NỘI DUNG 6 BIỆN LUẬN số NGHIỆM của PHƯƠNG TRÌNH BẰNG đồ THỊ

Hàm số

FB: />
VI. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Chun đề: Hàm số

A. Tóm tắt lí thuyết & phương pháp giải tốn
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Cơ sở của phương pháp
Xét phương trình f(x) = g(x) (1)
Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hồnh độ giao điểm của (C 1):y = f(x) và
y
(C2):y = g(x)
(C )
1

(C 2 )
x

x0

Bài tốn: Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình dạng :
f(x) = m (*)
Phương pháp:
Bước 1: Xem (*) là phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị:
 (C ) : y  f ( x ) : (C) là đồ thò cố đònh
 () : y  m

: ( ) là đường thẳng di động cùng phương Ox

và cắt Oy tại M(0;m)

Bước 2: Vẽ (C) và (  ) lên cùng một hệ trục tọa độ
Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm của (  ) và (C)

Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình (*)
(C ) : y  f ( x) y
Minh họa:
m2

x
O
m1



NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

(0; m)

ym

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

Dạng: f x

FB: />
g m

giải tương tự
1
4

3
2

Ví dụ: Cho hàm số y  x3  x 2  5
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để phương trình x3  6 x 2  m  0 có ba nghiệm phân biệt.
Bài giải
1) Học sinh tự giải

2) Tìm m để phương trình x3  6 x 2  m  0 có ba nghiệm phân biệt.
♦ Xét phương trình x3  6 x 2  m  0 (1), ta có:
(1)

1 3 3 2
m
x  x 5  5
4
2
4

(2)

♦ Xem (2) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị

C :y
:y

1 3
x
4
5

3 2
x
2

5

m
4

Khi đó số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của C và
♦ Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

cắt C tại ba điểm phân biệt
3
0

m

5

m
4

5

32

♦ Vậy giá trị m cần tìm là 0 m 32 .

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. Cho hàm số y  x3  6 x2  9 x  1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình

1 3
9
x  3 x 2  x  m  0 có một
2
2

nghiệm duy nhất:
x  3
y'  0  
x  1
Hàm số nghịch biến trên các khoảng(-  ;1) và (3;+  ), đồng biến trên khoảng (1;3)

lim y  , lim y  

TXĐ: D  , y /  3x 2  12 x  9 .

x 

x 

BBT

x
y'



+

y

1
0
3

–

3
0



+




-1

Đồ thị : đi qua các điểm (3;-1), (1;3), (2;1), (0;-1)
1 3
9
x  3 x 2  x  m  0  x 3  6 x 2  9 x  1  2m  1 (*)
2
2

Pt :

Pt (*) là pt hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d y  2m  1 (d cùng phương trục
Ox) . Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của (C) và d. Dựa vào đồ thị (C), để
 2m  1  1

pt có một nghiệm duy nhất thì : 
 2m  1  3

m  0

 
m  2

Câu 2. Cho hàm số y  x3  6x2  9x  1 (1).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

b) Tìm m để phương trình x(x  3)2  m có 3 nghiệm phân biệt.

y
3

2

1

x

O

1

2

3

4

-1

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
b) Ta có: x(x  3)  m  x  6x  9x  1  m  1 .
2

3

2

Phương trình có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = m – 1 cắt (C) tại 3
điểm phân biệt  1  m  1  3  0  m  4
Câu 3. Cho hàm số y  x 4  x 2 .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C  của hàm số đã cho.
b) Dựa vào đồ thị  C  hãy tìm tất cả các giá trị của tham số

k

để phương trình sau có

bốn nghiệm thực phân biệt 4 x 2 1  x 2   1  k .
+ Đưa về được PT hoành độ giao điểm: x 4  x 2 

k 1
4

+ Lập luận được: Số nghiệm PT đã cho chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng
(d): y 

k 1
.
4

1
4

+ Lập luận được: YCBT   
+ Giải ra đúng

k 1
0
4

0  k 1

Câu 4. Cho hàm số y 

2x 1
x 1

Tìm k để đường thẳng (d) : y=kx+2k+1 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
Xét pt

2x 1
=kx+k+1
x 1

kx2+(3k-1)x+2k=0(x  -1)
kx2+(3k-1)x+2k=0 ( vì x=-1 không phải là nghiệm của pt với mọi k)


k 0

Do đó d cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt  
2
   k  6k  1  0
k 0


   k  3  2 2 (*)

  k  3  2 2

Vậy với k thõa (*) thì thõa yêu cầu bài toán
x 3 3x 2 1 (C)
Câu 5. Cho hàm số y
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để phương trình x 3 3x 2 m 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Đồ thị :
Cho x = -1  y = 3 , ( -1 ; 3 )
Tâm đối xứng I (1;1)
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
y
3

y=m-1

1
O
-1

1 2

3 x

-1

Tìm m để phương trình x 3
x3

Ta có

x

3

3x 2
3x

2

m
m

có 3 nghiệm phân biệt.

3x 2

m

0

0

x3

3x 2

x

3

3x

2

1

m
m

(*)
1

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của (C) và d: y = m – 1
Dựa vào đồ thị (*) có 3 nghiệm phân biệt
1 m 1 3
0 m 4
Câu 6. Cho hàm số y 

2x  2
(C)
x 1

1*. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đthị (C).
2*. Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B
Phương trình hoành độ giao điểm: 2x2 + mx + m + 2 = 0 , (x≠ - 1)
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt  PT(1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1
 m2 - 8m - 16 > 0
m  4  4 2

 m  4  4 2

Câu 7. Cho hàm số y  x 4  2 x 2  3
a*) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b*) Tìm m để phương trình x 4  2 x 2  m  3 có 4 nghiệm phân biệt.

Đồ thị (C) của hàm số nhận Oy làm trục đối xứng, giao với Ox tại 2 điểm (  3 ; 0).
y
 3 1 O

1

3

x

3

4

b) Ta có x 4  2 x 2  m  3  x 4  2 x 2  3  m (1).
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C) và đường thẳng y  m
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
Theo đồ thị ta thấy đường thẳng y  m cắt (C) tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi
 4  m  3 .
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi m  (4;3) .
Câu 8. Cho hàm số y   x 4  3x 2  1 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình x 4  3x 2  m  0 có 4 nghiệm phân biệt.


Đồ thị: Điểm đặc biệt: (0; 1), (-1; 3), (1; 3)

x 4  3x 2  m  0   x4  3x2  1  m  1

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y=m+1.

Dựa vào đồ thị, phương trình có 4 nghiệm phân biệt  1  m  1 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

13
9
0m
4
4

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ