Hàm đặc trưng - Định lý giới hạn trung tâm trong xác suất thống kê - 1 pot

Hàm đặc trưng - Định lý giới hạn trung tâm
1. Hàm đặc trưng: Định nghĩa và các tính chất
Định nghĩa 1.1. Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu
X
là hàm
X
: R
C xác định bởi
X
(t) = , t R, i là đơn vị ảo.
 Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất P(X = x
k
) = p
k
với
thì hàm đặc trưng của X là

X
(t)

 Nếu X có phân phối liên tục tuyệt đối với hàm mật độ f(x) thì hàm đặc
trưng X là
(t) =

Ví dụ 1.2. Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức tham số n, p. Xác định
hàm đặc trưng của X.
Giải. Ta có

Từ đó,
X
(t) =

Ví dụ 1.3. Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson tham số > 0. Xác định
hàm đặc trưng của X.
Giải. Ta có
X
(t) = =
Ví dụ 1.4. Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối mũ tham số > 0. Xác định
hàm đặc trưng của X.
Giải. Ta có
X
(t) =
Ví dụ 1.5. Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn tắc N(0; 1). Xác định hàm
đặc trưng của X.
Giải. Ta có
X
(t) =
Tính chất 1.6. (Tính chất của hàm đặc trưng)

X
(0) = 1; -1
X
(t) với mọi - < t < + .
 Hàm đặc trưng
X
(t) liên tục đều trên toàn bộ đường thẳng.

aX+ b
(t) = e
itb
X
(at), a, b là các hằng số

 Nếu dãy biến ngẫu nhiên X
1
, , X
n
độc lập thì hàm đặc trưng của tổng
bằng tích các hàm đặc trưng của từng biến, nghĩa là


Ví dụ 1.7. Giả sử biến ngẫu nhiên Y có phân phối chuẩn N(a; ). Xác định hàm
đặc trưng của Y.
Giải. Đặt thì X có phân phối chuẩn tắc N(); 1). Do Y = X + a nên
Y
(t) = e
ita
X
( t) =
Định lí 1.8. Nếu đại lượng ngẫu nhiên X có mômen tuyệt đối cấp n, thì hàm đặc
trưng của X khả vi n lần và với k n ta có .
Ta có thể sử dụng định lí này vào việc tính kì vọng và phương sai của X.
Ví dụ 1.9. Tính kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn
N(a; ).
Giải. Theo Ví dụ 1.7 thì
X
(t) = . Ta có
’
X
(t) =
’’
X
(t) =

áp dụng Định lý 1.8 ta nhận được
E(X) = ’
X
(0) =
E(X
2
) = ’’
X
(0) =
và từ đó D(X) = .
Định lí 1.10. (Công thức ngược)
Nếu biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối F(x) và hàm đặc trưng (t) thì đối với
hai điểm liên tục bất kì x, y của F(x) ta có
F(y) – F(x) =
Nếu khả tích trên toàn bộ đường thẳng và X có hàm mật độ là f(x) liên tục
thì

Ví dụ 1.11. Giả sử biến ngẫu nhiên X có hàm đặc trưng . Tìm hàm mật
độ của X.
Giải. Theo Định lý 1.10 ta có .
Đặt w = t + iv. Với x < 0, tích phân theo trục thực bằng tích phân theo đường cong
kín tạo bởi trục thực và nửa vòng tròn với bán kín lớn vô cùng nằm ở nửa mặt
phẳng trên (xem hình)Ta có
.
Theo định lí về thặng dư

Vì x < 0 nên ta có .
Tương tự với x > 0 ta có . Đưa về trường hợp x < 0 bằng cách
đặt t
1

= -t ta nhận được

Từ đó

Tóm lại, hàm mật độ tìm được là .