Giáo trình Hình họa - Bài 3 & 4 doc

Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005
GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt
Bi 3 V TR TNG I GIA HAI
NG THNG



Ttrong khụng gian, hai ng thng cú cỏc v trớ tng i: giao nhau, song song v chộo nhau
I. HAI NG THNG GIAO NHAU
1) Hai ng thng thng giao nhau
ng thng thng l ng thng khụng phi l ng cnh 35

nh lý
iu kin cn v hai ng thng thng giao nhau l cỏc hỡnh chiu cựng tờn ca chỳng
giao nhau ti cỏc im nm trờn mt ng giúng
Cho hai ng thng a,b (hỡnh 3.1), nh lý trờn c vit thnh:
a
2

I
2

b
2
17

=


=
x
I

I

I
b a
I
b

=
I
b a
22 2
21
1 1 1
x
b
1
a
1
I
1

a



Hỡnh 3.1
2) Mt ng thng thng v mt ng cnh giao nhau
nh lý
iu kin c
n v mt ng thng thng v mt ng cnh giao nhau l cỏc hỡnh chiu
cựng tờn ca chỳng giao nhau ti cỏc im tho mn thc ca im thuc ng cnh ú
Cho ng thng thng d v ng cnh AB,
nh lý trờn c vit thnh:





Hỗnh 3.2
A
2
t
B
x
d
1
I
2
B
2
A

1
B
1
I
1
I
J
1
J
2
d
2








=
=

=


=
)
(
)

(

1 2221 1
222 2
111 1
I
B
A
I

B

A

I
B
A

d

I
B
A

d

I
A
B
d

Vớ d
Cho ng cnh AB v hỡnh chiu ng d
2
ca ng thng d. Hóy v hỡnh chiu bng d
1
ca
ng thng d, bit d i qua im J v ct AB ti im I

Gii
Hỡnh chiu bng I
1
ca im I AB c v bng cỏch ng dng nh lý Thalet nh sau:
_ V tia A
1
t bt k ri t lờn ú cỏc on A
1
I = A
2
I
2
v IB = I
2
B
2

_ Ni BB
1

ng thng qua I song song vi BB
1
ct A
1
B
1
ti im I
1
; ta cú:(A
1
B
1
I
1
) = (A
2
B
2
I
2
)
I AB. Vy d
1
I
1
J
1
(Hỡnh 3.2)
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005

II. HAI NG THNG SONG SONG
1) Hai ng thng thng song song
nh lý
iu kin cn v hai ng thng thng song song nhau l cỏc cp hỡnh chiu cựng tờn
ca chỳng song song nhau
Cho hai ng thng thg a,b; (hỡnh 3.3),
nh lý trờn c vit thnh:




Hỗnh 3.3
Chng minh
_ iu kin cn: Gi s a // b nờn cỏc cp mt phng chiu qua a, b song song nhau, do ú
chỳng s ct mt phng hỡnh chiu bng v mt phng hỡnh chi
u ng theo cỏc cp giao tuyn
song song nhau, tc l a
1
// b
1
v a
2
// b
2
.
_ iu kin : Gi s cú hai ng thng thng a, b tho món a
1
// b
1
v a

2
// b
2
. Bng cỏch
xõy dng ngc li phộp chiu vuụng gúc, cp mt phng song song vuụng gúc vi mt phng
hỡnh chiu bng qua a
1
, b
1
s ct cp mt phng song song vuụng gúc vi mt phng hỡnh chiu
ng qua a
2
, b
2
theo hai giao tuyn a, b song song nhau .

3) Hai ng cnh song song
Xột hai ng cnh cú cỏc cp hỡnh chiu cựng tờn khụng trựng nhau

nh lý
iu kin cn v hai ng cnh song song nhau l cú hai ng thng ta trờn chỳng
giao nhau hoc song song nhau
Cho hai dng cnh EF v GH,
nh lý trờn c vit thnh:

Hỡnh 3.4 Hỡnh 3.5
Chng minh
_ iu kin cn: Gi s EF // GH, thỡ bn im E, F, G, H ng phng nờn s cú hai ng
thng EH, GF ta trờn chỳng giao nhau ti I hoc song song nhau ( õy xột giao nhau)
_ iu kin
: Gi s cú hai ng cnh EF, GH cú cỏc cp hỡnh chiu cựng tờn khụng trựng
nhau v cú hai ng thng ta trờn chỳng EH GF = I hoc EH // GF. Thỡ bn im E, F, G, H
ng phng nờn hai ng cnh ú song song nhau, tc: EF // GH (Hỡnh 3.4)

Chỳ ý
Ngoi ra ta cú th phỏt biu nh lý trờn nh sau:
iu kin cn v hai ng cnh song song nhau l hỡnh chiu cnh ca chỳng song
song nhau (Hỡnh 3.5)
a
2
b
2
x
b
1
a
1




22

11
//
//
//
ba
ba
ba

x
z
y'
y
E
3
x
0
F
3
H
3
G
3
H
1
G
1
F
1
E
1

H
1
G
1
F
1
E
1
I
1
I
2
G
2
H
2
F
2
E
2
F
2
H
2
G
2
E
2

=

GFEH
IGFEH
GHEF
//
//

GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt
18
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005
Vớ d
Cho ng cnh AB v im M; (Hỡnh 3.6). Hóy v ng thng MN // AB

Gii
Vỡ AB l ng cnh nờn MN // AB cng l ng cnh. Trong mp(MAB), v N tho món
MN // AB, gi s bit trc N
2
hóy v N
1
nh sau:
Gi I = AN BM I
2
B
2
M
2
M N
2

A
2
I
2
; N
1
A
1
I
1

I
1
B
1
M
1








Hỗnh 3.6 Hỗnh 3.7
x
d
1
d

2
c
1
c
2
N
1
M
1
B
1
A
1
I
1
I
2
M
2
N
2
B
2
A
2
x


III. HAI NG THNG CHẫO NHAU
Hai ng thng khụng tho món song song hoc giao nhau thỡ chộo nhau; (Hỡnh 3.7) biu din

hai ng thng c, d chộo nhau.
IV. HèNH CHIấ CA GểC VUễNG
nh lý
iu kin cn v mt gúc vuụng chiu xung mt phng hỡnh chiu thnh mt gúc vuụng
l gúc vuụng ú cú mt cnh song song vi mt phng hỡnh chiu v cnh gúc vuụng cũn li
khụng vuụng gúc vi mt phng hỡnh chiu ú.








Hỡnh 3.8 Hỡnh 3.9 Hỡnh 3.10
d
1
c
1
c
2
d
2
x

x
B
1
O
1

A
1
A
2
O
2
B
2
A
O
B
1
B
O
1
A
1
P

Chng minh
_ iu kin cn: Gi s cú AOB = 90
0
v OA // P
1
. Chiu vuụng gúc xung mt phng hỡnh
chiu bng ta nhn c A
1
O
1
B

1
(Hỡnh 3.8), cn chng minh A
1
O
1
B
1
= 90
0

Ta cú: A
1
O
1
// AO
AO OB v AO OO
1
AO mp(B OO
1
) AO O
1
B
1
M A
1
O
1
// AO A
1
O

1
O
1
B
1

GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt
19
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005
_ iu kin : Gi s AOB = 90
0
chiu vuụng gúc xung mt phng hỡnh chiu bng c
gúc A
1
O
1
B
1
= 90
0
, ta cn chng minh gúc vuụng AOB cú mt cnh song song mt phng hỡnh
chiu bng P
1
; ta cú : A
1
O
1
mp(OO
1
B

1
) (1)
B
1
O
1
mp(OO
1
A
1
A) B
1
O
1
AO
M B O AO AO mp(OO
1
B
1
) (2)
T (1) v (2), AO // A
1
O
1
, tc AO // mp(P
1
)
(Hỡnh 3.9) biu din thc ca gúc vuụng AOB, cú cnh OA // mp(P
1
).

Chỳ ý
nh lý trờn cng ỳng cho trng hp hai ng thng chộo nhau m vuụng gúc vi nhau.
(Hỡnh 3.10) biu din hai ng thng c, d chộo nhau m vuụng gúc nhau, vi c // P
1


Vớ d
C
1
x
B
2
C
2
H
1
B
1
A
1
H
2
A
2
Hóy v hỡnh chiu bng C
1
ca im C, bit rng tam giỏc
ABC cõn ti C, cho AB l ng bng, (Hỡnh 3.11) .

Gii
Gi H l trung im ca AB, vỡ tam giỏc ABC cõn ti C nờn
CH AB, v li AB // mp (P
1
)., nờn theo nh lý trờn, ta cú
C
1
H
1
A
1
B
1
.
T ú ta v c C
1
l giao im ca ng giúng qua C
2
vi
ng thng A
1
B
1
ti H
1
Hỗnh 3.11

V. MT VI V D GII SN

d

1
x
c
1
A
2
b
1
B
1
B
2
c
2
d
2
b
2
a
1

A
1
a
2
Vớ d 1
Cho ba ng thng a, b, c chộo nhau; (Hỡnh 3.12). Hóy v
ng thng d song song vi c ct c a v b; trong ú a mp (P
1
)

Gii

Gi s ng thng d cn dng ct a, b ln lt ti A, B. Vỡ a
mp (P
1
) nờn A
1
a
1
. V li d // c nờn d
1
qua A
1
v d
1
// c
1
Vỡ d b = B; t d
1
b
1
= B
1
B
2
b
2
V d
2

qua B
2
v d
2
// c
2
; (Hỡnh 3.12)
Vy d l ng thng thng cn v
Hỡnh 3.12
Vớ d 2
Cho hai ng thng AB, CD chộo nhau; (Hỡnh 3.13). Hóy xỏc nh khong cỏch v dng on
vuụng gúc chung ca hai ng thng ú trong cỏc trng hp sau õy:
a) CD mp (P
1
); AB l ng thng thng
b) CD mp (P
2
); AB l ng cnh
c) CD mp (P
3
); AB l ng thng thng
Gii
a) Gi MN l on vuụng gúc chung ca AB v CD, vi N AB, M CD
Vỡ CD mp (P
1
) nờn M
1
C
1
D

1
v MN l on ng bng
V li MN AB M
1
N
1
A
1
B
1
ti N
1
. T N
1
A
1
B
1
N
2
A
2
B
2
M
2
N
2
// x; (Hỡnh 3.13a)
Kt lun: M

1
N
1
= MN - l khong cỏch gia hai ng thng AB, CD chộo nhau
GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt
20
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005
b) Gi MN l on vuụng gúc chung ca AB v CD, vi N AB, M CD
Vỡ CD mp (P
2
) nờn M
2
C
2
D
2
v MN l on ng mt
V li MN AB M
2
N
2
A
2
B
2
ti N
2
. T N
2
A

2
B
2
N
1
A
1
B
1
M
1
N
1
// x; (Hỡnh 3.13b)
Kt lun: M
1
N
1
= M
2
N
2
= MN - l khong cỏch gia hai ng thng AB, CD chộo nhau

x
o
z
y
x
A
1
C
1
C
2
C
2
B
3
N
3
B
2
A
2
t
M
1
N
1

B
N

C
1
D
1
B
1
A
1
M
2
C
2
D
2
N
2
B
2
A
2
B
1
N
1
A
1
N

2
A
2
B
2
M
2
M
1
C
1
D
1
D
2
N
1
M
1
M
2
B
1
D
1
D
2
N
2
A

3
M
3
C
3
D
3
x
y

Hỡnh 3.13a Hỡnh 3.12b Hỡnh 3.12c

c) Gi MN l on vuụng gúc chung ca AB v CD, vi N AB, M CD
Vỡ CD mp (P
3
) nờn M
3
C
3
D
3
v MN l on ng cnh
V li MN AB M
3
N
3
A
3
B
3

ti N
3
.
T N
3
A
3
B
3
N
2
A
2
B
2
, M
2
N
2
// z v N
1
A
1
B
1
, M
1
N
1
// y; (Hỡnh 3.13c)

Kt lun: M
3
N
3
= MN - l khong cỏch gia hai ng thng AB, CD chộo nhau

Vớ d 3
x
A
0
f
2
D
2
C
2
B
2
A
2
f
1
D
1
C
1
B
1
A
1

Cho dim A(A
1
, A
2
) v ng mt f (f
1
, f
2
);
(Hỡnh 3.14). Hóy dng hỡnh vuụng ABCD, bit rng
B,C thuc ng mt f

Gii
_ ABCD l hỡnh vuụng nờn AB BC
_ vỡ B,C f nờn AB f A
2
B
2
f
2
B
1
f
1

_ Bng phng phỏp tam giỏc, xỏc nh di tht
ca on AB l on B
2
A
0

_ Vỡ BC = AB B
2
C
2
= B
2
A
0
C
1
f
1

V D tho món AD // BC; (Hỡnh 3.14)


Hỗnh 3.14

===================




GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt
21
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005
Bi 4 MT PHNG

I . THC CA HAI MT PHNG

thc ca mt phng cú th c xỏc nh bi mt trong cỏc cỏch sau õy:
_ Ba dim phõn bit khụng thng hng, mp(ABC); (Hỡnh 4.1a)
_ Mt im v mt ng thng khụng thuc nhau, mp(M, d) ; (Hỡnh 4.1b)
_ Hai ng thng giao nhau, mp(a, b) ; (Hỡnh 4.1c)
_ Hai ng thng song song, mp(m, l) ; (Hỡnh 4.1d)








a) mp(ABC) b) mp(M, d) c) mp(a, b) d) mp(m // l)
B
2
a
2
M
2
d
2
m
2
A
2
C
2
b

2
l
2
x

x

x
x

a
1
m
1
C
1
d
1
A
1
M
1
l
1
b
1
B
1

Hỡnh 4.1

Ngoi ra ngi ta cũn biu din mt phng bng hai vt ca chỳng nh sau:

VT CA MT PHNG
Vt ca mt phng l giao tuyn ca mt phng vi mt phng hỡnh chiu

1) Vt bng ca mt phng
a) nh ngha:
Vt bng ca mt phng l giao tuyn ca mt phng vi mt phng hỡnh chiu bng
Gi m l vt bng ca mt phng thỡ: m = mp mpP1 ; (Hỡnh 4.2a)
Ký hiu : m


b) Tớnh cht
_ Hỡnh chiu bng ca vt bng trựng vi chớnh nú: m
1
m


_ Hỡnh chiu ng ca vt bng trựng vi trc x : m
2
x ; (hỡnh 4.2b)

Hỡnh 4.2a Hỡnh 4.2b Hỡnh 4.3a Hỡnh 4.3b

2) Vt ng ca mt phng

x
P
2
P
1
m

n

P
2
n

n

n

m
2


n
1

x
m
2


n
1



x
x

m

m m


P
1
GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt
22
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005
a) Định nghĩa:
Vết đứng của mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng
Gọi n là vết đứng của mặt phẳng α thì: n = mpα ∩ mpP
2
(Hình 4.2a)
Ký hiệu : n
α

b) Tính chất
_ Hình chiếu đứng của vết đứng trùng với chính nó: n
2α
≡ n
α

_ Hình chiếu bằng của vết đứng trùng với trục x : n
1α
≡ x ; (hình 4.2b)

 Chú ý
♦ Thực chất của việc biểu diễn mặt phẳng α bằng hai vết của chúng là biểu diễn mặt phẳng α
bằng hai đường thẳng m
α
, n
α
cắt nhau hoặc song song nhau lần lượt nằm trong mặt phẳng hình
chiếu bằng và mặt phẳng hình chiếu đứng. Do đó hai vết m
α
, n
α
của mặt phẳng α phải cắt nhau
tại một điểm nằm trên trục x (Hình 4.2a,b) hoặc song song với trục x (Hình 4.3a, b)
♦ Đường thẳng thuộc mặt phẳng thì các vết cùng tên của đường thẳng và mặt phẳng thuộc nhau

II. CÁC Vị TRÍ ĐẶC BIỆT CỦA MẶT PHẲNG
II. 1- Loại mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu

1) Mặt phẳng chiếu bằng

a) Định nghĩa:
Mặt phẳng chiếu bằng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng
Gọi α là mặt phẳng chiếu bằng, ta có: mpα ⊥ mpP
1

b) Tính chất
_ Hình chiếu bằng của mặt phẳng chiếu bằng suy biến thành một đường thẳng: (α
1
) → 1 đường
thẳng
_ Hình chiếu bằng của điểm, đường thẳng thuộc mặt phẳng chiếu bằng thì thuộc đường thẳng
suy biến của mặt phẳng chiếu bằng đó
Giả sử : Điểm A ∈ mpα ; d ∈ mpα ⇒ A
1
∈ (α
1
) ; d
1
≡ (α
1
) ;
_ Vết đứng của mặt phẳng chiếu bằng vuông góc với trục x : nα ⊥ x ; (Hình 4.4)







Hình 4.4 Hình 4.5

n
α

x

x
m
β
k
2
≡ (β
2
)
d
1
≡ (α
1
)
B
2
B
1
A
2
A
1
d
2
k
1

2) Mặt phẳng chiếu đứng
a) Định nghĩa:
Mặt phẳng chiếu đứng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng
Gọi β là mặt phẳng chiếu đứng: mpβ ⊥ mpP
2

b) Tính chất
_ Hình chiếu đứng của mặt phẳng chiếu đứng suy biến thành một đường thẳng: (β
2
) → 1
đường thẳng
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût
23
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005
_ Hình chiếu đứng của điểm, đường thẳng thuộc mặt phẳng chiếu đứng thì thuộc đường thẳng
suy biến của mặt phẳng chiếu đứng đó
Giả sử : Điểm B ∈ mpβ ; k ∈ mpβ ⇒ B
2
∈ (β
2
) ; k
2
≡ (β
2
) ;
_ Vết bằng của mặt phẳng chiếu đứng vuông góc với trục x : m
β
⊥ x ; (Hình 4.5)

3) Mặt phẳng chiếu cạnh

a) Định nghĩa:
Mặt phẳng chiếu cạnh là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh
Gọi γ là mặt phẳng chiếu cạnh, ta có: mpγ ⊥ mpP3

b) Tính chất
_ Hình chiếu cạnh của mặt phẳng chiếu cạnh suy biến thành một đường thẳng: (γ3) → 1 đường
thẳng
_ Hình chiếu cạnh của điểm, đường thẳng thuộc mặt phẳng chiếu cạnh thì thuộc đường thẳng
suy biến của mặt phẳng chiếu cạnh đó
Giả sử : Điểm C ∈ mpγ ; l ∈ mpγ ⇒
C
3
∈ (γ
3
) ; l
3
≡ (γ
3
) ; (Hình 4.6)
_ Vết bằng và vết đứng của mặt phẳng chiếu cạnh vuông góc với trục z hay song song với trục
x


z
l
2
n
γ

(Hình 4.6)




II.2 Loại mặt phẳng song song với một mặt phẳng hình chiếu
(Thì vuông góc với hai mặt phẳng hình chiếu còn lại)

1) Mặt phẳng bằng
a) Định nghĩa:
Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng
Gọi α là mặt phẳng bằng, ta có: mpα // mpP1








Hình 4.7 Hình 4.8

b) Tính chất
_ Hình chiếu đứng của mặt phẳng bằng suy biến thành một đường thẳng song song với trục x:
(α
2
) // x
_ Mặt phẳng bằng vừa là mặt phẳng chiếu đứng vừa là mặt phẳng chiếu cạnh nên có những tính
chất của hai loại mặt phẳng này
A

1
B
2
A
2
B
1
C
1
D
1
C
2
(α
2
)
x

E
2
F
1
E
1
F
2
D
2
(β
1

)
x
m
γ
l
3
≡(γ
3
)
C
3
o
C
2
x
⎢
⎣
⎢
⎡
⊥
xnm
znm
////
,
γγ
γγ
y
’
y
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût

24
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005
Gi s A, B, C mp A
2
, B
2
, C
2
(
2
)
_ Hỡnh chiu bng ca mt hỡnh phng thuc mt phng bng thỡ bng chớnh nú
ABC mp A
1
B
1
C
1
= ABC ; (Hỡnh 4.7)

2) Mt phng mt
a) nh ngha
Mt phng mt l mt phng song song vi mt phng hỡnh chiu ng
Gi l mt phng mt, ta cú: mp // mpP
2

b) Tớnh cht
_ Hỡnh chiu bng ca mt phng mt suy bin thnh mt ng thng song song vi trc x:
(
1

) // x
_ Mt phng mt va l mt phng chiu bng va l mt phng chiu cnh nờn cú nhng tớnh
cht ca hai loi mt phng ny
Gi s D, E, F mp D
1
, E
1
, F
1
(
1
)
_ Hỡnh chiu ng ca mt hỡnh phng thuc mt phng mt thỡ bng chớnh nú
DEF mp D
2
E
2
F
2
= DEF ; (Hỡnh 4.8)

3) Mt phng cnh
a) nh ngha
Mt phng cnh l mt phng song song vi mt phng hỡnh chiu cnh
Gi l mt phng cnh, ta cú : mp // mpP
3

b) Tớnh cht
_ Hỡnh chiu bng v hỡnh chiu ng ca mt phng cnh suy bin thnh hai ng thng
trựng nhau v vuụng gúc vi trc x: (1) (2) x

_ Mt phng cnh va l mt phng chiu
bng va l mt phng chiu ng nờn cú
nhng tớnh cht ca hai loi mt phng ny

Gi s :D, K, L mp; (Hỡnh 4.9)
D
1
, K
1
, L
1
(
1
) v D
2
, K
2
,L
2
(
2
)

_ Hỡnh chiu cnh ca mt hỡnh phng thuc
mt phng cnh thỡ bng chớnh nú, gi s :
DKL mp D
3
K
3
L

3
= DKL

Hỡnh 4.9
III. S LIấN THUC CA IM, NG THNG Vi MT PHNG
z
y

x
D
2
(

2
)

K
2
L
2
D
1
L
1
K
1
D
3
K
3

L
3
y

o
(

1
)

x
d
2
A
2
E
1
E
2
F
2
C
2
B
1
Hỡnh410
F
1
C
1

B
2
A
1
d
1
(Bi toỏn c bn trờn mt phng)

Da vo hai tiờn sau õy biu din s liờn thuc ca
im, ng thng vi mt phng

1. Mt ng thng thuc mt mt phng nu nú cú hai
im thuc mt phng ú
2. Mt im thuc mt mt phng nu nú thuc mt
ng thng c
a mt phng ú

GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt
25
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005

 Ví dụ1
Cho mặt phẳng ABC (hình 4.10). Hãy vẽ một đường thẳng d bất kỳ thuộc mặt phẳng ABC.

Giải

-
Trong mặt phẳng ABC, ta lấy hai điểm bất kỳ E, F; chẳng hạn E ∈AB, F∈ AC. Hai điểm
phân biệt E, F xác định đường thẳng d có đồ thức: E
1

F
1
≡ d
1
và E
2
F
2
≡ d
2
- Đường thẳng d có hai điểm E, F thuộc mp(ABC) nên theo tiên đề1 thì (d
1
, d
2
) là đồ thức của
đường thẳng d thuộc mặt phẳng (ABC) ; (hình 4.10)
 Ví dụ 2
Cho mặt phẳng được xác định bỡi hai đường thẳng giao nhau a, b và hình chiếu đứng K
2
của
điểm K; (hình 4.11). Hãy vẽ hình chiếu bằng K
1
, biết K thuộc mặt phẳng (a, b)

Giải
Trong mp (a,b), vẽ đường thẳng g đi qua điểm K; g
2
đi qua K
2
. Vì g ∈ mp(a,b) nên vẽ được g

1
Từ K
2
∈ g
2
⇒ K
1
∈ g
1
. Vậy (K
1
, K
2
) là đồ thức của điểm K thuộc mp(a,b) cần dựng

IV. CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT CỦA MẶT PHẲNG
1) Đường bằng của mặt phẳng

a) Định nghĩa:
Đường bằng của mặt phẳng là đường thẳng thuộc mặt phẳng và song song với mặt phẳng hình
chiếu bằng
Gọi h
α
là đường bằng của mặt phẳng α: h
α
∈ mpα và h
α
// (P
1
) ; (Hình 4.12a)

b) Tính chất
_ Hình chiếu đứng của đường bằng song song với trục x: h
2α
// x ; (Hình 4.12b)
h
2
// x ; (Hình 4.13)
_ Hình chiếu bằng của đường bằng song song với vết bằng của mặt phẳng : h
1α
// m
α












Hình 4.12a Hình 4.12b Hình 4.13

m
α
h
1

α
n
α
h
2
α
x
N
2
N
1
m
α
n
α
x

P
1
P
2
h
α
h
2
α
N

α
h

1
α
h
2
h
1
A
2
C
1
C
2
E
2
E
1
F
1
F
2
B
2
B
1
A
1
x
2) Đường mặt của mặt phẳng

a) Định nghĩa

Đường mặt của mặt phẳng là đường thẳng thuộc mặt phẳng và song song với mặt phẳng hình
chiếu đứng

Gọi f
α
là đường mặt của mặt phẳng α: f
α
∈ mpα và f
α
// (P
2
) ; (Hình 4.14a)
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût
26
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005
m

f
1

n

f
2

x
M
2
M
1

f
2
a
2
a
1
F
1
x
O
1
O
2
b
2
F
2
b
1
E
1
E
2
m

n

x

P

1
P
2
f

f
2

f
1


M






f
1




Hỡnh 4.14a Hỡnh 4.14b Hỡnh 4.15

b) Tớnh cht
_ Hỡnh chiu bng ca ng mt song song vi trc x: f
1

// x ; (Hỡnh 4.14b)
f
1
// x ; (Hỡnh 4.15 )
_ Hỡnh chiu ng ca ng mt song song vi vt ng ca mt phng : f
2
// n



Chuù yù
ng bng h

mp nờn vt ng N ca ng bng h

thuc vt ng n

ca mp
ng mt f

mp nờn vt bng M ca ng mt f

thuc vt bng m

ca mp
Nu mt phng l mt phng chiu cnh thỡ ng thng chiu cnh k

mp va l
ng bng va l ng mt (Hỡnh 4.16 a, b)

Hỗnh 4.16a Hỗnh 4.16b

P
1
P
2

k

k
1

m

n

x

k
2

D

1
D
2
M
1
N
1
M
2
N
2
x
n

k
2

m

k
1

3) ng dc nht ca mt phng di vi mt phng hỡnh chiu

a) ng dc nht ca mt phng di vi mt phng hỡnh chiu bng
nh ngha
ng dc nht ca mt phng i vi mt phng hỡnh chiu bng l ng thng thuc mt
phng v to vi mt phng hỡnh chiu bng mt gúc ln nht so vi cỏc ng thng khỏc thuc
mt phng ú
GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt

27








Hỡnh 4.17a Hỡnh 4.17b Hỡnh 4.17c
N
2
P
2
n


N
1
x
m


n


d

x
N

M
d
1
d
2
P
1
M
2
M
1
D
1
B
1
D
2
C
1
B
2
x
C
2
M
1
M
2
N
1

N
2
d
2
d
1
m


Gi d l ng dc nht ca mp i vi mt phng hỡnh chiu bng (Hỡnh 4.17a)
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005
♦ Tính chất
- Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu bằng thì vuông góc với
đường bằng (hay vết bằng) của mặt phẳng đó, nên góc vuông được bảo tồn ở hình chiếu bằng,
tức d ⊥ hα (mα) ⇒ d
1
⊥ h
1
α hay d
1
⊥ m
α
(Hình 4.17b)
(Hình 4.17c) biểu diễn MN là đường dốc nhất của mặt phẳng (NBC) đối với mặt phẳng hình
chiếu bằng, MN vuông góc với đường bằng BD ⇒ N
1
M
1
⊥ B
1

D
1
- Góc của đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu bằng chính là góc
của mặt phẳng đó hợp với mặt phẳng hình chiếu bằng : (d, P
1
) = (mpα , P
1
) = ϕ

b) Đường dốc nhất của mặt phẳng dối với mặt phẳng hình chiếu đứng
♦ Định nghĩa
Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu đứng là đường thẳng thuộc mặt
phẳng và tạo với mặt phẳng hình chiếu đứng một góc lớn nhất so với các đường thẳng khác
thuộc mặt phẳng đ
ó









Hình 4.18 Hình 4.18b

Gọi g là đường dốc nhất của mpα đối với mặt phẳng hình chiếu đứng (Hình 4.18a)

♦ Tính chất
- Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu đứng thì vuông góc với

đường mặt (hay vết đứng) của mặt phẳng đó, nên góc vuông được bảo tồn ở hình chiếu đứng,
tức: g ⊥ f
α
(n
α
) ⇒ g
2
⊥ f
2α
hay g
2
⊥ n
α
(Hình 4.18b)
- Góc của đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu đứng chính là góc
của mặt phẳng đó hợp với mặt phẳng hình chiếu đứng
(g , P
2
) = (mpα , P
2
) = δ

 Ví dụ
Cho mặt phẳng α(m
α
, n
α
). Hãy xác định
góc nghiêng của mp α đối mặt phẳng hình
chiếu bằng và đối với mặt phẳng hình chiếu

đứng

Giải
1) Vẽ đường dốc nhất MN của mpα đối
với mpP
1
: M
1
N
1
⊥ m
α
⇒ M
2
N
2
.
n
α

n
α
m
α
m
α
F
1
F
E

1
F
2
E
2
g
2
g
1
g
2
g
g
1
E
x
P
1
P
2
x
δ
x
E
1
N
0
N
1
E

0
E
2
F
1
F
2
δ
ϕ
x

N
2
M
2
M
1
m
α
n
α
m
α
n
α
Hình 4.19 Hình 4.20
(Hình 4.19). Bằng phương pháp tam giác, xác định độ dài thật của đoạn NM là M
1
N
0

⇒ N
1
M
1
N
0
=ϕ = (MN, P
1
) = ( mpα , P
1
)

2) Vẽ đường dốc nhất EF của mp α đối với mp P
2
: E
2
F
2
⊥ n
α
⇒ E
1
F
1
(Hình 4.20).Bằng phương
pháp tam giác, xác định độ dài thật của đoạn EF là F
2
E
0

⇒ E
2
F
2
E
0
= δ = (EF, P
2
) = ( mpα, P
2
)

GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût
28
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005
V. MỘT VÀI VÍ DỤ GIẢI SẴN
 Ví dụ 1
Cho mp α (m
α
, n
α
) và hình chiếu đứng A
2
B
2
C
2
của tam giác ABC; (Hình 4.21a,b). Hãy vẽ hình
chiếu bằng A
1

B
1
C
1
, biết tam giác ABC thuộc mp α











Hình 4.21a Hình 4.21b
Giải
N
2
N
1
M
1
B
1
A
1
C
1

C
2
B
2
A
2
M
2
m
α

n
α

x
x
A
1
A
2
B
2
C
2
B
1
C
1
m
α

n
α

K
1
K
2
N
1
N
2
a) Tam giác ABC ∈ mpα ( Hình 4.21a) nên:
_ C
2
∈ x ⇒ C
1
∈ m
α

_ BC ∩ n
α
= K; từ K
2
= B
2
C
2
∩ n
α

⇒ K
1
∈ x và B
1
∈ K
1
C
1

_ AC ∩ n
α
= N; từ N
2
= A
2
C
2
∩ n
α
⇒ N
1
∈ x và A
1
∈ N
1
C
1


b) Tam giác ABC ∈ mpα ( Hình 4.21b) nên:

_ AB ∩ n
α
= N và AB ∩ m
α
= M.
_ Từ N
2
= A
2
B
2
∩ n
α
⇒ N
1
∈ x và M
2
= A
2
B
2
∩ x ⇒ M
1
∈ m
α
⇒ A
1
, B
1
∈ M

1
N
1

_ Vì mpα là mặt phẳng chiếu cạnh (m
α
// n
α
// x) nên A
1
C
1
//=A
2
C
2

M
2
B
1
A
1
m
α

n
α
x
O

M
1
B
2
b
2
b
1
a
2
a
1
I
1
I
2
A
2
_ Nối B
1
C
1


 Ví dụ 2
Cho mpα được xác định bằng hai đường thẳng a,b cắt
nhau; (Hình 4.22). Hãy vẽ các vết m
α
, n
α

của mpα

Giải
_ Gọi A,B lần lượt là vết đứng của đường thẳng a, b.
Từ A
1
= a
1
∩ x ⇒ A
2
∈ a
2
; (A ≡A
2
)
Từ B
1
= b
1
∩ x ⇒ B
2
∈ b
2
; (B ≡B
2
)
_ Gọi M là vết bằng của đường thẳng a
Từ M
2
= a

2
∩ x ⇒ M
1
∈ a
1
; (M ≡M
1
) Hình 4.22
_ Đường thẳng a,b ∈ mp α nên vết đứng n
α
đi qua các vết đứng A, B của đường thẳng a,b :
n
α
≡ A
2
B
2
Gọi O = n
α
∩ x ⇒ m
α
≡ M
1
O; (Hình 4.22)

 Ví dụ 3
Cho đường thẳng d. Hãy dựng mặt phẳng thường và mặt phẳng bằng vết nhận đường thẳng d
làm đường dốc nhất của mặt phẳng:
a) Đối với mp P
1

b) Đối với mp P
2

GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût
29
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005
Giải
a) Vẽ đường bằng h ⊥ d tại I ⇒ h
1
⊥ d
1
tại I
1
⇒ mp(d,h) nhận đường thẳng d làm đường dốc
nhất của mặt phẳng đối với mpP
1
;(Hình 4.23a)

b) Vẽ đường mặt f ⊥ d tại I ⇒ f
2
⊥ d
2
tại I
2
⇒ mp(d, f) nhận đường thẳng d làm đường dốc nhất
của mặt phẳng đối với mp P
2
;(Hình 4.23b)

a) b) c) d)
Hình 4.23
M
2
M
2
M
1
M
1
N
1
N
1
N
2
N
2
x
x

x
x
m
α
m
α

n
α
n
α
I
2
I
1
I
1
I
2
h
1
f
1
f
2
h
2
d
1
d

1
d
1
d
1
d
2
d
2
d
2
d
2

c) Vẽ M, N lần lượt là vết bằng, vết đứng của đường thẳng d; mpα nhận đường thẳng d làm
đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mpP
1
nên m
α
⊥ d
1
tại M
1
⇒ n
α
đi qua N
2
; (Hình 4.23c)
d) Tương tự, mpα nhận đường thẳng d làm đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mp P
2

nên
n
α
⊥ d
2
tại N
2
⇒ m
α
đi qua M
1
và đi qua giao điểm của n
α
với trục x; (Hình 4.23d)

 Ví dụ 4
Cho vết bằng m
α
của mpα. Hãy vẽ vết đứng n
α
, biết rằng mpα nghiêng với mp P
1
góc 60
0

Giải

Ta biết rằng góc nghiêng của mpα đối với mp P
1
cũng chính là góc của đường dốc nhất của mpα

đó đối với mp P
1
. Vì vậy ta vẽ đường thẳng d dốc nhất của mpα đối với mp P
1
_ d
1
⊥ m
α
tại M
1
và cắt trục x tại N
1
,⇒ M
2
∈ x.
_ Ta biết rằng mpα tạo với mp P
1
góc 60
0
nên d
tạo với mpP
1
góc 60
0
.Vẽ tam giác vuông
M
1
N
1
N

0
có một cạnh góc vuông M
1
N
1
, cạnh
huyền M
1
N
0
tạo với M
1
N
1
góc 60
0

_ Theo phương pháp tam giác thì cạnh góc
vuông còn lại N
1
N
0
bằng hiệu độ cao của M,
N; tức : N
1
N
2
= N
1
N

0
⇒ d
2
≡ M
2
N
2

_ Vậy n
α
đi qua N
2
và qua giao điểm của m
α
với
trục x ; (Hình 4.24)



Hình 4.24
x
n
α
d
1
m
α
N
0
M

1
M
2
N
2
60
0
d
2
N
1

==============


GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût
30