Bài tập về phép toán 2 ngôi

Hà Văn Tùng
Bài 1: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi:
(i): x * y = x + y +xy, với x ,y ∈ ℝ
(ii) m ⊗ n = m + 2n, với m , n ∈ ℕ
a) Tìm - 3 * 4; 0 ⊗ n; 3 ⊗ 4.
b) Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính.
B ài làm
a) * : R * R → R
(x,y) x * y = x + y + xy
Tương ứng * là một ánh xạ vì:
∀ x, y ∈ ℝ ta có x + y + xy = x * y ∈ ℝ . Nên * là một phép toán hai ngôi trên ℝ.
Ta có : - 3 * 4 = -3 + 4 + (-3.4) = -11
b) Xét các tính chất và phần tử đặc biệt.
- Tính giao hoán:
∀ x, y ∈ ℝ , ta có:
x * y = x + y + xy
→ x* y = y *x
y * x = y + x + yx
Nên phép tính * có tính chất giao hoán.
- Tính kết hợp:
∀ x, y , z ∈ ℝ , ta có:
( x * y) * z = ( x* y) + z + (x*y).z = x+ y +x.y + z + (x+y+x.y).z
= x+y+z+x.y+ xz+yz+xyz (1)
x * (y * z) = x+(y*z) + x.(y*z) = x + y + z + y.z + x( y+z+y.z)
= x+y+z+xy+yz+xz+xyz (2)
Từ (1) (2) suy ra phép toán * có tính chất kết hợp
- Tìm phần tử trung lập:
Tồn tại phần tử trung lập 0 vì ∀ x ∈ ℝ. Ta có 0 * x = x* 0= x + 0 +x.0 = x
- Tìm phần tử đối xứng:
Với ∀ x, y ∈ R\ -1 có phần tử đối xứng là x' = -
Vì x* x' = x' * x = ( - ) * x = - + x + ( - ).x = =0

(ii) a) m ⊗ n = m + 2n, với m , n ∈ ℕ.
⊗ : N x N → N
(m,n) m ⊗ n = m + 2n
Tương ứng ⊗ là một ánh xạ vì:
∀ m , n ∈ ℕ ⇒ m + 2n ∈ ℕ
T a có 0 ⊗ n = 0 + 2n = 2n, 3 ⊗ 4 = 3 + 4.2 = 11
• Xét các phần tử đặc biệt
- Tính giao hoán:
∀ x, y ∈ ℕ , ta có:
Trang 1
Hà Văn Tùng
x ⊗ y = x + 2y
→ x ⊗ y ≠ y ⊗ x
y ⊗ x = y + 2x
Nên ⊗ không có tính giao hoán.
Ví dụ: 1, 2 ∈ ℕ
1 ⊗ 2 = 1 + 4 = 5
2 ⊗ 1 = 2 + 2.1 = 4
⇒ 5 ≠ 4
- Tính chất hợp:
∀ x, y , z ∈ , ℕ ta có:
( x ⊗ y) ⊗ z = x ⊗ y + 2z = x + 2y + 2z (1)
x ⊗ (y ⊗ z) = x +2( y ⊗ z) = x +2( y + 2z) = x + 2y + 4z (2)
Từ (1) (2) suy ra phép toán ⊗ không có tính chất kết hợp.
- Tìm phần tử trung lập: Phần tử trung lập là 0
Vì m ⊗ 0 = ⊗ m + 2.0 = m ( m ∈ ) ℕ
∀m ∈ ℕ ∃ m' ∈ ℕ m ⊗ m' = 0 ⇒ phép toán ⊗ không có phần tử trung lập
Bài 2: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi:
(i) a * b = , với a, b ∈ ℚ
(ii) a ⊕ b = a + b - ab với a, b ∈ A \ 1

a) Tìm − 4 * 5; 3 ⊕ ; 5 ⊕ .
b) Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính đó.
Bài làm
Bài 2: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi:
(i) a * b = , với a, b ∈ ℚ
* Q x Q → Q là một ánh xạ vì a, b ∈ ℚ ⇒ ∈ ℚ
Nên tương ứng (*) là phép toán hai ngôi trên . ℚ
Tính − 4 * 5 = =
- Tính chất giao hoán:
∀ x,y ∈ ℚ ta có:
x * y = và y*x= suy ra x*y=y*x
nên phép toán * có tính chất giao hoán.
- Tính chất kết hợp:
∀ x,y, z ∈ ℚ ta có:
(x*y)*z= = = (1)
x *(y*z) = = = (2)
Từ (1), (2) suy ra phép toán * không có tính chất kết hợp.
. Phép toán * không có phần tử trung lập. Do đó ∀ x ∈ ℚđều không có phần tử đối xứng
đối với phép toán *.
(ii) a ⊕ b = a + b – ab với a, b ∈ ℚ
ℚ ⊕ ℚ → ℚ
( a, b ) ( a + b – ab ∀ a, b ∈ ℚ

a/ Tính 3 ⊕ = 3 + - 3 . =
Trang 2
Hà Văn Tùng
5 ⊕ = 5 + - 5 . = 3
b/ Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính đó
• Tính chất giao hoán:
∀ x, y ∈ , ℚ ta có:

x ⊕ y = x + y - xy
x ⊕ y = y ⊕ x
y ⊕ x = y + x - yx
Phép toán ⊕ có tính giao hoán
• Tính chất kết hợp :
∀ x, y, z ∈ , ℚ ta có:
(x ⊕ y ) ⊕z = x y + z - ⊕ (x y ).z⊕ = x + y - xy + z - (x + y - xy).z
= x + y - xy + z - xz - yz + xyz = x + y + z - xy - xz - yz - xyz (1)
x (⊕ y ⊕z ) = x + ((y ⊕z ) - x.(y ⊕z ) = x + y + z - yz - x(y + z - yz)
= x + y + z - xy - xz - yz - xyz (2)
Từ (1),(2) ⇒ ⊕có tính chất kết hợp
• Phần tử trung lập là 0
Vì a ⊕0 = a + 0 - a.0 = a ∈ , ℚ ∀ a ∈ thì ℚ ∃ a' ∈ ℚ : a + a' = 0
Bài 3: Xét các quy tắc sau có phải là phép toán hai ngôi hay không? Hãy xác định các tính
chất giao hoán, kết hợp và các phần tử đặc biệt.
a) a * b = , với ∀ a,b ∈ ℤ
b) a * b = ∀ a,b ∈ ℝ
c) a * b = ∀ a,b ∈ ℚ*
d) a * b = ∀ a,b ∈ ℝ
e) a * b = a + b + 1 ∀ a,b ∈ ℚ
Giải
Bài 3:
Câu a) a * b = ∀ a , b ∈ ℤ
*: Z x Z → Z
(a,b) a*b =
∃ 4, - 6 ∈ ℤ, ta có: 4 * (-6) = = ∉ ℤ ⇒ Nên * không là một ánh xạ.
Vậy * không là phép toán hai ngôi.
Câu b) a * b = ∀ a,b ∈ℝ
R x R → R
(a,b) ( a*b= ∀ a,b ∈ℝ

∀ a, b ∈ R ta có: = a + b ∈ ℝ ⇒ Nên * là một ánh xạ.
- Tính chất giao hoán:
∀ x , y ∈ ℝ, ta có:
x * y = và y * x = suy ra x * y = y * x
Nên phép toán * có tính chất giao hoán.
- Tính chất kết hợp :
∀ x , y, z ∈ ℝ, ta có:
(x*y)*z = +z = + z = (1)
x*(y*z) = = = (2)
Từ(1) và (2) suy ra phép toán * có tính chất kết hợp.
- Tìm phần tử trung lập :
Trang 3
Hà Văn Tùng
Tồn tại phần tử trung lập là 0 vì với ∀ x ∈ ℝ , ta có:
0 * x = x * 0 = = x.
- Tìm phần tử đối xứng:
x * x′ = x′ * x = 0 ⇔ = 0
* Với ∀ x ≠ 0 không tồn tại phần tử đối xứng của x đối với phép toán *
* Khi x = 0 phần tử của x là 0.
Câu c) a * b = ∀ a,b ∈ ℚ*
*: Q ∗ Q → Q*
(a,b) ∈ ℚ*
Tương ứng * là một ánh xạ vì với ∀a,b ∈ ℚ* thì ∈ ℚ*
Nên tương ứng phép toán * là phép toán hai ngôi trên ℚ*
- Tính giao hoán:
∀ x, y ∈ ℚ*, ta có
x * y =
⇒ ≠ ⇒ x * y ≠y * x
y * x =
Vậy phép toán * không có tính giao hoán.

Ví dụ: ∃ , ∈ ℚ* mà * = =
≠ ⇒ không có tính chất g/hoán
* = = : =
- Tính chất kết hợp:
∀ x, y , z ∈ ℚ*, ta có
(x*y)*z =
∃ 2, 3 , 1 ∈ ℚ* , ta có
(2*3)*1= = = (1)
2*(3*1) = = = (2)
Từ (1)(2) suy ra * không có tính chất kết hợp.
- Tìm phần tử trung lập
d/ a * b = ∀ a,b ∈ ℝ
ℝ ∗ ℝ → ℝ
( a, b) a * b = ∀ a,b ∈ ℝ
Ta có: ∀ a,b ∈ ℝ
Nên ∗ là một ánh xạ
• Tính giao hoán:
∀ x , y ∈ ℝ ta có:
x ∗ y =
x ∗ y = y ∗ x
y ∗ x =
Vậy phép toán * không có tính giao hoán.
• Tính chất kết hợp:
Trang 4
Hà Văn Tùng
∀ x , y, z ∈ ℝ ta có:
(x ∗ y )∗ z = =

= = (1)

x ∗ (y ∗ z ) = =

= = (2)
Từ (1),(2) ⇒ ∗ không có tính kết hợp.
Bài 4: Cho phép ⊕ trên ℝ x ℝ được xác định như sau

∀ (a,b) , (c, d) ∈ ℝ x ℝ , (a,b) ⊕ (c, d) = (a + c + 1975, b x d)
Tìm phần tử trung lập, phần tử đối xứng (nếu có) của phép ⊕
Bài làm
∀ (a,b) , (c, d) ∈ ℝ x ℝ , (a,b) ⊕ (c, d) = (a + c + 1975, b x d)
Ta có ( - 1975,1) là phần tử trung lập của phép toán ⊕ trên ℝ x ℝ vì
∀ (x, y) ∈ ℝ x ℝ ta có:
(x, y) ∗ (- 1975, 1) = x - ( -1975 + x + 1975, y x 1) = (x,y)
(-1975, 1) ⊕ (x, y) = (- 1975+x+1975, 1 x y) = (x,y)
(x', y') đối xứng của (x,y)
(x', y') ⊕ (x,y) = (- 1975, 1) ⇒ ( x' + x + 1975, y' x y) = (- 1975, 1)
⇒ ⇒

∀ (a, b) ∈ ℝ x ℝ ta có:
(-3950-a, ) là phần tử đối xứng của (a, b) qua ⊕ trên ℝ x ℝ vì (a, b) ⊕ (-3950-a, ) = a +
(-3950-a+1975, b x ) = (-1975,1)


Bài 1. Trên tập ℕ ta định nghĩa
m
⊗
n = m + n - 1 ,
∀
m, n
∈

ℕ
a) Tìm 2
⊗
1; 3
⊗
5 ; 1
⊗
4
b) Chứng minh rằng ( ℕ ,
⊗
) là một vị nhóm Abel
Bài làm
a) Tìm 2 ⊗ 1; 3 ⊗ 5 ; 1 ⊗ 4
+ 2 ⊗ 1= 2+1 - 1 =2
b) Chứng minh rằng ( , ⊗) là một nhóm Abel
- Tính giao hoán:
∀ x, y ∈ ℕ , ta có:
x ⊗y = x+y-1
⇒ x ⊗ y=y ⊗ x . Nên phép toán ⊗ có tính chất giao hoán.
Trang 5