Ôn tập Toán 12

Đề cương và bài tập ơn mơn Tốn
ĐỀ CƯƠNG MƠN TĨAN
PHẦN I: ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT TOÁN GIẢI TÍCH
Chương I PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN (
1. Đạo hàm
1.1 Đạo hàm
i). Đònh nghóa đạo hàm.
ii) Ýnghóa hình học của đạo hàm .
iii) Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp.
iv) Các qui tắc tính đạo hàm.
v) Đạo hàm cấp cao.
1.2 Vi phân:
i) Đònh nghóa.
ii) Các qui tắc tính vi phân.
iii) Vi phân cấp cao.
2. Ứng dụng của đạo hàm
i) Tính đơn điệu và cực trò của hàm số .
ii) Giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số .
iii) Tính lồi , lõm, điểm uốn của đồ thò hàm số .
iv) Tiệm cận của đồ thò.
v) Khảo sát và vẽ đồ thò các hàm số : bậc 2, bậc 3, trùng phương, hữu tỷ.
Chương II PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
2.1 Khái niệm nguyên hàm và tích phân bất đònh.
2.2 Đònh nghóa tích phân (xác đònh)
2.3 Các phương pháp tính tích phân xác đònh
i) Phương pháp phân tích .
ii) Phương pháp đổi biến số .
iii) Phương pháp tích phân từng phần.
2.4 Ứng dụng tính tích phân xác đònh: diện tích phẳng,thể tích vật tròn xoay.
PHẦN II: ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT TOÁN HÌNH HỌC
Chương I PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

1. Tích vô hướng: Đònh nghóa, tính chất và ứng dụng. Góc giữa hai vectơ.
2. Đường thẳng: Vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến. Phương trình tham số; phương trình tổng
quát. Góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng. Phương trình
đường phân giác của một góc. Vò trí tương đối giữa hai đường thẳng. Chùm đường thẳng.
3. Đường tròn, Elip, Hypebo,; Parabol: Phương trình chính tắc. Tiếp tuyến.
Chương II PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Tích vô hướng, tích có hướng và ứng dụng: Đònh nghóa, các tính chất. Tính góc giữa hai vectơ,
diện tích tam giác, thể tích hình hộp, thể tích tứ diện.
2. Mặt phẳng: Vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến. Phương trình tham số; phương trình tổng quát.
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Vò trí tương đối giữa hai mặt phẳng; chùm mặt
phẳng.
- 1 -
Đề cương và bài tập ơn mơn Tốn
3. Đường thẳng: Vectơ chỉ phương. Phương trình tham số; phương trình chính tắc; phương trình
tổng quát. Góc giữa hai đường thẳng; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Vò trí tương đối
giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau.
BÀI TẬP ƠN PHẦN TỐN GIẢI TÍCH
A. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
I. Đạo hàm cấp một
Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số:
a) y = 2x
2
– 3x + 4 tại x
0
= - 1. b) y = – x
2
– 2x + 3 tại x
0
= 2.

c) y = 2x
4
(2x + 5) tại x = 1.
Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số:
a) y =
54
43
2
++
−
xx
x
; b) y =
54
2
++
xx
; c) y =
54
43
2
++
−
xx
x
; d) y =
54
2
+
−

x
x
.
Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số:
a) y = 5.sin2x – 4.cos4x + 1; b) y = x.tg2x; c) y = tg






+
2
32x
;
d) y =
32
+
gxcot.
; e) y =
ln 1
2ln 10
x
x
x x
− + +
; f) y = 3
x
.x
3

.
II. Đạo hàm cấp hai
Bài 4. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số:
1) y =
2
e
x
tại x = 1. 2) y = (2.x + 1)
4
tại x = 1. 3) y = sin
3
x tại x =
4
π
.
III. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Bài 5. Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
có đồ thị (C). Viết phương trình các tiếp tuyến với (C) có hệ số góc
bằng 9.
Bài 6. Cho hàm số y = x
4
– 6x
2
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại mỗi
điểm uốn của nó.
Bài 7. Cho hàm số y =
3

1
23
2
3
+−
x
mx
(m là tham số thực). Điểm M thuộc đồ thị của hàm số và
có hồnh độ bằng – 1. Tìm m để tiếp tuyến tại M của đồ thị hs song song với đường thẳng y =–
5.x.
IV. Tính đơn điệu của hàm số
Bài 8. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a) y = 2x
2
– 3x + 5; b) y = 4 + 3x – x
2
; c) y =
3
1
x
3
– 3x
2
– 8x – 2; d) y = x
4
– 2x
2
+ 3.
Bài 9. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
- 2 -

Đề cương và bài tập ôn môn Toán
a) y =
x
x
−
+
1
23
; b) y =
2
4
2
−
−
x
xx
; c) y = 4x – 1 +
3
4
+
x
.
Bài 10. Cho hàm số y = x
3
– 3mx + 3 (2m – 1)x + 2m + 5 với m là tham số thực. Hãy xác định m để
hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1).
Bài 11. Cho hàm số y =
2
2 (2 1) 2 1
1

x m x m
x
+ + + −
−
với m là tham số thực. Hãy xác định m để hàm
số đồng biến trên khoảng (2; + ∞).
Bài 12. Cho hàm số y = x
3
– 3(2m + 1)x
2
+ (12m + 5)x + 2007 với m là tham số thực. Hãy xác định
m để hàm số nghịch biến trên khoảng (2; + ∞).
V. Cực trị của hàm số
Bài 13. Tìm cực trị của các hàm số:
a) y = 2x
2
+ 3x
2
– 36x – 10; b) y = x
4
– 2x
2
+ 3; c) y = x +
2
4
−
x
; d) y =
2
55

2
−
+−
x
xx
.
Bài 14. Tìm cực trị của các hàm số:
a) y = x
4
– 2x
2
+ 1; b) y = x
3
– 3x
2
+ 5x.
Bài 15. Xác định m để hàm số y =
mx
mxx
2
12
2
−
+−
đạt cực đại tại x = 2.
Bài 16. Xác định m để hàm số y = mx
4
+ (m
2
– 9).x

2
+ 3m + 2 có 3 cực trị.
Bài 17. Xác định m để hàm số y = mx
4
+ (m
2
– 4).x
2
+ 3m + 1 có 3 cực trị.
Bài 18. Xác định m để hs : y = x
4
– 8mx
3
+ 6(m + 2). x
2
+ 1 chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
VI. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài 19. Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:
a) y = 1 + 4x – x
2
; b) y = 4x
3
– 3x
4
Bài 20. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số:
a) y = 3x
3
– 3x
2
– 9x + 1 trên đoạn [-4; 4];

b) y = | x
2
– 3x + 2 | trên đoạn [-10; 10].
VII. Khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số
Bài 21. Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị các hàm số:
a) y = x
3
+ 6x – 4; b) y =
2
24
24
−+
xx
.
Bài 22. Tìm các số thực p và q để đồ thị hs : y = x
3
– px
2
+ x + q nhận điểm A (1;1) làm điểm uốn.
Bài 23. Tìm số thực m để đồ thị hàm số y = x
4
+ mx
2
+ 1
a) có hai điểm uốn; b) không có điểm uốn.
VIII. Tiệm cận của đồ thị hàm số
Bài 24. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số:
a) y =
1
3

+
+
x
x
; b) y =
4
38
2
−
+−
x
xx
; c) y = x + 1 +
32
3
−
x
.
- 3 -
Đề cương và bài tập ôn môn Toán
IV. Khảo sát hàm số
Bài 25. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
a) y = x
3
– 3x + 2; b) y = 2x
3
– 3x
2
– 1;
c) y = – 4x

3
+ 3x
2
+ 1; d) y = x
3
– 3x
2
+ 3x + 2; e) y =
2
3
2
2
4
−−
x
x
.
Bài 26. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
a) y =
2
3
2
2
4
−−
x
x
; b) y = x
4
– 2x

2
.
Bài 27. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
a) y =
1
1
−
+
x
x
; b) y =
32
14
+
+
x
x
; c) y =
2
12
−
−
x
x
;
d) y =
x
x 4
2
+

; e) y =
1
32
2
−
+−
x
xx
; f) y = –x +1 +
1
1
−
x
.
B. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I. Tích phân bất định – nguyên hàm
Bài 28. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a) f(x) = e
x
(1 – e
-x
); b) f(x) = e
x










+
−
xcos
e
x
2
2
; c) f(x) = 2a
x
+
x
;
d) f(x) = 2
x
– 3
x
; e) f(x) =
x3
2
1
; f) f(x) = tg
2
x + 2.
Bài 29. Tính các tích phân bất định:
a) I =
∫
−
dx)x.(

19
1220
; b) I =
∫
+
dx)xcos( 24
; c) I =
∫
+
dx.xx 58
43
;
d) I =
∫
+
3
2
2
x
xdx
; e) I =
∫
xdxtg2
; f) I =
dx.xsin.e
xcos
2
23
∫
;

g) I =
∫
+
dx.)x.(x
2
1
2
1
; h) I =
∫
+
dx
x
)x(ln
4
3
; i) I =
∫
+
dx).xln(.x 42
2
.
II. Tích phân xác định
Bài 30. Tính các tích phân:
a)
∫
6
xdx
; b)
∫

e
e
x
dx
1
1
; c)
∫
1
3
1
2
x
dx
; d)
∫








−
8
1
3
2
3

1
4 dx
x
x
.
Bài 31. Tính các tích phân:
a) I =
∫
−
2
1
3
2
2
dx
x
xx
; b) I =
dx
x
xx
e
∫
−+
2
1
752
;
- 4 -
Đề cương và bài tập ôn môn Toán

c) I =
∫
π
2
0
53 xdxcosxcos
; d) I =
∫
π
π
2
72 xdxsinxsin
.
Bài 32. Tính các tích phân:
a)
∫
π
+
0
2332 dx)xsinxcos(
; b)
∫
π
4
0
tgxdx
; c)
∫
π
π

4
6
gxdxcot
; d)
∫
π
+
4
0
31
dx
xcos
xsin
Bài 33. Tính các tích phân:
a) I =
2
1
0
x
xe dx
−
∫
; b) I = 4
1
2 1
0
x
e dx
+
∫

.
Bài 34. Tính các tích phân:
a)
∫
+
e
dx
x
xln
1
1
; b) I = 4
∫
π
0
3
dx.xsin.xcos
;
c) I =
∫
π
−
2
0
dx.xsin.e
xcos
; d) I =
∫
π
+

6
0
41 dx.xcos.xsin
Bài 35. Tính các tích phân:
a) I =
∫
+
2
0
2
4 x
dx
(đặt x = 2tgt); b) I =
∫
−
1
0
2
4 x
dx
(đặt x = 2sint)
Bài 36. Tính các tích phân:
a) I =
∫
1
0
2
2 dxxe
x
; b) I =

∫
π
−
2
0
1 xdxcos)x(
; c) I =
∫
π
−
6
0
32 xdxsin)x(
;
d) I =
∫
−
+
1
0
2
2 dx.e).xx(
x
; e)
∫
π
−
2
0
2 dx.xsin.e

xcos
; f) I =
∫
e
dx.xln.x
1
;
g)
∫
++
1
0
2
23xx
xdx
; h)
∫
+
2
1
2
1 dx)xln(x
; i)
∫
π
π
4
6
2
gxcotxsin

dx
;
III. Ứng dụng tích phân xác định tính diện tích – thể tích.
Bài 37. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a) x = 0, x = 1, y = 0, y = 5x
4
+ 3x
2
+ 3; b) y = x
2
+ 1, x + y = 3;
c) y = x
2
+ 5, y = 6x; d) y = 4x – x
2
, y = 0;
- 5 -