Lý thuyết ôn tập toán 12

Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT
GIẢI TÍCH 12
I.KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1) Đạo hàm của các hàm số đơn giản :
( )
0
/
=
C
( )
1
/
=
x
( )
x
x
2
1
/
=
( )
1
/
−
=
nn
nxx
2) Các quy tắc tính đạo hàm :
( )
//

/
vuvu
+=+
a
( )
//
/
. uvvuvu
+=
2
//
/
v
uvvu
v
u
−
=






//
ukuk
=
,
Rk
∈

2
/
/
1
v
v
v
−=






2
/
/
.
v
v
k
v
k
−=







( )
///
/
uvwwuvvwuwvu
++=
2
/
11
x
x
−=






( )
2
/
dcx
bcad
dcx
bax
+
−
=







+
+
k
u
k
u
/
/
=






,
Rk
∈
xux
uyy
///
.=
(Đạo hàm của hàm số hợp )
3)Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản:
Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm của các hàm số hợp (
( )

xuu
=
)
( )
1
/
.
−
=
αα
α
xx
( )
/1
/
uuu
−
αα
α
2
/
11
x
x
−=







2
/
/
1
v
v
v
−=






( )
x
x
2
1
/
=
( )
u
u
u
2
/
/
=

( )
xx cossin
/
=
( )
uuu cos.sin
/
/
=
( )
xx sincos
/
−=
( )
uuu sin.cos
/
/
−=
( )
x
x
x
2
2
/
tan1
cos
1
tan
+==

( )
( )
uu
u
u
u
2/
2
/
/
tan1
cos
tan +==
( )
( )
x
x
x
2
2
/
cot1
sin
1
cot
+−=−=
( )
( )
uu
u

u
u
2/
2
/
/
cot1.
sin
cot +−=−=
( )
/
x x
e e
=
( )
/
/
.
u u
e u e
=
( )
aaa
xx
ln.
/
=
( )
auaa
uu

ln
/
/
=
( )
x
x
1
ln
/
=
( )
u
u
u
/
/
ln =
( )
ax
x
a
ln.
1
log
/
=
( )
au
u

u
a
ln.
log
/
/
=
4) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số :
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba :
dcxaxaxy +++=
23

( )
0
≠
a
- TXĐ :
RD
=
- Tính đạo hàm
/
y
; giải phương trình
0
/
=
y
tìm
yx
⇒

- Tính giới hạn :nếu
0
>
a

lim
x
y
→+∞
= +∞
;
lim
x
y
→ −∞
= −∞
; nếu
0
<
a
lim
x
y
→ +∞
= −∞
;
lim
x
y
→ −∞

= +∞
,
1
Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT
- Lập bảng biến thiên ( xét dấu
/
y
), suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến ,điểm cực đại ,cực tiểu của
hàm số.
- Đồ thị :
+ Cho các điểm lân cận của điểm cực đại , cực tiểu .
+ Vẽ đồ thị :Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị . Đồ thị của hàm số có một tâm đối xứng .
Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba:
dcxaxaxy +++=
23

( )
0
≠
a
Nếu
0
>
a
Nếu
0
<
a
Nếu phương trình
0

/
=
y
có 2
nghiệm phân biệt
21
; xx
+ Hàm số có hai cực trị
+ Hàm số có 1 điểm uốn

y

2
x

1
x

x

y

2
x

1
x

x
Nếu phương trình

0
/
=
y
có
nghiệm kép
21
xxx
==
+ Hàm số có không có cực trị
+ Hàm số có 1 điểm uốn

y

x

y

x
Nếu phương trình
0
/
=
y
vô
nghiệm
+ Hàm số có không có cực trị
+ Hàm số có 1 điểm uốn

y

x

y

x
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương :
cbxaxy ++=
24

( )
0
≠
a
- TXĐ :
RD
=
- Tính đạo hàm
/
y
; giải phương trình
0
/
=
y
tìm
yx
⇒
- Tính giới hạn : nếu
0

>
a

lim
x
y
→+∞
= +∞
;
lim
x
y
→−∞
= +∞
; nếu
0
<
a

lim
x
y
→+∞
= −∞
;
lim
x
y
→−∞
= −∞

- Lập bảng biến thiên (xét dấu
/
y
), suy ra khoảng đồng biến ,nghịch biến; điểm cực đại ,cực tiểu của
hàm số
- Đồ thị :
+ Cho các điểm lân cận của điểm cực đại , cực tiểu .
+ Vẽ đồ thị :Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị . Đồ thị của hàm số đối xứng qua trục
Oy
.
2
O O
O
O
O
O
Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT
Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn:
cbxaxy ++=
24

( )
0
≠
a
Nếu
0
>
a

Nếu
0
<
a
Nếu phương trình
0
/
=
y
có 3
nghiệm phân biệt
1 2 3
; ;x x x
.
+ Hàm số có ba cực trị

y

1
x

3
x

x

y

1
x

3
x

x
Nếu phương trình
0
/
=
y
có 1
nghiệm
0
=
x
+ Hàm số có không có cực trị

y

x


y

x

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm phân thức :
dcx
bax
y

+
+
=
,
( )
0,0
≠−≠
bcada
- TXĐ :






−=
c
d
RD \

c
d
xy
−≠∀>
;0
/
, nếu
0
>−
bcad

- Tính đạo hàm
( )
2
/
dcx
bcad
y
+
−
=

c
d
xy −≠∀< ;0
/
, nếu
0
<−
bcad
- Tính giới hạn và kết luận các đường tiệm cận :
lim
x
a
y
c
→+∞
=
;
lim
x

a
y
c
→−∞
=
c
a
y
=⇒
là tiệm cận ngang
Nếu
c
d
xy
−≠∀>
;0
/
thì
+∞=
−
−→
c
d
x
ylim
và
−∞=
+
−→
c

d
x
ylim
Nếu
c
d
xy −≠∀< ;0
/
thì và
−∞=
−
−→
c
d
x
ylim
+∞=
+
−→
c
d
x
ylim
- Lập bảng biến thiên :
Nếu
c
d
xy
−≠∀>
;0

/


3
x
∞−

c
d
−

∞+

/
y
+ +
y

c
a

∞+

c
a


∞−

O

O
O
là tiệm cận đứng
O
Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT

Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng
; à ;
d d
v
c c
   
−∞ − − +∞
 ÷  ÷
   
và không có cực trị .
Nếu
c
d
xy −≠∀< ;0
/
Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng
; à ;
d d
v
c c
   
−∞ − − +∞
 ÷  ÷
   

và không có cực trị .
- Cho điểm đặc biệt :
+ Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung (nếu có): Cho
d
b
yx
=⇒=
0
+ Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành (nếu có): Cho
a
b
xbaxy
−=⇔=+⇔=
00
- Vẽ đồ thị :
+ Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị .
+ Đồ thị gồm hai nhánh đối xứng nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận hay điểm






−
c
a
c
d
I ;
.

+Ta vẽ hai đường tiệm cận trước , rồi vẽ 2 nhánh riêng biệt đối xứng nhau qua
I
.
Các dạng đồ thị của hàm phân thức :
dcx
bax
y
+
+
=
,
( )
0,0
≠−≠
bcada
4
x
∞−

c
d
−

∞+

/
y

y
c

a

∞−

+∞

c
a

Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT
5) Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số :
a) Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số
m
số nghiệm của phương trình cho trước
( )
0,
=
mxg

( )
1
Cách giải :
+ Đưa phương trình
( )
1
về dạng :
( )
BAmxf
+=
, trong đó

( )
xfy
=
là đồ thị
( )
C
đã vẽ và
BAmy
+=

( )
d
là đường thẳng song song hoặc trùng với trục
Ox
.
+ Số nghiệm của phương trình
( )
1
là số hoành độ giao điểm của đồ thị
( )
C
và
( )
d
+ Dựa vào đồ thị biện luận (có 5 trường hợp ), thường dựa vào
CĐ
y
và
CT
y

của hàm số để biện luận .
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
( )
xfy
=
tại điểm
( ) ( )
CyxM ∈
00
;
Cách giải : Phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
xfy
=
tại điểm
( ) ( )
CyxM ∈
00
;
có dạng
:
5
/
0y
<

/

0y
>

y

x

c
d
x −=

y


O

x

c
a
y
=


c
a
y
=
Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT

( ) ( )
/
0 0 0
y f x x x y
= − +
( )
2
. Thế
( )
0
/
00
;; xfyx
đã cho hoặc vừa tìm vào
( )
2
ta được tiếp tuyến cần
tìm.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
( )
xfy
=
biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước:
Cách giải : Phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
xfy
=

có dạng :
( )
0 0
y k x x y
= − +

( )
3
Gọi
( )
0 0
;M x y
là tọa độ tiếp điểm . Do tiếp tuyến có hệ số góc k nên
( )
/
0
f x k
=
, giải phương trình tìm
được
( )
000
xfyx =⇒
.Suy ra phương trình tiếp tuyến (3)
d) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
xfy

=

biết tiếp tuyến song song hoặc
vuông góc với
một đường thẳng cho trước.
Cách giải : Phương trình tiếp tuyến có dạng :
( )
0 0
y k x x y
= − +

( )
4

Gọi
( )
0 0
;M x y
là tọa độ tiếp điểm .
+ Nếu tiếp tuyến song song với đthẳng
baxyd
+=
:
thì
( )
axf
=
0
/
, giải pt tìm được

( )
000
xfyx =⇒
.
Kết luận phương trình tiếp tuyến .
+ Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
baxyd
+=
:
thì
( ) ( )
a
xfaxf
1
1.
0
/
0
/
−=⇔−=
.
Giải phương trình này tìm được
( )
000
xfyx =⇒
. Kết luận phương trình tiếp tuyến .
e) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
xfy
=

trên đoạn
[ ]
ba;
:
Cách giải :
+ Tính
( )
xf
/
, giải phương trình
( )
0
0
/
=
xf
tìm nghiệm
[ ]
bax ;
0
∈
; Tính các giá trị :
( )
af
;
( )
0
xf
;
( )

bf
+ Kết luận :
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
0
;
(f ) ; ;
ax
a b
x max f a f x f b
m
=
;
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
0
;
f ; ;
a b
M in x Min f a f x f b
=
f) Tìm tham số
m
để hàm số
( )
xfy
=
có cực trị (cực đại, cực tiểu ):

Cách giải : + Tính đạo hàm
/
y
, tính
∆
hoặc
/
∆
của
/
y
.
+ Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì phương trình
0
/
=
y
có hai nghiệm phân biệt
{
m
a
⇒⇔
≠
>∆
0
0
g) Tìm tham số
m
để hàm số
( )

xfy
=
đạt cực trị tại
0
xx
=
:
Cách giải : + Tính đạo hàm
( )
xfy
//
=
;
+ Hàm số đạt cực trị tại
0
xx =
( )
mxf
⇒⇔
0
/
h) Tìm tham số
m
để hàm số
( )
xfy
=
đạt cực đại tại
0
xx =

:
Cách giải :+ Tính đạo hàm
( )
xfy
//
=
; + Tính đạo hàm
( )
xfy
////
=
;
+ Hàm số đạt cực đại tại
0
xx =
( )
( )
{
m
xf
xf
⇒⇔
=
<
0
0
0
/
0
//

i) Tìm tham số
m
để hàm số
( )
xfy
=
đạt cực tiểu tại
0
xx =
:
Cách giải : + Tính đạo hàm
( )
xfy
//
=
; + Tính đạo hàm
( )
xfy
////
=
+ Hàm số đạt cực tiểu tại
0
xx
=

( )
( )
{
m
xf

xf
⇒⇔
=
>
0
0
0
/
0
//
6
Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT
k) Tìm tham số
m
để hàm số
( )
xfy
=
ln đồng biến hoặc nghịch biến trên TXĐ
D
của nó.
Cách giải : + Tìm MXĐ
D
của hàm số
( )
xfy
=
. + Tính đạo hàm
( )
xfy

//
=
, tính
∆
hoặc
/
∆
của
/
y
.
+ Hàm số
( )
xfy
=
đồng biến trên
D
{
mDxy
a
⇒⇔∈∀≥⇔
>
≤∆
0
0
/
0
+ Hàm số
( )
xfy

=
nghịch biến trên
D
{
mDxy
a
⇒⇔∈∀≤⇔
<
≤∆
0
0
/
0
l) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của hàm số
( )
xfy
=
Cách giải 1 : + Tìm điểm cực đại
( )
AA
yxA ;
và điểm cực tiểu
( )
BB
yxB ;
của hàm số
( )
xfy
=
+ Viết phương trình đường thẳng

AB
A
AB
A
yy
yy
xx
xx
AB
−
−
=
−
−
:
Cách giải 2 : Cho hàm số bậc ba
( )
xfy
=

+Tính y’. Viết lại
( ) ( )
'. xy y g h x= +
.Gọi
1 2
,x x
lần lượt là hai điểm cực trị, ta có
( ) ( )
1 2
' 0; ' 0y x y x= =

.
+ Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
( )
y h x=
.
Cho hàm số hữu tỷ
( )
( )
f x
y
g x
=
,
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
( )
( )
'
'
f x
y
g x
=
.
II . LŨY THỪA, LƠGARIT, PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT
1. Tính chất của lũy thừa:
Với
0; 0a b≠ ≠
và với các số ngun m, n ta có:
1.
.

m n m n
a a a
+
=
; 2.
m
m n
n
a
a
a
−
=
; 3.
( )
n
m mn
a a=
4.
( )
.
n
n n
ab a b=
; 5.
n
n
n
a a
b b

 
=
 ÷
 
Cho
,m n
là những số ngun: Với
0a >
thì
m n
a a m n
> ⇔ >
; Với
0 1a< <
thì
m n
a a m n
> ⇔ <
2. Lơgarit:
1. Định nghĩa:
log
log 1 0;log 1
log ,
, , 0
a
a a
b
a
b
a

a b b
a b b b
= =
= ∀ ∈
∀ ∈ >
¡
¡
2. So sánh hai logarit cùng cơ
số
a. Khi
1
α
>
thì
log logb c b c
α α
> ⇔ >
b. Khi
0 1
α
< <
thì
log logb c b c
α α
> ⇔ <
3. Các quy tắc tính lơgarit:
( )
log log log
a a a
bc b c= +

log log log
a a a
b
b c
c
 
= −
 ÷
 
log log
a a
b b
α
α
=
4. Với số
a
dương khác 1, số dương
b
và số
ngun dương
n
, ta có:
1
log log
a a
b
b
= −
;

1
log log
n
a a
b b
n
=
;
1
log
log
a
b
b
a
=
;
log .log 1
a b
b a =
5. Với
,a b
là số dương khác 1 và
c
là số
dương,
ta có:
log
log
log

a
b
a
c
c
b
=
hay
log .log log
a b a
b c c=
3. Gỉai phương trình mũ và lơgarit :
• Dạng cơ bản:
1.
f (x)
a
=
g(x)
a
⇔ f(x) = g(x) ; 2.
f (x)
a
= b ( với b > 0 ) ⇔ f(x) = log
a
b
3. log
a
f(x) = log
a
g(x) ⇔

f (x) 0
f (x) g(x)
>
=



4.
log f (x) b
a
0 a 1
=
< ≠



⇔ f(x) =
b
a
;
• Đặt ẩn phụ :
7
Lý thuyt ễn Thi Mụn Toỏn THPT
1.
2f (x)
a
+.
f (x)
a
+ = 0 ; ẹaởt : t =

f (x)
a
, t > 0; 2.
b f(x)
a
+
+.
b f (x)
a

+ = 0 ; ẹaởt : t =
f (x)
a
, t > 0
Lụgarit hoaự hai veỏ :
4. Gii bt phng trỡnh m v lụgarit
1.
f (x)
a
>
g(x)
a

f (x) g(x) khi a 1
f (x) g(x) khi 0 a 1
> >
< < <

;
2.
f (x)
a
> b Neỏu b > 0 f(x) > log
a
b neỏu a > 1; f(x) < log
a
b neỏu 0 < a < 1
4. log
a
f(x) > log
a
g(x) (*) ẹk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a 1 . a>1, (*) f(x) > g(x) ; 0<a<1, (*)
f(x) < g(x)
5. log
a
f(x) > b . Neỏu a > 1 : bpt laứ f(x) >
b
a
. Neỏu 0 < a < 1 bpt laứ 0 < f(x) <
b
a
5. th hm s m- lụgarit

III .NGUYấN HM, TCH PHN
1. Nguyờn hm
Cụng thc nguyờn hm ca cỏc hm s s cp Mt s cụng thc m rng
1.
0dx C=

; 2.
1dx dx x C= = +

3.
1
1
x
x dx C



+
= +
+

( )
1


; 4.
1
lndx x C
x
= +

5.
sin cosxdx x C= +

; 6.

cos sin ;xdx x C= +

7.
2
1
tan ;
cos
dx x C
x
= +

8.
2
1
cot .
sin
dx x C
x
= +

9.
ln
x
x
a
a dx C
a
= +

,

( )
0 1 ;a<
10.
;
x x
e dx e C= +


11.
( )
( )
( )
1
1
ax b
ax b dx C
a



+
+
+ = +
+


( )
1

; 12.
ln
1
ax b
dx C
ax b a
+
= +
+

13.
( )
( )
cos
sin
ax b
ax b dx C
a
+
+ = +

14
( )
( )
sin
cos
ax b
ax b dx C
a
+

+ = +

15.
( )
( )
2
tan
1
;
cos
ax b
dx C
ax b a
+
= +
+

16.
( )
( )
2
cot
1
.
sin
ax b
dx C
ax b a
+
= +

+

17.
( )
;
ax b
ax b
e
e dx C
a
+
+
= +

2. Tớch phõn
a/. Tớnh cht: Gi s cỏc hm s
,f g
liờn tc trờn
K
v
, ,a b c
l ba s bt kỡ thuc
K
. Khi ú ta
cú:
8
Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT
1.
( )
0

a
a
f x dx
=
∫
2.
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
= −
∫ ∫
3.
( ) ( ) ( )
b c c
a b a
f x dx f x dx f x dx+ =
∫ ∫ ∫
4.
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
 
+ = +
 
∫ ∫ ∫
5.
( ) ( )
b b

a a
kf x dx k f x dx=
∫ ∫
( với
.k ∈¡
)
b/ Phương pháp đổi biến số:
( ) ( ) ( )
( )
( )
'
b u b
a u a
f u x u x dx f u du
 
=
 
∫ ∫
Trong đó:
( )
u u x=
có đạo hàm liên tục trên
K
, hàm số
( )
y f u=
liên tục và sao cho hàm hợp
( )
f u x
 

 
xác định trên
K
;
a
và
b
là hai số thuộc
K
.
c/ Phương pháp tích phân từng phần:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
' | '
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x v x u x dx
= −
∫ ∫
Hay
|
b b
b
a
a a
udv uv vdu= −
∫ ∫

Trong đó các hàm số
,u v
có đạo hàm liên tục trên
K
và
,a b
là hai số thuộc
K
d/ Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng.
+ Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi:
( ) ( )
:
: 0
2 : ;
C y f x
Ox y
dt x a x b

=

=


= =

là
( )
b
a
S f x dx=

∫
+ Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi:
( ) ( )
( ) ( )
1
2
:
:
2 : ;
C y f x
C y g x
dt x a x b

=

=


= =

là
( ) ( )
b
a
S f x g x dx= −
∫
e/ Ứng dụng của tích phân để tính thể tích vật thể tròn xoay
+ Thể tích khối tròn xoay được tạo nên do hình phẳng được giới hạn bởi:
( ) ( )
:

: 0
2 : ;
C y f x
Ox y
dt x a x b

=

=


= =

quay quanh trục hoành là:
( )
2
b
a
V f x dx
π
 
=
 
∫
+ Thể tích khối tròn xoay được tạo nên do hình phẳng được giới hạn bởi:
( ) ( )
:
: 0
2 : ;
C x g y

Oy x
dt y a y b

=

=


= =

quay quanh trục tung là:
( )
2
b
a
V g y dy
π
 
=
 
∫
IV. SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC.
A. SỐ PHỨC (DẠNG ĐẠI SỐ)
1/ Số i: qui ước
2
1i = −
; Tập số phức:
£
;
2/ Số phức dạng đại số : z =

a bi+
( trong đó: a là phần thực, b là phần ảo a, b là các số thực, i là
đơn vị ảo )
3/ Số phức bằng nhau: Cho
1 1 1 2 2 2
, zz a b i a b i= + = +
:
1 2
1 2
1 2
= z
a a
z
b b
=

⇔

=

4/ Biểu diễn hình học số phức: Điểm M biểu diễn cho số phức
z a bi
= +
:
( ) ( ) ( )
; M a b hay M a bi hay M z+
5/ Cộng, trừ, nhân hai số phức: Cho
1 1 1 2 2 2
, zz a b i a b i= + = +
a/

( ) ( )
1 2 1 2 1 2
z z a a b b i+ = + + +
; b/
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
z z a a b b i− = − + −
; c/
( )
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
.z z a a b b a b a b i= − + +
6/ Số phức liên hợp của
z a bi
= +
là:
z a bi a bi= + = −
( Chú ý:
z z=
)
9
Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT
7/ Môđun của số phức
z a bi
= +
:
2 2
z a b= +
;
8/ Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số:
1

2
1
z z
z
−
=
9/ Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn
2
z w=
được gọi là một căn
bậc hai của w.
a/ w là số thực: + Căn bậc hai của 0 là 0
+
0a >
: có 2 căn bậc hai là
à -a v a
;
+
0a <
: có 2 căn bậc hai là
à - a i v a i− −
. Chú ý: Hai căn bậc hai của -1 là i và -i
b/ w là số phức:
( )
, ; 0w a bi a b b= + ∈ ≠¡
:

( )
,z x yi x y= + ∈¡
là căn bậc hai của w khi và chỉ khi:

( )
2
2
z w x yi a bi= ⇔ + = +

Do
( )
2
2 2
2x yi x y xyi+ = − +
nên
2 2
2
2
x y a
z w
xy b

− =
= ⇔

=

Mỗi cặp số thực
( )
;x y
nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai z =
x yi+
của số
phức w.

10/ Phương trình bậc hai:
( )
2
0 1 ,( 0; , ,Az Bz C A A B C+ + = ≠
là những số phức). Xét
2
4B AC∆ = −
+ Nếu
0
∆ ≠
, (1) có 2 nghiệm phân biệt:
1 2
,
2 2
B B
z z
A A
δ δ
− + − −
= =
,(với
δ
là một căn bậc hai của
∆
)
+ Nếu
0∆ =
, (1) có nghiệm kép:
1 2
2

B
z z
A
= = −
Chú ý: Nếu
∆
là số thực dương, (1) có 2 nghiệm:
1 2
,
2 2
B B
z z
A A
− + ∆ − − ∆
= =
.
Nếu
∆
là số thực âm, (1) có 2 nghiệm:
1 2

,
2 2
B i B i
z z
A A
− + −∆ − − −∆
= =
.
B. SỐ PHỨC DẠNG LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG

ϕ
1/ Acgumen của số phức z: Số đo ( radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được
gọi là một acgumen
của z,
ϕ
một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng:
2k
ϕ π
+

2/ Dạng lượng giác của số phức:
( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +
, ( trong đó
r z=
;
ϕ
một acgumen của z )
3/ Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác:
Nếu
( ) ( )
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
cos sin ; cos sin , ( 0, 0)z r i z r i r r
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + = + ≥ ≥
Thì
( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2

cos sinz z r r i
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + + + 
 
;
( ) ( )
1 1
1 2 1 2 2
2 2
cos sin ( 0)
z r
i khi r
z r
ϕ ϕ ϕ ϕ
= − + − > 
 
4/ Công thức Moa-vrơ và ứng dụng: a/ Công thức Moa-vrơ:
( ) ( )
cos sin cos sin
n
n
r i r n i n
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ = +
 
 
b/ Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:

( )
cos sinz r i

ϕ ϕ
= +
có 2 căn bậc 2 là:
1
cos sin
2 2
z r i
ϕ ϕ
 
= +
 ÷
 
;
2
cos sin cos sin
2 2 2 2
z r i r i
ϕ ϕ ϕ ϕ
π π
 
     
= − + = + + +
 ÷  ÷  ÷
 
     
 
HÌNH HỌC 12
I. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. Khối chóp: Thể tích
1

3
V =
S
đ
.h , với h: chiều cao,
S
ñ
: diện tích đáy.
10
O
b
a
M
x
y
Khối chóp có một cạnh bên
vuông góc với đáy.
h
Khối tứ diện đều
h
Khối chóp có một cạnh
bên vuông với đáy là
hình bình hành
h
Khối chóp đều.
h
h
Khối chóp có đáy là
một tam giác bất kì
h

Khối chóp có đáy
là một tứ giác
Trường hợp đáy là
một hình thang
h
Khối chóp đáy là hình
thang có cạnh bên
vuông góc với đáy.
h
h
Khối chóp có
đáy là một hình
thang cân
h
Khối chóp có đáy
là một hình thang
vuông
Diện tích hình tròn:
2
S R
π
=
(với R là bk)
Chu vi đường tròn:
2 R
π
Diện tích xung quanh của hình nón: S
xq
=
rl

π
( với l là đường sinh)
Diện tích toàn phần của hình nón: S
tp
= S
xq
+ S
đ
Thể tích của khối nón:
1
3
V =
S
đ
.h , (với h là chiều cao).
Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT




2. Khối lăng trụ: Thể tích
V =
S
đ
. h ,với h là chiều cao,
S
ñ
là diện tích đáy
3. Khối nón:

4. Khối trụ:
* Diện tích hình tròn:
2
S R
π
=
(với R là bk)
* Chu vi đường tròn:
2 R
π
* Diện tích xung quanh của hình trụ:
2
xq
S Rh
π
=
( với h là chiều cao và h= l là đường sinh)
* Diện tích toàn phần của hình trụ: S
tp
= S
xq
+ 2S
đ
* Thể tích của khối trụ:
V =
S
đ
.h
5. Khối cầu: a. Diện tích mặt cầu:
2

4S R
π
=
; b. Thể tích khối cầu:
3
4
3
V R
π
=
6. Diện tích các đa giác cần nhớ:
a.
ABC
∆
vuông ở A :
1
S= AB.AC
2
; b.
ABC
∆
đều cạnh a: diện tích
2
a 3
S=
4
; đường cao:
a 3
h=
2

c. Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh; d. Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng
e. Diện tích hình thoi : S =
1
2
(chéo dài x chéo ngắn); f. Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao
g. Diện tích hình thang :
1
2
S =
[(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao]; h. Diện tích hình tròn :
2
S .R
π
=
11
R
H
h
B
S
A
R
h
h
R
h
h
c
b
a

h
Khối hộp
( các mặt đều là hình
bình hành).
Khối hộp chữ nhật
Khối lập phương
Khối lăng trụ có đáy là
một tam giác bất kì.
h
Khối lăng trụ đứng có
đáy là một tam giác
bất kì.
h
Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT
II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1: TỌA ĐỘ VECTƠ - TỌA ĐỘ ĐIỂM
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
' ' ' ' ' '
' ' '
' ' '
1.Cho ; ; ; ; ; : ; ; ; ; ;
2.Cho ; ; ; ; ; ; cùng
u x y z v x y z u v x x y y z z k u kx ky kz
x y z
u x y z v x y z u v u kv k
x y z

= = ± = ± ± ± =
= = ⇔ = ⇔ = = =
r r r r r
r r r ur r r
phöông
3.Nếu điểm
( )
; ;
M M M
M x y z
chia đoạn AB ; 4. Nếu
( )
; ;
I I I
I x y z
là trung điểm
theo tỉ số
1k
≠
thì
1
1
1
A B
M
A B
M
A B
M
x kx

x
k
y ky
y
k
z kz
z
k
−

=

−

−

=

−

−

=

−

của đoạn AB thì:
2
2
2

A B
I
A B
I
A B
I
x x
x
y y
y
z z
z
+

=


+

=


+

=


5. Nếu
( )
; ;

G G G
G x y z
là trọng tâm ; 6. Nếu
( )
; ;
E E E
E x y z
là trọng tâm
của tam giác ABC thì :
3
3
3
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
z z z
z
+ +

=


+ +


=


+ +

=


tứ diện ABCD thì:
4
4
4
A B C D
E
A B C D
G
A B C D
G
x x x x
x
y y y y
y
z z z z
z
+ + +

=



+ + +

=


+ + +

=


BÀI 2: TÍCH VÔ HƯỚNG – TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG.
Cho
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
; ; ; ; ;a x y z b x y z= =
r r
1. Tích vô hướng của hai vectơ:
1 2 1 2 1 2
. . . .a b x x y y z z
= + +
r r
là một số thực;
1 2 1 2 1 2
0a b x x y y z z
⊥ ⇔ + + =
r r
2. Độ dài vectơ:
2 2 2
1 1 1
a x y z

= + +
r
3.
( )
; ;
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −
uuur
;
( ) ( ) ( )
2 2 2
B A B A B A
AB x x y y z z
= − + − + −
(khoảng cách giữa hai điểm A và
B)
4.Bình phương vô hướng:
2
2
2 2 2
1 1 1
a a x y z
= = + +
r r
5.Góc giữa hai vectơ: Gọi
ϕ
là góc giữa hai vectơ
a
r
và

b
r
thì
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
.
os
.
.
x x y y z za b
c
a b
x y z x y z
ϕ
+ +
= =
+ + + +
r r
r r
6.Tích có hướng của hai vectơ:
+Định nghĩa:
( )
1 1 1 1 1 1
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
, ; ; . . ; . . ; . .
y z z x x y
a b y z y z z x z x x y x y
y z z x x y

 
 
= = − − −
 ÷
 
 
r r
là một vectơ.
+Tính chất:
+.
, ; ,a b a a b b
   
⊥ ⊥
   
r r r r r r
; +.
a
r
cùng phương với
b
r
khi và chỉ khi
, 0a b
 
=
 
r r r
+.
, . sina b a b
ϕ

 
=
 
r r r r
(
ϕ
là góc giữa hai vectơ
a
r
và
b
r
)
7.Diện tích tam giác ABC là:
1
,
2
ABC
S AB AC
 
=
 
V
uuur uuur
8.Ba vectơ
a
r
,
b
r

,
c
r
đồng phẳng khi và chỉ khi:
, . 0a b c
 
=
 
r r r
Hệ quả: Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi và chỉ khi:
, . 0AB AC AD
 
≠
 
uuur uuur uuur
12
Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT
9.Thể tích của khối hộp ABCD. A’B’C’D’:
, . 'V AB AD AA
 
=
 
uuur uuur uuur
( AB,AD, AA’ là 3 cạnh xuất phát từ
đỉnh A)
10.Thể tích của khối tứ diện ABCD là:
1
, .
6
V AB AC AD

 
=
 
uuur uuur uuur

BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
và có vectơ pháp tuyến
( )
; ;n A B C=
r
là:

( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z
− + − + − =
Hay
2 2 2
0 ,( 0)Ax By Cz D A B C+ + + = + + ≠
2. Phương trình của các mặt phẳng tọa độ :
+ Mặt phẳng (Oxy): z = 0; + Mặt phẳng (Oyz): x = 0; + Mặt phẳng (Oxz): y = 0
Chú ý: mp
( )

α
2 2 2
0 ,( 0)Ax By Cz D A B C+ + + = + + ≠
. Nếu
( ) ( )
/ /
β α
thì
( ) ( )
: ' 0 'Ax By Cz D D D
β
+ + + = ≠
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
Phương trình đường thẳng:
Đường thẳng d đi qua
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
và có vectơ chỉ phương
( )
; ;u a b c=
r
. Khi đó:
a. Phương trình tham số của đường thẳng d:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct

= +


= +


= +

( )
t R
∈
b. Phương trình chính tắc của đường thẳng là:
( )
0 0 0
. . 0
x x y y z z
a b c
a b c
− − −
= = ≠
BÀI 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG, GIỮA ĐƯỜNG THẲNG- MẶT
PHẲNG
1. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng: Cho 2 mp
( ) ( )
: 0; : ' ' ' ' 0Ax By Cz D A x B y C z D
α β
+ + + = + + + =
+
( )
α

cắt
( )
β

⇔
: : ': ': 'A B C A B C
≠
( Hai vectơ không cùng phương ).
+
( ) ( )
/ /
' ' ' '
A B C D
A B C D
α β
⇔ = = ≠
+
( ) ( )
' ' ' '
A B C D
A B C D
α β
≡ ⇔ = = =
2. VTTĐ giữa hai đường thẳng :
PP1:
Bước 1: Giải hệ pt hai đường thẳng d
1
và d
2
:

+ Hệ có 1 nghiệm
⇒
d
1
cắt d
2
; + Hệ có vô số nghiệm
⇒
d
1

≡
d
2
; + Hệ vô nghiệm ta có bước
2:
Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương
1
u
ur
của đường thẳng d
1
và vectơ chỉ phương
2
u
uur
của đường thẳng d
2
+Nếu
1

u
ur
cùng phương
2
u
uur
thì d
1
// d
2

; + Nếu
1
u
ur
kh ông cùng phương
2
u
uur
thì d
1
chéo d
2
PP2: Tìm vectơ chỉ phương
1
u
ur
của đường thẳng d
1
và vectơ chỉ phương

2
u
uur
của đường thẳng d
2
TH1: Nếu
1
u
ur
cùng phương
2
u
uur
th ì ta tìm
1 1
M d∈
+ Nếu
1 2 1 2
/ /M d d d∉ ⇒
; + Nếu
1 2 1 2
M d d d∈ ⇒ ≡
TH2: Nếu
1
u
ur
không cùng phương
2
u
uur

thì ta tìm
1 1
M d∈
v à
2 2
M d∈
13
Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT
+ Nếu
1 2 1 2
, . 0u u M M
 
= ⇒
 
ur uur uuuuuur
d
1
cắt d
2
; + Nếu
1 2 1 2
, . 0u u M M
 
≠ ⇒
 
ur uur uuuuuur
d
1
và d
2

chéo nhau.
Ghi chú: 1.Đường thẳng
1 2 1 2
. 0d d u u
⊥ ⇔ =
ur uur
2.Để chứng minh d
1
và d
2
chéo nhau ta chứng minh:
1 2 1 2
, . 0u u M M
 
≠
 
ur uur uuuuuur
3. Vị trí giữa đường thẳng và mặt phẳng : Cho đường thẳng
∆
đi qua
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
và có vectơ chỉ
phương
( )
; ;u a b c=
r
và mặt phẳng
( )

: 0Ax By Cz D
α
+ + + =
có vectơ
( )
; ;n A B C
=
r
a.
( )
( )
( )
0
. 0
/ /
u n u n
M
α
α

= ⊥

∆ ⇔

∉


r r r r
; b.
( )

( )
( )
0
. 0u n u n
M
α
α

= ⊥

∆ ⊂ ⇔

∈


r r r r
; c.
∆
cắt
( )
α
. 0u n
⇔ ≠
r r
* Chú ý:
( )
, 0u kn u n
α
 
∆ ⊥ ⇔ = ∨ =

 
r r r r r
BÀI 6: KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
đến mp
( )
: 0Ax By Cz D
α
+ + + =
là:

( )
( )
0 0 0
0
2 2 2
;
Ax By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +
2. Một số dạng toán về khoảng cách :
a. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng
∆

đi qua điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
có vectơ chỉ phương
u
r
:
( )
0
,
,
u M M
d M
u
 
 
∆ =
r uuuuuur
r
b.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
1
∆
và
2
∆
.
1
∆
đi qua điểm M

1
và có vectơ chỉ phương
1
u
r
;
2
∆
đi qua điểm
M
2
và có vectơ chỉ phương
2
u
r
là:
( )
1 2 1 2
1 2
1 2
, .
,
,
u u M M
d
u u
 
 
∆ ∆ =
 

 
ur uur uuuuuur
ur uur
c.Cho đường thẳng
( )
/ /
α
∆
thì
( )
( )
( )
( )
, ,d d M
α α
∆ =
, với
( )
M
∈ ∆
d.Cho mp
( ) ( )
/ /
α β
thì
( ) ( )
( )
( )
( )
, ,d d M

α β β
=
, với
( )
M
α
∈
e.Chiều cao h của hình chóp S. ABCD:
( )
( )
,h d S ABCD
=
BÀI 7: GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng : Cho hai đường thẳng
1
∆
và
2
∆
lần lượt có các vectơ chỉ phương là
( ) ( )
1 1 1 1 2 2 2 2
; ; , ; ;u a b c u a b c= =
ur uur
. Gọi
( )
¼
1 2
,
ϕ

= ∆ ∆

( )
1 2 1 2 1 2
1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
os os ,
.
a a b b c c
c c u u
a b c a b c
ϕ
+ +
= =
+ + + +
ur uur
. Chú ý:
1 2 1 2
. 0u u
∆ ⊥ ∆ ⇔ =
ur uur
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : Cho đhẳng
∆
có VTCP
( )
; ;u a b c
=
uur
và mp

( )
α
có VTPT
( )
; ;n A B C
=
r

( )
2 2 2 2 2 2
sin os ,
.
Aa Bb Cc
c u n
A B C a b c
ϕ
+ +
= =
+ + + +
r r
(
ϕ
l à góc giữa đường thẳng
∆
và mp (
∆
))
3. Góc giữa hai mặt phẳng :
Cho hai mp
( )

: 0Ax By Cz D
α
+ + + =
có VTPT
( )
; ;n A B C=
r
và
( )
: ' ' ' ' 0A x B y C z D
β
+ + + =
có vectơ
pháp tuyến
14
Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT

( )
' '; '; 'n A B C=
r
là:
( )
2 2 2 2 2 2
' ' '
os os , '
. ' ' '
AA BB CC
c c n n
A B C A B C
ϕ

+ +
= =
+ + + +
r ur
BÀI 8: MẶT CẦU
a. Phương trình mặt cầu (S) :
1. Dạng 1 : Mặt cầu (S) tâm
( )
; ;I a b c
; bán kính R có pt là:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c R
− + − + − =
2. Dạng 2 : Pt
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 0 0x y z ax by cz D a b c D
+ + − − − + = + + − >
, tâm
( )
; ;I a b c
, bán kính
2 2 2
R a b c D
= + + −
b. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu :
Cho mặt cầu (S):
( ) ( ) ( )

2 2 2
2
x a y b z c R
− + − + − =
và mp
( )
: 0Ax By Cz D
α
+ + + =
• Nếu
( )
( )
,d I R
α
>
thì mp
( )
α
không cắt mặt cầu (S).
• Nếu
( )
( )
,d I R
α
=
thì mp
( )
α
tiếp xúc mặt cầu (S) tại H (
( )

IH
α
⊥
tại H). Mặt phẳng
( )
α
được gọi
là tiếp diện của (S) tại H.
• Nếu
( )
( )
,d I R
α
<
thì mp
( )
α
cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) có phương trình là
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
0
x a y b z c R
Ax By Cz D

− + − + − =


+ + + =



Đường tròn (C) được gọi là đường tròn giao tuyến.
• Tâm H của đường tròn (C) là hình chiếu của tâm I trên mp
( )
α
.
LƯỢNG GIÁC, GIẢI TÍCH 11
I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ:
1. Các hệ thức cơ bản: 2. Công thức biểu diễn theo tanx:



3. Các cung liên kết:
a. Cung đối:
α
và
−α
b. Cung bù:
α
và
π −α
c. Cung phụ:
α
và
2
π
−α
d. Cung sai kém nhau
π
:

α
và
π + α
e. Cung hơn kém nhau
2
π
:
α
và
2
π
+ α
15
cos( ) cos
sin( ) sin
n( ) n
cot( ) cot
ta ta
−α = α
−α =− α
−α = − α
−α = − α
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) n
cot( ) cot
ta
π − α = α
π − α = − α
π − α = − α

π − α = − α
sin cos ; cos sin
2 2
tan cot ; cot tan
2 2
π π
   
− α = α − α = α
 ÷  ÷
   
π π
   
− α = α − α = α
 ÷  ÷
   
tan( ) tan
cot( ) cot
sin( ) sin
cos( ) cos
π+α = α
π+α = α
π+α = − α
π+α = − α
sin cos ; cos sin
2 2
tan cot ; cot tan
2 2
π π
   
+ α = α + α = − α

 ÷  ÷
   
π π
   
+ α = − α + α = − α
 ÷  ÷
   
1.
2
2tan
sin 2
1 tan
x
x
x
=
+
; 2.
2
2
1 tan
cos2
1 tan
x
x
x
−
=
+
; 3.

2
2tan
tan 2
1 tan
x
x
x
=
−

1.
2 2
sin x cos x 1
+ =
; 2.
sin
tanx
cos
x
x
=
3.
1
tan
cot
x
x
=
; 4.
cos

cot x
sin
x
x
=
5.
2
2
1
1 tan
cos
x
x
+ =
; 6.
2
2
1
1 cot
sin
x
x
+ =
( ) ( )
( ) ( )
1. sin 2 sin ; 2. os +k2 =cos ;
3. tan +k =tan ; 4. cot +k cot ;
k c
k Z
α π α α π α

α π α α π α
+ =
= ∈
Lý thuyt ễn Thi Mụn Toỏn THPT
4. Bng giỏ tr lng giỏc ca cung v gúc c bit:

0
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
6

4

3

2

2
3

3
4

5
6


sin

0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0

cos

1
3
2
2
2
1
2
0
1
2

2
2

3
2

1
tan

0
1
3
1
3
P
3
1

1
3

0
cot

P
3
1
1
3
0
1
3

1
3
P

PHệễNG TRèNH LệễẽNG GIAC
1. Phửụng trỡnh lửụùng giaực cụ baỷn : 2. Phng trỡnh lng giỏc c bit:
sin u = sin v



+=
+=


2

2
kvu
kvu
( k
Z )
1. sin u = 1
2
2
u k


= +
; 2. sin u = -1
2
2
u k


= +
;
3.
sin 0u u k

= =
( k Z )
cos u = cos v
2
2
u v k
u v k

= +


= +

( k
4. cosu = 1
2u k

=
; 5. cos u = -1
2u k

= +
;
16
5.Cụng thc cng
1.
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
+ =
2.
cos( ) cos cos sin sina b a b a b
= +
3.
sin( ) sin cos cos sina b a b a b
+ = +
4.
sin( ) sin cos cos sina b a b a b

=
5.
tan tan
tan( )
1 tan tan
a b
a b
a b
+
+ =

6.
tan tan
tan( )
1 tan tan
a b
a b
a b

=
+

6.2. Cụng thc nhõn ba
1.
3
cos3 4cos 3cosa a a
=
2.
3
sin3 3sin 4sina a a

=
3.
3
2
3tan tan
tan3
1 3tan
a a
a
a

=

6.1. Cụng thc nhõn ụi
1.
2 2
2 2
cos2 cos sin
2cos 1 1 2sin
a a a
a a
= =
= =
2.
sin 2 2sin cosa a a=
3.
2
2 tan
tan 2
1 tan

a
a
a
=

7. Cụng thc bin i
tớch thnh tng
1.
1
cos cos [cos( ) cos( )]
2
a b a b a b
= + +
2.
1
sin sin [cos( ) cos( )]
2
a b a b a b

= +
3.
1
sin cos [sin( ) sin( )]
2
a b a b a b
= + +

6. 3. Cụng thc h bc:
1.
2

1 cos2
cos
2
a
a
+
=
; 2.
2
1 cos 2
sin
2
a
a

=
3.
2
1 cos2
tan
1 cos2
a
a
a

=
+
8. Cụng thc bin i
tng thnh tớch
1.

cos cos 2cos cos
2 2
a b a b
a b
+
+ =
2.
cos cos 2sin sin
2 2
a b a b
a b
+
=
3.
sin sin 2sin cos
2 2
a b a b
a b
+
+ =
4.
sin sin 2cos sin
2 2
a b a b
a b
+
=
9. Mt s cụng thc c bn
1.
cos sin 2 cos( )

4
a a a

+ =
; 2.
cos sin 2 sin( )
4
a a a

+ = +
3.
cos sin 2 cos( )
4
a a a

= +
; 4.
cos sin 2 sin( )
4
a a a

=
5.
4 4 2 2
cos sin 1 2sin cosa a a a
+ =
; 6.
4 4
cos sin os 2a a c a
=

7.
6 6 2 2
cos sin 1 3sin cosa a a a
+ =
; 8.
( )
6 6 2 2
cos sin os2a 1 sin cosa a c a a
=
9.
( )
sin
t ana tan
cos .cos
a b
b
a b
+
+ =
; 10.
( )
sin
t ana-tan
cos .cos
a b
b
a b

=

Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT
Z )
6.
os 0
2
c u u k
π
π
= ⇔ = +
( k ∈ Z )
tanu = tanv ⇔ u = v + kπ
( k ∈ Z )
7. tan u = 1⇔
4
u k
π
π
= +
; 8. tan u = -1 ⇔
4
u k
π
π
= − +
;
9.
tan 0u u k
π
= ⇔ =
( k ∈ Z )

cotu = cotv ⇔ u = v + kπ
( k ∈ Z )
10. cot u = 1⇔
4
u k
π
π
= +
; 11. cot u = -1 ⇔
4
u k
π
π
= − +
;
12.
cot 0
2
u u k
π
π
= ⇔ = +
( k ∈ Z )
3. Phương trình bậc hai , b ậc ba đối với một hàm số lượng giác:
Đặt ẩn phụ:
sinx; t = cosxt =
, điều kiện:
1 1t− ≤ ≤
; Đặt ẩn phụ:
2 2

sin x; t = cos xt =
, điều kiện:
0 1t≤ ≤
;
4. Ph ương trình bậc nhất đối với sinx, cosx : acosx + bsinx = c (1) trong đó a
2
+ b
2
≠ 0.
Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm:
2 2 2
a b c+ ≥
.
Cách giải : chia hai vế phương trình cho
2 2
a b
+
, đưa pt về dạng :sin u = sin v hoặc cos u = cos v
5. Phương trình đẳng cấp b ậc hai đối với sinx và cosx : asin
2
x + bsinx cosx + c.cos
2
x = 0 .
+ Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm .
+Xét
cos 0x
≠
chia hai vế của phương trình cho cos
2
x rồi đặt t = tanx, pt trở thành pt

2
.tan .t anx+c = 0a x b
+
6. Phương trình đối xứng : a( sinx + cosx ) + b sinxcosx + c = 0 .
a) Đặt t = sinx + cosx =
2 os x -
4
c
π
 
 ÷
 
, điều kiện
22
≤≤−
t
khi đó sinx.cosx =
2
1
2
−
t
Ta đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai hoặc bậc 3 theo t . Gỉai chọn t, suy ra nghiệm
x.
b) Phương trình có dạng :a( sinx - cosx ) + bsinxcosx + c = 0 . Đặt t = sinx – cosx =
2 sin x -
4
π
 
 ÷

 
,
điều kiện
22
≤≤−
t
khi đó sinx.cosx =
2
1
2
t
−
. Ta giải tương tự 6a).
7. Phương trình tích: A.B.C = 0
0 0 0A B C
⇔ = ∨ = ∨ =
; 8. Tổng các bình phương:
2
2 2
2
0
0
A
A B
B

=

+ =


=


HỐN VỊ - CHỈNH HỢP- TỔ HỢP - NHỊ THỨC NIUTƠN. XÁC SUẤT
1. Hốn vị:
a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước
là một phép hốn vị các phần tử của tập A.
b. Định lý: Số phép hốn vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu P
n
là: P
n
= n! = 1.2.3…n; 0!=1! = 1.
2. Chỉnh hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số
k ∈¥
mà
1 k n≤ ≤
. Khi lấy ra k phần tử trong số n
phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của
n phần tử.
17
Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT
b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu
k
n
A
là:
( ) ( )
( )
k

n
n!
A n. n 1 n k 1
n k !
= − − + =
−
.
3. Tổ hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số
k ∈¥
mà
1 k n≤ ≤
. Một tập hợp con của A có k phần
tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu
k
n
C
là:
( )
( ) ( )
k
n
n n 1 n k 1
n!
C
k! n k ! k!
− − +
= =
−

c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:
+
( )
* k n k
n n
Cho a, k :C C 0 k n
−
∈ = ≤ ≤
¥
; +
( )
* k k k 1
n 1 n n
Cho a, k : C C C 1 k n
−
+
∈ = + ≤ ≤¥
4. Khai triển nhị thức Niutơn:
( )
n
n
k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n n
n n n n n
k 0
a b C a b C a C a b C a b C b
− − −
=
+ = = + + + + +
∑
Nhận xét:

+ Trong khai triển nhị thức Niuton ( a+b)
n
có n + 1 số hạng.
+ Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n.
+ Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau.
+ Số hạng tổng qt thứ k + 1 kí hiệu T
k+1
thì:
k n k k
k 1 n
T C a b
−
+
=
+
0 1 2 n n
n n n n
C C C C 2
+ + + + =
;
+
( ) ( )
k n
0 1 2 3 k n
n n n n n n
C C C C 1 C 1 C 0− + − + + − + + − =
.
5. XÁC SUẤT
1. Biến cố
Không gian mẫu Ω: là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.

Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A ⊂ Ω.
Biến cố không: ∅; Biến cố chắc chắn: Ω; Biến cố đối của A:
\A A=
Ω
;
Hợp hai biến cố: A ∪ B .Giao hai biến cố: A ∩ B (hoặc A.B);
Hai biến cố xung khắc: biến cố này xảy ra thì biến cố kia khơng xảy ra.A ∩ B = ∅
Hai biến cố độc lập: nếu xác suất xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của
biến cố kia.
2. Xác suất
Xác suất của biến cố: P(A) =
( )
( )
n A
n
Ω
=
A
Ω
Ω
; 0 ≤ P(A) ≤ 1; P(Ω) = 1; P(∅) = 0
(Với n(A): là số trường hợp thuận lợi để biến cố A xảy ra; n(
Ω
) là số trường hợp đồng khả năng
của khơng gian mẫu)
Xác suất của biến cố đối: P(
A
) = 1 – P(A);
Qui tắc cộng: nếu A ∩ B = ∅ thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Với A, B bất kì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A.B);

Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A). P(B)
(Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng:
2a c b
+ =
.
Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân:
2
.a c b=
)
ĐẠI SỐ 10
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC, CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
18
Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT
1.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Cách giải phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 ( a ≠ 0) (1) , ta có: ∆ = b
2
– 4ac
∆ > 0
a
b
x
2
1
∆+−
=
,
a
b

x
2
2
∆−−
=
∆ = 0
Nghiệm kép
a
b
xx
2
21
−==
∆ < 0
Vơ nghiệm

Nếu phương trình bậc 2: ax
2
+ bx +c = 0 (*) có 2 nghiệm x
1
, x
2
(a
≠
0) thì tổng và tích 2 nghiệm đó
thỏa:
Hệ thức Vi-ét:
1 2
1 2
.

b
x x
a
c
x x
a

+ = −




=



Chú ý:
+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x
1
= 1 và x
2
=
c
a
+ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x
1
= -1 và x
2
=
c

a
−
Hệ quả: Nếu 2 số u, v có tổng S = u + v và tích P = u.v thì chúng là nghiệm của phương trình: x
2
–
S.x + P = 0
2 .PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
a/
2
0B
A B
A B
≥

= ⇔

=

; b/
0 ( 0)
A B
A B
A hayB
=

= ⇔

≥ ≥

3 .BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

a/
2
0
0
A
A B B
A B

≥

< ⇔ >


<

; b/
2
0
0
0
B
B
A B
A
A B
≥
<


> ⇔ ∨

 
≥
>


; c/
2
0
0
A
A B B
A B

≥

≤ ⇔ ≥


≤

4 .PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
a/
0 0
A B A B
A B
B B
= = −
 
= ⇔ ∨
 

≥ ≥
 
; b/



−=
=
⇔=
BA
BA
BA
;
5.BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
a/



>
<<−
⇔<
0B
BAB
BA
; b/
A B A B A B
> ⇔ <− ∨ >
; c/
22
BABA

>⇔>
6. a. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(cơsi)
Cho hai số khơng âm
;a b
. Ta có:
2
a b
ab
+
≥
. Dấu “=” xảy ra khi a = b.
b. BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

0
0
x
x
x
>

=

− >

.Từ định nghĩa suy ra: với mọi
x R∈
ta có: |x|
≥
0; |x|
2

= x
2
; x
≤
|x| và
-x
≤
|x|
Định lí: Với mọi số thực a và b ta có:
19
nếu x
≥
0
nếu x < 0
Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT
|a + b|
≤
|a| + |b| (1); |a – b|
≤
|a| + |b| (2)
|a + b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b
≥
0; |a – b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b
≤
0
HÌNH HỌC 10
20
Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT
I. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Bài 1. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ

1. Điểm
→→→
+=⇔
21
),( yexeOMyxM
.
2. Cho A( x
A
, y
A
), B( x
B
, y
B
);
a.
),(
ABAB
yyxxAB −−=
→
; b.
2 2
( ) ( )
B A B A
AB x x y y= − + −
; c. Tọa độ trung điểm I của AB :








+
=
+
=
2
2
BA
BA
yy
y
xx
x
d. Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ 1 :







−
−
=
−
−
=
k

yky
y
k
xkx
x
BA
BA
1
.
1
.
3.Phép toán : Cho
),(
21
aaa =
→
,
),(
21
bbb =
→
a.



=
=
⇔=
→→
22

11
ba
ba
ba
; b.
),(
2211
bababa ±±=±
→→
; c.
),(.
21
mamaam =
→
; d.
2211
bababa +=
→→
e.
2
2
2
1
aaa +=
→
; f.
0
2211
=+⇔⊥
→→

bababa
; g.
2
2
2
1
2
2
2
1
2211
.
,
bbaa
baba
baCos
++
+
=






→→
Bài 2 . ĐƯỜNG THẲNG
1/. Phương trình tham số :




+=
+=
tayy
taxx
20
10
, vectơ chỉ phương là:
),(
21
aaa =
→
2/. Phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 ( A
2
+ B
2

≠
0)
a. Vectơ pháp tuyến:
),( BAn =
→
; b. Vectơ chỉ phương là:
),( ABa −=
→
( hay
),( ABa −=
→
)
c.Hệ số góc của đường thẳng là

( 0)
A
k B
B
= − ≠

3/. Phương trình đường thẳng qua M( x
0
, y
0
) có hệ số góc k :
0 0
( )y y k x x− = −
4/. Phương trình đường thẳng qua A(x
A
, y
A
) và B(x
B
, y
B
) : (x – x
A
)(y
B
– y
A
) = (y – y
A
)(x

B
– x
A
)
hay
AB
A
AB
A
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
5/. Phương trình đường thẳng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( đọan chắn):
1=+
b
y
a
x
6/. Phương trình chính tắc :
b
yy
a
xx
00

−
=
−







=
→
),(),,(
00
baayxM
7/. Khoảng cách từ một điểm M(x
0
, y
0
) đến đường thẳng
( )
∆
Ax + By + C = 0 là
( )
( )
0 0
2 2
;
Ax By C
d M

A B
+ +
∆
+
8/. Vò trí tương đối của hai đường thẳng : d
1
: A
1
x + B
1
y + C
1
= 0, d
2
: A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
+ d
1
cắt d
2

2
1
2
1

B
B
A
A
≠⇔
; +
2
1
2
1
2
1
21
//
C
C
B
B
A
A
dd ≠=⇔
; +
2
1
2
1
2
1
21
C

C
B
B
A
A
dd ==⇔≡
9/. Góc của hai đường thẳng d
1
và d
2
: Xác đònh bởi công thức :
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
BABA
BBAA
Cos
++
+
=
ϕ
21
a
a

m
h
a
b
c
M
H
C
B
A
Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT
II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
A. Tam giác thường ( các đònh lý)
Đònh lí hàm số Cosin
2 2 2
2 .a b c bc cosA= + −
⇒
2 2 2
2
b c a
cosA
bc
+ −
=
Đònh lí hàm số Sin
2
a b c
R
sinA sinB sinC
= = =

⇒
2 . ;sin
2
a
a R sinA A
R
= =
Đònh lí hàm số Tan
2
2
A B
tan
a b
A B
a b
tan
−
−
=
+
+
Các chiếu
cCosBbCosCa +=
Độ dài đường trung tuyến
4
)(2
222
2
acb
m

a
−+
=
Độ dài đường phân giác
2 .
2
a
A
bc Cos
l
b c
=
+
Diện tích tam giác thường
1.
cba
chbhahS
2
1
2
1
2
1
===
; 2.
prS =
2.
R
abc
S

4
=
; 4.
))()(( cpbpappS −−−=
5.
abSinCacSinBbcSinAS
2
1
2
1
2
1
===
1. Tam giác đều cạnh a: a) Đường cao: h =
a 3
2
; b) S =
2
a 3
4
c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung
trực
2. Tam giác vng: S =
1
2
ab (a, b là 2 cạnh góc vng)
3. Tam giác vng cân a) S =
1
2
a

2
(2 cạnh góc vng bằng nhau) ; b) Cạnh huyền bằng a
2
4. Tam giác cân: S =
1
ah
2
(h: đường cao; a: cạnh đáy)
5. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)
6. Hình thoi: S =
1
2
d
1
.d
2
(d
1
, d
2
là 2 đường chéo)
7. Hình vng: a) S = a
2
b) Đường chéo bằng a
2
8. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
9. Đường tròn: a) C = 2
π
R (R: bán kính đường tròn) b) S =
π

R
2
(R: bán kính đường tròn)
Chú ý:
1.
( ) ( ) ( )
2 2 2
S A B C
r p a tan p b tan p c tan
p
= = − = − = −
với rlà bán kính đường tròn bàng tiếp tam giác.
2.
4 2 2 2
abc a b c
R
S sinA sinB sinC
= = = =
Với a, b, c :cạnh tam giác; A, B, C: góc tam giác;
22
H
B
C
A
Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT
h
a
: Đường cao tương ứng với cạnh a; m
a
:Đường trung tuyến vẽ từ A

3.R, r :Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác,
2
cba
p
++
=
là nửa chu vi tam giác.
B. Hệ thức lượng tam giác vuông:
1.
2
.AH BH CH=
;
2.
. .AH BC AB AC=
;
3.
BCBHAB .
2
=
;
4.
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
hay
2 2 2
1 1 1
h a c
= +

;
5.
CBCHAC .
2
=
;
6.
222
ACABBC +=
Chúc các em ơn tập hiệu quả và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi sắp tới !
23
1.
2.
3.
4.
5. 6.