CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM pptx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (163.6 KB, 10 trang )
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
I. Mục tiêu
1.Về kiến thức:
- Hiểu được phương pháp đổi biến số và lấy nguyên hàm từng phần .
2. Về kĩ năng:
- Giúp học sinh vận dụng được 2 phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số không
quá phức tạp.
3. Về tư duy thái độ:
- Phát triển tư duy linh hoạt.
-Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
1. Giáo viên:
- Lập các phiếu học tập, bảng phụ.
2. Học sinh:
Các kiến thức về :
- Vận dụng bảng các nguyên hàm, tính chất cơ bản của nguyên hàm, vi phân.
III. Phương pháp: Gợi mở vấn đáp
IV. Tiến trình bài học
TIẾT 1
Kiểm tra bài cũ: (5 phút)
Câu hỏi: a/ Phát biểu định nghĩa nguyên hàm .
b/ Chứng minh rằng hàm số F(x) =
5
)12(
52
x
là một nguyên hàm của hàm số
f(x) = 4x(2x
2
+1)
4
.
- Cho học sinh khác nhận xét bài làm của bạn.
- Nhận xét, kết luận và cho điểm.
Hoạt động 1: Xây dựng phương pháp đổi biến số.
Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng
5’
5’
- Nếu đặt u = 2x
2
+ 1, thì
dxxx
42
)12(4 =
dxxx )'12()12(
242
=
duu
4
=
5
5
u
+ C =
5
)12(
52
x
+ C
- Thông qua câu hỏi b/ ,
hướng dẫn hsinh đi đến
phương pháp đổi biến số.
dxxx
42
)12(4 =
=
dxxx )'12()12(
242
-Nếu đặt u = 2x
2
+ 1, thì biểu
thức ở trên trở thành như thế
nào, kết quả ra sao?
- Phát biểu định lí 1.
-Định lí 1 : (sgk)
Hoạt động 2 :Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm bằng PPĐBS.
Tg
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng
7’
7’
6’
- HS suy nghĩ cách biến đổi về
dạng
dxxuxuf )(')]([
- Đ1:
dx
x
x
3 2
1
2
=
dxxx )'1()1(
2
3
1
2
Đặt u = x
2
+1 , khi đó :
dxxx )'1()1(
2
3
1
2
=
duu
3
1
=
2
3
u
3
2
+ C =
2
3
(x
2
+1)
3
2
+ C
- HS suy nghĩ cách biến đổi về
dạng
dxxuxuf )(')]([
Đ2:
dxxx )1sin(2
2
=
dxxx )'1)(1sin(
22
Đặt u = (x
2
+1) , khi đó :
dxxx )'1)(1sin(
22
=
udusin
= -cos u + C = - cos(x
2
+1) +C
-HS suy nghĩ cách biến đổi về
dạng
dxxuxuf )(')]([
Đ3:
xdxe
x
sin
cos
=
= -
dxxe
x
)'(cos
cos
Đặt u = cos x , khi đó :
xdxe
x
sin
cos
= -
dxxe
x
)'(cos
cos
= -
due
u
= -e
u
+C = - e
cosx
+C
H1:Có thể biến đổi
dx
x
x
3 2
1
2
về dạng
dxxuxuf )(')]([ được không?
Từ đó suy ra kquả?
- Nhận xét và kết luận.
H2:Hãy biến đổi
dxxx )1sin(2
2
về dạng
dxxuxuf )(')]([ ? Từ đó suy
ra kquả?
- Nhận xét và kết luận.
H3:Hãy biến đổi
xdxe
x
sin
cos
về dạng
dxxuxuf )(')]([ ? Từ đó suy
ra kquả?
- Nhận xét và kết luận.
Vd1: Tìm
dx
x
x
3 2
1
2
Bg:
dx
x
x
3 2
1
2
=
dx
xx )'1()1(
2
3
1
2
Đặt u = x
2
+1 , khi đó :
dxxx )'1()1(
2
3
1
2
=
duu
3
1
=
2
3
u
3
2
+ C =
2
3
(x
2
+1)
3
2
+ C
Vd2:Tìm
dxxx )1sin(2
2
Bg:
dxxx )1sin(2
2
=
xx )(1sin(
22
Đặt u = (x
2
+1) , khi đó :
dxxx )'1)(1sin(
22
=
udusin
= -cos u + C = - cos(x
2
+1) +C
Vd3:Tìm
xdxe
x
sin
cos
Bg:
xdxe
x
sin
cos
= -
dxxe
x
)'(cos
cos
Đặt u = cos x , khi đó :
xdxe
x
sin
cos
= -
dxxe
x
)'(cos
cos
= -
due
u
= -e
u
+ c = - e
cosx
+ c
* chú ý: có thể trình bày cách kh
ác
xdxe
x
sin
cos
= - )(
cos
osxcde
x
= - e
cosx
+ C
Hoạt động 3: Củng cố ( 10 phút) . Hoạt động nhóm.
V. Bài tập về nhà: 6, 7 trang 145
VI. Phụ lục:
+ Phiếu học tập1:
Câu 1.Tìm kết quả sai trong các kết quả sau:
a/
xdxe
x
2
=
2
1
)(
2
2
xde
x
=
2
1
e
2
x
+ C ; b/
dx
x
xln
=
)(lnln xxd =
2
1
ln
2
x + C
c /
dx
xx )1(
1
= 2
dx
x
xd
1
)1(
= 2 ln(1+ x ) + C ; d/ inxdxxs
= -xcosx + C
Câu 2.
Tìm kết quả sai trong các kết quả sau:
a/
dxxe
x 2
3
=
3
1
)(
3
3
xde
x
=
3
1
e
3
x
+ C ; b/
xdxx cos.sin
2
=
)(sin.sin
2
xdx =
3
1
sin
3
x + C
c /
dx
xx )1(2
1
=
x
xd
1
)1(
= ln(1+ x ) + C ; d/ xdxx
cos = x.sinx + C
Tg Hoạt động của học sinh
Hoạt động của giáo viên Ghi bảng
10’
- Các nhóm tập trung
giải quyết .
- Theo dõi phần trình
bày của nhóm bạn và
rút ra nhận xét và bổ
sung.
- Cho HS hđ nhóm thực hiện phiếu
HT1 .
- Gọi đại diện một nhóm trình bày.
- Đại diện nhóm khác cho nhận xét.
- GV nhận xét và kết luận.
* Chú ý: Đổi biến số
như thế nào đó để đưa
bài toán có dạng ở bảng
nguyên hàm.
TIẾT 2
Hoạt động 4:Giới thiệu phương pháp lấy nguyên hàm từng phần .
Tg
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng
5’
8’
Đ:
(u.v)’= u’.v + u.v’
dxvu )'(
= vdxu
' + dxvu '
dvu
= dxuv
)'( + duv
dvu
= uv - duv
Đ:Đặt u = x, dv = sinxdx
Khi đó du = dx, v = -cosx
Ta có :
xdxx
sin =- x.cosx + xdx
cos
= - xcosx + sinx + C
H: Hãy nhắc lại công thức đạo
hàm một tích ?
Hãy lấy nguyên hàm hai vế, suy
ra dvu
= ?
- GV phát biểu định lí 3
- Lưu ý cho HS: đặt u, dv sao cho
duv
tính dễ hơn dvu
.
- H: Từ đlí 3 hãy cho biết đặt u và
dv như thế nào? Từ đó dẫn đến
kq?
- yêu cầu một HS khác giải bằng
cách đặt u = sinx, dv = xdx thử
kq như thế nào
-Định lí 3: (sgk)
dvu
= uv - duv
-Vd1: Tìm xdxx
sin
Bg:
Đặt u = x,dv = sinxdx
Khi đó du =dx,v =-cosx
Ta có :
xdxx
sin =- x.cosx
+ xdx
cos = - xcosx +
sinx + C
Hoạt động 5: Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm bằng pp lấy nguyên hàm từng phần.
Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng
5’
5’
- Học sinh suy nghĩ và tìm ra
hướng giải quyết vấn đề.
Đ :Đặt u = x ,dv = e
x
dx
du = dx, v = e
x
Suy ra :
dxxe
x
= x. e
x
- dxe
x
= x.e
x
– e
x
+ C
Đ: Đặt u = x
2
, dv = e
x
dx
du = 2xdx, v = e
x
Khi đó:
dxex
x
2
=x
2
.e
x
- dxex
x
H :- Dựa vào định lí 3, hãy đặt u, dv
như thế nào ? Suy ra kết quả ?
H : Hãy cho biết đặt u, dv như thế
nào ? Suy ra kquả ?
- Lưu ý :Có thể dùng từng phần
nhiều lần để tìm nguyên hàm.
- Vd2 :Tìm dxxe
x
Bg :
Đặt u = x ,dv = e
x
dx
du = dx, v = e
x
Suy ra :
dxxe
x
= x. e
x
-
dxe
x
= x.e
x
– e
x
+ C
Vd3 : Tìm I=
dxex
x
2
Bg :Đặt u = x
2
, dv = e
x
dx
du = 2xdx, v = e
x
Khi đó:
dxex
x
2
=x
2
.e
x
- dxex
x
5’
2’
7’
= x
2
.e
x
-x.e
x
- e
x
+C
- Đ: Đặt u = lnx, dv= dx
du =
x
1
dx, v = x
Khi đó :
dxx
ln = xlnx - dx
= xlnx – x + C
- Đăt u = lnx, dv = x
2
dx
du =
x
1
dx , v =
3
3
x
Đ :Không được.
Trước hết :
Đặt t = x
dt =
x2
1
dx
Suy ra dxx
sin =2 dttt
sin
Đặt u = t, dv = sint dt
du = dt, v = - cost
dttt
sin =-t.cost+ dtt
cos
= -t.cost + sint + C
Suy ra:
dxx
sin =
= -2 x .cos x +2sin x +C
- H : Cho biết đặt u và dv như thế
nào ?
- Thông qua vd3, GV yêu cầu HS
cho biết đối với dxxx
ln
2
thì ta đặt u, dv như thế nào.
H : Có thể sử dụng ngay pp từng
phần được không ? ta phải làm như
thế nào ?
+ Gợi ý : dùng pp đổi biến số trước,
đặt t = x .
* Lưu ý cho HS các dạng thường sử
dụng pp từng phần.
dxxxf
sin)( , dxxxf
cos)(
dxexf
x
)(
đặt u = f(x), dv cònlại.
dxxxf
ln)( , đặt u = lnx,dv =f(x) dx
= x
2
.e
x
-x.e
x
- e
x
+C
Vd4 :Tìm dxx
ln
Bg :
Đặt u = lnx, dv= dx
du =
x
1
dx, v = x
Khi đó :
dxx
ln = xlnx - dx
= xlnx – x + C
Vd5: Tìm dxx
sin
Đặt t = x
dt =
x2
1
dx
Suy ra dxx
sin =2 dttt
sin
Đặt u = t, dv = sint dt
du = dt, v = - cost
dttt
sin =-t.cost+ dtt
cos
= -t.cost + sint + C
Suy ra:
dxx
sin =
= -2
x
.cos
x
+2sin
x
+C
* Hoạt động 6 : Củng cố
(Giáo viên dùng bảng phụ, cả lớp cùng chú ý phát hiện)
V. Bài tập về nhà:7, 8, 9 trang 145 và 146
VI. Phụ lục :
Dựa vào bảng sau đây, hãy cho biết gợi ý phương pháp giải nào không hợp lý.
( Đối với
dxxf
)(
)
Hàm số Gợi ý phương pháp giải
f(x) = (2x+1)cosx Đặt u = 2x+1 , dv =cosx
f(x) = xe
-x
Đặt u = e
-x
, dv = xdx
f(x) =
x
lnx Đặt u = lnx, dv =
x
f(x) = e
x
sinx Đặt u = e
x
,dv = sinxdx hoặc u = sinx,dv = e
x
dx
Tg Hoạt động của học sinh
Hoạt động của giáo viên Ghi bảng
8’
- Cả lớp tập trung giải
quyết .
- Theo dõi phần trình
bày của bạn và rút ra
nhận xét và bổ sung.
- Treo bảng phụ và yêu cầu cả lớp
chú ý giải quyết .
- Gọi 2 HS trình bày ý kiến của
mình.
- GV nhận xét và kết luận.
Tiết :3 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Ngày soạn: ( Luyện tập)
III. Mục tiêu
1.Về kiến thức:
- Học sinh nắm vững hai pp tìm nguyên hàm .
2. Về kĩ năng:
- Giúp học sinh vận dụng được 2 phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số.
3. Về tư duy thái độ:
- Phát triển tư duy linh hoạt.
-Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác.
IV. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
1. Giáo viên :
- Bài tập sgk
- Lập các phiếu học tập.
2. Học sinh:
Biết phân biệt dạng toán dung pp đổi biến số, từng phần
III. Phương pháp:
IV.Tiến trình bài học
Kiểm tra bài cũ: (10 phút)
Câu hỏi 1: Hãy phát biểu phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm?
Áp dụng: Tìm
2
1
x
cos
x
1
dx
Câu hỏi 2:Hãy phát biểu phương pháp lấy nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm.
Áp dụng: Tìm
(x+1)e
x
dx
- Yêu cầu một HS khác nhận xét, bổ sung.
- Gv kết luận và cho điểm.
Thời
gian
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng
5’
- Hs1: Dùng pp đổi biến số
Đặt u = sin2x
- Hs2: Đặt u = sin2x
du = 2cos2xdx
Khi đó:
sin
5
2x cos2xdx
=
2
1
u
5
du =
12
1
u
6
+ C
=
12
1
sin
6
2x + C
Thông qua nội dung kiểm
tra bài cũ
Giáo viên nhấn mạnh thê
m
sự khác nhau trong việc vận
dụng hai phương pháp.
- Gọi môt học sinh cho biết
cách giải, sau đó một học
sinh khác trình bày cách
giải.
Bài 1.Tìm
sin
5
3
x
cos
3
x
dx
Bg:
Đặtu=sin
3
x
du=
3
1
cos
3
x
dx
Khi đó:
sin
5
3
x
cos
3
x
dx
5’
6’
-Hs1: Dùng pp đổi biến số
Đặt u = 7-3x
2
- Hs2:đặt u=7+3x
2
du=6xdx
Khi đó :
2
373 xx dx =
=
2
1
u
2
1
du =
2
1
3
2
u
2
3
+C
=
3
1
(7+3x
2
)
2
37 x +C
Đ: Dùng pp lấy nguy
ên hàm
từng phần.
Đặt u = lnx, dv =
x
dx
du =
x
1
dx , v =
3
2
x
2
3
Khi đó:
x lnxdx =
=
3
2
x
2
3
-
3
2
x
2
3
x
1
dx
=
3
2
x
2
3
-
3
2
3
2
x
2
3
+ C=
= -
3
2
x
2
3
+C
-Gọi môt học sinh cho biết
cách giải, sau đó một học
sinh khác trình bày cách
giải.
H:Có thể dùng pp đổi biến
số được không? Hãy đề xuất
cách giải?
H:Hãy cho biết dùng pp nào
=
3
1
u
5
du
=
18
1
u
6
+ C=
18
1
sin
6
3
x
+ C
Hoặc
sin
5
3
x
cos
3
x
dx
=
3
1
sin
5
3
x
d(sin
3
x
)
=
18
1
sin
6
3
x
+ C
Bài 2.Tìm
2
373 xx
dx
Bg:
Đặt u=7+3x
2
du=6xdx
Khi đó :
2
373 xx dx =
=
2
1
u
2
1
du =
2
1
3
2
u
2
3
+C
=
3
1
(7+3x
2
)
2
37 x +C
Bài 3. Tìm
x lnxdx
Bg:
Đặt u = lnx, dv = x dx
du =
x
1
dx , v =
3
2
x
2
3
Khi đó:
x lnxdx =
=
3
2
x
2
3
-
3
2
x
2
3
x
1
dx
=
3
2
x
2
3
-
3
2
3
2
x
2
3
+ C=
= -
3
2
x
2
3
+C
Bài 4. Tìm
e
93 x
dx
9’
Đ:Dùng pp đổi biến số, sau
đó dùng pp từng phần.
Đặt t =
93 x
t
2
=3x-9
2tdt=3dx
Khi đó:
e
93 x
dx
=
3
2
te
t
dt
Đặt u = t, dv = e
t
dt
du = dt, v = e
t
Khi đó:
te
t
dt=te
t
- dte
t
= t e
t
- e
t
+ c
Suy ra:
e
93 x
dx=
3
2
te
t
-
3
2
e
t
+ c
để tìm nguyên hàm?
- Nếu HS không trả lời được
thì GV gợi ý.
Đổi biến số trước, sau đó
từng phần.
Bg:Đặt t = 93 x
t
2
=3x-9
2tdt=3dx
Khi đó:
e
93 x
dx
=
3
2
te
t
dt
Đặt u = t, dv = e
t
dt
du = dt, v = e
t
Khi đó:
te
t
dt=te
t
- dte
t
= t e
t
- e
t
+ c
Suy ra:
e
93 x
dx=
3
2
te
t
-
3
2
e
t
+ c
Hoạt động 7: Củng cố.(10’)
Với bài toán
dxxf )( , hãy ghép một ý ở cột trái với một ý ở cột phải để được một
mệnh đề đúng.
Hàm số Phương pháp
1/ f(x) = cos(3x+4)
2/ f(x) =
)23(cos
1
2
x
3/ f(x) = xcos(x
2
)
4/ f(x) = x
3
e
x
5/ f(x)=
2
1
x
sin
x
1
cos
x
1
a/ Đổi biến số
b/ Từng phần
c/ Đổi biến số
d/ Đổi biến số
e/ Từng phần.
V. Bài tập về nhà:
Tìm
dxxf )( trong các trường hợp trên.
