CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC pot

28 
CHƯƠNGIII:
PHƯƠNGTRÌNHLƯỢNGGIÁC
Dosốlượngcủacác bài toánphươngtrình,bấtphươngtrìnhlàvô cùngnhiềunênở phầnnày
chúngtôichỉtrìnhbàymộtsốbàiđãchọnlọc,cócách giảihay, độkhó tươngđốivàchắcchắnsẽthú
vịhơnrấtnhiềusovớinhững bài toánthôngthường khác.
Bài1:Tìma đểhaiphươngtrìnhsautươngđương:
Giải:
Tacó (2)
Vậy(1)tươngđươngvới(2)khi vàchỉkhi:
a hoặca
Bài2:Tìma,b,c đểphươngtrìnhsauđâynghiệmđúng:
Giải:
Điềukiệncần.Giảsử(1)đúng , nóiriêng:
Khi
Khi
Khix
Vậyđiềukiệncầnlàa=b=c=0
Điềukiệnđủ:nếua=b=c=0thìrõràng(1)đúng( .Tómlạia=b=c=0làđiềukiệncần vàđủđể
(1)đúng
Bài3:Giảihệphươngtrình:
Giải:
(1)
Xéthàmsố f(t)
Vậyf(t)làhàmđồngbiếntrên(0,
Tathấy:(1)
29 
Vậy(1),(2),(3)
Nhưthếhệđã chocónghiệmduynhất(
Bài4:Giảiphươngtrình:
Giải:

Điềukiệnđể phươngtrình cónghĩalà:
Tacó:
Từ(4)suyra:
(5)
Vậyphươngtrìnhđãchotươngđươngvớihệsau:
Từ(6)suyra x
Do(9)không thõa mãn(3)nênriêng(6)đãvônghiệm
Vậyhệ (6),(7),(8) dĩnhiênvônghiệm,tức làphươngtrìnhđãchovônghiệm>
*Chúý:Bằnglậpluậntươngtựnhưtrên,ta cóthểgiảiphương trình
Cụthể đưaphươngtrìnhấyvề hệsau:
30 
Từđósuyranghiệm củaphươngtrình ấylà:
Bài5:Giảiphươngtrình:
Giải:
Do
Vậy(1)tươngđươngvớihệsau:
Bài6:Giảiphươngtrình
Giải:
Dễthấy nócóthểviếtdướidạngtươngđươngsau:
TừđócóVT(5)
VP(5)
Vậy(5)
31
CHNGIV:
BTPHNGTRèNHLNGGIC
Bi1:Giibtphngtrỡnh:
( ) ( )
2 2 2 2
4
7 tan sin 3cos 6 3 sin 4cosx x x x x + Ê +

Gii:
K:
cos 0x ạ
.Chiahaivcho
2
cos x tac:
( ) ( )
2 2
4
7 tan tan 3 6 3 tan 4x x x + Ê +
ttanx=t,K:
0t
,bpttrthnh:
2
4
2
4
7 6 3
3
t
t
t
+
=
+
t
( )
VT f x = ,vi
0t
,tacú:

ỡ
ù
ớ
ù
ợ
( )
f t => lhmngbintrờn
)
0,+Ơ ộ
ở
voc 3t = thỡ
( )
4
6 3f t =
Davobngbinthiờntathy
( )
4
6 3 3f t t Ê <=> Ê
Túsuyra0 tan 3 ( )
3
x k x k k

p
p p
Ê Ê <=> Ê Ê + ẻ Z
Bi2:Giibtphngtrỡnh:
( ) ( )
2 2
cos 10 3 sin 10 1x x x x
p p

ộ ự ộ ự
- - - >
ở ỷ ở ỷ
Gii:
t
( )
2
10y x x
p
= - .Bpttr thnh:
cos 3 sin 1
cos tan sin 1
3
cos cos sin sin cos
3 3 3
cos cos
3 3
y y
y y
y y
y

p
p p p
p p

- >
<=> - >
<=> - >

ổ ử
<=> + >
ỗ ữ
ố ứ
Hm
( )
t
ngbintrờn
)
0,+Ơ ộ
ở
Hm
2
2
3
4
t
t
+
+
ngbintrờn
)
0,+Ơ ộ
ở
t
0
3 +Ơ
f(t)
4
6 3

32 
( )
( )
2
2
2 2 ,
3 3 3
2
2 2
3
2
2 10 2
3
2
2 10 2
3
k y k k
k y k
k x x k
k x x k

p p p
p p
p
p p
p
p p p

<=> - + < + < + ÎZ
<=> - + < <

<=> - + < - <
<=> - + < - < *
1.Giảibpt
2
10 2 ,x x k k - < ÎZ
( )
2
10 2 0 1x x k <=> - - <
(1)cónghiệmnếu:
' 25 2 0 12
5 25 2 5 25 2
k k
k x k
D = + ³ <=> ³ -
- + < < + +
2.Giảibpt
2
2
2 10
3
k x x - + < -
( )
2
2
10 2 0 2
3
2
' 25 2 0 12
3
x x k

k k
<=> - - + ³
D = + - ³ <=> ³ -
(2)cónghiệmkhi
12k ³ -
2
5 25 2
3
x k < - + - v
2
5 25 2
3
x k > + + -
Vớimọi
12k ³ -
,tacó:
2
0 25 2 25 2
3
2
25 2 25 2
3
2
5 25 2 5 25 2
3
2
5 25 2 5 25 2
3
k k
k k

k k
k k
< + - < +
=> + - < +
ì
- + < - + -
ï
ï
=>
í
ï
+ + - < + +
ï
î
Dođónghiệmcủa(*)là
2
5 25 2 5 25 2
3
2
5 25 2 5 25 2 , , 12
3
k x k
k x k k k
é
- + < < - + -
ê
ê
ê
+ + - < < + + ÎZ ³ -
ê

ë
Vậynghiệmcủabptđãcholà
33 
2
5 25 2 5 25 2
3
2
5 25 2 5 25 2
3
k x k
k x k
é
- + < < - + -
ê
ê
ê
+ + - < < + +
ê
ë
Với , 12k k ÎZ ³ -
Bài3:Giảibpt:
( )
5 2cos 2 2 | 2sin 1| 1x x + £ -
Giải:
( )
2
2
(1) 5 2 1 2sin 3| 2sin 1|
7 4sin 3| 2s in 1|
x x

x
<=> + - £ -
<=> - £ -
Đặt siny x = với 1 1y - £ £ ,tacó:
( )
2
7 4 3 | 2 1| 2y y - £ -
a.Xéttrườnghợp:
1
1
2
y £ £ .Tacó:
( ) ( )
2
2
2
2 7 4 3 2 1
4 6 10 0
2 3 5 0
5
, 1
2
y y
y y
y y
y y
=> - £ -
<=> + - ³
<=> + - ³
=> £ - ³

Kếthợpvớiđiềukiệna.tacóy=1=>sinx=1 2 ,
2
x k k

p
p
<=> = + ÎZ
b.Xéttrườnghợp:
1
1
2
y - £ £ .Tacó:
( ) ( )
2
2 2
2 7 4 3 2 1
4 6 4 0 2 3 2 0
1
, 2
2
y y
y y y y
y y
=> - £ - +
<=> - - ³ <=> - - ³
=> £ - £
Kếthợpvớiđiềukiệnb.tacó
1
1
2

y - £ £ -
1 5
1 sin 2 2 ,
2 6 6
x l l l

p p
p p
=> - £ £ - <=> - + £ - + Î Z
Vậynghiệmbptđãcholà
2
2
5
2 2
6 6
x k
l l

p
p
p p
p p

é
= +
ê
ê
ê
- + £ - +
ê

ë
với ,k l ÎZ
Bài4:Giảibấtphươngtrình:
( )
2 2
sin cos
81 81 30 1
x x
+ £ với
( )
0,2x
p
Î
Giải:
Đặt
2
sin
81
x
y = với
( )
1 81 *y £ £
34 
Tacó:
2 2
cos 1 sin
81
81 81
x x
y

-
= =
2
81
30 0
30 81 0
y
y
y y
=> + - £
=> - + £
3 27y <=> £ £ thoả(*)
Dođó:
( ) ( )
2
2
sin
1 4sin 3
2
2
3 81 27
3 3 3
1 4sin 3
1 3
sin
4 4
1 3 3 1
sin , sin
2 2 2 2
x

x
x
x
x a x b
£ £
<=> £ £
<=> £ £
<=> £ £
<=> £ £ - £ £ -
Giải(a)
2 5
,
6 3 3 6
x x

p p p p

<=> £ £ £ £
Giải(b)
7 4 5 11
,
6 3 3 6
x x

p p p p

<=> £ £ £ £
Đólà4tậpnghiệmcủabấtphươngtrìnhtrên.
Bài5:Giảibấtphươngtrình:
sin2 sin3 sin 4

3
cos2 cos3 cos4
2 1
x x x
x x x
- +
-
- +
³
(*)
Giải:
Tacó
( )
( )
sin 2 sin3 sin 4
cos 2 cos3 cos 4
sin 2 sin 4 sin3
cos 2 cos 4 cos3
2sin 3 cos sin 3
2cos3 cos cos3
sin 3 2cos 1
tan 3
cos3 2 cos 1
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x

x
x x
- +
- +
+ -
=
+ -
-
=
-
-
= =
-
Vớiđiềukiện
2cos 1x ¹
Tacó:
35 
( )
tan 3 3
* 2 1
tan 3 3 0
tan 3 3
3 ,
3 2
9 3 6 3
x
x
x
k x k k
k x k

p p
p p
p p p p

-
<=> ³
<=> - ³
<=> ³
<=> + £ £ + Î Z
<=> + £ £ +
Vậynghiệmcủa(*)là ,
9 3 6 3
k x k k

p p p p

+ £ £ + Î Z
Bài6:Giảibấtphươngtrình: sin 2cot 1x x + £ -
Giải:
Trongđiềukiệncónghĩacủanóthì sin 2cot 0x x + ³
Vậybấtphươngtrìnhđãchovônghiệm.
Bài7:Giảibấtphươngtrình:
( )
( ) ( )
3 3
4 2 1 sin 2cos 9 | 2 1| 1x x x x x x - + + ³ - +
Giải:
Xétcáckhảnăngsau:
a.Nếu

3
2 1 0x x - + >
( )
9
1 sin 2cos
4
x x <=> + ³ vôlívì
( )
5 sin 2cos 5x x - £ + £
b.Nếu
3
2 1 0x x - + <
( )
9
1 sin 2 cos
4
x x <=> + £ - .Vôlí
Dođó(1)chỉcóthểcónghiệmkhi
( )
3
2 1 0 2x x - + =
Phươngtrình(2)cónghiệmlà
1 2 3
1 5 1 5
1, ,
2 2
x x x
- + - -
= = =
Đócũnglànghiệmcủabấtphươngtrìnhtrên.

CHƯƠNGV:
BẤTĐẲNGTHỨCLƯỢNGGIÁC
Bài1:Chứngminhrằngtỷsốkhoảngcáchlớnnhấtgiữahaiđỉnhvớikhoảngcáchbénhấtgiữa2
đỉnhcủa1tứgiáclồibấtkìkhôngbéhơn
2
.
Giải:
GiảsửM,mtươngứnglàkhoảngcáchlớnnhấtgiữahaiđỉnhvàkhoảngcáchbénhấtgiữa2
đỉnhcủamộttứgiáclồi.Vìítnhấtmộttrongcácgóccủatứgiáckhôngphảilàgócnhọn.Thídụ
·
ABC
.Khiđó:
M
2
³AC
2
=AB
2
+BC
2
2AB.BCcosABC
Þ
M
2
³AB
2
+BC
2
³m
2

+m
2
=2m
2
36 
Þ
2 ³
m
M
.Đólàđiềuphảichứngminh.
Bài2:ChotứgiáclồiABCD.Chứngminhrằng:
4
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan4
16
4
tan
4
tan
4
tan
4
tan <
+ + + +

+ + + +
DCBA
DCBA
Giải:
Vớix,y,z,t>0thì:
tzyxtzyx + + +
³ + + +
161111
MàABCDlồinên:
0
2
tan,
2
tan,
2
tan,
2
tan
22
,
2
,
2
,
2
0 > Þ < <
DCBADCBA
p

Tacó:

2
tan
2
tan
2
tan
2
tan4
16
2
tan1
1
2
tan1
1
2
tan1
1
2
tan1
1
DCBADCBA
+ + + +
³
+
+
+
+
+
+

+
Dođó,đểcóđiềuphảichứngminh,chỉcầnchứngminh:
2
2
tan1
1
4
tan
2
tan1
1
4
tan
2
tan1
1
4
tan
2
tan1
1
4
tan <
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç

ç
ç
ç
è
æ
+
+ +
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
+
+ +
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç

ç
è
æ
+
+ +
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
+
+
D
D
C
C
B
B
A
A
Đặtx=tan
4
A

thì
2
1
2
2
tan
x
xA
-
= .thếthì:
tan
4
A
+
11
21
2
21
1
2
A
tan1
1
2
32
2
32
< +
- +
- -

<
- +
- + +
=
+
xx
xxx
xx
xxx
Vì1+x
23
22 xxxx ³ + Þ ³ .Điềuphảichứngminh.
Bài3:Cho4sốthayđổia,b,x,ythoảmãna
2
+b
2
=4vàx
2
+y
2
=3
Chứngminhrằng: 3232 £ + £ - byax
Giải:
a
2
+b
2
=4
Û
1

22
22
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
ba
Û :R Î $
a

ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
=

a
a

sin
2
cos
2
b
a
Û
î
í
ì
=
=

a
a

sin2
cos2
b
a
37
Tngt:x
2
+y
2
=3

:R ẻ $
b

ù
ù
ợ
ù
ù
ớ
ỡ
=
=

b
b

sin
3
cos
3
y
x
ù
ợ
ù
ớ
ỡ


b

b

sin3
cos3
VyM=ax+by
=2cos
a
. 3.sin2cos3
a b
+ sin
b

=2 )sin.sincos.(cos3
b a b a
+
=2 )cos(.3
b a
-
Vỡcos( )
b a
- 1 Ê nờn 32 ÊM
3232 Ê + Ê - byax
Ktlun:min(ax+by)= 32 -
32)max( = +byax .
*Chỳý:Vicỏchgiihontontngttacngcúthgiiccỏcbitoỏnsau:
1. Choxvyl2sthayivnghimỳngphngtrỡnhx
2
+y
2
=1.Tỡmgiỏtrnhnhtvgiỏ

trlnnhtcabiuthcP=2xy+1
2. Tỡmgiỏtrlnnhtvnhnhtcabiuthcy2x+5bitxvylhasthayithomón
36x
2
+16y
2
=9
Bi4:Chngminhrngtrongmitamgiỏctacú:
1. a
2
(pb)(pc)+b
2
(pc)(pa)+c
2
(pa)(pb) Êp
2
R
2
2. p
2
ab.sin
2
A+bc.sin
2
B+ac.sin
2
C
Gii:
1. abtngthcvdngtngngsau:
(pa)(pb)(pc)

( )
2
2
222
Rcpbpap
cp
c
bp
b
ap
a
- + - + - Ê
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
-
+
-
+
-
(1)
t zcpybpxap = - = - = - ,, .Khiúx,y,z>0
Vikớhiuythỡ
(1)

( )
2
2
222
Rzyxxycxzbyza + + Ê + +
Theonhlớhmscosinsuyra:
( )
( )
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
4sin 4sin 4sin
4sin 4sin 4sin 2 2 2
2 2 .sin 2 .sin 2 4sin 0
zy A xz B xy C x y z
zy A xz B xy C x y z xy yz xz
x x y y C z z B yz yz A y z
+ + Ê + +
+ + Ê + + + + +
+ - + - + - + +
( )
02cos22cos2cos2
222
+ + + + + zyAyzBzCyxx (2)
Quannimvtrỏica(2)ltamthcbc2caxcúhscax
2
l1>0.cũn:
38
( )

( ) ( )
( )
( )
[ ]
( )
02sin2sin
2sin2sin22sin2sin
22cos2cos2cos22sin2sin
2cos2cos2cos212cos12cos
2cos22cos2cos
2
2222
2222
2222
22
2
Ê - - =
+ - - =
+ - + - - =
- + - + - =
- - - + = D
Â
BzCy
CByzBzCy
CBCByzBzCy
ACByzBzCy
zyAyzBzCy
Theonhlớvdutamthcbchaisuyra(2)ỳng
ị
iuphichngminh.

2. Btngthcchotngngvibtngthcsau:
( )
BbcCacAab
cba
222
2
sinsinsin
4
+ +
+ +
( ) ( ) ( )
02cos22cos22cos2
2cos122cos122cos12222
222
222
+ + + + +
- + - + - + + + + +
CacBbcAabcba
BcbCcaAbaabcabcba
( )
02cos22cos2cos2
222
+ + + + + BbccbCcAbaa (3)
Quannimvtrỏiltamthbchaicaa.Dohscaa
2
l1>0v:
( )
( )
( )
02sin2sin

2sin2sin22sin2sin
2cos2cos2cos22sin2sin
2cos22cos2cos
2
2222
2222
22
2
Ê - - =
+ - - =
- + - - =
- - - + = D
Â
CcAb
CAbcCcAb
BCAbcCcAb
bcBbcCcAb
Vy(3)ỳngvúliuphichngminh.
Dubngxyra

D ABCltamgiỏcu.
Bi5:ChotdinOABCvuụngtiO.Gi
d b a
,, lnltlgúcgiangcaoOHvicỏccnh
OA,OB,OC.Tỡmgiỏtrnhnhtcabiuthc:

b
d a
a
d b

d
b a

222
cos
coscos
cos
coscos
cos
coscos +
+
+
+
+
=T
Gii:
t
d b a
cos,cos,co s = = = zyx
Vỡ: 1
1111
222
2222
= + + ị = + + zyx
OHOCOBOA
1,,0 < < ị zyx ,doú
d b a
,, unhn.Tacú:
222
y

xz
x
zy
z
yx
T
+
+
+
+
+
=
Xột
( ) ( )
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
+
+
+
+
+
+ + = + +
222
y

xz
x
zy
z
yx
zyxTzyx
2
2
22
3
1
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
+
+
+
+
+
+
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ

ỗ
ố
ổ
+ +
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+ +
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
+
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
+
+

ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
+
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
+
+
+
+
+
+
=
y
xz
x
zy
z
yx
y
x

x
y
z
x
x
z
y
z
z
y
y
xz
x
zy
z
yx
y
xz
x
zy
z
yx
186.
3
1
222
2
= + + + (1).(BtngthcCụsivBunhiacụpxki)
Ngoira:
( )

330
222
= + + Ê + + < zyxzyx (2).
39 
Từ(1)và(2)suyra
3
18
³T
Dấu“=”xảyra
Û
x=y=z
.OCOBOA = = Û
VậyTđạtGTNNbằng
3
18
khitứdiệnOABCvuôngcântạiO.
Bài6:ChotamgiácABC.Chứngminhrằng:
( ) ( )
3cos1cos)1(cos1 £ - + + + - + + + - + + = CababBaccaAbccbS
Giải:
Tacóthểthấy:
)coscoscos(cos)(cos)(cos)(coscoscos BacAbcCabCbaBacAcbCBAS + + - + + + + + + + + =
ĐặtP =cosA+cosB+cosC
Q=(b+c)cosA+(c+a)cosB+(a+b)cosC
R=ab.cosC+bc.cosA+ac.cosB
Dễthấy:P=cosA+cosB+cosC
2
3
£ (1)
(Dấu“=”trong(1)xảyra

Û
D ABClàtamgiácđều)
Theođịnhlíhàmsốsintacó:
( ) ( )
aARCBRBCCBRBcCb = = + = + = + sin2sin2cossincossin2coscos
Tươngtựtacó:
cAbBabBcCa = + = + coscos,coscos
.cbaQ + + = Þ Còntheođịnhlíhàmsốcosin,thì:
2
222
cba
R
+ +
=
2(2)
Đểýrằng:
2
)(
2
3
222
cba
cba
+ +
- + + +
=
( ) ( ) ( )
3
2
111

3
222
£
- + - + -
-
cba
(3)
Dấu“=”trong(3)xảyrakhia=b=c=1
Từ(2)và(3)suyraS£ 3.Đólà điềuphảichứngminh.
Dấu“=”xảyra
Û
đồngthờicódấu“=”trong(1)và(3)
Û
D ABClàtamgiácđềucócạnhbằng1.
40 
Lờikết:
Chúngtađãcùngnhauđimộtvòngquanhvươngquốccủanhữngbàitoánlượnggiác,đãcùng
nhauchiêmnghiệmsựrộnglớn củađạidươngkiếnthứcbaola.Nhưngtoánhọcmãi làmộtcâu
chuyệnkhôngcóhồikết,chúngtôivẫncònthiếukinhnghiệmvàchưachuyênnghiệp,nênchỉcó
thểgiớithiệumộtsốbàitoánhayvàrấtthúvịẩntrongnhữngcôngthứckhôkhanvàquáưtrừu
tượng.Bạnsẽthấymộtsốbàitoánmàcóthểchẳngdùngđểlàmgìcả,nhưnghãycoinónhưmột
bônghồng,mộtbứchoạđẹphaymộtbảntìnhcacủathiênđườngtoánhọc…Vìmộtlẽ,nóđượcsinh
ratrongmộtphút,mộtngày,cảmộtđờingườihayquanhiềuthếhệchỉđểthoảmãnniềmđammê
củanhữngaipháthiệnvàchứngminhđượcvẻđẹptuyệtvờicủanó!
Đềtàinày,chúngemkínhtặngngườithầygiáoyêumến,thầyNguyễnLái.
Mọigópýxinliênhệ:Tổ4– Toán2– Niênkhoá:2008–2011
TrườngTHPTchuyênLươngVănChánh
Tp.TuyHoà,tỉnhPhúYên.
Danhsáchthànhviên:
1. TrầnHoàngNguyên

2. NguyễnNgọcViễnĐông
3. NguyễnHữuPhát
4. NguyễnPhanThảoLan
5. NguyễnVũBảoDi
6. NguyễnTrươngMĩHiền
7. ĐỗAnhMinh