Đại lượng ngẫu nhiên và các quy luật phân phối potx

ĐẠI LƯNG NGẪUNHIÊN
VÀ CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI
1.KHÁI NIỆM
2.ĐLNN RỜI RẠC-ĐLNN LIÊN TỤC
3.CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG
4.CÁC QUY LUẬT PHÂN PHOÁI


1.KHÁI NIỆM ĐLNN.
1.1.ĐLNN RỜI RẠC
. X Chỉ nhận một số hửu hạn các giá
trị, hoặc một số vô hạïn đếm được các
giá trị.
1.2.ĐLNN LIÊN TỤC
. Tập hợp các giá trị mà X nhận lấp
đầy một khoảng của trục số hoặc
toàn bộ trục số.
. X là ĐLNN liên tụïc thì xác suất tại
một điểm bằng 0
P(X=a)=0


2.QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA
ĐLNN.
2.1.BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT.

X

x2

P

Với:

x1
p1

p2

…

...

…

…

P( X = xi ) = pi ; i = 1, n
n

∑ p = 1; p ≥ 0
i =1

i

i

xn
pn


VD: Một lô hàng có 25 sp tốt, 5 sp xấu.

Một người mua 3 sp, gọi X là số sp tốt trong 3
sp mua, lập bảng phân phối xác suất của X
NX: X là một ĐLNN rời rạc,
X nhận các giá trị: 0, 1, 2, 3.
3
C5
P( X = 0) = 3 = 0,002463
C30

1
C25C52
P( X = 1) =
= 0,061576
3
C30

2
1
C25C5
P( X = 2) =
= 0,369458
3
C30

3
C25
P( X = 3) = 3 = 0,566503
C30

Baûng phân phối xs của X:

X

0

1

2

3

P

0,002463

0,061576

0,369458

0,566503


VD:
Một trò chơi:
Tung một con xúc xắc 3 lần.
Nếu xuất hiện 3 mặt 1 được 100 ngàn đồng.
Nếu xuất hiện 2 mặt 1 được 50 ngàn đ.
Nếu xuất hiện 1 mặt 1 được 10 ngàn đ.
Nếu không có mặt 1 xuất hiện thì mất 20
ngàn đ.
Gọïi X là số tiền được thua trong trò chơi trên.

Tìm quy luật phân phối xác suất của X.


X nhận các giá trị: -20, 10, 50, 100

15
P( X = 50) =
216
125
P( X = −20) =
216

1
P( X = 100) =
216
75
P( X = 10) =
216

Quy luật phân phối xác suất của X là:
X
P

-20
125/216

10

50

100

75/216

15/216

1/216


2.2.HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT.
Hàm số f(x) xác định trên toàn trục số, được
gọi là hàm mật độ của ĐLNN liên tục X nếu:

i ) f ( x) ≥ 0; ∀x ∈ R
+∞

ii ) ∫ f ( x)dx = 1
−∞

b

iii ) P(a < X < b) = ∫ f ( x)dx
a

CHÚ Ý:X là ĐLNN liên tục thì:
P ( X = a ) = P ( X = b) = 0
P ( a < X < b) = P ( a ≤ X < b) = P ( a < X ≤ b) = P ( a ≤ X ≤ b)


VD: Cho X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ là:

Kiểm chứng:

1
 ; x ∈ [0,2]
f ( x) =  2
0; x ∉ [0,2]


. f ( x) ≥ 0∀x ∈ R
+∞

2

1
. ∫ f ( x)dx = ∫ dx = 1
2
−∞
0


VD: Cho X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ là:

ax ; x ∈ [1,3]
f ( x) = 
0; x ∉ [1,3]
2

a) Tìm a.
b) Tính P(2

GIẢI:
a)
b)

+∞

3

a 33
3
∫∞ f ( x)dx = ∫ ax dx = 3 x 1 = 1 ⇒ a = 26
−
1
2

3

P (2 < X < 3) = ∫
2

3

3
19
2
f ( x)dx =
∫ x dx = 26
26 2

2.3.HÀM PHÂN PHỐI CỦA ĐLNN LIÊN TỤC.
Nếu X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ là f(x)
thì hàm phân phối xác suất của ĐLNN liên tục
X là:
x

F ( x) =

∫

f (t )dt

−∞

CHÚ Ý:
Nếu F(x) là hàm phân phối xác suất của ĐLNN
liên tục X, thì hàm mật độ là:

f ( x) = F ( x)
,


VD: X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ laø:

1; x ∈ [0,1]
f ( x) = 
0; x ∉ [0,1]
thì hàm phân phối xác suất của X là:

0; x < 0


F ( x) =  x;0 ≤ x ≤ 1
1; x > 1



TÍNH CHẤT CỦA HÀM PHÂN PHỐI:
i)

0 ≤ F ( x) ≤ 1; ∀x ∈ R

ii) F(x) là hàm không giảm
iii)

x1 < x2 ⇒ F ( x1 ) ≤ F ( x2 )

lim F ( x) = 1

x → +∞

lim F ( x) = 0

x → −∞

iv) Nếu X là ĐLNN liên tục thì F(x) là hàm liên
tục


3.CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐLNN
3.1.KỲ VỌNG

.X là ĐLNN rời rạc
n

µ = E ( X ) = ∑ xi pi

.X là ĐLNN liên tục

i =1

+∞

µ = E ( X ) = ∫ x. f ( x)dx
−∞

TÍNH CHẤT KỲ VỌNG:
i) E(C)=C (C: hằng số)
ii) E(CX)=CE(X)
iii) E(X+Y)=E(X)+E(Y)
iv) E(X.Y)=E(X).E(Y) nếu X, Y độc lập


VD: Thu nhập của 100 CN của một XN.
X(triệu đ)

1,2

1,5

2,0

2,5

Số CN

20

40

30

10

Tính thu nhập trung bình của 100 CN

GIẢI:
Bảng phân phối xác suất:
X

1,2

1,5

2,0

2,5

P

0,20

0,40

0,30

0,10

E(X)=thu nhập trung bình của 100 CN=
4

∑x p
i =1

i

i

= 1,2(0,2) + 1,5(0,4) + 2(0,3) + 2,5(0,1) = 1,69


VD: X(phút) là thời gian bị kẹt xe tại một giao
lộ,là một ĐLNN liên tục có hàm mật độ là:

4 3
 x ; x ∈ [0,3]
f ( x) =  81
0; x ∉ [0,3]


a) Tính thời gian bị kẹt xe trung bình
b) Tính xác suất bị kẹt xe từ 1 đến 2 ph

GIẢI:
+∞
3
a) E(X)=
4
12
4
b)

∫ x. f ( x)dx = 81 ∫ x dx =

−∞

0

2

P(1 ≤ X ≤ 2) = ∫
1

2

5

4
15
3
f ( x)dx = ∫ x dx =
81 1
81

3.2.PHƯƠNG SAI
.X là ĐLNN rời rạc
n

σ = VAR( X ) = ∑ [ xi − E ( X )] . pi
2
X

2

i =1

.X là ĐLNN liên tục
+∞

σ = VAR( X ) = ∫ [ x − E ( X )] . f ( x)dx
2
X

2

−∞


CHÚ Ý:
.X ĐLNN

σ = VAR( X ) = E ( X ) − [ E ( X )]

2
X

2

2

n

E ( X ) = ∑ x . pi
2

2
i

i =1

; X : R.R

+∞

E( X ) =
2

∫x

−∞

2

f ( x)dx

; X : L.T


.TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG SAI

i )Var (C ) = 0
ii )Var (CX ) = C Var ( X )
iii )Var ( X + C ) = Var ( X )
iv)Var ( X + Y ) = Var ( X ) + Var (Y )
2

nếu X,Y độc lập


VD: Kiểm tra 100 gói mì ăn liền nhãn hiệu A và
100 gói mì ăn liền nhãn hiệu B được số liệu như
sau
T.L(g)

82

83

84

85

86

87

Số gói
mì A

10

20

10

30

20

10

Số gói
mì B

18

6

16

31

16

13

Gọi X, Y lần lượt là trọng lượng của gói mì
nhãn hiệu A, nhãn hiệu B.
a) Tính kỳ vọng, psai của X, Y
b) Theo A/C nên mua mì nhãn hiệu nào?


GIẢI:
a) Ta có:
E(X)=84,6
E(Y)=84,6
Var(X)=2,24
Var(Y)=2,54
b)
NX:
Trọng lượng trung bình của một gói mì của hai
nhãn hiệu bằng nhau,
nhưng Var(X) < Var(Y) , nên trọng lượng một
gói mì A ổn định hơn.
Vậy nên mua mì nhãn hiệu A.


3.3.ĐỘ LỆCH CHUẨN
Độ lệch chuẩn của ĐLNN X : σ X = Var ( X )
được sử dụng để đánh giá sự phân tán của
ĐLNN X so với kỳ vọng.
3.4 MODE
. X là ĐLNN rời rạc:

MOD(X) là giá trị mà tại đó xác suất
tương ứng lớn nhất.
. X là ĐLNN liên tục:
MOD(X) là giá trị tại đó hàm mật độ
f(x) đạt cực đại.
. MOD(X) thường được gọi là:
giá trị tin chắc nhất


VD: Điểm thi môn Xác suất thống kê của SV
K.I
X

5

6

8

9

P

NX:

4

0,20

0,20

0,40

0,10

0,10

P(X=6)=0,40 lớn nhất
Vậy : Mod(X)=6

VD:

1
f ( x) =
e
2π

x2
−
2

;x∈R

là hàm mật độ của ĐLNN liên tục X,
ta có:

−x
f ( x) =
e
2π

,

− x2
2

⇒ Mod ( X ) = 0


VD:
Một SV vào một hiệu sách mua một viết bic.
Cô bán hàng đưa 5 cây viết và nói : anh thử
được viết tốt thì mua, cho biết xác suất một
cây viết tốt là p. Gọi X là số lần thử.
Tìm quy luật phân phối xác suất của X.
VD:
X (giờ) là tuổi thọ của một loại bóng đèn là
một ĐLNN có hàm mật độ là:
−x
 1 1000
e ; x>0

f ( x) = 1000
0
;x ≤ 0


Tính xác suất để bóng đèn được chọn ngẫu
nhiên trong các bóng đèn loại này có tuổi thọ
trên 1000 giơ.ø

3.5.BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV
( QUY TẮC k-SIGMA )
X là một ĐLNN có kỳ vọng là µ
2
phương sai là σ
Ta có:

∀ε  0 :
hay

σ
P(| X − µ |≥ ε ) ≤ 2
ε

2

∀ε = kσ :
2

1
P(| X − µ |≥ kσ ) ≤ 2
k


VD:

X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ là:

1

f ( x) = 
0

x ∈ [0,1]
x ∉ [0,1]

a) Tính kỳ vọng và phương sai của ĐLNN X
1
b) Tính
P(| X − µ |≥ )
3
c) Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev để tìm
chận trên của:
1
P(| X − µ |≥ )
3