ltđh dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm

Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009
CHUYÊN  LUYN THI TT NGHIP THPT
VÀ LUYN THI I HC, CAO NG 2009
Môn:
TOÁN.
Chuyên đ:
DA VÀO  TH BIN LUN S NGHIM
CA PHNG TRÌNH
I. MC ÍCH CHUYÊN 
Dùng đ th hàm s gii bài toán bin lun phng trình trong nhiu trng hp s đn gin
hn
II. KIN THC C BN
- Da vào nhn xét “S nghim ca phng trình f(x) = g(x) chính là s giao đim ca hai
đng y = f(x) và y = g(x), bài toán bin lun phng trình trong nhiu trng hp có cách gii
đn gin, rõ ràng nu da vào các đ th đã bit ca đng cho trc (thng da vào kt qu
ca v đ th hàm s trong các phn trc).
-  đm đúng s giao đim ca hai đng y = f(x), y = g(x) ngi ta s dng đn các đim
ti hn, và các v trí ti hn ca các đng (thng là các v trí mà các đng tip xúc vi nhau).
Vì th các kt qu trong mc này có liên quan đn các kt qu v tính tip xúc ca các đng
Xét các thí d sau đây:
Thí d 1:

1. Kho sát và v đ th hàm s y = 4x
3
- 3x
2. Bin lun s nghim ca phng trình theo m 4
3
3
x
xm
−

=

3. Chng minh rng phng trình 4x
3
- 3x =
2
1
x
− có 3 nghim
Gii :Ta có: y
’
= 12x
2
- 3, vy có bng bin thiên sau:
x -
∞

1
2
−


1
2

+
∞

y
’

+ 0 - 0 +
y 1 -1
y
’’
= 24x
T đó suy ra đ th có dng sau (các bn t v đ th):
S nghim ca phng trình 4
3
3
x
xm
−
=
chính là s giao đim ca hai đng y =
4
3
3
x
x−
và y = m. T đ th  câu 1 suy ra đ th ca y = 4
3
3
x
x−
nh sau (các bn t v
đ th):
y = m là đng thng song song vi trc hoành và ct trc tung ti đim có tung đ = m,
nên t đ th suy ra:
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 1
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 2
- Nu m > 0: Có 2 nghim
- Nu m = 0: Có 3 nghim
- Nu -1 < m < 0: Có 4 nghim
- Nu m = -1: Có 2 nghim
- Nu m < -1: Vô nghim
3.  th y = 4x
3
- 3x đã có  câu 1. Xét hàm s:
y =
2
1
x
−

Ta thy nó có th vit di dng y
0≥
x
2
+ y
2
= 1
T đó suy ra đ th ca y =
2
1
x
− là na đng tròn tâm ti gc to đ bán kính 1 (ly
na trên ng vi y ) (các bn t v đ th)
0≥
T đó suy ra phng trình 4x

3
- 3x =
2
1
x
− có 3 nghim phân bit => đpcm.
Thí d 2:
Tìm m đ phng trình 4
3
31
x
xmxm
−
−= −
có bn nghim phân bit.
Làm tng t nh ví d 14, ta thy đng cong y = 4
3
31
x
x
−
−
có đ th nh sau (t v
đ th)
ng thng y = mx - m = m(x - 1) vi mi m luôn đi qua đim A(1,0) và có h s góc =
m. Xét hai v trí ti hn ca h đng thng y = m(x-1)
Trc ht là đng thng qua A (1,0) và B(0, -1). ng thng này có h s góc m
1
= 1
Th hai xét tip tuyn vi đng cong y = 4

3
3
x
x−
v qua A. Rõ ràng tip tuyn này
tip xúc vi nhánh ca đng cong vi x < 0. (khi đó y = -4x
3
+ 3x). Gi x
0
là hoành đ ca tip
đim (x
0
< 0) ,và m
2
là h s góc ca tip tuyn. Ta có:
-4x
3
0
+ 3x
0
=m
2
(x
0
- 1) (1)
-12x
2
0
+ 3 = m
2

(2)
x
0
< 0 (3)
Thay (2) vào (1) vì đi đn h
4x
3
0
- 6x
2
0
+ 1 = 0
m
2
= -12x
2
0
+ 3
x
0
= < 0
x
0
=
13
2
−

m
2

= 6
39−
Phng trình đã cho có 4 nghim khi và ch khi đng thng y =m(x-1) nm gia hai
đng thng ti hn trên (d nhiên không tính ti hai đng chn trên, và chn di y).
Nói cách khác: 1 < m < 6
3 - 9 là các giá tr cn tìm ca tham s m.
ú
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 3

Thí d 3
. (i hc và Cao đng khi A - 2002)
1. Kho sát và v đ th y = -x
3
+ 3x
2
(C)
2. Tìm k đ phng trình -x
3
+ 3x
2
+ k
3
- 3k
2
= 0 có 3 nghim phân bit
1. Ta có y’ = -3x
2
+ 6x, ’ = 6 +6 à có ng bin thiên sau:
Bài gii:

y’ - x v b
x -
∞
+

0

2

∞

y’ - 0 + 0 -
y’’ 0 4
 th ca (C) nh sau (t v đ th)
im hân b a vào đ th ca (C) khi và ch khi

T (2) và l  ca (C)  câu 1 trên suy ra.
s k là:
-1 < k < 0; 0 < k < 2, 2 < k < 3
NHÀ
2. Ta thy:
-x
3
+ 3x
2
+ k
3
- 3k
2
= 0

ú -x
3
+ 3x
2
= -k
3
+ 3k
2
(1)
T (1) suy ra (1) có 3 ngh p it (d
0 < -k
3
+ 3k
2
< 4 (2)
i da vào đ th
-1 < k < 3
k
≠
0, k
≠
2
Vy các giá tr cn tìm ca tham
III. BÀI TP V
Bài 1
. Cho hàm s:
y
32
x 4x 4x
=

−+
,đ th (C). Bin lun theo k s giao đim ca đ th (C)
vi đng thng y=k
Bài 2
: ( i hc, Cao đng khi A nm 2006).
1. Kho sát và v đ th hàm s y = 2x
3
– 9x
2
+ 12x – 4 (C)
2. Tìm m đ PT

32
2912
x
xxm
−
+=

Bài 3
: Bin lun theo a s nghim ca phng trình :
2
2| | 3
||1x −
xx
a
−+
=

Bài 4

: 1. Kho sát và v đ th ca hàm s
2
(1)
2
y
x
=
x +
+

2. Bin lun theo tham s m v s ngh ca phng trình sau:

im
2
(1) .| 2|0xmx+− +=
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 4

Bài 5
: Cho hàm s
3
3x 2yx
=
−+ −
1. Kho sát và v đ th (C) ca hàm s .
2. Bin lun theo m s nghim ca ph :
2 log 0m+ =

ng.
ng trình

3
3xx−+
2
vi m là tham s d
Bài 6
: Cho hàm s
32
3x 9x
y
xm
=
+−+(m là tham s )
1. Kho sát s bin thiên và v đ th (C) ca hàm s khi m = 6
2. Vi nhng giá tr nào ca m thì phng trình
32
3x 9x 0xm
+
−+=có 3 nghim phân bit .
Bài 7
: Tìm nhng giá tr ca  phng trình t đ
2sin 1
sin 2
t
x
x
+
=
+

có đúng hai nghim thuc khong [0; ].

Tr H
Hocmai.vn


T Toán ung tâm BDV

Ngun:
Hocmai.vn