Báo cáo khoa học: "XÁC ĐỊNH CƠ CẤU CHẢY DẺO CỦA CẤU KIỆN THÀNH MỎNG TIẾT DIỆN TỔ HỢP CHỊU NÉN SỬ DỤNG THÉP ỐNG CƯỜNG ĐỘ CAO" doc

XÁC ĐỊNH CƠ CẤU CHẢY DẺO
CỦA CẤU KIỆN THÀNH MỎNG TIẾT DIỆN TỔ HỢP
CHỊU NÉN SỬ DỤNG THÉP ỐNG CƯỜNG ĐỘ CAO

TS. ĐỖ VĂN BÌNH
Bộ môn Kết cấu xây dựng
Viện KH và CN xây dựng GT
Trường Đại học Giao thông Vận tải

Tóm tắt: Bài báo trình bày một cơ cấu chảy dẻo của cấu kiện thành mỏng cột ngắn chịu
nén có tiết diện tổ hợp chữ nhật và tam giác sử dụng thép ống cường độ cao, trên cơ sở đó
thiết lập công thức lý thuyết quan hệ Lực - Chuyển vị sau giai đoạn đàn hồi của cấu kiện. Cơ
cấu chảy dẻo đối với tấm và thép ống trong cấu kiện được xác định. Khả năng chịu lực dự
đoán của tiết diện cũng được xác định trên cơ sở từ quan hệ lực và chuyển vị trong giai đoạn
đàn hồi và giai đoạn chảy dẻo theo lý thuyết trong bài báo này. Kết quả nghiên cứu lý thuyết
được so sánh với kết quả thực nghiệm và so sánh với kết quả theo phương pháp Phần tử hữu
hạn cho thấy là phù hợp.
T
a a
Summary: This paper presents a plastic mechanism analysis to predict the response of
Load - Axial shortening of stub columns with fabricated square and triangular sections
(FSTSs) utilizing very high strength (VHS) circular steel tubes. A new plate folding mechanism
model was developed for the steel plates and parabolic shape mechanism model was developed
for the VHS tubes. A proposed simplified formula for the predicted post - ultimate response of
the FSTS stub columns was given in this paper. An estimated collapse load was also obtained
from interaction of the elastic loading line and predicted collapse curve for each FSTS stub
column. A comparison between the theoretical plastic mechanism analysis and the
experimental results and finite element method was carried out with good agreement.
CT2
1. Giới thiệu

Bài báo này trình này phần nội dung nghiên cứu tiếp theo của đề tài nghiên cứu thực
nghiệm về cột ngắn tiết diện tổ hợp chữ nhật và tam giác sử dụng thép ống cường độ cao (Very
High Strength –VHS) đã được tác giả trình bày trong các tài liệu [1 - 3] . Đề tài này tập trung
nghiên cứu cơ cấu chảy dẻo của cấu kiện cột ngắn tiết diện tổ hợp sử dụng thép ống cường độ
cao trên cơ sở kết quả thực nghiệm từ đó thiết lập công thức lý thuyết về khả năng chịu lực ở
trạng thái dẻo của tiết diện và quan hệ lực nén - chuyển vị dọc trục của tiết diện tổ hợp thành
mỏng sau giai đoạn đàn hồi. Kết quả nghiên cứu lý thuyết được so sánh với kết quả thực nghiệm
và so sánh với kết quả theo phương pháp Phần tử hữu hạn cho thấy là phù hợp.
2. Kết quả thực nghiệm
Như đã đã trình bày trong tài liệu [1 - 3], nghiên cứu thực nghiệm nén 20 mẫu cột ngắn
kích thước khác nhau với tiết diện tổ hợp chữ nhật và tam giác ứng dụng thép ống VHS thể hiện
trên hình 1. Trong đó, thép tấm có tỷ số bề rộng và độ dày từ 40 đến 130, giới hạn chảy
, giới hạn bền , môđun đàn hồi
yp
f 415MPa=
up
f515MP=
op
E211,300MP
=
; thép ống


cường độ cao (VHS) có tỷ số đường kính và độ dày là 15,9 và 23,8 với giới hạn chảy
, giới hạn bền , môđun đàn hồi
yt
f 1352MPa=
ut
f 1500MPa=
ot

E 197,900MPa
=
. Bảng 1 trình
bày kích thước của 20 mẫu cột ngắn tiết diện tổ hợp vuông và tam giác và giá trị lực nén thực
nghiệm lớn nhất (P
max
).
VHS tubes
L
L
B
T
d
d
B
d
d
Pl ate
t
Wel d

VHS tubes
L
L
B
T
d
d
B
d

d
Plate
t
Weld
60

Hình 1. Mẫu thực nghiệm cột ngắn tiết diện tổ hợp vuông và tam giác ứng dụng thép ống VHS.
Bảng 1. Kích thước mẫu thực nghiệm và lực nén thực nghiệm lớn nhất (P
max
)
Thép ống VHS Tấm
Ký
hiệu
mẫu
TN
d
mm
t
mm
B
mm
T
mm
d/t B/T
Chiều
dài
L
mm
Diện
tích

ống
A
t
mm
2
Diện
tích
tấm
A
p
mm
2
Độ
mảnh
e
λ

P
max
(kN)
Mẫu tiết diện vuông (CSS)
CSS1 31.80 2.15 120 2.85 14.79 42.11 500 200 342 54.25 1263
CSS2 31.60 2.25 151 2.92 14.04 51.61 500 207 440 66.49 1207
CSS3 31.70 2.17 231 2.80 14.61 82.50 1000 201 647 106.29 1274
CSS4 31.50 2.15 300 2.90 14.65 103.45 1000 198 870 133.28 1344
CSS5 31.70 2.20 400 2.93 14.41 136.52 1200 204 1172 175.89 1363
CSS6 37.90 1.65 120 2.87 22.97 41.81 500 188 344 53.87 1240
CSS7 37.90 1.83 150 2.92 20.71 51.23 500 207 437 66.01 1241
CSS8 37.70 1.77 230 2.90 21.30 79.31 1000 200 667 102.18 1323
CSS9 37.60 1.70 300 2.97 22.12 101.01 1000 192 891 130.14 1352

CSS10 37.90 1.70 400 2.92 22.29 136.99 1200 193 1168 176.49 1371
Mẫu tiết diện tam giác (CTS)
CTS1 31.25 2.22 121 2.92 14.08 41.30 500 202 352 53.21 962
CTS2 31.85 2.16 150 2.87 14.75 52.26 500 201 430 67.34 983
CTS3 32.00 2.30 230 2.72 13.91 84.56 1000 215 625 108.95 1033
CTS4 31.60 2.40 298 2.85 13.17 104.56 1000 220 849 134.72 1032
CTS5 31.90 2.20 400 2.91 14.50 137.46 1200 205 1164 177.10 1075
CTS6 38.10 1.65 120 2.96 23.09 40.54 500 189 355 52.23 958
CTS7 37.90 1.73 150 2.95 21.91 50.95 500 197 443 65.64 968
CTS8 38.30 1.80 229 2.91 21.28 78.69 1000 206 666 101.39 1010
CTS9 38.20 1.86 300 2.88 20.54 104.17 1000 212 864 134.21 1023
CTS10 38.10 1.80 398 2.94 21.17 135.37 1200 205 1170 174.42 1023
CT 2


Kết quả thực nghiệm quan hệ giữa Lực - Chuyển vị của 20 mẫu được thể hiện trên hình 2.
TCT2

Hình 2. Kết quả thực nghiệm quan hệ lực nén - chuyển vị dọc trục của các mẫu:
a) Tiết diện vuông; b) Tiết diện tam giác.
Dạng phá hoại dẻo của các mẫu cột ngắn chịu nén được thể hiện trên hình 3a, c và được so
sánh với kết quả tính theo phương pháp phần tử hữu hạn (chương trình STRAND7) cho thấy
khá giống nhau về dạng chảy dẻo (hình 3b, d).


(a) (b) (c) (d)
Hình 3. So sánh dạng chảy dẻo của cột ngắn tiết diện tổ hợp
ứng dụng thép ống VHS theo thực nghiệm và theo phương pháp PTHH:
a) Dạng chảy dẻo của mẫu tiết diện vuông theo thực nghiệm
b) Dạng chảy dẻo của mẫu tiết diện vuông theo phương pháp PTHH

c) Dạng chảy dẻo của mẫu tiết diện tam giác theo thực nghiệm
d) Dạng chảy dẻo của mẫu tiết diện tam giác theo phương pháp PTH
3. Sự hình thành cơ cấu chảy dẻo của cột ngắn chịu nén tiết diện tổ hợp
Quan sát quá trình hình thành cơ cấu chảy dẻo của các mẫu cho thấy các tấm mất ổn định
cục bộ độc lập nhau, sự phá hoại dẻo hoàn toàn của mẫu do sự mất ổn định cục bộ trong ống
thép VHS (hình 3a, c). Đối với cả hai loại tiết diện mẫu, cơ cấu chảy dẻo của các mẫu đều có
dạng “mái nhà” hình thành tại các tấm, dạng e - líp hình thành tại các thép ống VHS tại các góc
của tiết diện.
4. Mô hình hoá cơ cấu chảy dẻo của cột ngắn chịu nén tiết diện tổ hợp
Qua thực nghiệm một mô hình hoá cơ cấu chảy dẻo của cấu kiện tiết diện tổ hợp chịu nén
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 5 10 15 20
Chuyển vị dọc trục (mm)
Lực nộn
(kN)

CTS1
CTS2
CTS3
CTS4
CTS5
CTS6
CTS7

CTS8
CTS9
CTS10
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 5
10 15 20
Chu
y
ể
n vị dọc trục (mm)
Lực nộn (kN)
CSS1
CSS2
CSS3
CSS4
CSS5
CSS6
CSS7
CSS8
CSS9
CSS10

ứng dụng thép ống VHS được thể hiện trên hình 4a, b cho cả hai dạng tiết diện. Mô hình này
bao gồm: 1) cơ cấu chảy dẻo dạng gấp với các đường khớp dẻo là đoạn thẳng (dạng mái nhà)
hình thành trong phần tấm; 2) cơ cấu chảy dẻo dạng e - lip hình thành trong thép ống VHS.
Do đó lực nén P của toàn cấu kiện bao gồm hai thành phần lực nén (P
1
và P
2
) tương ứng
với hai cơ cấu chảy dẻo trong phần tấm và phần thép ống VHS.

CT 2

(a) (b)
Hình 4. Mô h tiết diện tổ hợp
5. Các giả thiết trong tính toán
t động học có thể chấp nhận được.
đối xứng qua 2 trục vuông góc
với n
xem như xảy ra trên toàn bộ bề rộng B của tấm. Mười
đườn
ới lực nén (P) do đó mômen dẻo được xác định theo
Mah
ình hoá cơ cấu chảy dẻo của của cột ngắn chịu nén
- Các khớp dẻo hình thành về mặ
-
Các đường khớp dẻo trong cơ cấu chảy dẻo của tấm giả thiết là thẳng.
-
Đường khớp dẻo trong thép ống VHS là đường e - líp.
-

Tất cả các dạng cơ cấu chảy dẻo trên tấm và ống VHS là
hau và cơ cấu chảy dẻo trên các mặt của cấu kiện là giống nhau.
6. Tính toán cơ cấu chảy dẻo của cấu kiện
6.1. Cơ cấu chảy dẻo của tấm
Cơ cấu chảy dẻo của tấm được
g khớp dẻo hình thành dọc theo đường AB, BC, CD, DI, IH, HG, GF, FA, FE và ED trên
một tấm như trên hình 5a. Cơ cấu chảy dẻo của tấm được xem như xảy ra trên 2 miền:
miền
trong
nằm trong khoảng (B - 2c) và 2 miền ngoài nằm trong bề rộng c. Do tính đối xứng nên ta
có thể xét một nửa của cơ cấu chảy dẻo của tấm như trên hình 5b. Xét cân bằng một dải vi phân
dy của miền trong như trên hình 5 b, c.
6.1.1. Đối với miền trong
Đường khớp EF vuông góc v
endran [7]:
B
A
F
E
G
H
C
D
I
P
2
P
2
P
2

P
2
P
1
P
1
P
1
P
1
Cơ cấu chảy
dẻo của tấm
Cơ cấu chảy dẻo
của ống VHS
Ống VHS
Tấm
Ống VHS
B
Tấm
Cơ cấu chảy
dẻo của tấm

A
F
E
G
H
C
D
I

P
2
P
1
P
1
P
2
P
2

P
1

Cơ cấu chảy dẻo
của ống VHS




2
'
PP
y
P
MM1
P
⎡
⎤
⎛⎞

⎢
⎥
=−
⎜⎟
⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠
⎣
⎦
(1)
B
A
F
E
G
H
C
D
I
θθ
c
c
y
dy
θ θ
x
y
h
1

h
2
h
2
h
1
λ
1
λ
1
B/2 B/2
P
1
e
1
Δ
1
P
1
λ
1
λ
1
λ
2
λ
2
Section A-A
A
A

a)
B
A
F
E
G
H
c
dy
θ
x
h
1
h
2
h
2
h
1
B/2
Δ
1
λ
1
λ
2
λ
2
Δ

2
λ
1
θ
Δ
i
y
0
δ
P
1 inner
δ
P
1 inner
y
(b)

M .sec
θ
θ
Δ
2
δ
P
i
δ
P
1 inner
p
M

p
1 inner

(c)
Hình 5. Cơ cấu chảy dẻo của tấm trong cấu kiện cột ngắn
trong đó:

2
f.B.T
4
yp
P
M =

là sức kháng mômen khớp dẻo của tấm
với bề rộng B và chiều dày T, và P
y
=
f
yp
.B.T.
Đường khớp dẻo AB và GH
nghiêng một góc
(
2
)
π
−θ với lực nén, do
đó theo Zhao [10] sức kháng mômen của
đường khớp dẻo nghiêng là:

'' ' 2
PP
MMsec
=
θ (2)
trong đó:

1
12
2( )
tan
B2c
−
λ−λ
⎡
⎤
θ=
TCT2
⎢
⎥
−
⎦
(3)
⎣
với

112
(h h )

λ
=+

và

1
22
2h c
(h )
B
λ= +
thể hiện trên hình 5b.
Đối với một dải của đường khớp
nghiêng ở miền trong thể hiện trên hình 5c, b tương ứng với thành phần lực
tương tự như
Zhao và Hancock [10] và Zhao [12]:
1inner
Pδ

() ()
2
ii
1inner yp
22
22
PfT 1
1sec T 1sec T
⎧⎫
⎡⎤⎡⎤
ΔΔ

⎪⎪
⎢⎥⎢⎥
dy⋅ +−
⎨⎬
+θ⋅ +θ⋅
⎢⎥⎢⎥
⎪⎪
⎣⎦⎣⎦
⎩⎭
δ= (4)

2
i1
21
ytan
().1
⎛⎞⎛
⎞
λ
θ
Δ=Δ +
⎜⎟⎜⎟
λ
λ
⎝⎠⎝⎠
(5)
Thành phần lực nén P
1inner
tương ứng trong cơ cấu chảy dẻo của tấm tại miền trong đối với

một mặt của tiết diện là:
B
c
2
1inner 1inner
0
P2 P
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
=⋅ δ
∫
=
627
yp
53
kk.k
4
fT
3kk
⎛⎞
⋅⋅ −
⎜
⎝⎠
⎟
(6)
Trong đó:
0

B
kc
2
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
; ;
2
1
k1sec=+ θ
2
1
1
2
2
11
2( )
2.
k
kT kT
λ
Δ
λ
Δ
==
⋅⋅
;
3
2

tan
k
θ
=
λ
; ;
;
;
2
42
k1k=+
2
52
3
kkk=⋅
()
3/2
3/2
6405 4
kkkk k=+⋅ − 1
()
3/2
703
k1kk
=
+⋅ −.
6.1.2. Đối với miền ngoài
Tính toán cơ cấu chảy dẻo của miền ngoài theo mô hình cơ cấu dạng “mái nhà” được xác
định bằng khả năng chảy dẻo của cả miền đó [6 - 9]. Do đó sức kháng nén của miền ngoài là:

1edge yp
P2fcT
=
⋅⋅⋅ (7)
Do đó thành phần lực nén tương ứng với cơ cấu chảy dẻo của tấm của một mặt trong tiết
diện là:
P
1
= P
1inner
+ P
1edge
=
627
yp yp
53
kk.k
4
f.T. 2f.c.T
3kk
⎛⎞
−+
⎜⎟
⎝⎠
(8)
7. Cơ cấu chảy dẻo của ống thép VHS
Mô hình hoá cơ cấu chảy dẻo của ống thép VHS có dạng e - líp (hình 6a). Do tính chất đối
xứng, một nửa của cơ cấu e - líp được tính toán như trên hình 6b với hàm mô tả tương ứng:
CT 2

2
2
X
Yr1
a
⎛⎞
=−
⎜
⎝⎠
⎟
(9)
trong đó r và a là các kích thước trên hình 6a và góc nghiêng
1
θ
được giả thiết đối với
đường khớp e - líp MN và NQ:

1
1
a
tan
r
−
⎛⎞
θ=
⎜⎟
⎝⎠
(10)
Một dải ds của cơ cấu chảy dẻo e - líp chịu thành phần lực
2

P
δ
tương tự như công thức (4):

() ()
2
YY
2yt
22
11
22
Pft 1 dY
1sec t 1sec t
⎧⎫
⎡⎤⎡⎤
ΔΔ
⎪⎪
⎢⎥⎢
δ= ⋅ +−
⎨⎬
+θ⋅ +θ⋅
⎢⎥⎢⎥
⎪⎪
⎣⎦⎣⎦
⎩⎭
⎥
(11)
trong đó f
yt
giới hạn chảy của thép ống VHS, t là độ dày ống (bảng 1).

Thành phần lực nén P
2
đối với cơ cấu chảy dẻo của một ống thép VHS là:

rr
2
22yt 2 2
00
YY
P4.P4f.t m.1 1m.1 dY
rr
⎧
⎫
⎪
⎪
⎛⎞
=δ= −+− −
⎨
⎬
⎜⎟
⎝⎠
⎪
⎪
⎩⎭
∫∫



trong đó:
2

11
m1sec=+ θ;
1
1
2
1
z
2.
m
m.t
Δ
λ
=

Kết quả:

()
3/2
2
2
2yt
2
2
m1 1
8
Pf.tr m
3m
2
⎡
⎤

+−
⎢
⎥
=
−
⎢
⎥
⎣
⎦
(12)
X
X
Y
M
Q
a
0
r
r
dY
Y
Hinge line
N
δ
P
2
Δ
Y
δ
P

2
θ
1
β
β
Δ
3
θ
1
2
X
X
Y
MQ
a
0
rr
dy
y
Hinge line
Elliptic curve y = r(1- )
a
x
2
N
(a)
(b)

TCT2

δ
P
2
Δ
Y
δ
P
2
M .sec
θ
2
p
1
θ
1
M
p
e

2
Δ
3
z
z
a
β
β
a
P
2
P
2
(c) (d)
Hình 6. Mô hình hoá cơ cấu chảy dẻo trong ống thép VHS
8. Công thức quan hệ lực nén - chuyển vị dọc trục của cơ cấu dẻo của cột ngắn tiết
diện tổ hợp ứng dụng thép ống VHS
Lực nén tổng cộng của cơ cấu chảy dẻo toàn cấu kiện:
P
total
= n(P
1
+ P
2
) (13)
Do đó công thức quan hệ lực - chuyển vị của cơ cấu dẻo là:


P
total

=
()
3/2
2
2
627
yp yp yt 2
2
53 2
m1
kkk
48
nfT 2fcTftr m
3kk 3 m
⎧⎫
⎡
⎤
+
⎛⎞
⋅
⎪⎪
⎢
⎥
⋅⋅⋅⋅ − +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅ −
⎨⎬
⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠
⎪⎪

⎣
⎦
⎩⎭
(14)
trong đó: n = 4: đối với tiết diện vuông;
n = 3: đối với tiết diện tam giác;
Trên cơ sở công thức (14) đường cong P
tota l
- chuyển vị dọc trục được thể hiện trên hình 7
(với chú giải
mechanism).
Đường thẳng thể hiện quan hệ đàn hồi của lực nén - chuyển vị dọc trục cũng được thể hiện
trên hình 7 (với chú giải
elastic) trên cơ sở công thức:

(
)
pt0
nA A E
P
L
+⋅
e
=
⋅ (15)
trong đó:
n số lượng tấm hoặc ống thép VHS trong tiết diện;
A
t
, A

p
, L như trong bảng 1; E
0
= 200,000 MPa.
9. Lực nén phá hoại dự đoán của tiết diện
Việc xác định lực nén phá hoại (P
collapse
) dự đoán theo lý thuyết được thực hiện theo như
Key và Hancok trình bày trong tài liệu [4], nghĩa là giá trị của lực nén tương ứng với vị trí cắt
nhau của đường thẳng thể hiện quan hệ đàn hồi của lực nén - chuyển vị dọc trục (đường
elastic)
với đường cong lực nén - chuyển vị dọc trục của cơ cấu chảy dẻo sau đàn hồi theo công thức
(14) (đường
mechanism).
CT 2
10. So sánh với kết quả thực nghiệm
Kết quả so sánh giữa đường cong quan hệ lực – chuyển vị dọc truc theo thực nghiệm ở sau
giai đoạn đàn hồi (với chú giải:
test) và đường cong quan hệ lực - chuyển vị theo công thức lý
thuyết (công thức 14) (với chú giải:
mechanism) được thể hiện trên hình 7 a, b đối với một số
mẫu thực nghiệm đặc trưng cho thấy 2 kết quả là khá phù hợp.
Giá trị lực nén phá hoại (P
collapse
) dự đoán theo lý thuyết được so sánh với giá trị P
max
theo
thực nghiệm được thể hiện trên hình 8 cho giá trị trung bình của tỷ số P
collaps
/P

max
bằng 1,190.

(a) (b)
Hình 7. So sánh kết quả quan hệ lực nén – chuyển vị dọc trục the công thức (14) và kết quả thực nghiệm
[1 - 3]: a) Mẫu đặc trưng tiết diện vuông; b) Mẫu đặc trưng tiết diện tam giác.
CTS2
0
500
1000
1500
0 5
10 15 20

Chuyển vị dọc trục (mm)
Lực nộn(kN)
Elastic
Mechanism
Test
Pcollapse
CSS8
0
500
1000
1500
2000
2500
0 5 10 15 20
Chuyển vị dọc trục (mm)

Lực nộn (kN)
Elastic
Mechanism
Test
Pcollapse



0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0
50 100 150 200
Độ mảnh
λ
P
collapse
/P
max
Mẫu CSS
Mẫu CTS
Hình 8. Tỷ số P
collapse
/P

max
với độ mảnh
λ
.
11. Kết luận
•
Một mô hình cơ cấu chảy dẻo được thiết lập để dự đoán khả năng chịu nén của tấm và
của ống thép VHS trong cột ngắn tiết diện tổ hợp vuông và tam giác.
• Vị trí của thép ống VHS tại các góc của tiết diện tạo nên cơ cấu chảy dẻo dạng “mái
nhà” (“roof - type”) thay cho dạng “ô - van” (“flip - disc type”) như trong cấu kiệt tiết diện hộp
vuông hoặc chữ nhật được trình bày trong [4 - 7].
• Kết quả so sánh giữa đường cong quan hệ lực nén - chuyển vị dọc trục sau giai đoạn
đàn hồi theo lý thuyết của cột ngắn tiết diện tổ hợp được thiết lập trong nghiên cứu này với kết
quả thực nghiệm là khá tốt. Giá trị trung bình của tỷ số
Pcollaps/ Pmax bằng 1,190.

Tài liệu tham khảo

[1]. Zhao, X.L., Binh, D.V., Al - Mahaidi, R. and Tao, Z. (2004)," Stub column tests of fabricated square and
triangular sections utilizing very high strength steel tubes",Journal of Constructional Steel Research., 60(11), 1637 -
1661.
TCT2
[2]. Rhodes, J., Zhao, X.L., Binh, D.V. and Al - Mahaidi, R.A. (2005), "Rational design analysis of stub columns
fabricated using very high strength circular steel tubes", Thin - Walled Structures, 43(3), 445 - 460.
[3]. D.V. Binh, R. Al - Mahaidi and X.L. Zhao,“Finite Element Analysis of Fabricated Square and Triangular Section
Stub Columns Utilising Very High Strength Steel Tubes”, International Journal of Advances in Structural
Engineering, Vol. 7, Oct 2004, pp. 447 - 460.
[4]. Key PW, Hancock GJ. Plastic collapse mechanism for cold - formed square hollow section columns, Research
Report, No. R526, School of Civil and Mining Engineering, The University of Sydney, Sydney, April, 1986b.
[5]. Key PW, Hancock GJ. Plastic collapse mechanism for cold - formed square hollow section columns. In:

Proceedings, 10
th
Australian Conference on the Mechanics of Structures and Materials, Adelaide. 1986. p. 217 - 22.
[7]. Mahendran M, Murray NW. Ultimate load behaviour of box - columns under combined Loading of axial
compression and torsion. Thin - walled Structures, 1990, 9, 91 - 120.
[8]. Mahendran M. Local plastic mechanism in thin steel plates under in - plane compression. Thin - walled
Structures, 1997, 27, 245 - 261.
[9]. Zhao XL, Hancock GJ. Square and rectangular hollow sections subject to combined actions. Journal of Structural
Engineering, ASCE 1992; 118(3): 648 - 68.
[10]. Zhao XL, Hancock GJ. A theoretical analysis of the plastic - moment capacity of an inclined yield line under
axial force. Thin - walled Structures, 1993, 15, 185 - 207.
[11]. Zhao XL, Hancock GJ. Experimental verification of the theory of plastic moment capacity of an inclined yield
line under axial force. Thin - walled Structures, 1993, 15, 209 - 33.
[12]. Zhao XL, Hancock GJ. Square and rectangular hollow sections under transverse end bearing force. Journal of
Structural Engineering, ASCE 1995; 121(9): 1323 - 9♦