Chương 3: Các qui tắc đếm ppsx

Chương 3. Các Qui tắc Đếm
Trương Mỹ Dung
20
3
3
.
.


C
C
A
A
Ù
Ù
C
C


Q
Q
U
U
I
I


T
T
A
A

É
É
C
C


Đ
Đ
E
E
Á
Á
M
M
.
.




3.1. ÁNH XẠ.
3.1.1. ĐỊNH NGHĨA.
§ Một ánh xạ f từ tập hợp A vào tập hợp B là phép tương ứng liên kết với
mỗi phần tử x của A một phần tử duy nhất y của B mà ta ký hiệu là f(x) và
gọi là ảnh của x bởi f. Ta viết


f : A → B
x
→

f(x)

§ Hai ánh xạ f, g từ A vào B được nói là bằng nhau nếu:
∀ x ∈ A, f(x) = g(x).

§ Nếu E là một tập hợp con của A thì ảnh của E bởi f là tập hợp:

f(E) = {y ∈ B/ ∃x ∈ B, y = f(x)}

§ T a cũng viết

f(E) = {f(x)/ x ∈ B}

§ Nếu F là một tập hợp con của B thì ảnh ngược của F là tập hợp

f
-1
(F) = {x ∈ A/ f(x) ∈ F}
Chú ý.
1.
Nếu y ∈ B , ta viết f
-1
({y}) = f
-1
(y).

2.
Nếu f
-1
(y) = ∅ thì y không nằm trong ảnh f(A) của A.

3.
Nếu f
-1
(y) = {x} thì x là phần tử duy nhất có ảnh là y.


§ Gọi f là một ánh xạ từ tập hợp A vào tập hợp B. Khi ấy ta nói

1.
Phép là toàn ánh nếu f(A) = B.

2. F là đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của A có ảnh khác nhau.
3.
F là song ánh nếu nó đồng thời là đơn ánh và toàn ánh.



Chương 3. Các Qui tắc Đếm
Trương Mỹ Dung
21
§ Cho hai ánh xạ

f : A → B và g : B → C

nh xạ hợp h từ A vào C xác đònh bởi:
h : A → C
x → h(x) = g(f(x)).

3.1.2. TÍNH CHẤT.

Giả sử f là một ánh xạ từ X vào Y, A và B là hai tập con tùy ý của B. Ta
có:
§
f(A∪B) = f(A) ∪ f(B).
§ f(A∩B) ⊂ f(A) ∩ f(B).
§ f
-1
(A∪B) = f
-1
(A) ∪ f
-1
(B).
§ f
-1
(A∩B) ⊂ f
-1
(A) ∩ f
-1
(B).

3.2. PHÉP ĐẾM CÁC PHẦN TỬ CỦA MỘT TẬP HP.
3.2.1. THỦ TỤC ĐẾM.
§
Bước 0.
Nếu A = ∅ ta nói số phần tử A bằng không.

Ngược lại chuyển qua bước 1.
§
Bước 1.
Chọn tùy ý một phần tử a ∈ A rồi gán a tương ứng với phần tử 1

∈ N.
Nếu A= {a} ta nói ta có 1 phần tử.
Nếu không chuyển qua bước 2.

§ Bước 2.
Do A ≠ {a}, tồn tại một phần tử b ∈ A và b ≠ a. Ta gán b
tương ứng với phần tử 2 ∈N. Ta có song ánh:

{a,b} ↔ {1,2}
Nếu A = {a, b}, ta nói A có 2 phần tử, nếu không cứ tiếp tục.
Hai trường hợp có thể xãy ra:
1. Thủ tục dừng ở một bước n nào đó, nghóa là tồn tại một song ánh giữa A và
{1.2,…n} ⊂ N. Ta nói A có n phần tử.
2. Thủ tục không bao giờ dừng. Ta nói A có vô số phần tử hay A là một tập hợp
vô hạn.



Chương 3. Các Qui tắc Đếm
Trương Mỹ Dung
22
3.2.2. ĐỊNH NGHĨA TẬP HỮU HẠN & TẬP HP VÔ HẠN.
§ Một tập hợp A đươc nói là hữu hạn và có n phần tử nếu tồn tại một song
ánh giũa A và tập hợp con {1,2,…n} của N. T aviết Card(A) = n.

§
Nếu A không hữu hạn, ta nói A vô hạn.

3.2.3. NGUYÊN LÝ CỘNG (QUI TẮC 1).
Giả sử B là một tập con của một tập hợp hữu hạn A. Gọi B la phần bù

của B trong A. Khi ấy, ta có
Card(A) = Card(B) + Card(B).

3.3. QUI TẮC ĐẾM 2 (QUI TẮC NHÂN).
Giả sử ta thực hiện n cuộc thử nghiệm khác nhau:
− Cuộc thử nghiệm thứ nhất có k
1
kết quả khác nhau.
−
Cuộc thử nghiệm thứ hai có k
2
kết quả khác nhau.
− . . . . .
− Cuộc thử nghiệm thứ n có k
n
kết quả khác nhau.

Khi đó số các kết quả xảy ra sau n cuộc thử nghiệm đó là :
k
1
× k
2
× . . .× k
n
khác nhau
Thí dụ .
Giả sử các bảng số xe gắn máy 2 bánh từ 50cc trở xuống gồm :
Phần 1: Một trong số là 57 hoặc 58
Phần 2: Một số từ 00 đến 999
Phần 3: Hai mẫu tự bất kỳ.

Vậy số các bảng số xe có thể cung cấp là :
2 × 999 × (26 × 26) = 1.350.648

3.4. QUI TẮC ĐẾM 3.
Giả sử một cuộc thử nghiệm cho một trong k kết quả khác nhau. Nếu cuộc thử
nghiệm đó được lặp lại n lần thì số các kết quả có thể có là:
k × k × . . . × k = k
n
n lần
Thí dụ 1. Khi thấy một đồng tiền, kết quả có thể là mặt sấp hoặc mặt ngửa.
Vậy k = 2.
Nếu ta thấy đống tiền đó 10 lần và ghi lại kết quả ở mỗi lần thấy thì số các
trường hợp có thể xảy ra là : 2
10
= 1024 .

Chương 3. Các Qui tắc Đếm
Trương Mỹ Dung
23

Thí dụ 2
. Nếu ta thấy một con súc sắc có 6 mặt 2 lần thì số các kết quả có thể xảy ra
là: 6
2
= 36 .

3.5. QUI TẮC ĐẾM 4 (SỐ HOÁN VỊ).
Giả sử có n vật khác nhau. Số cách sắp xếp n vật đó (có kể thứ tự) được cho bởi:
n! = n(n-1) . . 1

Ký hiệu
n!
đọc là n giai thừa với qui ước
0! = 1
Thí dụ 1.
Có 6 quyển sách khác nhau được đặt trên một kệï hàng. Số cách sắp đặt 6
quyển sách trên sẽ là :
6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1 = 720

Thí dụ 2.
Có 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Tính tổng cho các số có được bằng cách hoán vò
các chữ số nói trên.
Gọi N là 1 số trong số 720 số có được thí dụ N = 341526.
Ta có thể tìm được số một N cũng do hoán vò 6 chữ số đó với tính chất tổng của
2 chữ số ở cùng vò trí của N và N’ bằng 7
với N = 341526 thì
N’ = 436251
Như vậy ta có 720/2 = 360 cặp số N và N’ có tổng bằng 777777.
Do đó, tổng của 720 số có được do hoán vò 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là :
777 777 × 360 = 279.999.720

3.6. QUI TẮC ĐẾM 5 (SỐ CHỈNH HP).
Giả sử ta có một tập hợp có n phân tử , số tập hợp con có k phân tử (có kể thứ tự ) rút
ra từ tập hợp nói trên bằng


A
k
= n! / (n -k)! = n(n -1) (n – k + 1)

Thí dụ 1.
Có tất cả 6 cuốn sách nhưng chỉ có thể xếp 4 cuốn sách lên kệ, Vậy số sách
có thể xếp 4 quyển sách lên kệ là :
Chương 3. Các Qui tắc Đếm
Trương Mỹ Dung
24
6! / (6 - 4)! = 6! /2! = 6 × 5 × 4 × 3 = 360
Thí dụ 2
. Xét tập hợp các số gồm 3 chữ số khác nhau. Có bao nhiêu chữ số như vậy?
Chú ý rằng số 0 không thể ở vò trí các chữ số hàng trăm.
Gọi a, b, c, là 3 chữ số khác nhau trong các chữ số 1, 2, ,9
Các số ta đang xét có thể phân hoạch thành 5 loại :
a. Các số có dạng abc có tất cả là:
9! / (9 - 3)! = 9!/ 6! = 9 × 8 × 7 = 504 số
b. Các số có dạng acb có tất cả là:
9! / (9 - 2)! = 9! / 7! = 9 × 8 = 72 số
c. Các số có dạng abc có tất cả là:
9! / (9 - 2)! = 72 số
Vậy tổng có : 504 + 72 + 72 = 648 số gồm 3 chữ số khác nhau.
Cách khác : Dùng qui tắc nhân
- Có 9 cách chọn 1 chữ số hàng trăm.
- Có 9 cách chọn 1 chữ số hàng chục.
- Có 8 cách chọn 1 chữ số hàng đơn vò.
Vậy có 9 × 9 × 8 = 648 cách chọn 1 số có 3 chữ số khác nhau.

3.7. QUI TẮC ĐẾM 6 (SỐ TỔ HP).
Trong một tập hợp có n vật, số tập hợp con có k vật rút ra từ tập hợp nói trên (không
kể thứ tự ) bằng

Thí dụ : Một tổ chức có 20 hội viên gồm 12 nam và 8 nữ, muốn bầu ra một Ban đại
diện gồm 5 người trong đó phải có ít 2 nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách thành lập một
Ban đại diện như vậy trong mỗi trường hợp sau đây :
a) Mọi người đều có tham gia vào Ban đại diện .
b) ng X và bà Y không chòu ngồi chung trong một Ban đại diện.
Giải .
a) Có 2 trường hợp:
− Ban Đại diện có 3 nam và 2 nữ. Số cách để thành lập một Ban Đại diện như
vậy bằng



k
n

= n! / (k! (n -k)! )
3
12


= 12! / (3! 9!) x 8!/(2! 6!) = 6 160
2
8



Chương 3. Các Qui tắc Đếm
Trương Mỹ Dung

25

− Ban đại diện có 2 nam và 3 nữ. Số cách để thành lập một Ban Đại diện như vậy
bằng




Vậïy số Ban đại diện có thể thành lập được là 6 160 + 3 603 = 9856.

b) Trước hết ta tìm số cách lập một Ban đại diện có cả ông X và bà Y.
− Trường hợp 3 nam và 2 nữ.
Chọn 2 nam trong 11 nam (đã có Ô.X).
Chọn 1 nữ trong 7 nữ (đã có Bà Y).




− Trường hợp có 2 nam và 3 nư õ




Vậïy có 385 + 231 = 616 cách lậïp mộït Ban đại diện trong đó có ông X và bà Y
ngồi chung.
Do đó, số cách lậïp Ban đại diện không có ông X và bà Y ngồi chung là
9856 - 616 = 9240.

3.8. SỐ CÁCH PHÂN HOẠCH MỘT TẬP HP.
X là một tập hợp có n phân tử. Ta muốn phân hoạch X thành k lớp (có kể thứ tự

các lớp).
Lớp thứ 1 có n
1
phân tử,
Lớp thứ 2 có n
2
phân tử,
…

Lớp thứ k có n
k
phân tử. Và (n
1
+ n
2
+ + n
k
= n).
Số phân hoạch có thể là:
2
12

= 12! / (2! 10!) x 8!/(3! 5!) =3 696
3
8


2
11

= 11! / (2! 9!) x 7 = 385
1
7


1
11


= 11 x 7! / (2! 5!) = 231
2
7



Chương 3. Các Qui tắc Đếm
Trương Mỹ Dung
26




Thí dụ 1 .
Có bao nhiêu cách phân bố 8 sinh viên vào 3 phòng trọ biết rằng:
Phòng số 1 có 3 giường
Phòng số 2 có 3 giường
Phòng số 3 có 2 giường
Giải.

Mỗi cách phân bố các sinh viên vào các phòng là mộït phân hoạch của mộït tập
hợp có 8 phân tử thành 3 lớp
Lớp 1 có n
1
= 3 phân tử
Lớp 2 có n
2
= 3 phân tử
Lớp 3 có n
3
= 2 phân tử
Vậïy số phân hoạch là:




Thí dụ 2.
Tranh giải vô đòch quốc gia mộït đội bóng A phải thi đấu với 6 đội khác
nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp để kết quả sau 6 trận đấu trên gồm 2 thắng, 3 thua,
1 hòa.
Giải.
Số cách sắp xếp = Số phân hoạch 1 tập hợp có 6 phân tử
( các đội bóng thi đấu với đội A )
Thành 3 lớp:
Lớp thứ 1 gồm các đội thua A ( có 2 đội ).
Lớp thứ 2 gồm các đội thắng A ( có 3 đội ).
Lớp thứ 3 gồm các đội hòa A ( có ù đội ).
Vậïy số cách sắp xếp là

Chú ý nếu phân hoạch có thứ tự một tập hợp có n phân tử thành 2 lớp:
2, 3, 1
6


= 6 / (2! 3! 1! ) = 60
3, 3, 2
8


= 8! / (3! 3! 2! ) = 560
n
1
n
2
, …,n
k
n

= n! / (n
1
! n
2
! …n
k
! )
Chương 3. Các Qui tắc Đếm
Trương Mỹ Dung

27
Lớp 1 có k phân tử .
Lớp 2 có n - k phân tử . thì
Số phân hoạch :



= (Số tập hợp con có k phân tử trong n phân tử).

3.9. Khai triển nhò thức .
Công thức khai triển nhò thức :

(x + y)
n
(n là số nguyên tự nhiên)
được cho bởi :
(× + y )
n
= x
n
+ x
n-1
y + . . + × y
n-1
+ y
n


Các hệ số

n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
n = 4 1 4 6 4 1
n = 5 1 5 10 10 5 1
Thí dụ . (x + y )
5
= x
5
+ 5x
4
y + 10x
3
y
2
+10x
2
y
3
+5xy
2
+ y
5


3.10. Khai triển bội thức .
Khai triển của (x
1
+ x

2
+ +x
k
)
n
gồm tổng tất cả các số hạng có dạng :



với n
1
+ n
2
+ + n
k
! = n.
Thí dụ. (x + y + z )
3
= x
3
+ y
3
+ z
3
+3x
2
y +3yz
2
+ 3x
2

z +6xyz
k, n -k
n


= n! / (k! (n -k )! =
n

k

n

n-1 1

n

k
n

, k = 1 . . n-1 đượïc cho bởi tam giác PASCAL






n
1
n
2

, …,n
k
n

X
n1
X
n2
….X
nk