Cách xác định khoảng cách trong không gian

CÁCH XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
Nhiều em có inbox hỏi mình về phần này và đa số các em bảo là khó. Theo quan điểm cá
nhân khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng hoặc khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong
không gian với mức độ đề thi ĐH thì tương đối dễ. Điểm quan trọng nhất là các em hiểu rõ cách
xác định khoảng cách như nào? Nhân đây mình làm một file nhỏ cho các em tham khảo và lần
sau sẽ không phải trả lời ibox của các em về phần này nữa!
Mấu chốt của nó là tính được khoảng cách từ chân đường cao của khối chóp đến mặt bên
đối diện với nó. Khi đó khoảng cách từ điểm bất kỳ đến mặt phẳng ta quy về khoảng cách từ
chân đường vuông góc tới mặt phẳng đó; khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau quy về
khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và như vậy vẫn là khoảng cách từ chân đường cao của khối
chóp đến mặt bên đối diện với nó.
Ta cùng xét bài toán sau:
Bài toán 1. Cho hình chóp S.ABC có hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy (ABC) là H. Tính
khoảng cách từ H đến mặt bên (SBC).

Kẻ HI vuông góc với BC tại I.
Kẻ SK vuông góc với SI tại K.
Ta có:
 
BC HI
BC SHI BC HK
BC SH


   



.

 
HK SI
HK SBC
HK BC






.
Tam giác vuông SHI ta có:
2 2 2
1 1 1
HK SH HI

.
HI có nhiều cách tính khác nhau phụ thuộc vào
vị trí của H tuy nhiên tổng quát tính theo diện
tích
HBC
2S
HI
BC

.

Ngoài ra. Tính khoảng cách theo thể tích như sau:
 
 

SHBC
SBC
3V
d H; SBC
S

.
Nhưng khi đã áp dụng thuần thục cách tính quy về chân đường vuông góc H các em sẽ không
cần phải sử dụng công thức khoảng cách theo thể tích như trên.
Bài toán 2. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).
K
I
A
C
B
H
S


Bài toán này tôi chỉ đề cập đến ứng dụng thực tế tức (P) là mặt bên khối chóp và gọi (Q) là mặt
đáy khối chóp.

Xác định chân đường cao H hạ từ đỉnh S của
khối chóp xuống mặt đáy (Q).
Kéo dài MH cắt (P) tại A. Khi đó ta có:
 
 
 
 
d M; P

MA
HA
d H; P

.
Bài toán quy về tính khoảng cách từ H đến mặt
phẳng (P) đây chính là bài toán 1 đã trình bày
ở trên.Ta tạm gọi đây là phương pháp đổi
điểm(đổi điểm cần tính về chân đường vuông
góc).

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A,
0
AB AC 2a,BAC 120  
.
Hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
HA 2HB
.
Biết góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy bằng
0
60
.
a) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SBC).
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài giải
a) Gọi M là trung điểm của BC ta có
AM BC
.
Kẻ HI song song với AM cắt BC tại I.
Ta có

 
BC HI
BC SHI
BC SH






nên góc
0
SIH 60
chính là góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (ABC).
Ta có:
1
AM AC.cosMAC 2a. a
2
  
.
Theo định lý Talets ta có:
HI BH 1 a
HI
AM BA 3 3
   
.
Tam giác vuông SHI có:
0
a

SH HI.tan60
3

.

Kẻ HK vuông góc với SI tại K ta có
 
HK SBC
.
Tam giác vuông SHI có:
(P)
(Q)
S
M
A
H
K
M
A
B
C
S
H
I


2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 12 a 3
HK
6

HK SH HI a
a
a
3
3
      
   
   


.
Vậy
 
 
a3
d H; SBC HK
6

.
b) Ta có:
 
 
 
 
 
 
AB a 3 a 3
d A; SBC .d H; SBC 3d H; SBC 3.
HB 6 2
   

.
Bài toán 3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Tôi trình bày cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách quy về khoảng
cách từ điểm đến mặt phẳng.
Bước 1. Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b và cắt đường thẳng a tại A.
Bước 2. Từ A kẻ đường thẳng
b'/ /b
, gọi (Q) là mặt phẳng chứa a và b’.
Bước 3. Khi đó
   
 
 
 
d b;a d b; Q d M; Q , M b   
.
Như vậy bài toán quy về tính khoảng cách từ
một điểm bất kỳ từ điểm M trên b đến mặt
phẳng (Q). Đây chính là bài toán 2 đã trình
bày ở trên.



Chú ý. Trong đề thi đại học thông thường yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau trong đó có một đường thẳng nằm trên mặt đáy và một đường thẳng khác chống lên(thường
là cạnh bên). Khi đó (P) chính là mặt đáy đáy. Mục đích dựng mặt phẳng (Q) là lấy chân đường
vuông góc hạ từ đỉnh xuống mặt đáy để thuận tiện cho bước tính khoảng cách từ điểm đến mặt
phẳng (Q). Để thuận tiện ta dựng một hình bình hành(không phải là một đường thẳng b’ song
song với b).
Nếu không có đường thẳng nào nằm trong mặt đáy lúc này ta chọn một mặt phẳng chứa một
trong hai đường thẳng đó là mặt đáy và thực hiện tương tự cách trên.

a
b
b'
(Q)
(P)
A
M


Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,
AD 2a
,
AB 3a,CD a
. Tam giác SAD cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết góc
giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy bằng
0
60
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC
theo a.
Bài giải
Cách dưới đây trình bày tuy dài nhưng nó
cho các em thấy ta hoàn toàn tính được bất
kỳ khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau nào nếu thực hiện đúng theo các
bước tôi đã trình bày ở trên.
Gọi H là trung điểm của AD. Do tam giác
SAD cân tại S nên
SH AD
.
Hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) vuông

góc và có giao tuyến HD nên
 
SH ABCD
.
Kẻ HI vuông góc với BC tại I khi đó
 
BC HI
BC SHI
BC SH






nên góc
0
SIH 60
chính là góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (ABCD).
Bài toán này có một ý nữa đó là tính thể
tích của khối chóp S.ABCD ta tính đường
cao SH vì vậy cần tính được độ dài HI.
Để tính HI ta sử dụng công thức diện tích:
HBC
2S
HI
BC

.

Diện tích tính gián tiếp(lấy diện tích cả hình
thang trừ đi diện tích hai tam giác vuông
nhỏ). Độ dài BC tính thông qua tam giác
vuông.

Kẻ CE song song với AD cắt AB tại E.
Tam giác vuông CEB có:
CE EB 2a
nên là tam giác vuông cân suy ra
BC 2a 2
.
Ta có:
HBC ABCD HAB HCD
2
AB CD HA.AB HD.CD
S S S S .AD
2 2 2
3a a a.3a a.a
.2a 2a
2 2 2

     

   
.
Suy ra
2
0
HBC
2S

2.2a
HI a 2 SH HI.tan60 a 6
BC
2a 2
     
.
E
K
M
F
I
H
D
A
B
C
S
T


Trong mặt phẳng (ABCD) dựng hình bình hành ACBF
Ta có
     
 
BC/ / AF BC/ / SAF d BC;SA d BC; SAF  
.
Kéo dài HI cắt AF tại T khi đó
 
 
 

 
 
 
IT
d BC; SAF d I; SAF d H; SAF
HT

.
Ta có:
0
HAF
2S
HA.AFsinHAF a 2
HT HA.sin135
AF AF 2
   
.
Suy ra
 
 
 
 
3a 2 IT
IT HI HT 3 d BC; SAF 3d H; SAF
2 HT
      
.
Kẻ HK vuông góc với ST tại K ta có
 
HK SAF

.
Tam giác vuông SHT có:
 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 13 6
HK a
13
SK SH HT 6a
a 6 a 2
2
      




.
Vậy
 
6
d S A;BC 3HK 3 a
13

.
Chú ý. Ta có thể quy khoảng cách từ BC đến mặt phẳng (SAF) về H bằng cách kéo dài AD cắt
BC tại M.
Khi đó
 
 
 
 

 
 
MA
d BC; SAF d M; SAF d H; SAF
HA

.
Theo talets ta có:
 
 
 
 
MD CD 1 MA
3 d BC; SAF 3d H; SAF
MA AB 3 HA
     
.
Ta có kết quả tương tự cách trên.