Hàm phức toán tử - Ánh xạ bảo giác

1
Math Dept, Faculty of Applied Science,
HCM University of Technology
-------------------------------------------------------------------------------------
Hàm phức toán tử
Ch ng 5ươ : nh xạ bảo giác
•
Gi ng viên. TS Đặng Văn Vinh (12/2006)ả
2
CONTENTS
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I – Aùnh xaï baûo giaùc
II – Phép biến đổi f(z) = 1/z
III – Phép biến đổi tuyến tính f(z) = az + b
IV – Phép biến đổi phân tuyến tính
+
=
+
( )
az b
T z
cz d
3
I. Aựnh xaù baỷo giaực
---------------------------------------------------------------------------------
nh x w = f(z) c gi l ỏnh x bo giỏc trờn min D nu
f(z) bo giỏc ti mi im thuc min D.
nh ngha ỏnh x bo giỏc
Cho w = f(z) l hm phc nh ngha trờn min D. Cho z
0
l

mt im ca min D. f(z) c gi l ỏnh x bo giỏc ti
im z
0
nu gúc ca hai ng cong trn nh hng C
1
v
C
2
qua z
0
bng vi gúc ca nh ca hai ng cong ú v
hng ca gúc khụng thay i.
nh x bo giỏc (bo: bo ton; giỏc: gúc) l ỏnh x bo ton
gúc gia hai ng cong trn tựy ý theo ỳng hng quay ca
gúc
4
I. Ánh xạ bảo giác
Điều kiện: Đường cong C
1
trơn để đảm bảo hệ số góc tiếp tuyến
của C
1
tại z
0
là
' '
1 1 0
( ) 0z z t= ≠
Khi đó là góc giữa véctơ và chiều dương trục ox.
'

1
arg(z )
'
1
z
góc giữa C
1
và C
2
tại z
0
có giá trị
' '
2 1
arg(z ) arg(z )−
Nếu hàm f giải tích trong miền D có chứa z
0
và
Định lý 1.
'
0
( ) 0f z ≠
thì w = f(z) là ánh xạ bảo giác tại z
0
.
5
Hai đường cong trên cắt nhau tại điểm z
0
= 1 + i. Khảo sát góc
tại z

0
giữa hai đường cong này và giữa hai ảnh của chúng qua
phép biến đổi:
2 2
1 2
1
( ) (2 ) ; ( ) ( 1) ;0 2
2
z t t t t i z t t t i t= + − = + + ≤ ≤
w=z
Cho hai đường cong C
1
và C
2
có phương trình tham số lần lượt
là
Ví dụ
I. Ánh xạ bảo giác
Kết luận: góc giữa hai đường cong là
4
π
góc giữa hai ảnh của hai đường cong là nhưng
theo chiều ngược lại. Suy ra ánh xạ đã cho không là
ánh xạ bảo giác.
4
π
6
Cho hai miền D và D’. Tồn tại hay không ánh xạ bảo giác từ D
lên D’?
Bài toán cơ bản:

I. Ánh xạ bảo giác
Cho D là miền đơn liên trong mặt phẳng z, sao cho D không là
toàn bộ mặt phẳng phức. Khi đó tồn tại song ánh bảo giác w =
f(z) từ D lên đường tròn đơn vị |w| < 1.
Định lý Riemann
D D
’
|W|<1
f
h
w = h
-1
f
7
II. Phép biến đổi
( ) 1/f z z=
Phép biến đổi là hàm hợp của hai phép biến đổi:
phép biến đổi nghịch đảo qua hình tròn đơn vị
( ) 1/f z z=
1
( ) ( )
i i
g z g re e
r
θ θ
= =
và phép biến đổi liên hợp
( ) ( )
i i
c z c re re

θ θ
−
= =
Tức là:
( ) ( ( )) 1/f z c g z z= =
Định nghĩa phép biến đổi nghịch đảo
8
II. Phép biến đổi
( ) 1/f z z=
Giả sử z
0
là một điểm khác không của mặt phẳng phức. Nếu
biểu diễn z
0
và ảnh của nó f(z
0
) = 1/z
0
lên cùng mặt phẳng phức ta
làm như sau:
a. Tìm nghịch đảo của z
0
qua đường tròn đơn vị
Ảnh của 1 điểm qua phép biến đổi
( ) 1/f z z=
b. Lấy đối xứng kết quả thu được ở a) qua trục hoành.
9
II. Phép biến đổi
( ) 1/f z z=
Ví dụ

Tìm ảnh của nửa đường tròn |z| = 2, qua phép
biến đổi f(z) = 1/z.
0 arg(z)
π
≤ ≤
10
II. Phép biến đổi
( ) 1/f z z=
Ví dụ
Tìm ảnh của nửa đường thẳng đứng x =1 qua phép biến đổi f(z)
= 1/z.
Định nghĩa hàm f(z) = 1/z trong mặt phẳng phức mở rộng
Mặt phẳng phức mở rộng là mặt phẳng phức có thêm điểm .
∞
Hàm f(z) = 1/z định nghĩa trong mặt phẳng phức mở rộng là hàm
1/ , 0,
( ) , 0
0,
z z z
f z z
z
≠ ≠ ∞


= ∞ =


= ∞

11

II. Phép biến đổi
( ) 1/f z z=
Ảnh của đường thẳng qua f(z) = 1/z là đường tròn.
Hàm f(z) = 1/z trong mặt phẳng phức mở rộng biến đổi:
a. Đường thẳng đứng x = k, với thành đường tròn
0k ≠
1 1
w-
2k 2k
=
b. Đường thẳng ngang y = k, với thành đường tròn
0k ≠
1 1
w+
2ki 2k
=
12
II. Phép biến đổi
( ) 1/f z z=
Ví dụ
Tìm ảnh của dải bán vô hạn qua phép biến đổi
f(z) = 1/z.
1 y 2; 0x
≤ ≤ ≥
13
II. Phép biến đổi
( ) 1/f z z=
Ví dụ
Tìm ảnh của hình vành khăn qua phép biến đổi
f(z) = 1/z.

1
|z| 2
3
≤ ≤
14
III. Phép biến đổi tuyến tính
( )f z az b= +
Phép biến đổi f(z) = az + b, với a, b là những số phức được gọi là
phép biến đổi tuyến tính.
Định nghĩa phép biến đổi tuyến tính.
Phép biến đổi T(z) = z + b, được gọi là phép dời hình.
Định nghĩa phép dời hình.
0b ≠
0 0
; z x iy b x iy= + = +
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )T z x iy x iy x x y y= + + + = + + +
Ảnh của điểm z
0
qua phép dời hình T(z) = z + b được tìm bằng
cách dời điểm z
0
theo vectơ (x
0
, y
0
).
15
III. Phép biến đổi tuyến tính
( )f z az b= +

Ví dụ
Tìm ảnh của hình vuông có các đỉnh tại những điểm 1 + i, 2
+ i, 2 + 2i và 1 + 2i qua phép biến đổi f(z) = z + 2 - i.
16
III. Phép biến đổi tuyến tính
( )f z az b= +
Phép biến đổi M(z) = az, a > 1 được gọi là phép giãn;
0 < a < 1 được gọi là phép co.
Định nghĩa phép co (giãn).
, ;
i
z re a R
θ
= ∈
i
( ) ( ) e
i
M z M re ar
θ θ
= =
Phép biến đổi R(z) = az, |a| = 1 được gọi là phép quay.
Định nghĩa phép quay.
, ;
i i
z re a e
θ ϕ
= =
i ( )
( ) ( ) e
i i i

R z R re e r re
θ ϕ θ ϕ θ
+
= = =
17
III. Phép biến đổi tuyến tính
( )f z az b= +
Ví dụ
Tìm ảnh của đường trục hoành y = 0 qua phép biến đổi
1 1
( ) ( 2 2)
2 2
R z i z= +
18
III. Phép biến đổi tuyến tính
( )f z az b= +
Ví dụ
Tìm ảnh của đường tròn |z| = 2 qua phép biến đổi
( ) 3M z z=