Ôn tập Toán 12

CHỦ ĐỀ I
ĐẠO HÀM – ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM – KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài 1 : Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
1. y = 3x
4
- 2x
3
+ x + 1 2. y = | x
2
- 5x + 4 | 3. y = (x
3
+2)(x1)
4. y = x(x + 1.
4
5. y = (x
2
– 1.
6
6. y =
76
2
−+
xx

7. y =
xx
−++
42
8. y = x
x
−

6
9. y=
3 3
23
+−
xx


10. y = (x
2
– 1.
4
+
4
2
+
x
11. y = (x1)
1
2
++
xx
12. y =
xx
3
2

Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:
1. y = sin2x + cos3x 2. y = xsinx 3. y = sin
3

x
4. y = cos
5
4x 5. y = cosx – cos
3
x 6. y = xcosx – sinx
7. y =
x
x
sin1
sin1
−
+
8. y =
xtg5
9. y= cos
2
(x
2
– 2x +2)
10. y = (2- x
2
).cosx + 2xsinx 11. y = ln (x +
4
2
+
x
)
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1. y = x

2
e
x
2. y = e
x
(sin x – cosx) 3. y = e
cos2x

4. y = x
3
e
x
5. y = xlnx 6. y = ln(x
2
+ 1.
7. y =
xln1
+
8. y =
x
xln
Bài 4: Chứng minh rằng với hàm số:
1. y = xsinx ta có xy – 2(y’ – sinx) + xy’’

= 0
2. y = e
sinx
ta có y
.
cosx – ysinx – y’’ = 0

3. y = ln(1+x. ta có e
y
(1- xy’) = 1
4. y = e
-x
sinx ta có y’’+2y’ +2 y = 0
Bài 5: Cho hàm số: y = sin
4
x + cos
4
x
1. Tính y’ và y’’.
2. Giải phương trình y’= -1.
Bài 6: Cho hàm số: y = ln
x
x
cos1
sin
+
.
3. Tính y’ và y’’.
4. Giải phương trình: y’- y’’ = 0.
Bài 7: Cho hàm số: y = sin
2
x.
1. Tính y’ và y’’.
2. Tìm hệ thức liên hệ giữa y’ và y’’ độc lập với x.
Bài 8:
1. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = x
3

-3x
2
-4 trên mổi miền sau:
a. [ -1;
2
1
] b. [
2
1
;3] c. [3 ; 5)
2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) =
6 5x -x
2
+
trên đoạn [ -5;5]
3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: f(x) = sin
3
x – cos2x - sinx +2
4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
4)2( xxy
−+=

5. Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
1)3(
2
+−=
xxy
với
]2;0[

∈
x
6. Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
x
exy .
2
=
trên
]2;3[
−
1
7. Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số:
2
2cos cos 1
cos 1
x x
y
x
+ +
=
+

8) Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
xxy
−=
2sin
trên







−
2
;
2
ππ
Bài 9:
1. Xác đònh m để hàm số:
mx
mxx
y
+
++
=
1
2
đạt cực đại tại x = 2
2. Xác đònh m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu :
a. y = x
3
-2x
2
+mx – 1 b.
1
2
2
+
+−

=
x
mxx
y
c) y = x
3
-mx
2
+ x + 1
3. Xác đònh m để hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ (m
2
+ 2m – 3.x +4 có điểm cực đại và cực tiểu ở về hai
phiá của trục tung .
4. Tìm m để hàm số
2)12(
3
1
23
+−−+−=
mxmmxxy
có hai cực trò có hoành độ dương.
5. Cho hàm số y= f(x. = x
3
– 3mx
2

+ 3(m
2
-1.x + m.Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x
0
= 2
6. Tìm m để hàm số y = f(x. = mx
3
+ 3x
2
+5x +m đạt cực đại tại x
0
= 2.
7. Chứng minh rằng hàm số:
2
2
2
2
+
++
=
x
mxx
y
luôn có một cực đại và một cực tiểu với mọi m.
Bài 10: Cho hàm số y = x
2
- x
3

1. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số.

2. Đthẳng d qua A(-1;2. và có hệ số góc k. Xác đònh k để d tiếp xúc với (C). Xác đònh tiếp điểm.
Bài 11:
1. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số:
132
3
1
23
+−−−=
xxxy
.
2. Tìm m để phương trình
032
3
1
23
=+++
mxxx
có hai 3 nghiệm phân biệt.
3. Tìm tiếp tuyến của (C) có hệ số góc lớn nhất và cho biết đặc điểm của tiếp tuyến này.
4. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng:
a. y = 2x b. y =
x
4
3
Bài 12: Cho hàm số: y = f(x. = x
3
– 3mx
2
+3(2m – 1.x +1 (1.
1. Xác đònh m để hàm tăng trên tập xác đònh.

2. Xác đònh m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Tính toạ độ điểm cực tiểu.
3. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m = 1.
Bài 13: Cho hà số: y = f(x. = x
3
- 3x
2
+ 3mx + 3m +4 ( m là tham số ), đồ thò (C
m
).
1. Xác đònh m để (C
m
) tương ứng nhận điểm I(1;2) làm điểm uốn.
2. Xác đònh m để hàm số có cực trò.
3. Xác đònh m, để (C
m
) tương ứng tiếp xúc với trục Ox
Bài 14: Cho hàm số y = f(x) = x
3
+3x
2
1)
1. Khảo sát vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) đi qua góc tọa độ.
3. Giải bất phương trình f(x – a. < 21 với a là hoành độ điểm uốn của (C).
2
Bài 15: Cho hàm số y = x(
)2
3
5
2

xx
−+
.
1. Khảo sát vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2. Tiếp tuyến của (C) tại góc tọa độ cắt (C) tại M. Tìm tọa độ của điểm M.
3. Biện luận theo k vò trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y = kx.
Bài 16:Cho hàm số:
xxy 3
4
1
3
−=
.
1. Khảo sát vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm thuộc (C) có tung độ bằng 20.
3. Biện luận bằng đồ thò số nghiệm của phương trình:
mxx
+−=
3129
4
1
3

Bài 17: Cho hàm số: y = x
3
-2x
2
+x
1. Khảo sát vẽ đồ thò (C) của hàm số .
2. Biện luận bằng đồ thò số nghiệm của phương trình x

3
-2x
2
–m = 0.
Bài 18: Cho hà số
3
1
)2(3)1(
3
1
23
+−+−−=
xmxmmxy
.
1. Khảo sát vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m = 2
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
3. Dựa vào đồ thò (C) giải bất phương trình: 2x
3
-3x
2
+1 < 0.
4. Tìm giá trò của m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Bài 19: Cho hàm số y = x
4
+2(m – 2.x
2
+m
2
– 5m + 5, (C
m

)
1. Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
2. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m = 1.
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng y = 1.
4. Tìm a để phương trình x
4
– 2x
2
– a = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 20: Cho hàm số
122
24
+−+−=
mmxxy
.
1. Khảo sát vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m = 1.
2. Xác đònh m sao cho đồ thò hàm số cắt Ox tại bốn điểm có các hoành độ lập thành một CSC.
Bài 21: Cho hàm số
1
4
1
24
−+−=
nmxxy
.
1. Tìm m và n để hàm số đạt cực trò bằng
4
3

−
khi x = -1.
2. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi
2
1
==
nm
.
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi © và trục hoành.
Bài 22: Cho hà số
dx
bax
y
+−
+
=
.
1. Tìm a,b,d biết đồ thò (H) của hàm số đi qua các điểm: A(0;
2
3
−
),B(1 ; -2), C( 3 ; 0).
2. Khảo sát hàm số với a,b d vừa tìm được.
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (H), trục hoành và các đường thẳng x= -3 ; x = 1.
Bài 23: Cho hàm số:
nx
mx
y
+
−

=
3
.
1. Tìm m,n để đồ thò (H) của hàm số nhận đường thẳng y= 2 làm tiệm cận ngang, nhận đường thẳng
x = 2 làm tiệm cận đứng.
3
2. Khảo sát vẽ đồ thò (H) với m, n vừa tìm được.
3. M là giao điểm của (H) với Ox, N là giao điểm của (H) với trục tung. Viết phương trình MN.
4. Viết phương trình tiếp tuyến với (H) tại M và N ; tìm giao điểm của các tiếp tuyến này .
Bài 24: Cho hàm số
x
mx
y
−
+−
=
1
4
1. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác đònh của nó.
2. Khảo sát và vẽ đồ thò của hàmsố khi m = 4.
3. Đường thẳng d đi qua A(-1; 0) có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao điểm của d và (C)
4. Tính tể tích khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và các đường thẳng
x =2, x = 4.
Bài 25: Cho hàm số
1
2
−
−
=
x

x
y
(1. có đồ thò là (C)
1. Khảo sát hàm số (1.
2. Tìm tất cả các điểm trên (C) cách đều hai điểm A(0;0) và B(2;2).
3. Tìm các điểm trên (C) có toạ độ là các số nguyên.
Bài 26: Cho hàm số:
2
33
2
+
++
=
x
xx
y
(1.
1. Khảo sát hàm số (1.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò hàm số (1., biết rằng tiếp tuyến này vuông góc với đường
thẳng
063
=+−
xy
.
Bài 27: Cho hàm số
1
1
2
+
++

=
x
xx
y
(1.
1. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số (1.
2. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;0. tới đồ thò hàm số (1..
Bài 28: Cho hàm số
2
54
2
+
++
=
x
xx
y
1. Khảo sát hàm số
2. Tìm M trên đồ thò để khoảng cách từ M đến đường thẳng y+3x+6=0 nhỏ nhất.
3. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò hàm số biết tiếp tuyến song với đường thẳng y =
x
4
3
+ 2
Bài29:Cho hàm số:
mx
mxmx
y
+
++++

=
2)2(
22
(C
m
)
1. Chứng minh rằng với m bất kì hàm số luôn luôn có cực trò.
2. Khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số khi m = 1.
3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(-1;0).
Bài 30: Cho hàm số
1
24)1(
22
−
−+−+−
=
x
mmxmx
y
(1.
1. Khảo sát hàm số (1. khi m = 0
2. Xác đònh các giá trò của m để hàm số có cực trò. Tìm m để tích các giá trò cực đại và cực tiểu đạt
giá trò nhỏ nhất
Bài 31: Cho hàm số
3
155
2
+
++
=

x
xx
y
(C)
1. Tìm
)(CM
∈
để M có tọa độ nguyên.
2. Tìm
)(CM
∈
để khoảng cách từ M đến Ox gấp 2 lần khoảng cách từ M đến Oy.
4
3. Khảo sát hàm số.
Bài 32: Cho hàm số
2
1
x x m
y
x
− +
=
−
, (C
m
)
1. Khảo sát và vẽ đồ thò với m = 1.
2. Tìm m để hàm số có cực đại và cưc tiểu.
3. Tìm m để (C
m

) cắt Ox tại hai điểm phân biệt A, B sao cho các tiếp tuyến với đồ thò tại A, B vuông
góc
CHỦ ĐỀ II
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1:
1. Tìm họ các nguyên hàm sau:
a.
43
xxxy
++=
b.
4
sin2
2
x
y
=
c. y = 5
x
+ 3
x
d)
23
1
2
+−
=
xx
y
e. y = e

x
(1 – e
-x
) g.
4
3
2
12
x
xx
y
+−
=

h. y = x
2
(5 – x)
4
i.
2
23
2
+
+−
=
x
xx
y
2. F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Tính d(F(x)). và F’(x) biết:
a. f(x) = x – cos2x b. f(x) = 5.sin

2
cos2x c. y = cos
5
x. sònx
3. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x):
a. f(x) =
x
x
3
2
2
−
và F(1. = 4 b. f(x) = cos5x.cos3x và F(
4
π
) = 1 ;
c. f(x) =
2
22
2
+
++
=
x
xx
y
và F(2) = 2ln2 d)
12
133
)(

2
23
+++
−++
=
xx
xxx
xf
và F(1. =
3
1
e. f(x) = sinx.cosx và F(
4
π
) = 1 f. f(x) = sinx + cos(
x
−
2
π
. và F(
3
π
) = 5
Bài 2: Tính các tích phân sau:
1.
dxx
∫
−
7
3

.3
2.
dxxx
∫
−
5
1
.1
3.
dx
x
∫
−
4
0
.
325
1

4.
∫






+
−
2

1
1
1
dx
x
x
5.
∫






+
+
2
0
2
1
2
dx
x
x
6.
∫
−
1
0
3

)13( dxx

7.
∫
−
+
1
1
4
)12( dxx
8.
∫
+−
1
0
2
65
1
dx
xx
9.
∫
+−
4
3
2
23
1
dx
xx

10.
∫
+
3
0
2
1x
xdx
11.
dxxx
∫
−
2
1
2
1.
12.
∫
+
3ln
0
2
x
x
e
dxe
13.
dx
x

x
I
∫
+
=
1
0
3
2
2
14.
∫
2
ln.
e
e
xx
dx
15.
∫
−+
e
x
dxxx
1
.
)ln1)(ln3(
16.
∫
−

3
0
..
2
dxex
x
17.
∫
2
0
sin
..cos
π
dxex
x
18.
∫
4
1
.dx
x
e
x

5
19.
∫
−
1
0

2007
)1( dxxx
Bài 3: Tính các tích phân sau:
1.
∫
4
0
3cos.5sin
π
xdxx
2.
∫
−
6
0
)62sin.6(sin
π
dxxx
3.
∫
+
2
0
2
sin1
2sin
π
dx
x
x

4.
∫
−
2
0
2
cos3
2sin
π
dx
x
x
5.
∫
+
2
0
2
sin32
2sin
π
dx
x
x
7.
∫
4
0
4

sin.cos
π
xdxx

8.
∫
3
0
3
sin
π
xdx
9.
∫
8
0
4
cos
π
xdx
10.
∫
3
0
3
2sin.cos
π
xdxx

11.

∫
+
6
0
3cos.3sin41.2
π
xdxx
12.
∫
2
0
32
cos.sin
π
xdxx
13.
∫
+
2
6
2
sin
cot1
π
π
dx
x
gx

14.

∫
+
2
0
3
sin1
cos2
π
dx
x
x
Bài 4:Tính các tích phân sau:
1.
∫
+
1
0
)1( dxex
x
2.
∫
1
0
dxxe
x
3.
∫
1
0
2

dx
e
x
x
4.
∫
2
0
cos
π
xdxx

5.
∫
4
0
2sin
π
xdxx
6.
∫
4
0
2
cos
π
dx
x
x
7.

∫
e
dx
x
x
1
3
ln
8.
∫
−
2
1
ln)12( xdxx

Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đường sau:
1. (P): y = 4x – x
2
, trục 0x
2. y = x
3
; x + y =2
3. (C):
1
33
2
−
+−
=
x

xx
y
, tiệm cận xiên của (C ) và các đường thẳng x =2, x = 4,
4. (C): y = x
3
– 3x +2, (d) y = x +2 và trục hoành.
5. (C): y =x
3
–3x
2
+ 2 và (d): y = -2x +2 .
6. (P
1.
: y = 2x – x
2,
(d): x +y= 0.
7. (P):y
2
–2y + x = 0, (d) x + y = 0.
8. y = sinx, y = 0 trên đoạn [ 0; 2π ]
9. y = x ; y = x + sin
2
x, (0 ≤ x ≤ π )
10. (C):: y = lnx, y =1, x = e
2
.
11. (C): y = e
2x
, y = 4, x =1
Bài 6: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi:

1. y =2x – x
2
; y = 0 quay xung quanh Ox.
2. y = lnx ; y = 1 ; x = 1 quay xung quanh Oy
3. y = (x – 2)
2
và y = 4. quay xung quanh Ox
4. y = 2x
2,
y = x
3
. quay xung quanh Ox
6
5. y = sin x ; y = 0 ( 0 ≤ x ≤ π ) quay xung quanh Ox
7
CHỦ ĐỀ III
ĐẠI SỐ TỔ HP
Bài 1: Từ các chữ số 3,4,7,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số dộ một khác nhau.
Bài 2: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số, mổi số gồm 4 chữ số khác nhau
và không chia hết cho 5 ?
Bài 3: Cho 8 chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Từ 8 chữ số đó có thể lập được bao nhiêu số, mổi số gồm
4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 10 ?
Bài 4: Có bao nhiêu số chẳn có 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên là số lẻ ?.
Bài 5:
1.Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau ?
2. Hãy tìm tổng tất cả các số tự nhiên nói trên ?
Bài 6:Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số mà các chữ số đó đều khác nhau ?
Bài 7: ư4số: 1; 2; 3; 4; 5
1.Có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên ?
2.Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3 có 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên ?

Bài 8: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập đực bao nhiê số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau:
1.Sao cho số được lập là số lẻ ?
2.Sao cho số được lập là số chẳn ?
Bài 9: Trong phòng có hai bàn dài mổi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chổ ngồi cho 10 học
sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chổ ngồi trong các trường hợp sau:
1. Nam và nữ ngồi tuỳ ý ?
2.2. Tất cả các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi một bàn ?
Bài 10: Có bao nhiêu cách xếp 4 người nam và 4 nữ ngồi vào một dãy bàn có tám chổ ngồi sao cho:
1.Nam và nữ sắp tùy ý:
2.Nam và nữ ngồi xen kẻ nhau.
3. 4 nữ ngồi kề nhau
Bài 11: Một lớp học có 20 nam, 10 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 3 người trực lớp
1.Một cách tùy ý. 3. Có đúng một nữ
2.Có ít nhất một nữ 4. Có nhiều nhất hai nữ
Bài 12: Một lớp học có 20 nam, 10 nữ. Có bao nhiêu cách chọn một ban cán sự gồm 1 lớp trưởng, 1
lớp phó học tập, 1 lớp phó phong trào.
1.Một cách tuỳ ý 3. Lớp trưởng là nữ
2.Có đúng một nữ 4. Có ít nhất một nữ
Bài 13: Có bao nhiêu cách xếp năm bạn học sinh A; B; C; D; E vào một ghế dài sao cho:
1. Bạn C ngồi chính giữa ?
2. Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế ?
Bài 14: Một học sinh có 12 cuốn sách khác nhau, trong đó có 2 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Văn
và 6 cuốn sách Anh văn.Hỏi có bao nhiêu cách xếp các cuốn sách đó trên một kệ dài, nếu mọi
cuốn sách cùng môn được xếp kề nhau ?
Bài 15: Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số: 1 ; 2; 3; 4 ; 5 như sau:Trong các số
được viết có 1 chữ số xuất hiện hai lần,còn các chữ số khác có mặt một lần
Bài 16: Cho n điểm A
1
,A
2

,).,A
n
thuộc đường thẳng a và một điểm B không thuộc đường thẳng a. Nối
B với A
1
,A
2
,).,A
n
. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành?
8
Bài 17: Trên đường tròn cho n điểm A
1
,A
2
,).,A
n
.Hỏi nếu lấy các điểm này làm đỉnh thì:
1.Xác đònh được bao nhiêu tam giác 2. Xác đònh được bao nhiêu tứ giác lồi
Bài 18: Cho hai đường thẳng song song (d
1.
, (d
2
). Trên (d
1.
lấy 17 điểm phân biệt, trên (d
2
) lấy 20
điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn trên (d
1.

và (d
2
).
KQ:5950
Bài 19: Với 6 chữ số phân biệt 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt
trong đó mỗi số điều phải có mặt số 6. KQ: 1630
Bài 20: Có 6 bao thư khác nhau và 5 tem thư khác nhau.Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 bao thư vàø 3
tem thư để dán lên 3 bao thư đó.
Bài 21: Cho 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9.Có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác
nhau và nhỏ hơn 600000 từ 10 chữ số đó.
Bài 22: Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9.Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác
nhau, sao cho trong các số đó phải có mặt hai số 0 và 1.
Bài 23: Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 5 viên bi vàng có kích thứơc đôi một khác nhau.
1. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi đỏ ? KQ:10.010
2.Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ? KQ:4.665
Bài 24: Cho tập X =
{ }
7;6;5;4;3;2;1;0
. Có thể lâp được bao nhiêu số tự nhiên n gồm 5 chữ số
đôi
một khác nhau ( chữ số đầu tiên phải khác 0. trong các trường hợp sau:
1.n là số chẵn 2. Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1.
Bài 25: Giải phương trình:
a.
)2(672
22
xxxx
PAAP
+=+
b.

xxCCC
xxx
14966
2321
−=++

c.
4
1
3
1
2
4
4
1
2
−
−−
−
−
−=
x
xx
x
x
xCCACx
Bài 26: Giải các phương trình sau:
1.
79
21

=++
−−
n
n
n
n
n
n
CCC
, 2.
2
2
2
502
xx
AA
=+
,
3.
xCCC
xxx
2
7
321
=++
, 4.
5
5
3
720

−+
=
nnn
PAP

5.
1023...
10321
=++++
−−−−
x
x
x
x
x
x
x
x
CCCC
6.
1
14
2
1414
2
++
=+
kkk
CCC

7.
2432...22
2210
=++++
n
n
n
nnn
CCCC
, 8.
xxx
CCC
765
1425
=−

9.
)2(672.
22
xxxx
PAAP
+=+
, 10.
4 3 2
1 1 2
4 4 5 0
n n n
C C A
− − −
− − =

Bài 27: Giải các bất phương trình sau:
1.
0
4
143
12
4
2
<−
−+
+
nn
n
PP
A
, 2.
0
4
5
2
2
3
1
4
1
<−−
−−−
nnn
ACC

,
3.
0
)!1(
15
)!2(
4
4
<
−
−
+
+
nn
A
n
, 4.
3
2
4
.352
nn
CC
≤

5.
3
3
1
4

1
14P
C
A
n
n
n
<
−
−
+
, 6.
10
6
2
1
322
2
+≤−
xxx
C
x
AA
,
7.
2
2
1
2
2

5
n
n
n
n
n
ACC
>+
+
−
+
8.
2
3
5
60
)!(
+
+
+
≤
−
k
n
n
A
kn
P
, n,k
N

∈
9