Dạng 1: Phương trình bậc nhất pps

Dạng 1: Phương trình bậc nhất.
a. Phương trình dạng: ax + by = c (a,b,c nguyên)
* Cách giải: - Tách cá hệ số về tổng các số chia hết cho a hoặc b (Số nào có
GTTĐ lớn hơn)
- Sử dụng dấu hiệu và tính chất chia hết của một tổng để tìm ra một ẩn .

Thay nghiệm vừa tìm được vào phương trình ban đầu tìm nghiệm còn lại.
- Kết luận nghiệm
Bài tập mẫu: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x + 3y = 11
Giải:
Cách 1: 2x + 3y = 11
1 y
x y 5
2

    

x nguyên khi
1 y 2 hay y = 2t + 1 t
 
 


x = 4 – 3t
Vậy nghiệm nguyên của phương trình:
x 4 – 3t
y 2t 1



 


t

Z
Cách 2: 2x + 3y = 11
d = (a, b) = (2, 3) = 1
nghiệm riêng: (x
0,
y
0)
= (4, 1)
1
1
a
a
d
b
b
d









nghiệm tổng quát
0 1

0 1
x x b t
y y a t
 


 


Vậy nghiệm phương trình là:
x 4 – 3t
y 2t 1



 



Ví dụ 1 Giải phương trình: 11x + 18 y = 120
Hướng dẫn giải
11x + 18 y = 120  11x + 22y – 4y = 121 – 1
 11(x + 2y -11 ) = 4y – 1
1 4y – 1

11 => 12y – 3

11
 y – 3


11 => y = 11t + 3 (t
Z

)
x = 6 – 18 t.
1 Vậy nghiệm pt là:
6 18
11 3
x t
y t
 


 

(t
Z

)
Ví dụ 2 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 12x + 7y = 45 (1)
Hướng dẫn giải
Theo cách giải trên ta tìm được nghiệm nguyên của phương trình (1) là
7 12
27 12
x t
y t
 


 



Với điều kiện nghiệm nguyên dương ta có:
7 12 0
27 12 0
x t
y t
  


  

=> t = 2
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là
2
3
x
y







b. Phương trình dạng: ax + by +cz= d (a,b,c,d nguyên)
Ví dụ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 6x + 15y + 10 z = 3 (1)
Hướng dẫn giải
2 (1)  3(2x +5y +3 z-1) = - z
=> z


3 => z = 3t (t
Z

)
3 Thay vào phương trình ta có:
2x + 5y + 10t = 1 (t
Z

)
Giải phương trình này với hai ẩn x; y (t là tham số) ta được:
Nghiệm của phương trình: (5t – 5k – 2; 1 – 2t; 3k) Với t; k nguyên tuỳ ý