Quy hoạch tuyến tính Chương 2 ppsx

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP
BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN
BÀI GIẢNG
QUY HO CH TUY N Ạ Ế
T NHÍ

CHƯƠNG II:
BÀI TOÁN VẬN TẢI
2.1. Dạng của bài toán vận tải
2.2. Xây dựng phương án cực biên
2.3. Phương pháp thế vị giải bài toán vận tải
2.4. Bài toán không cân bằng thu phát

2.1. Dạng của bài toán vận tải
A
i
(i =1,…m): các trạm phát
B
j
(j = 1,…n): các trạm thu
a
i
: lượng hàng hoá có ở trạm phát A
i

b
j
: lượng hàng hoá yêu cầu ở trạm thu B
j

c
ij:
chi phí vận chuyển một đơn vị hàng hoá từ trạm phát
A
i
(i = 1,.,m) đến trạm thu B
j
(j = 1, 2, , n) (c
ij
> 0)
x
ij
: lượng hàng hoá vận chuyển từ trạm phát A
i
đến trạm
thu B
j
, x
ij
≥ 0 (∀i, j)
Hãy thành lập một phương án vận chuyển hàng hoá sao
cho đáp ứng đầy đủ yêu cầu của các trạm thu bằng tất cả
hàng hoá có ở các trạm phát với tổng chi phí vận chuyển là
nhỏ nhất.

( )
( )
( )
)4(,1;,10
)3(,1

)2(,1
)1(min)(
1
1
1 1
njmix
njbx
miax
xcxf
ij
m
i
jij
n
j
iij
m
i
n
j
ijij
==≥
==
==
⇒=
∑
∑
∑∑
=
=

= =
Tìm bộ giá trị sao cho:
{ }
( )
njmix
ij
,1;,1
==
Nếu thì bài toán vận tải cân bằng thu phát
∑∑
==
=
n
j
j
m
i
i
ba
11

Mô tả bài toán dưới dạng bảng:
Thu
Phát
b
1
b
2
…… b
n

a
1
c
11
c
12
…… c
1n
a
2
c
21
c
22
…… c
2n
… … …… …… ……
a
m
c
m1
c
m2
…… c
mn
Giao của hàng i và cột j gọi là ô (i, j) đặc trưng cho đoạn
đường nối trạm phát A
i
và trạm thu B
j

, ở ô này ghi c
ij

Một số khái niệm:
Vòng: Là một tập hợp các ô đứng vị trí là đỉnh của một
đường gấp khúc khép kín có các cạnh song song với các
dòng và các cột của bảng, trong đó mỗi ô đều nằm cùng hàng
(cùng cột) chỉ với một ô đứng trước nó, đồng thời nằm cùng
cột (cùng hàng) chỉ với một ô đứng sau nó.
Một hệ vectơ điều kiện {A
ij
; (i, j) ∈ K} của bài toán vận
tải là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi tập hợp các ô thuộc
K không tạo thành vòng.
Vì số vectơ {A
ij
} độc lập tuyến tính cực đại trong bài toán
là m + n – 1 nên số tối đa các ô không tạo thành vòng trong
bảng m hàng và n cột cũng là m + n – 1.

Phương án cực biên: x = {x
ij
} là phương án cực biên khi và
chỉ khi tập hợp các ô (i, j) tương ứng với các thành phần dương
của phương án không tạo thành vòng. Một phương án cực biên
có tối đa m + n – 1 thành phần dương.
Tập hợp m + n – 1 ô không tạo thành vòng bao hàm tập ô
tương ứng với các thành phần dương của phương án cực biên x
(x
ij

> 0) gọi là tập ô cơ sở nó, ký hiệu là S.
Ô (i, j)∈S gọi là ô cơ sở, (i, j)∉S gọi là ô phi cơ sở.
Một ô phi cơ sở bất kỳ bao giờ cũng tạo thành một vòng duy
nhất với các ô cơ sở.
Một phương án cực biên không suy biến chỉ có một tập ô cơ
sở duy nhất, đó chính là tập ô tương ứng với các thành phần
dương của phương án.
Một phương án cực biên suy biến có nhiều tập ô cơ sở khác
nhau, phần chung của chúng là tập ô ứng với các thành phần
dương.

2.2. Xây dựng phương án cực biên
Khi xác định được x
ịj
= α , ta nói là đã phân phối cho ô (i, j)
một lượng hàng là α.
Nguyên tắc phân phối tối đa: Lấy ô (i, j) bất kỳ của bảng
và phân phối cho nó một lượng hàng tối đa có thể, nghĩa là
đặt x
ij
= min{a
i
,b
j
}. Ba trường hợp có thể xảy ra:
- x
ij
= a
i
, yêu cầu của trạm phát thỏa mãn, loại hàng i ra

khỏi bảng, đồng thời sửa lại yêu cầu của trạm thu: b’
j
= b
j
- a
i
- x
ij
= b
j
, yêu cầu của trạm thu thỏa mãn, loại cột j ra khỏi
bảng, đồng thời sửa lại yêu cầu của trạm phát: a’
i
= a
i
- b
j
- x
ij
= a
i
= b
j
,yêu cầu của cả trạm thu và phát đều thỏa mãn,
loại đồng thời hàng i và cột j ra khỏi bảng.

Quá trình tiếp tục cho tới khi yêu cầu của mọi trạm thu và
phát đều thoả mãn.
Các ô được phân phối có x
ij

> 0, đặt x
ij
= 0 với những ô
không được phân phối
Khi đó sẽ thu được một phương án cực biên của bài toán.
Nếu số ô được phân phối là m + n – 1 thì phương án cực
biên thu được là không suy biến, tập ô được phân phối chính
là tập ô cơ sở.
Nếu số ô được phân phối nhỏ hơn m + n – 1 thì phương án
cực biên tương ứng là suy biến. Để có được một tập ô cơ sở
cần phải bổ sung, ô bổ sung có x
ij
= 0 và không tạo thành vòng
với những ô cơ sở đã có, bổ sung cho tới khi đủ m + n – 1 ô.
Với những ô bổ sung khác nhau ta sẽ được các tập ô cơ sở
khác nhau của cùng một phương án cực biên suy biến.

Sử dụng nguyên tắc phân phối tối đa, tuỳ thuộc vào cách
ưu tiên phân phối ta có những phương pháp khác nhau để xây
dựng phương án cực biên:
- Phương pháp tây-bắc: Luôn ưu tiên phân phối cho ô
nằm ở góc tây bắc của bảng.
- Phương pháp chi phí nhỏ nhất (đường gần): Luôn ưu
tiên phân phối cho ô có c
ij
nhỏ nhất trong bảng.
- Phương pháp Fogels: Luôn ưu tiên phân phối cho ô có c
ij

nhỏ nhất nằm trên hàng hoặc cột có hiệu số giữa chi phí nhỏ

nhì và chi phí nhỏ nhất là lớn nhất.

Phương pháp chi phí nhỏ nhất:

Thu
Phát
30 20 25 35 40
30 13 7

6

2

12
20 5

1 10

5

11

40 10 5

3 7 14
60 6 3

2 11 10
[20]
x

x
x x
x
x
x
[30]
x xx
[25]
x
[30]
x
[5]
x
[5]
[35][0]

2.3. Phương pháp thế vị giải bài toán vận tải:
Tiêu chuẩn tối ưu:
Điều kiện cần và đủ để phương án x = {x
ij
} của bài toán vận tải
tối ưu là tồn tại một hệ thống số {u
i
, v
j
} thoả mãn:
a) v
j
– u
i

≤ c
ij
(∀i,j)
b) v
j
– u
i
= c
ij
nếu x
ij
> 0
u
i
, v
j
gọi là các thế vị hàng và cột.
Có thể xem u
i
là giá trị của một đơn vị hàng hoá ở nơi sản xuất
A
i
, còn v
j
là giá trị của nó tại nơi tiêu thụ B
j
.
Điều kiện b) có nghĩa là trong mọi phương án vận chuyển tối
ưu nếu hàng hoá được đưa từ trạm phát A
i

đến trạm thu B
j
thì giá
trị của nó tại nơi tiêu thụ B
j
phải bằng giá trị tại nơi sản xuất A
i

cộng thêm chi phí vận chuyển c
ij
.
Điều kiện a) có nghĩa là chênh lệch của giá trị hàng hoá giữa
nơi tiêu thụ và nơi sản xuất bất kỳ đều không vượt quá chi phí
vận chuyển trực tiếp giữa hai nơi ấy.

Thuật toán của phương pháp thế vị:
Giả sử đã biết một phương án cực biên x với tập ô cơ sở S.
Bước 1: Xây dựng hệ thống thế vị {u
i
,v
j
}:
Lấy một hàng i bất kỳ, cho nó một thế vị u
i
tùy ý. Các thế
vị còn lại được xác định theo quy tắc:
- Nếu hàng i đã có u
i
và (i, j)∈S thì thế vị của cột j được
tính bởi: v

j
= u
i
+ c
ij
.
- Nếu cột j đã có v
j
và (i, j)∈S thì thế vị của hàng i được
tính bởi: u
i
= v
j
− c
ij
.
Quá trình tiếp tục cho tới khi xác định được toàn bộ hệ
thống thế vị

Bước 2: Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu:
Tính đại lượng ∆
ịj
= v
j
– u
i
– c
ij
đối với các ô phi cơ sở
((i, j) ∉ S).

-Nếu ∆
ịj
≤ 0, ∀(i, j)∉S thì phương án tương ứng là tối ưu.
-Nếu tồn tại ∆
ịj
> 0, (ta gọi đó là các ô vi phạm) thì phải
điều chỉnh phương án.

Bước 3: Điều chỉnh phương án:
Giả sử , ô (r, k) được lấy làm ô điều chỉnh.
rkij
ij
∆=∆
>∆
0
max
Tìm vòng V tạo bởi ô điều chỉnh với các ô cơ sở. Trên
vòng đánh dấu lẻ chẵn các ô với ô điều chỉnh (r, k) là ô lẻ.
Ký hiệu V
l
, V
c
tương ứng là tập ô lẻ, chẵn trên vòng.
Xác định q = min {x
ij
}

, (i, j) ∈ V
c
.

Thực hiện phép biến đổi trên vòng:





∈+
∈−
∉
=
lij
cij
ij
ij
Vjiqx
Vjiqx
Vjix
x
),(,
),(,
),(,
'

Kết quả của quá trình biến đổi ta được phương án cực biên
mới x’ tốt hơn x.
Sau điều chỉnh ô điều chỉnh trở thành ô cơ sở, ô ứng với q
sẽ trở thành ô phi cơ sở.
Đối với x’ quay trở lại bước 1, quá trình lặp lại sau một số
hữu hạn bước sẽ tìm được phương án cực biên tối ưu.

Ví dụ 1: Giải bài toán vận tải sau:
Thu
Phát
76 62 88 45 40
79 10 19 9 6 8
102 13 11 8 7 4
70 12 17 10 5 3
60 12 18 18 7 9

Dùng phương pháp chi phí nhỏ nhất xây dựng phương án
cực biên xuất phát:
Thu
Phát
76 62 88 45 40
79 10 19 9 6 8
102 13 11 8 7 4
70 12 17 10 5 3
60 12 18 18 7 9
[40]
x
x
x
[30]
x x x
[15]
x
x
[88]
x
x

[64]
x
[14]
x
[12] [48]

Thu
Phát
76 62 88 45 40
79 10
[64]
19 9 6
[15]
8
102 13 11
[14]
8
[88]
7 4
70 12 17 10 5
[30]
3
[40]
60 12
[12]
18
[48]
18 7 9
0
12

18
Cho u
4
= 0, lần lượt tính các thế vị hàng và cột khác:
2
7
15 8
3
6

Thu
Phát
76 62 88 45 40
79 10
[64]
19 9

6
[15]
8
102 13 11
[14]
8
[88]
7 4
70 12 17 10 5
[30]
3
[40]
60 12

[12]
18
[48]
18 7 9
0
12
18
Tính đại lượng ∆
ịj
= v
j
– u
i
– c
ij
đối với các ô phi cơ sở
2
7
15 8
3
6
+4
+2
+1

Thu
Phát
76 62 88 45 40
79 10
[64]

19 9

6
[15]
8
102 13 11
[14]
8
[88]
7 4
70 12 17 10 5
[30]
3
[40]
60 12
[12]
18
[48]
18 7 9
0
12
18
, ô (1, 3) được lấy làm ô điều chỉnh.

2
7
15 8
3
6
+4

+2
+1
4max
13
0
+=∆=∆
>∆
ij
ij
*
(*)
*
(*)
*
(*)

Thu
Phát
76 62 88 45 40
79 10
[16]
19 9
[48]
6
[15]
8
102 13 11
[62]
8
[40]

7 4
70 12 17 10 5
[30]
3
[40]
60 12
[60]
18 18 7 9
0
12
14
Xác định q = min {88, 48, 64} = 48. Thực hiện phép biến
đổi đối với các ô trên vòng, ta được phương án mới:
2
3
11 8
3
6
+1
*
(*)
*
(*)

Thu
Phát
76 62 88 45 40
79 10
[31]
19 9

[48]
6 8
102 13 11
[62]
8
[40]
7 4
70 12 17 10 5
[30]
3
[40]
60 12
[45]
18 18 7
[15]
9
0
12
14
q = min {15, 60} = 15, điều chỉnh ta được phương án mới:
2
3
11 7
2
5

Sau khi xây dựng hệ thống thế vị và kiểm tra tiêu chuẩn tối
ưu ta thấy: ∆
ij
≤ 0 ∀(i, j)∉S .

Phương án tương ứng là tối ưu.
Giá trị tối ưu của hàm mục tiêu là:
f(x*) = 10.31 + 9.48 + 11.62 + 8.40 + 5.30 + 3.40 + 12.45
+ 7.15 = 2659.

Trường hợp suy biến:
Trường hợp suy biến thì q có thể bằng 0.
Khi q = 0 vẫn thực hiện thuật toán một cách bình thường,
nghĩa là ô điều chỉnh sẽ trở thành ô cơ sở với tư cách là ô
bổ sung, còn ô tương ứng với q sẽ trở thành ô phi cơ sở.
Kết quả điều chỉnh không làm thay đổi phương án cực biên
mà chỉ chuyển từ tập ô cơ sở này sang tập ô cơ sở khác.