Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng

Cách dựng khoảng cách từ 1 điểm H tới mặt phẳng (
α
)


Hướng Dẫn :

(H1) (H2)
(H3)
Bước 1 :
Tìm một đường thẳng
∆
đi H vuông góc với
(
β
) và cắt mặt phẳng (
α
) tại A (H1)
Bước 2 :
+) Qua H kẻ HB vuông góc vơi giao tuyến d của
(
α
) và (
β
) (HB
∩
d = B)
+) Nối B với A =>
( ),(1)
d HB
d ABH

d
⊥

=> ⊥

⊥ ∆

Bước 3: Kẻ HB
⊥
AB và chứng minh
( ,( )d H HK
α
=
Ta có :
(1)
( ) ( ,( ))
HK d do
HK d H HK
HK AB
α α
⊥

=> ⊥ => =

⊥


Một số bài tập không nằm trong trường hợp này(Thường là các đề thi đại học )
Tính chất : Khoảng cách từ
( ,( )) ; ( ,( ))d A AC d H HD

α α
= =
Tam giác ACE đồng dạng tam giác HDE
AC CE AE AC AE
HD HE HE HD HE
= = => =

( ,( ))
( ,( ))
d A AE
d H HE
α
α
=
(1)

2 2 2
1 1 1
(2)
AH AB AC
= =
Ví dụ 1 .

Khoảng cách từ điểm H đã tính được và đã biết tỉ
số
FI
HI
. Tính
( ,( )) ?d F
α

=
Giải :
Theo (1)
( ,( ))
( ,( ))
d F FI
d H HI
α
α
=
( ,( )) . ( ,( ))
FI
d F d H
HI
α α
=> =
Ví dụ 2 .
Cho hình chóp đều có đáy là hình vuông cạnh a . cạnh
3SO a=
.
M AD∈
,
, 3 ,W , W 4N SA SA NA SD S WD∈ = ∈ =
1. Tính khoảng cách
( )
,( ) ?d O SBC =
2. Tính khoảng cách
( )
,( ) ?d A SBC =
3. Tính khoảng cách

( )
,( ) ?d M SBC =
4. Tính khoảng cách
( )
,( ) ?d N SBC =
5. Tính khoảng cách
( )
W,( ) ?d SBC =
Giải :
1. Tính khoảng cách
( )
,( ) ?d O SBC =
Xem lại cách dựng và dễ dàng tính được khoảng
cách từ O đến mặt phẳng (SBC)
(Các bạn tự tính . Giả sử
( )
,( )d O SBC k=
)
2.Tính khoảng cách
( )
,( ) ?d A SBC =
(Xem ví dụ 1 . Vì khoảng cách từ O tới (ABC) bằng k )
( )
( )
( ) ( )
,( )
2 ,( ) 2 ,( ) 2
,( )
d A SBC
AC

d A SBC d O SBC k
d O SBC OC
= = ⇒ = =
3.Tính khoảng cách
( )
,( ) ?d M SBC =
Vì AD // (SBC) =>
( ) ( ) ( )
,( ) ,( ) ,( ) 2d M SBC d AD SBC d A SBC k= = =

4. Tính khoảng cách
( )
,( ) ?d N SBC =
( Từ điểm N mà tính khoảng cách thì rất khó , Quy điểm N về điểm O)
Ta đã có
( )
,( )d O SBC k=
nên ta =>
( )
,( )d A SBC
= 2k (Ở phần trên)
Ta cũng có
1
AS 3
NS
=

( )
( )
( ) ( )

,( )
1 1 2
,( ) ,( )
,( ) AS 3 3 3
d N SBC
NS k
d N SBC d A SBC
d A SBC
=> = = ⇔ = =
5.Tính khoảng cách
( )
W,( ) ?d SBC =
Ta có : Vì AD // (SBC)
( ) ( )
,( ) ,( ) 2d A SBC d D SBC k⇒ = =

5
DW 4
DS
=
;
( )
( )
( ) ( )
,( )
W 5 5
W,( ) . ,( ) 2
W,( ) W 4 2
d D SBC
SD S k

d SBC d D SBC k
d SBC S SD
= => = = =
Nhận xét : Các bài tính khoảng cách từ một A điểm tới mặt phẳng ta thường
làm như sau
1. Tìm một điểm H nào đó mà dễ tính khoảng cách nhất
( )
α
”Điểm này
thường là chân đường cao của hình chóp, hình trụ….”
2. Tìm một đường thẳng đi qua A và H đồng thời cắt
( )
α
tại I .=>
( )
( )
,( )
,( )
d H
HI
d A AI
α
α
=
(Đề bài chắc chắn sẽ cho biết tỉ số
HI
AI
)
(Bài tập : Các đề thi đại học đã thi)