giải tóan trên máy tính -giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đổi biến

Kết
Dùng
Lập phương thu về được phương trình:
Biến đổi
đặt
Vấn đề 1:
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

,
Bài tập ví dụ:
Bài 1 : Giải phương trình :

3
8cos ( ) cos3
3
x x

 
(*)
Hướng dẫn:

( )
3
t x

 
Khi đó:
3 3x t

 

.
Phương trình (*) trở thành
3
8cos cos(3 )t t

 
3
3 3
2
8cos cos3 0
8cos 4cos 3cos 0
3cos (4cos 1) 0
t t
t t t
t t
  
   
  
 
cos 2(cos2 1) 1 0t t   
Đây trở về phương trình tích mà các bạn đã biết cách giải.
Bài 2: Giải phương trình:

6
32cos sin6 1
4
x x

 
  




(*)
Đặt
4
t x

 
 

 
Khi đó,
3
6 6
2
x t

 


(*)
6
3
32cos sin 6 1
2
t t

 
   


 
. Nhận thấy
3
sin 6
2
t

 


 
=
cos6t

3
6
1 cos2
cos
2
t
t

 


 
và
3
cos6 cos3.2 4cos 2 3cos2t t t t  

2
4cos 2 5cos2 1 0t t  
Kết quả:
4
x k


 
hoặc
4
x k

 
   
,
k 


Bài 3: Giải phương trình:
2
4
cos cos
3
x
x 
(
*)
,

 
2
1 1 2
cos 1 cos2 1 cos3.
2 2 3
x
x x
 
   

 

Đặt
2
3
x
t 
công thức nhân
ba và nhân đôi
quả :
3x k


hoặc
3
4 2
k
x
 
  

với
k Z
.
Z
www.hsmath.net


www.hsmath.net
2
= 0
+ 3
+ x
2xsinx
4.cosx
cos x
Giải :
1
Giải các
BÀI TẬP
phương trình sau:
a)
sin 2 5sin cos3
3 6
x x x
 
   
   
 
   
b)

sin 3 sin2 .sin
4 4
x x x
 
   
  
 
   
c)
sin3 2cos
6
x x

 
 



*d)
2cos sin3 cos3
6
x x x

 
  

 
Gợi ý câu d) : Vẫn đặt
6
t x


 
 

 
. Từ đó suy ra 3t. Xét cost = 0 không là nghiệm
phương trình. Chia 2 vế cho
3
cos t
biến thành hàm số theo tan.






Vấn đề 2:
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI
THÀNH TỔNG CÁC PHẦN TỬ KHÔNG ÂM.
,3,
,2
Với điều kiện
Nội dung phương pháp:

1 2 3
0
n
A A A A    
0
i

A 
( 1 , )i n
hoặc
0
i
A 

( , )i n
1
2
0
0
0
n
A
A
A








,21 .
,3,

) Giải phương trình:
sin4x (cosx - 2sin4x) +cos4x (1 +sinx - 2cos4x) = 0 (*)

PT

(sin4x cosx + cos4x sinx) - 2(sin
2
4x + cos
2
4x) + cos4x = 0
sin5x+cos4x=2 .
được nghiệm của PT là x =
2

+k2

(k

Z).

) Giải phương trình:

2
- -
2

x
2
- 2xsinx + 1+ cos
2
x - 4cosx + 2 = 0



(x
2
- 2xsinx + sin
2
x) + (2cos
2
x - 4cosx +2) = 0
hay 2(cosx - 2)
2
+ (sinx - x)
2
= 0
Đến đây thì ta có thể giải như VD 1) Kết quả: x = 0.
Giải :
www.hsmath.net
www.hsmath.net
8x) ≥ 0
2
4
x =
=
=
3)
Giải phương t
,
rình:
10 10 6 6
2 2
sin cos sin cos
4 4cos 2 sin 2

x x x x
x x
 


(*)
6 6
sin cosx x
2 2
4cos 2 sin 2x x
Từ đó suy ra :
2
10 10
2
3
1 sin 2
sin cos 1
4
4 4 3sin 2 4
x
x x
x


 

hay
10 10
sin cosx x
=1 (**)

2 10
sin sin 0x x 
;
2 10
cos cos 0x x 
.
2 2
1 sin cosx x 
Từ đó, (**)

(sin
2
x – sin
10
x) + (cos
2
x - cos
10
x) = 0.
Đến đây các bạn có thể dễ dàng biến đổi tiếp để ra kết quả
2
k

(

.
2
3
1 sin 2
4

x
2
4 3sin 2x
Z)
) Giải phương trình:
sin
3
x + cos
3
x = 2 - sin
4
x
2 3 2 3 4
(sin sin ) (cos cos ) (1 sin ) 0x x x x x     
Và dễ dàng giải ra được:
2
2
x k


 
,
k
(

.
Z)
k
Giải :
Giải :

Bài Tập:
1) sinx + sin2x + sin3x + + sin(nx) = n (n

N).
2) 4cosx + 2cos2x + cos4x = 7.
3) 2sin
5
x + 3cos
8
x = 5.
Gợi ý: PT tương đương 2(2 - sin
5
x) + 3(3 - cos
8
x) = 0.
4) cos
2
4x + cos
2
8x =sin
2
12x + sin
2
16x + 2.
Gợi ý: chú ý là (2 - cos
2
4x - cos
2
5) sinx + cosx = (2 – sin3x) .
Gợi ý: Dùng công thức: sinx + cosx =

2
sin( x +
4

).
www.hsmath.net
www.hsmath.net
= a
Vấn đề 3:
NHỮNG PHƯƠNG PHÁP KHÁC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC
Bài toán 1. Giải PT:
2
sin 2x 
+
2
5 cos x
= 2.
Lời giải.
a=
2
sin 2x 
và b=
2
5 cos x
. Từ đó ta được hệ:
2 2
2
2
a b

a b
 


  

. Đến đây ta dễ dàng giải được.
Kết quả: PT vô nghiệm.
Bài toán 2. Giải PT:
 
2
2
3
3
3
cos sin 3 2x x   
.
a =
 
2
3
cos x
và b =
2
3
sin 3x 
. Từ đó ta cũng được hệ:
3
3 3
2

2
a b
a b

  


  


. Từ đây ta có thể giải được.
Bài toán 3. Giải PT:
2
tan x – 2 2 tan = 0 x 
.
Lời giải.

2 tan x

2
2
2 tan
tan 2
a x
x a
 


 


. Đây chính là hệ đối xứng mà ta đã biết cách giải.
Nên nhớ rằng ĐK là: tanx

2.
Kết quả: x =
4
k



hoặc x = arctan(
1 5
2

)+
k

(k

.
Lời giải.
Z)
www.hsmath.net
www.hsmath.net