Đề thi học sinh giỏi toán THPT lớp 11 - Năm 2004 potx

Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định,
Lớp 11, 2004
Bài từ Thư viện Khoa học VLOS.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN
TỈNH NAM ĐỊNH
Trường học Trung học phổ thông
Lớp học 11
Năm học 2004
Môn thi Toán học
Thời gian 150 phút
Thang điểm 20
Câu I (6 điểm).
Cho phương trình sau:
1) Giải phương trình khi .
2) Xác định tham số m để phương trình có đúng một nghiệm
Câu II (4 điểm)
Trên mặt phẳng cho tứ giác lồi ABCD có AB = BC = CD = a.
1) Nếu biết Hãy tính diện tích tứ giác ABCD
theo a.
2) Giả sử tứ giác ABCD thay đổi, mà AB = BC = CD = a không đổi. Hãy tìm giá
trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD.
Câu III (7 điểm)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a.
1) Ta coi hình chóp đã cho là tứ diện SABC có trọng tâm O, gọi là góc giữa
mp(SAB) và mp(ABC). Hãy tính để O cách đều tất cả các mặt của SABC.
2) Biết Xét mặt phẳng (P) thay đổi đi qua A, sao cho mp(P) cắt
các đoạn thẳng SB, SC thứ tự tại B', C'. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác
AB'C' theo a.
Câu IV (3 điểm).
Cho phương trình:
Chứng minh rằng phương trình có 3 nghiệm phân biệt x

1
, x
2
, x
3
.
Giả sử x
1
< x
2
< x
3
, chứng minh rằng:
và