Xác suất căn bản - Các quy luật phân phối docx

CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI
1.PHÂN PHỐI NHỊ THỨC.
2.PHÂN PHỐI POISSON.
3.PHÂN PHỐI SIÊU BỘI.
4.PHÂN PHỐI CHUẨN.
5.PHÂN PHỐI STUDENT.
6.PHÂN PHỐI CHI BÌNH PHƯƠNG.
4.CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI
4.1.PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
.Xét một phép thử
.A là một biến cố trong phép thử,
P(A)=p không đổi
.Tiến hành n phép thử độc lập
.Gọi X là số lần A xảy ra trong n lần thử
Thì ĐLNN X có quy luật phân phối nhò thức
Ký hiệu: X~B(n,p)
τ
knk
k
kk
k
n
knkk
n
ppCkXkP
nkppCkXP
−
=
−
−=≤≤
=−==

∑
)1()(
,0;)1()(
2
1
21
τ
CHUÙ YÙ:
X~B(n,p)
pnpXModqnpiii
qpnppnXVarii
pnXEi
+≤≤−
=−=
=
)()
)1.(.)()
.)()
EXCEL:
X~B(n;p)
P(X=k)=BINOMDIST(k,n,p,0)
P(X≤ k)=BINOMDIST(k,n,p,1)
VD:
Tại một đòa phương tỷ lệ bầu cho ứng cử viên
B là 65%,thăm dò15 cử tri.
Tính xác suất:
a) có 10 cử tri bầu cho ứng cử viên B.
b) có nhiều nhất 12 cử tri bầu cho ucv B.
c) Theo A/C tin chắc nhất cóù bao nhiêu cử tri
bầu cho B.

GIẢI:
B: một cử tri bầu cho ucv B;p=P(B)=0,65
gọi X là số cử tri bầu cho ucv B thì:
X~B(15;0,65)
a) P(X=10)=BINOMDIST(10,15,0.65,0)=0,212
b) P(X≤ 12)=BINOMDIST(12,15,0.65,1)=0,938
c) Mod(X)=10
VD:
Xác suất một khách hàng đồng ý mua bảo
hiểm của công ty bảo hiểm A khi được nhân
viên bảo hiểm chào mời là 20%.
a) Tính xác suất trong 15 người được chào
mời có ít nhất 4 người mua.
b) A/C tin chắc nhất bao nhiêu người mua
trong 15 người được chào mời.
GIẢI:
X: số người đồng ý mua bảo hiểm
X~B(15;0,20)
a) P(X≥ 4)=1-P(X ≤ 3)
=BINOMDIST(3,15,0.2,1)=0,648
b) Mod(X)=3
4.2 PHÂN PHỐI POISSON
NX:
.Số cuộc gọi điện thoại đến tổng đài
điện thoại trong 1 phút.
.Số tai nạn giao thông xảy ra tại một
giao lộ trong một tuần.
.Số lổi trong một trang sách tài liệu.
.Số khách hàng đến giao dòch tại một
ngân hàng trong 10 phút.

Các ĐLNN rời rạc trên có phân phối
POISSON
.Gọi λ là số lần trung bình một biến cố A
xảy ra trong một khoảng thời gian t
(hay một miền không gian s).
.X là số lần biến cố A xảy ra trong khoảng
thời gian t (chu kỳ t) tại một thời điểm bất kỳ.
Thì X có quy luật phân phối POISSON.
Ký hiệu: X~P(λ)
λσ
λµ
λ
λ
==
==
===
−
)(.
)(.
2,1,0;
!
)(
2
XVar
XE
k
k
e
kXP
X

X
k
EXCEL:
X~P(λ)
P(X=k)=POISSON(k,λ,0)
P(X≤ k)=POISSON(k,λ,1)
VD: Tại một công ty liên doanh, theo số liệu
các năm vừa qua trung bình một năm có 2
vụ đình công.
Tính xác suất năm nay
a) có ba vụ đình công.
b) có ít nhất hai vụ đình công.
GIẢI:
Gọi X là số vụ đình công trong năm nay
Số vụ đình công trung bình là: λ=2
Thì X có quy luật phân phối Poisson
X~P(2)
a) P(X=3)=POISSON(3,2,0)=0,18
b) P(X≥ 3)=1-P(X≤2)=1-POISSON(2,2,1)=0,323
VD:
Tại một Lãnh sự quán, trung bình 1 giờ có 12
người được phỏng vấn.
Tính xác suất trong khoảng thời gian từ
9.00 – 9.10 giờ có ít nhất 3 người được phỏng
vấn.
GIẢI
:
Gọi X là số người được phỏng vấn trong 10
phút.
Trung bình 10 phút có: λ=12/6=2 người được

phỏng vấn.
Vậy X~P(2)
Ta có: P(X≥3)=1-P(X≤2)
=1-POISSON(2,2,1)=0,323
TÍNH XẤP XỈ P.P NHỊ THỨC BỞI P.P POISSON
X~B(n,p)
.Nếu n khá lớn và p gần 0 hoặc gần 1
Thì có thể tính xấp xỉ phân phối nhò thức
bởi phân phối Poisson.
với λ=np
.Thông thường n≥50, np<5,
có thể tính gần đúng (xấp xỉ).
VD:
Một lô hàng điện tử có tỷ lệ phế phẩm là 3%,
bên mua sẽ đồng ý mua lô hàng nếu kiểm tra
100 sp có nhiều nhất 1 phế phẩm.
GIẢI
:
Gọi X là số phế phẩm trong 100 sp, thì
X~B(100,3%)
A: đồng ý mua lô hàng.
NX
: n=100 , p=0,03
Sử dụng tính xấp xỉ bởi phân phối Poisson
X~P(λ =3)
Vì : λ=np=100x0.03=3
suy ra: P(A)=P(X≤1)=0,199
4.3.PHÂN PHỐI SIÊU BỘI
Tổng thể có N phần tử, trong đó có M phần
tử loại A. Chọn ngẫu nhiên không hoàn lại n

phần tử.
Gọi X là số phần tử loại A có trong n phần tử
chọn ra, thì X là một ĐLNN có quy luật phân
phối siêu bội.
Ký hiệu: X~H(N,M,n)
1
)(.
.)(.
,0;)(.
2
−
−−
==
==
===
−
−
N
nN
N
MN
N
M
nXVar
N
M
nXE
nk
C
CC

kXP
X
X
n
N
kn
MN
k
M
σ
µ
EXCEL:
X~H(N,M,n)
P(X=k)=HYGEOMDIST(k,n,M,N)
VD:
Một công ty có 100 công nhân, trong đó có 30
CN có thâm niên trên 10 năm.
Chọn ngẫu nhiên 5 CN.
Tính xác suất có:
a) ba CN có thâm niên trên 10 năm.
b) nhiều nhất hai CN có thâm niên trên10 năm.
GIẢI:
X:số CN có thâm niên trên10n trong 5CN
Thì X~H(100,30,5)
a)
b)
1302,0)100,30,5,3(
)3(
5
100

2
30100
3
30
==
===
−
THYPGEOMDIS
C
CC
XP
842,0)2(
2
0
5
100
5
7030
==≤
∑
=
−
k
kk
C
CC
XP
TÍNH XẤP XỈ PHÂN PHỐI SIÊU BỘI
BỞI PHÂN PHỐI NHỊ THỨC.
. X~H(N,M,n)

.Nếu n rất nhỏ so với N thì có thể tính gần
đúng (xấp xỉ) siêu bội bởi nhò thức:
X~B(n,p)
với
N
M
p =
VD:
Một lô hàng linh kiện điện tử có 10.000 sp,
trong đó có 200 phế phẩm, một cửa hàng
nhận về 100 sp.
Tính xác suất trong 100 sp nhận về có ít nhất 3
phế phẩm.
GIẢI
: X: số phế ph.trong 100sp nhận về
X~H(10.000,200,100)
NX
: n=100 < < N=10.000
Tính gần đúng bởi nhò thức:
X~B(100;0,02)
NX
: n=100 lớn, p=0,02 bé
Tính gần đúng bởi Poisson: X~P(2)
P(X≥3)=1-P(X≤2)=0,323
VD:
Một khách sạn có 5 chiếc xe gắn máy để
cho du khách thuê,mỗi ngày trung bình có 4
xe được cho thuê.
Tính xác xuất vào ngày cuối tuần của thg 4
a) Tất cả 5 xe đều được thuê.

b) Khách sạn không đáp ứng được yêu cầu.
c) Khách sạn cần ít nhất bao nhiêu xe để
xác suất không đáp ứng đủ nhu cầu thuê
xe bé hơn 3%.
HD:
X~P(4)
a) P(X=5)=P(X>=5)=1-P(X<=4)=0
,371163
b) P(
X≤ 5)=POISSON(5,4,1)=0,78513
P(X>5)=1-P(X≤ 5) =0,21487
c) P(X>n)<0,03 ↔ P(X≤ n)≥ 0.97
P(X≤ 6)=POISSON(6,4,1)=0,889328
P(X≤8)=POISSON(8,4,1)=0.978637
suy ra: n=8
CHÚ Ý:
Nếu X, Y độc lập:
Thì:
VD
: Một cửa hàng bán điện thoại di động, số
lượng điện thoại hiệu NOKIA và MOTOROLA
bán được trong ngày đều có phân phối
Poisson, và độc lập với nhau. Trung bình một
ngày bán được 4 NOKIA và 3 MOTOROLA.
Tính xác suất một ngày cửa hàng bán :
a) 5 điện thoại
b) Ít nhất 8 điện thoại.
)(~);(~
21
λλ

PYPX
)(~
21
λλ
++ PYX
VD:
Một cầu thủ đá thành công quả 11m với xác
suất 60%.
Theo A/C khi cầu thủ này thực hiện:
. Đá 6 quả 11m thành công 3
. Đá 10 quả 11m thành công 5
công việc nào dể thực hiện hơn.
4.4.PHÂN PHỐI CHUẨN
X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ
Thì X được gọi là có phân phối chuẩn tắc.
Ký hiệu: X~N(0,1)
+∞<<−∞=
−
xexf
x
;
2
1
)(
2
2
π
x
0
HAØM LA PLACE

dzex
x
z
∫
−
=Φ
0
2
2
2
1
)(
π
5,0)(:5.
)()(.
)(5,0)(.
=Φ>
Φ−=−Φ
Φ+=
xx
xx
xxF
0
x
)(xΦ
z
CHÚ Ý:
X~N(0,1)
Sử dụng hàm LA PLACE
)(.21)|(|1)|(|.

)(.2)|(|.
)(5,0)(.
)(5,0)(.
)()()(.
ααα
αα
αα
αα
αββα
Φ−=≤−=>
Φ=<
Φ−=<
Φ+=<
Φ−Φ=<<
XPXP
XP
XP
XP
XP