Căn bậc hai và hàm đẳng thức ppsx

6
§2. Căn thức bậc haivà hằng đẳng thức
AA =
2

Đònh lí: Với mọi số thực a, ta có
aa =
2
.
Chứng minh:
Theo đònh nghóa căn bậc hai số học, ta phải chứng minh

()
0
2
2
≥= avà aa
.
Thật vậy :
Nếu a
≥ 0, ta có
2
aaa ==
2
)a( nên

Nếu a < 0, ta có
22
)( aaaa =−=−=
2

)a( nên

Do đó,
2
)( a = a
2
với mọi a.
Mà theo đònh nghóa giá trò tuyệt đối thì
0≥a
.
Vậy :
aa =
2

Bài tập
6. Tìm điều kiện của x để các căn bậc hai sau có nghóa
a.
2
x−

b.
5−− x

c.
2
x6x7−++

d.
12
2

2
+− xx


e.
2
4x +

Giải
a.
2
x−
có nghóa
⇔
2
0x
−
≥
. Mà
2
0
x
x≥∀
. Vậy x = 0
b.
5−− x
có nghóa
50x
⇔
−−≥

.


50x −≤
5x
⇔
=

Vậy
5−− x
có nghóa khi x = 5

c.
2
x6x7−++
có nghóa


7

()( )
2
670
170
17
xx
xx
x
⇔− + + ≥
⇔+ −≤

⇔− ≤ ≤

d.
12
2
2
+− xx
có nghóa

2
210xx⇔−+≥


()
2
10x⇔− ≥

Ta được một BĐT luôn đúng với mọi x , vậy căn thức trên
luôn xác đònh với mọi x
∈
R
e. Ta có :
2
40 ,
x
x+> ∀. Vậy căn thức này luôn xác đònh với
mọi x
∈
R

7. Tính
a.
324 + b. 347 −
Giải
a.
()
2
423 3231 31 31+=++= +=+

(do
310
+
>
)
b.
()
2
2
743 2 2.233 2 3 2 3−=− +=− =−

(do
230
−
>
)
8. Rút gọn :
a.
()

1
12
1
2
2
+
++
−+=
x
xx
xA

b.
242
4816Bx x x=−+ + +

Giải
a. A =
1
1
1
x
x
x
+
+−
+


8

1
1 khi x > -1
1
1
1 khi x<-1
1
khi x > 1
-x khi x < -1
x
x
x
x
x
x
x
+
⎧
+−
⎪
⎪
+
=
⎨
+
⎪
−−+
⎪
+
⎩

−
⎧
=
⎨
⎩

b.
242
4816Bx x x=−+ + +


24222
481644xxxxx−+ + + = −+ +


22
44 xx=−++
(do x
2
+ 4 >0)

2
2
x
=

9. Tìm x biết:
a)
2
x

= 7 b)
8
2
−=x

c)
9
4
=x
d)
2
x
= 3x – 8.
Giải
a.
2
x
= 7
77xx⇔=⇔=±

b.
2
888xxx=− ⇔ = ⇔ =±

c.
42
99 3xxx=⇔ =⇔=±

d.
2

x
= 3x – 8
38 4
38
38 2
xx x
xx
xx x
=
−=
⎡⎡
⇔=−⇔ ⇔
⎢⎢
=
−+ =
⎣⎣

10. Chứng tỏ:

1414 −=+

4949 −=+


916916 −=+

Hãy viết tiếp

=+ 1625

=+ 2536

Giải
Ta có :
(
)
(
)
()
4141
41
41 41
21
41
VP
+−
−
+= = =−=
−
−

Tương tự các em chứng minh các đẳng thức tiếp theo

9
Luyện tập
11. Tính
a)
49:1962516 +

b)
16918.3.2:36
2
−

c)
81
d)
22
43 +

Giải
a)
16 25 196 : 49 4.5 14:7 10+=+=

b)
222
36: 2.3 .18 169 36: 3 .6 13 11−= −=−

c)
81 9 3
=
=

d)
22
34 255+= =

12. Tìm x để căn thức sau có nghóa
a)

72 +x
b)
43 +− x

c)
x+−1
1
d)
2
1 x+

Giải
a.
72 +x
có nghóa khi
7
270
2
xx
+
≥⇔≥−
b.
43 +− x
có nghóa khi
4
340
3
xx
−
+≥⇔≤

c.
x+−1
1
có nghóa khi
1
0
10 1
1
10
x
x
x
x
⎧
≥
⎪
⇔
−+ > ⇔ >
−+
⎨
⎪
−+ ≠
⎩

d.
2
1 x+
luôn luôn được xác đònh do 1 + x
2
> 0

x
∀

13. Rút gọn
a)
2
2 a
−
5a với a < 0
b)
2
25a
+ 3a với a ≥ 0
c)
4
9a
+ 3a
2
với a bất kì
d)
6
45 a
−
3a
3
với a bất kì
Giải
a)
2
2525257aaaa aa a−= −=−−=−

(vì a < 0)

10
b)
2
25 35 3538aaaaaaa
+
= +=+=
(vì a ≥ 0)
c)
42222
93336aaaaa+=+=

d)
63 33
54 3 10 3aa aa−= −

33 3
33 3
10 3 7 khi 0
10 3 13 khi 0
aa a a
aa a a
⎡
−= ≥
=
⎢
−−=− <
⎣

14. Phân tích thành nhân tử
a) x
2
– 3 b) x
2
– 6
c) x
2
+
32
x + 3 d) x
2
−
52
x + 5
Hướng dẫn :
x
2
– 3 = x
2
–
)3 )(3 ()3(
2
+−= xx

Giải
b. x
2
– 6 =
(

)
(
)
66xx−+
c. x
2
+
32
x + 3 =
(
)
2
3x +
d. x
2
−
52
x + 5=
(
)
2
5x−
15. Giải phương trình
a) x
2
– 5 = 0 b) x
2
– 2
11
x + 11 = 0

c)
24
2
+= xx
d)
12)2(
2
+=+ xx

Giải
a. x
2
– 5 = 0
2
55xx⇔=⇔=±

b. x
2
– 2 11 x + 11 = 0
(
)
2
11 0 11xx⇔− =⇔=

c.
2
22
4222
22
20

xx
xx xx
x
x
x
⎧
=+
⎡
⎪
⎢
=+⇔ =+⇔
=
−−
⎨
⎣
⎪
+≥
⎩


2
2
2
2
3
3
2
x
x
x

x
x
⎧=
⎡
=
⎡
⎪
⎢
⎪
⎢
⎢
⇔⇔
=−
⎨
⎢
⎢
=−
⎣
⎪
⎢
⎣
⎪
≥−
⎩

Kết luận : x =2 hay x=
2
3
−

11
d.
2
(2)21 221
x
xx x+=+⇔+=+


1
22 1
1
1
221
1
210
2
x
xx
x
x
xx
x
x
⎧=
⎡
⎧+= +
⎡
⎪
⎢

⎪⎪
=−
⎢
⎣
⇔⇔⇔=
+=− −
⎨⎨
⎣
⎪⎪
+≥
≥−
⎩
⎪
⎩

16.
Đố: Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh sau:


22
2
22
2
55525251
332.3. 915 6
222444
55525251
222.2. 4106
222444
⎛⎞ ⎛⎞

−=− + =−+=−+=
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎛⎞ ⎛⎞
−=− + =−+=−+=
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

Vậy :
22
55
32
22
⎛⎞⎛⎞
−=−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

Khai phương hai vế ta có :
55
32
22
−
=−

Cộng hai vế trên cho
5
2
ta có : 3 = 2 !!!
Giải

Bài tóan sai ở chỗ khai phương hai vế, ta có
2
555
333
222
⎛⎞
−=−=−
⎜⎟
⎝⎠
( do
5
30
2
−
> )
2
555
22 2
222
⎛⎞
−=−=−
⎜⎟
⎝⎠
(do
5
20
2
−
<
)

 Một bài tương tự khác
Chứng minh 3 = 4. Hỏi SAI ở đâu ?
Giải sử a + b = c
(
)
(
)
(
)
()()
43 43
434343
444333
43
43
ab c
aabbcc
abcabc
abc abc
⇔− +=−
⇔−+−=−
⇔+−=+−
⇔+−=+−
⇔=



12
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1

Tìm giá trò của x để mỗi biểu thức sau đây có nghóa :
a.
x−4
d.
54
2
−+− xx

b.
2
x6x7−++
e.
4
1
2
−x

c.
()
1
1
−xx
f.
2
8
3
x−

Bài 2

Phân tích thành nhân tử :
a.
0)a (với ≥− 9a
c.
5
2
−a

b.
2
47 a−
d.
5 a
−
(với a ≥ 0)
Bài 3

Tính :
a.
324+ c. 347 −
b.
2611+
d.
21027 −

Bài 4

Chứng minh rằng :
a.

()
⎩
⎨
⎧
<
≥−
=−+
2x nếu 2
2x nếu )1(2
2
2
x
xx

b.


⎩
⎨
⎧
≤+
>−
=−+−
3x nếu 32x-
3x nếu 3
96
2
xxx

Bài 5

Giải các phương trình sau đây :
a.
396
2
=+− xx

b.
()
1296
2
−=+− xxx

c.
xxx −=+− 4168
2

d.
112
22
−=+− xxx

Hướng dẫn :

13
Ñöa veà daïng :
BO
AB
AB

AB
≥
⎧
⎪
=⇔
=
⎡
⎨
⎢
⎪
=
−
⎣
⎩