Đề thi thử đại học Toán 2010 Đề số 19

Trần Sĩ Tùng
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP
HÀ NỘI
Đề số 19
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số yxmx
422
21=++ (1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Chứng minh rằng đường thẳng yx1=+ luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình: xxx
22
2sin2sintan
4
p
æö
-=-
ç÷
èø

2) Giải hệ phương trình:
( )
xxx
222
333
2log–43log(2) log(–2)4++-=

Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I =
x
dx
xx
3
2
0
sin
cos3sin
p
+
ò

Câu IV (1 điểm): Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc mặt
phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho mp(SBC) tạo với mp(ABC) một góc bằng 60
0
. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện SABC.
Câu V (1 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
xxxx
fx
xx
432
2
4885
()
22
-+-+
=
-+

II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp (E) có tiêu điểm thứ nhất là
( )
3;0- và đi qua điểm
M
433
1;
5
æö
ç÷
èø
. Hãy xác định tọa độ các đỉnh của (E).
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) và đường thẳng d:
xt
yt
z
1
22
3
ì
=-
ï
=+
í
ï
=
î

. Hãy tìm trên đường
thẳng d các điểm B và C sao cho tam giác ABC đều.
Câu VII.a (1 điểm): Chứng minh:
nn
nnnn
CCCnCnn
212223222
123...().2
-
++++=+ , trong đó n là số tự nhiên, n ≥ 1 và
k
n
C là số tổ hợp chập k của n.
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 7) và đường thẳng AB cắt trục Oy tại E sao cho
AEEB2=
uuuruuur
. Biết rằng tam giác AEC cân tại A và có trọng tâm là G
13
2;
3
æö
ç÷
èø
. Viết phương trình cạnh BC.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:
xyz11
311
-+

== và mặt phẳng (P):
xyz2220+-+=. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc
với (P) và đi qua điểm A(1; –1; 1).
Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình:
xyyx
yx
33
22
416
15(1)
ì
ï
+=+
í
+=+
ï
î
.
============================





Trn S Tựng
Hng dn:
I. PHN CHUNG
Cõu I: 2) Xột PT honh giao im:
xmxx
422

211++=+ xmxx
422
20+-=
( )
xxmx
32
210+-=



x
gxxmx
32
0
()210(*)
ộ
=
ờ
=+-=
ở

Ta cú: gxxm
22
()32 0
Â
=+ (vi mi x v mi m )
ị
Hm s g(x) luụn ng bin vi mi giỏ tr ca m.
Mt khỏc g(0) = 1 ạ 0. Do ú phng trỡnh (*) cú nghim duy nht khỏc 0.
Vy ng thng yx1=+ luụn ct th hm s (1) ti hai im phõn bit vi mi giỏ tr ca m.

Cõu II: 1) iu kin:
xcos0ạ
xk.
2
p
p
ạ+ (*).
PT

x x x
2
2
2
1cos2sintan
p
ổử
-
ỗữ
ốứ
=

xxx1sin2tan(sin21)=

x
x
sin21
tan1
ộ
=
ờ

=-
ở



xk
xl
2.2
2
.
4
p
p
p
p
ộ
=+
ờ
ờ
ờ
=-+
ở

xk
xl
.
4
.
4
p

p
p
p
ộ
=+
ờ
ờ
ờ
=-+
ở

xk.
42
pp
=+ . (Tha món iu kin (*) ).
2) iu kin:
x
x
2
2
3
40
log(2)0
ỡ
->ù
ớ
+
ù
ợ

x
x
2
2
40
(2)1
ỡ
ù
->
ớ
+
ù
ợ

x
x
2
3
ộ
>
ờ
Ê-
ở
(**)
PT
( )
xxx
2

222
333
log43log(2) log(2)4++-= xx
22
33
log(2)3log(2)40+++-=

( )( )
xx
22
33
log(2)4log(2)10+++-= x
2
3
log(2)1+= x
2
(2)3+=
x 23=-

Kim tra iu kin (**) ch cú
x 23=--
tha món.
Vy phng trỡnh cú nghim duy nht l:
x 23=--

Cõu III: t tx
2
3sin=+ = x
2
4cos- . Ta cú:

xt
22
cos4=
v
xx
dtdx
x
2
sincos
3sin
=
+
.
I =
x
dx
xx
3
2
0
sin
.
cos3sin
p
+
ũ
=
xx
dx
xx

3
22
0
sin.cos
cos3sin
p
+
ũ
=
dt
t
15
2
2
3
4 -
ũ
= dt
tt
15
2
3
111
422
ổử
-
ỗữ
+-
ốứ
ũ

=
t
t
15
2
3
12
ln
42
+
-

=
115432
lnln
4
15432
ổử
++
ỗữ
-
ỗữ
--
ốứ
=
( ) ( )
( )
1
ln154ln32
2

+-+.
Cõu IV: Ta cú SA ^ (ABC)
ị
SA ^ AB; SA ^ AC..
Tam giỏc ABC vuụng cõn cnh huyn AB
ị
BC ^ AC
ị
BC ^ SC. Hai im A,C cựng nhỡn on SB di gúc
vuụng nờn mt cu ng kớnh SB i qua A,C. Vy mt cu ngoi tip t din SABC cng chớnh l mt cu ng
kớnh SB. Ta cú CA = CB = AB sin 45
0
= a
2
;
ã
SCA
0
60=
l gúc gia mp(SBC) v mp(ABC).
SA = AC.tan60
0
=
a 6
. T ú
SBSAABa
2222
10=+=
.
Vy din tớch mt cu ngoi tip t din SABC l: S =

d
2
p
=
p
.SB
2
=
a
2
10
p
.
Cõu V: Tp xỏc nh: D = R .
Ta cú: fxxx
xx
2
2
1
()222
22
=-++
-+
( BT Cụsi). Du "=" xy ra
xxx
2
221 1+==
.
Vy: min f(x) = 2 t c khi x = 1.
II. PHN T CHN

1. Theo chng trỡnh chun
Cõu VI.a: 1) Ta cú
( ) ( )
FF
12
3;0,3;0- l hai tiờu im ca (E).
Trn S Tựng
Theo nh ngha ca (E) suy ra : aMFMF
12
2 =+=
( )
2
2
433
13
5
ổử
++
ỗữ
ốứ
+
( )
2
2
433
13
5
ổử
-+
ỗữ

ốứ
= 10

ị
a = 5. Mt khỏc: c =
3
v
abc
222
=
ị
bac
222
22=-=

Vy ta cỏc nh ca (E) l: A
1
( 5; 0) ; A
2
( 5; 0) ; B
1
( 0;
22
) ; B
2
( 0;
22
).
2) d cú VTCP
d

u (1;2;0)=-
r
. Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn d.
Gi s
( )
t tH 1;22;3+ ị
( )
AHtt1;12;0=-+
uuuur

M AH ^ d nờn
d
AHu^
uuur
r
ị
( ) ( )
tt112120-+-+=
t
1
5
=- ị
H
68
;;3
55
ổử
ỗữ
ốứ
ị AH =

35
5
.
M DABC u nờn BC =
AH2215
5
3
=
hay BH =
15
5
.
Gi s Bss(1;22;3)-+ thỡ ss
22
1215
2
5525
ổửổử
--++=
ỗữỗữ
ốứốứ



ss
2
251020+=
s
13
5

-
=
Vy: B
63823
;;3
55
ổử
-+
ỗữ
ốứ
v C
63823
;;3
55
ổử
+-
ỗữ
ốứ

hoc B
63823
;;3
55
ổử
+-
ỗữ
ốứ
v C
63823
;;3

55
ổử
-+
ỗữ
ốứ

Cõu VII.a: Xột khai trin:
nnn
nnnnn
xCxCxCxCxC
012233
(1)...+=+++++
Ly o hm 2 v ta c:
nnn
nnnn
nxCxCxCnxC
112231
(1)23...
--
+=++++
Nhõn 2 v cho x, ri ly o hm ln na, ta c:

nnnn
nnnn
xnxnxCxCxCnxC
22222112231
(1)(1)(1)123...
---
ộự
+-+

ởỷ
+=++++
Cho x = 1 ta c pcm.
2. Theo chng trỡnh nõng cao
Cõu VI.b: 1) Gi M l trung im ca BC. Ta cú AGAM
2
3
=
uuuruuur
ị M(2; 3). ng thng EC qua M v cú VTPT
AG
8
0;
3
ổử
=-
ỗữ
ốứ
uuur
nờn cú PT: y 3= ị E(0; 3) ị C(4; 3). M AEEB2=
uuuruuur
nờn B(1; 1).
ị Phng trỡnh BC: xy2570-+=.
2) Gi I l tõm ca (S). I ẻ d ị Ittt(13;1;)+-+ . Bỏn kớnh R = IA = tt
2
1121-+.
Mt phng (P) tip xỳc vi (S) nờn:
t
dIPR
53

(,())
3
+
==
tt
2
37240-=

tR
tR
01
2477
3737
ộ
=ị=
ờ
=ị=
ờ
ở
.
Vỡ (S) cú bỏn kớnh nh nht nờn chn t = 0, R = 1. Suy ra I(1; 1; 0).
Vy phng trỡnh mt cu (S): xyz
222
(1)(1)1-+++=.
Cõu VII.b:
xyyx
yx
33
22
416(1)

15(1)(2)
ỡ
ù
+=+
ớ
+=+
ù
ợ

T (2) suy ra yx
22
54= (3). Th vo (1) c:
( )
yxxyyx
2233
5 .16+=+

xxy x
32
5160=

x 0=
hoc xxy
2
5160=
ã Vi
x 0= ị
y
2
4=

y 2= .
ã Vi xxy
2
5160=
x
y
x
2
16
5
-
= (4). Th vo (3) c:
x
x
x
2
2
2
16
54
5
ổử
-
-=
ỗữ
ốứ

Trần Sĩ Tùng
Û

xxxx
4242
–32256–125100+=
Û
xx
42
124132–2560+=
Û
x
2
1=
Û
xy
xy
1(3)
1(3)
é
ê
ë
==-
=-=
.
Vậy hệ có 4 nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3)
=====================