Một số phân phối liên tục quan trọng -1 ppsx

Một số phân phối liên tục quan trọng
1. Phân phối đều
Định nghĩa 1.1. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối đều trên đoạn [a, b]
nếu hàm mật độ của nó có dạng:

Hàm phân phối của X có dạng

Ví dụ 1.2. Bắt đầu từ 7h, cứ 15phút lại có một chuyến xe bus dừng tại bến. Giả sử
một hành khách đến bến ngẫu nhiên trong khoảng thời gian từ 7h đến 7h30. Tính
xác suất để hành khách đó phải chờ cho đến khi có xe không quá 5 phút; nhiều
hơn 10 phút.
Giải. Ký hiệu X là khoảng thời gian tính từ 7h đến thời điểm khách tới bến. Vì X
có phân phối đều trên (0, 30) nên hành khách đó phải chờ không quá 5 phút nếu
anh ta đến bến trong khoảng thời gian từ 7h10 đến 7h15 hoặc trong khoảng thời
gian từ 7h25 đến 7h30. Vậy
P(chờ không quá 5 phút) = P(10 < X < 15) + P(25 < X < 30)

Tương tự, hành khách đó phải chờ nhiều hơn 10 phút nếu anh ta đến bến trong
khoảng thời gian từ 7h đến 7h05 hoặc trong khoảng thời gian từ 7h15 đến 7h20.
Vậy
P(chờ nhiều hơn 10 phút) = P(0 < X < 5) + P(15 < X < 20) =
Định lý 1.3. Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên đoạn [a, b] thì
E(X) =
Chứng minh. Ta có


Từ đó,

2. Phân phối mũ
Định nghĩa 2.1. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối mũ tham số nếu
hàm mật độ của nó có dạng

Hàm phân phối của X có dạng


Một tính chất quan trọng của phân phối mũ là tính chất không nhớ. Ta nói biến
ngẫu nhiên không âm X không nhớ nếu với mọi s, t ta có

hoặc tương đương
P(X > s + t) = P(X > s). P(X > t).
Đẳng thức trên đúng nếu X có phân phối mũ

Định lý 2.2. Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ tham số thì
E(X) =
Chứng minh. Ta có


Từ đó,

Ví dụ 2.3. Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ tham số Tính kỳ vọng
và độ lệch tiêu chuẩn của biến ngẫu nhiên Y = .
Giải. Hàm mật độ của X là

Từ đó suy ra


và
3. Phân phối chuẩn
Định nghĩa 3.1. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn tổng quát
tham số a, s
2

, ký hiệu N(a,s
2
) nếu hàm mật độ của nó có dạng:
, x


Đồ thị của hàm mật độ chuẩn có dạng hình quả chuông (xem hình bên)
* Trường hợp đặc biệt khi a = 0, s = 1, hàm mật độ của X có dạng:

và hàm phân phối
với x Î R.
Khi đó, X được gọi là có phân phối chuẩn tắc, ký hiệu N(0, 1).
Với x > 0, các giá trị của hàm F(x) được tính gần đúng trong cho trong bảng N(0,
1) (xem cuối sách giáo khoa). Với x < 0, sử dụng tính chất F(- x) = 1 - F(x).
Mệnh đề 3.2. Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn dạng N(a,s
2
) thì
i
1
. Biến ngẫu nhiên Z = có phân phối chuẩn dạng N(0;1).
i
2
. P[a < X < b] = (
Ví dụ 3.3. Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(3, 9). Tính P(2 < X <
5); P(X > 0) và
Giải. Ta có a = 3 và . Từ đó