


113
Luyện tập
20. Dựng góc nhọn
α
biết rằng :
a)
1
sin
3
α
=

b) cos 0,4
α
=
c)
3
5
tg
α
=

Giải
a) Cách dựng :
- Dựng góc vuông xAy = 90
o

- Trên tia Ay , lấy điểm B sao cho AB = 1
- Dưng đường tròn tâm B , bán kính 3 , đường tròn cắt Ax tại
điểm C , nối BC ta được
A
CB
∧
thoả
1
sin
3
ACB
∧
=

Chứng minh : thật vậy

1
sin sin
3
C
α
=
=

Tương tự , các em có thể tìm hiểu và giải được câu b) và c)
21. Sử dụng đònh nghóa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn để
hứng minh rằng : với các góc nhọn
α
tuỳ ý , ta có :
a)
sin 1 ; cos 1
α
α
<<
b)
sin cos
; cot ; .cot 1
cos sin
tg g tg g
α
α
αααα
αα
== =
c)
22

sin cos 1
αα
+
=

Gợi ý câu c) : dùng đònh lý Pitago .
Giải


114
a) Ta có :
sin
A
C
BC
α
= ; cos
A
B
BC
α
= mà vì AB , AC đều nhỏ
hơn BC (BC là cạnh huyền) nên
sin 1 ; cos 1
α
α
<
<
b) Ta có :
sin

cos
AC
AC
BC
tg
AB
AB
BC
α
α
α
== =

Tương tự
cos
sin
AB
AB
BC
cotg
AC
AC
BC
α
α
α
== =

sin cos
.cot . 1

cos sin
tg g
α
α
αα
αα
⇒= =
c)
2
2
2
sin
A
C
BC
α
= ;
2
2
2
cos
A
B
BC
α
=

22 2
22
22

sin cos 1
AB AC BC
BC BC
αα
+
⇒+ = ==

22. Cạnh huyền của một tam giác vuông có một góc 60
o
là 8. Hãy
tìm độ dài của đối diện với góc 60
o
.
Giải

Ta có BC = 8
4HC⇒=
(vì BCH là nửa tam giác đều)

2
22 2
3
43
22
BC BC
HB BC HC BC
⎛⎞
=−=− = =
⎜⎟
⎝⎠

.
23. Tìm x trong hình 25

115
x
45
o
21
20
Hình 25

Giải
Do
n
0
45ABC = và
n
0
90AHB = nên tam giác ABH là tam giác
vuông cân
Do đó AH = BH = 20
Ta lại có : Theo Pytago
:
22 22
21 20 841 29xAHHC=+=+==

24. Hãy tìm cos
α và tgα, nếu
a) sin
α =

3
5
b) sinα =
40
41
c) sinα = 0,8.
Giải
a) Ta có
22 2
sin cos 1 cos 1 sinaa a a+=⇒=−
(vì a là góc
nhọn nên cosa > 0 )
Vậy
2
2
3164
sin cos 1
5255
a
⎛⎞
=− = =
⎜⎟
⎝⎠

3
sin 3
5
4
cos 4
5

a
tga
a
===

Cách làm tương tự đối với câu b) và c) , các em có thể tự giải


116
Có thể em chưa biết
SỰ RA ĐỜI CỦA PHÉP TOÁN LƯNG GIÁC
Lượng giác ra đời trong quá trình xây dựng kim tự tháp và sự quan
sát thiên văn. Kim tự tháp là điều thú vò đối với chúng ta : hầu như
tất cả các mặt của nó đều tạo ra một góc từ 50
0
đến 55
0
với bề mặt
nên. Trong bản viết tay của Rhind, người ta tìm thấy công thức về tỷ
số của phân nửa cạnh đáy so với chiều cao của kim tự tháp. Đối với
một cạnh 360 sải tay và một chiều cao 250 sải tay, viên thư ký chỉ ra
được tổng các phân số, với lời ghi của chúng tôi :
50
1
5
1
2
1
++
. Tỷ số

này nghòch đảo với tang 54,2
0
. Độ lớn của tỷ số như thế này rất
quan trọng đối với những người xây dựng kim tự tháp bởi vì họ cần
tính toán chính xác để ghép những khối đá liên tiếp nhau.
Về phương diện này, những nhà thiên văn học xứ Babylone
thế kỷ IV và V trước công nguyên, đã tích lũy lượng lớn dữ liệu
thiên văn và những nhà thiên văn học xứ Babylone này đã sắp xếp
việc sử dụng những hằng số góc này (số nghòch đảo của tg một góc
nào đó) thành một bảng được khắc trên bảng Plimton 322.
Người Hi Lạp đã lợi dụng những thành tựu của những nhà
thiên văn xứ babylone và tiếp tục nghiên cứu những mối quan hệ
giữa những góc ở tâm đường tròn với chiều dài dây cung bò chắn.
Nếu trong những quyển sách của Euclide, người ta tìm được rất ít
những phép toán lượng giác, thì ngược lại , hai nhà toán học Hi Lap
đã sử dụng những mối quan hệ góc dây cung đó là Eratosthène de
Cyrene (khoảng 275 – 195 trước CN) và Aristanque de Samos
(khoảng 310 – 230 trước CN). Người đầu tiên trong số họ đã cho
rằng chu vi Trái Đất vào khoảng 250000 stades (đv đo), lớn hơn một
chút so với thực tế. Người thứ hai đã thiết lập được những tỷ số
lượng giác và đặc biệt, ông đã phát biểu rằng tỷ số khoảng cách từ
Trái Đất đến Mặt Trăng so với khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt
Trời vào khoảng từ
20
1
đến
18
1
.
Một thế kỷ sau, Hipparque de Nicée (khoảng 180 – 125 trước

Cn) đã sử dụng một cách hệ thống một đường tròn 360
0
và chia nhỏ
nó ra, thừa hưởng từ người xứ Babylone, và ông đã dựng nên bảng
công thức về dây cung biều diễn cho bảng công thức về sin của góc.

117
Những nhà toán học xem Hipparque de Nicée như là cha đẻ của các
phép toán lượng giác.
Sự đo đạt đầu tiên về một cung của kinh tuyến bởi
Eratosthène (khoảng 230 trước CN).
Asỳene (S), ngày nay là Assounan, vào ngày 21 tháng 6, Mặt
trời, vào lúc lên cao nhất , phản xạ dưới đáy giếng thẳng đứng. Vào
đúng ngày này, ở Alexandrie (A), sự đo đạc về chiều dài nhỏ nhất
của bóng Aa một cột tháp thẳng đứng AB cho phép xác đònh được
góc
∧
aBA cũng chính là góc
∧
AOS bởi lẽ các tia sáng mặt trời gần
như là song song với nhau. ratosthène ước lượng cung
SA vào
khoảng
50
1
so với kinh tuyến Trái Đất. Mà khoảng cách từ Sỳene
đến Alexandie vào khoảng 5000 stades, điều đó cho thấy chu vi
Trái Đất khoảng 250000 stades.

118
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1
Cho tam giác ABC có các góc nhọn và đường cao AH =
2
BC
.
Chứng minh rằng : cotgB + cotgC = 2.
Bài 2
Dựa vào công thức
22
sin cos 1
x
x
+
= .
Chứng minh : sin
4
x +cos
4
x = 1 – 2 sin
2
x.cos
2
x
Bài 3
Cho tam giác ABC vuông tại A.
a/Chứng ming rằng
2
Bb

tg
ac
=
+

b/ Các em hãy đưa ra một công thức khác tương tự ,
c/
22
2
2
2
(
()
aa
bc
ll
bc
=
+
là độ dài phân giác trong của góc A)
Bài 4
Cho tam giác có 3 góc nhọn
a/ Chứng minh rằng :
sin sin sin
abc
A
BC
==

b/ Chứng minh rằng : S =

1
2
bcsinA